From d80e30b37d3b51fc4d47229fb3e88610fbc7a476 Mon Sep 17 00:00:00 2001
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Date: Mon, 22 Aug 2022 14:43:20 +0200
Subject: neuste Version

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 buch/papers/parzyl/teil1.tex | 184 +++++++++++++++++++++++++++++++++++++++----
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index f297189..13d8109 100644
--- a/buch/papers/parzyl/teil1.tex
+++ b/buch/papers/parzyl/teil1.tex
@@ -5,24 +5,180 @@
 %
 \section{Lösung
 \label{parzyl:section:teil1}}
-\rhead{Problemstellung}
-Die Differentialgleichungen \eqref{parzyl:sep_dgl_1} und \eqref{parzyl:sep_dgl_2} können mit einer Substitution
-in die Whittaker Gleichung gelöst werden.
+\rhead{Lösung}
+
+\eqref{parzyl:sep_dgl_3} beschriebt einen ungedämpften harmonischen Oszillator.
+Die Lösung ist somit
+\begin{equation}
+	i(z) 
+	= 
+	A\cos{ 
+		\left ( 
+		\sqrt{\lambda + \mu}z
+		\right )}
+	+
+	B\sin{ 
+		\left ( 
+		\sqrt{\lambda + \mu}z
+		\right )}.
+\end{equation}
+Die Differentialgleichungen \eqref{parzyl:sep_dgl_1} und \eqref{parzyl:sep_dgl_2} werden in \cite{parzyl:whittaker}
+mit Hilfe der Whittaker Gleichung gelöst.
 \begin{definition}
-    Die Funktion 
+    Die Funktionen
+    \begin{equation*}
+        M_{k,m}(x) = 
+    e^{-x/2} x^{m+1/2} \,
+    {}_{1} F_{1}
+    (
+        {\textstyle \frac{1}{2}} 
+        + m - k, 1 + 2m; x) \qquad x \in \mathbb{C}
+    \end{equation*}
+    und
     \begin{equation*}
-        W_{k,m}(z) = 
-    e^{-z/2} z^{m+1/2} \,
-    {}_{1} F_{1}(\frac{1}{2} + m - k, 1 + 2m; z)
+        W_{k,m}(x) = \frac{
+            \Gamma \left( -2m\right)
+        }{
+            \Gamma \left( {\textstyle \frac{1}{2}} - m - k\right)
+        }
+        M_{-k, m} \left(x\right)
+        +
+        \frac{
+            \Gamma \left( 2m\right)
+        }{
+            \Gamma \left( {\textstyle \frac{1}{2}} + m - k\right)
+        }
+        M_{k, -m} \left(x\right)
     \end{equation*}
-    heisst Whittaker Funktion und ist eine Lösung
-    von
+    gehören zu den Whittaker Funktionen und sind Lösungen
+    von der Whittaker Differentialgleichung
     \begin{equation}
-        \frac{d^2W}{d z^2} +
-        \left(-\frac{1}{4}  + \frac{k}{z} + \frac{\frac{1}{4} - m^2}{z^2} \right) W = 0.
+        \frac{d^2W}{d x^2} +
+        \biggl( -\frac{1}{4}  + \frac{k}{x} + \frac{\frac{1}{4} - m^2}{x^2} \biggr) W = 0.
+        \label{parzyl:eq:whitDiffEq}
     \end{equation}
-\end{definition}
-
-Lösung Folgt\dots
 
+\end{definition}
+Es wird nun die Differentialgleichung bestimmt, welche
+\begin{equation}
+    w = x^{-1/2} W_{k,-1/4} \left({\textstyle \frac{1}{2}} x^2\right)
+\end{equation}
+als Lösung hat.
+Dafür wird $w$ in \eqref{parzyl:eq:whitDiffEq} eingesetzt, woraus
+\begin{equation}
+    \frac{d^2 w}{dx^2} - \left(\frac{1}{4} x^2 - 2k\right) w = 0
+\label{parzyl:eq:weberDiffEq}
+\end{equation}
+resultiert. Diese Differentialgleichung ist dieselbe wie 
+\eqref{parzyl:sep_dgl_1} und \eqref{parzyl:sep_dgl_2}, welche somit
+$w$ als Lösung haben.
+%Da es sich um eine Differentialgleichung zweiter Ordnung handelt, hat sie nicht nur
+%eine sondern zwei Lösungen.
+%Die zweite Lösung der Whittaker-Gleichung ist $W_{k,-m} (z)$.
+%Somit hat \eqref{parzyl:eq:weberDiffEq}
+%\begin{align}
+%    w_1(k, z) & = z^{-1/2} W_{k,-1/4} \left({\textstyle \frac{1}{2}} z^2\right)\\
+%    w_2(k, z) & = z^{-1/2} W_{k,1/4} \left({\textstyle \frac{1}{2}} z^2\right)
+%\end{align}
+%als Lösungen.
+%Mit der Hypergeometrischen Funktion ausgeschrieben ergeben sich die Lösungen
+%\begin{align}
+%	\label{parzyl:eq:solution_dgl}
+%    w_1(k,z) &= e^{-z^2/4} \,
+%    {}_{1} F_{1}
+%    (
+%        {\textstyle \frac{1}{4}} 
+%         - k, {\textstyle \frac{1}{2}} ; {\textstyle \frac{1}{2}}z^2) \\
+%    w_2(k,z) & = z e^{-z^2/4} \,
+%         {}_{1} F_{1}
+%         ({\textstyle \frac{3}{4}} 
+%              - k, {\textstyle \frac{3}{2}} ; {\textstyle \frac{1}{2}}z^2).
+%\end{align}
 
+In der Literatur gibt es verschiedene Standartlösungen für 
+\eqref{parzyl:eq:weberDiffEq}, wobei die Differentialgleichung jeweils 
+unterschiedlich geschrieben wird.
+Whittaker und Watson zeigen in \cite{parzyl:whittaker} die Lösung
+\begin{equation}
+    D_n(x) = 2^{\frac{1}{2}n + \frac{1}{2}} x^{-\frac{1}{2}} W_{n/2 + 1/4, -1/4}\left(\frac{1}{2}x^2\right),
+\end{equation}
+welche die Differentialgleichung
+\begin{equation}
+    \frac{d^2D_n(x)}{dx^2} + \left(n + \frac{1}{2} - \frac{1}{4} x^2\right)D_n(x) = 0
+\end{equation}
+löst.
+Mit $M_{k,m}(x)$ geschrieben resultiert
+\begin{equation}
+    D_n(x) = \frac{
+            \Gamma \left( {\textstyle \frac{1}{2}}\right) 2^{\frac{1}{2}n + \frac{1}{4}} x^{-\frac{1}{2}}
+        }{
+            \Gamma \left( {\textstyle \frac{1}{2}} - {\textstyle \frac{1}{2}} n \right)
+        }
+        M_{\frac{1}{2} n + \frac{1}{4}, - \frac{1}{4}} \left(\frac{1}{2}x^2\right)
+        +
+        \frac{
+            \Gamma\left(-{\textstyle \frac{1}{2}}\right) 2^{\frac{1}{2}n + \frac{1}{4}} x^{-\frac{1}{2}}
+        }{
+            \Gamma\left(- {\textstyle \frac{1}{2}} n\right)
+        }
+        M_{\frac{1}{2} n + \frac{1}{4}, \frac{1}{4}} \left(\frac{1}{2}x^2\right).
+\end{equation}
+In \cite{parzyl:abramowitz-stegun} sind zwei Lösungen $U(a, x)$ und $V(a,x)$ 
+\begin{align}
+    U(a,x) &= 
+    \cos\left[\pi \left({\textstyle \frac{1}{4}} + {\textstyle \frac{1}{2}} a\right)\right] Y_1
+    - \sin\left[\pi \left({\textstyle \frac{1}{4}} + {\textstyle \frac{1}{2}} a\right)\right] Y_2 
+    \label{parzyl:eq:Uaz}
+    \\
+    V(a,x) &= \frac{1}{\Gamma \left({\textstyle \frac{1}{2} - a}\right)} \left\{
+    \sin\left[\pi \left({\textstyle \frac{1}{4}} + {\textstyle \frac{1}{2}} a\right)\right] Y_1
+    + \cos\left[\pi \left({\textstyle \frac{1}{4}} + {\textstyle \frac{1}{2}} a\right)\right] Y_2
+    \right\}
+    \label{parzyl:eq:Vaz}
+\end{align}
+mit
+\begin{align}
+    Y_1 &= \frac{1}{\sqrt{\pi}} 
+            \frac{\Gamma\left({\textstyle \frac{1}{4} - 
+            {\textstyle \frac{1}{2}}a}\right)}
+            {2^{\frac{1}{2} a + \frac{1}{4}}}
+            e^{-x^2/4} 
+            {}_{1} F_{1}
+                \left({\textstyle \frac{1}{2}}a + {\textstyle \frac{1}{4}}, 
+                {\textstyle \frac{1}{2}} ; 
+                {\textstyle \frac{1}{2}}x^2\right)\\
+        Y_2 &= \frac{1}{\sqrt{\pi}} 
+            \frac{\Gamma\left({\textstyle \frac{3}{4} - 
+            {\textstyle \frac{1}{2}}a}\right)}
+            {2^{\frac{1}{2} a - \frac{1}{4}}} 
+            x e^{-x^2/4} 
+            {}_{1} F_{1}
+                \left({\textstyle \frac{1}{2}}a + {\textstyle \frac{3}{4}}, 
+                {\textstyle \frac{3}{2}} ; 
+                {\textstyle \frac{1}{2}}x^2\right)
+\end{align}
+der Differentialgleichung
+\begin{equation}
+    \frac{d^2 y}{d x^2} - \left(\frac{1}{4} x^2 + a\right) y = 0
+\end{equation}
+beschrieben. Die Lösungen $U(a,z)$ und $V(a, z)$ können auch mit $D_n(z)$
+ausgedrückt werden
+\begin{align}
+    U(a,x) &= D_{-a-1/2}(x) \\
+    V(a,x) &= \frac{\Gamma \left({\textstyle \frac{1}{2}} + a\right)}{\pi}
+    \left[\sin\left(\pi a\right) D_{-a-1/2}(x) + D_{-a-1/2}(-x)\right].
+\end{align}
+In den Abbildungen \ref{parzyl:fig:dnz} und \ref{parzyl:fig:Vnz} sind 
+die Funktionen $D_n(x)$ und $V(a,x)$ mit verschiedenen Werten für $a$ abgebildet.
+\begin{figure}
+    \centering
+    \includegraphics[scale=0.35]{papers/parzyl/img/D_plot.png}
+    \caption{$D_n(x)$ mit unterschiedlichen Werten für $n$.}
+    \label{parzyl:fig:dnz}
+\end{figure}
+\begin{figure}
+    \centering
+    \includegraphics[scale=0.35]{papers/parzyl/img/v_plot.png}
+    \caption{$V(a,x)$ mit unterschiedlichen Werten für $a$.}
+    \label{parzyl:fig:Vnz}
+\end{figure}
\ No newline at end of file
-- 
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