From cb815146f12661f320a771464c5083e5196bb783 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: tschwall <55748566+tschwall@users.noreply.github.com> Date: Thu, 18 Aug 2022 16:51:08 +0200 Subject: Added graphic --- buch/papers/parzyl/teil2.tex | 20 +++++++++++++++----- 1 file changed, 15 insertions(+), 5 deletions(-) (limited to 'buch/papers/parzyl/teil2.tex') diff --git a/buch/papers/parzyl/teil2.tex b/buch/papers/parzyl/teil2.tex index 573432a..d37c650 100644 --- a/buch/papers/parzyl/teil2.tex +++ b/buch/papers/parzyl/teil2.tex @@ -9,12 +9,22 @@ Die parabolischen Zylinderkoordinaten tauchen auf, wenn man das elektrische Feld einer semi-infiniten Platte, wie in Abbildung \ref{parzyl:fig:leiterplatte} gezeigt, finden will. \begin{figure} - \centering - \includegraphics[width=0.9\textwidth]{papers/parzyl/img/plane.pdf} - \caption{Semi-infinite Leiterplatte} - \label{parzyl:fig:leiterplatte} + \centering + \begin{minipage}{.7\textwidth} + \centering + \includegraphics[width=\textwidth]{papers/parzyl/img/plane.pdf} + \caption{Semi-infinite Leiterplatte} + \label{parzyl:fig:leiterplatte} + \end{minipage}% + \begin{minipage}{.25\textwidth} + \centering + \includegraphics[width=\textwidth]{papers/parzyl/img/Plane_2D.png} + \caption{Semi-infinite Leiterplatte dargestellt in 2D} + \label{parzyl:fig:leiterplatte_2d} + \end{minipage} \end{figure} -Das dies so ist kann im zwei Dimensionalen mit Hilfe von komplexen Funktionen gezeigt werden. Die Platte ist dann nur eine Linie, was man in Abbildung TODO sieht. +Das dies so ist kann im zwei Dimensionalen mit Hilfe von komplexen Funktionen gezeigt werden. Die Platte ist dann nur eine Linie, was man in Abbildung \ref{parzyl:fig:leiterplatte_2d} sieht. + Jede komplexe Funktion $F(z)$ kann geschrieben werden als \begin{equation} F(s) = U(x,y) + iV(x,y) \qquad s \in \mathbb{C}; x,y \in \mathbb{R}. -- cgit v1.2.1 From 3dd42149bf496fe5cca749e69f839c2f6ab888a7 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: tschwall <55748566+tschwall@users.noreply.github.com> Date: Fri, 19 Aug 2022 11:10:07 +0200 Subject: Corrected errors --- buch/papers/parzyl/teil2.tex | 27 ++++++++++++++++++++------- 1 file changed, 20 insertions(+), 7 deletions(-) (limited to 'buch/papers/parzyl/teil2.tex') diff --git a/buch/papers/parzyl/teil2.tex b/buch/papers/parzyl/teil2.tex index d37c650..f0b5c34 100644 --- a/buch/papers/parzyl/teil2.tex +++ b/buch/papers/parzyl/teil2.tex @@ -12,7 +12,7 @@ Die parabolischen Zylinderkoordinaten tauchen auf, wenn man das elektrische Feld \centering \begin{minipage}{.7\textwidth} \centering - \includegraphics[width=\textwidth]{papers/parzyl/img/plane.pdf} + \includegraphics[width=\textwidth]{papers/parzyl/images/halfplane.pdf} \caption{Semi-infinite Leiterplatte} \label{parzyl:fig:leiterplatte} \end{minipage}% @@ -23,11 +23,12 @@ Die parabolischen Zylinderkoordinaten tauchen auf, wenn man das elektrische Feld \label{parzyl:fig:leiterplatte_2d} \end{minipage} \end{figure} -Das dies so ist kann im zwei Dimensionalen mit Hilfe von komplexen Funktionen gezeigt werden. Die Platte ist dann nur eine Linie, was man in Abbildung \ref{parzyl:fig:leiterplatte_2d} sieht. +Das dies so ist kann im Zweidimensionalen mit Hilfe von komplexen Funktionen gezeigt werden. Die Platte ist dann nur eine Halbgerade, was man in Abbildung \ref{parzyl:fig:leiterplatte_2d} sieht. + Jede komplexe Funktion $F(z)$ kann geschrieben werden als \begin{equation} - F(s) = U(x,y) + iV(x,y) \qquad s \in \mathbb{C}; x,y \in \mathbb{R}. + F(s) = U(x,y) + iV(x,y) \quad s = x + iy \qquad s \in \mathbb{C}; x,y \in \mathbb{R}. \end{equation} Dabei müssen, falls die Funktion differenzierbar ist, die Cauchy-Riemann Differentialgleichungen \begin{equation} @@ -59,23 +60,31 @@ Aus dieser Bedingung folgt 0 }_{\displaystyle{\nabla^2V(x,y) = 0}}. \end{equation} -Zusätzlich kann auch gezeigt werden, dass die Funktion $F(z)$ eine winkeltreue Abbildung ist. +Zusätzlich kann auch gezeigt werden, dass die Funktion $F(z)$ eine winkeltreue Abbildung ist. + + Der Zusammenhang zum elektrischen Feld ist jetzt, dass das Potential an einem quellenfreien Punkt gegeben ist als \begin{equation} \nabla^2\phi(x,y) = 0. \end{equation} -Dies ist eine Bedingung welche differenzierbare Funktionen, wie in Gleichung \eqref{parzyl_e_feld_zweite_ab} gezeigt wird, bereits besitzen. +Dies ist eine Bedingung, welche differenzierbare Funktionen, wie in Gleichung \eqref{parzyl_e_feld_zweite_ab} gezeigt wird, bereits besitzen. + + Nun kann zum Beispiel $U(x,y)$ als das Potential angeschaut werden \begin{equation} \phi(x,y) = U(x,y). \end{equation} -Orthogonal zum Potential ist das elektrische Feld +Orthogonal zu den Äquipotenzialfläche sind die Feldlinien des elektrische Feld \begin{equation} E(x,y) = V(x,y). \end{equation} + + Um nun zu den parabolische Zylinderkoordinaten zu gelangen muss nur noch eine geeignete komplexe Funktion $F(s)$ gefunden werden, welche eine semi-infinite Platte beschreiben kann. + + Die gesuchte Funktion in diesem Fall ist \begin{equation} F(s) @@ -93,6 +102,8 @@ Dies kann umgeformt werden zu i\underbrace{\sqrt{\frac{\sqrt{x^2+y^2} - x}{2}}}_{V(x,y)} . \end{equation} + + Die Äquipotentialflächen können nun betrachtet werden, indem man die Funktion, welche das Potential beschreibt, gleich eine Konstante setzt, \begin{equation} @@ -103,7 +114,9 @@ Die Flächen mit der gleichen elektrischen Feldstärke können als \tau = V(x,y) = \sqrt{\frac{\sqrt{x^2+y^2} - x}{2}} \end{equation} beschrieben werden. Diese zwei Gleichungen zeigen nun, wie man vom -kartesischen Koordinatensystem ins parabolische Zylinderkoordinatensystem kommt. +kartesischen Koordinatensystem ins parabolische Zylinderkoordinatensystem kommt. + + Werden diese Formeln nun nach $x$ und $y$ aufgelöst \begin{equation} x = \sigma \tau, -- cgit v1.2.1 From 029cf2a8c2ca284e92229a3e1a1b16ed39e7dbec Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: tschwall <55748566+tschwall@users.noreply.github.com> Date: Fri, 19 Aug 2022 14:28:37 +0200 Subject: Updated Paper --- buch/papers/parzyl/teil2.tex | 1 + 1 file changed, 1 insertion(+) (limited to 'buch/papers/parzyl/teil2.tex') diff --git a/buch/papers/parzyl/teil2.tex b/buch/papers/parzyl/teil2.tex index f0b5c34..e6a7e28 100644 --- a/buch/papers/parzyl/teil2.tex +++ b/buch/papers/parzyl/teil2.tex @@ -23,6 +23,7 @@ Die parabolischen Zylinderkoordinaten tauchen auf, wenn man das elektrische Feld \label{parzyl:fig:leiterplatte_2d} \end{minipage} \end{figure} +Die Äquipotentiallinien sind dabei rot dargestellt und die des elektrischen Feldes sind grün. Die semi-infinite Platte ist in blau dargestellt. Das dies so ist kann im Zweidimensionalen mit Hilfe von komplexen Funktionen gezeigt werden. Die Platte ist dann nur eine Halbgerade, was man in Abbildung \ref{parzyl:fig:leiterplatte_2d} sieht. -- cgit v1.2.1 From 8b79b30b55c44b0bbf7cc484c7eb2c5f7e273088 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: tschwall <55748566+tschwall@users.noreply.github.com> Date: Fri, 19 Aug 2022 14:36:18 +0200 Subject: Updated Paper --- buch/papers/parzyl/teil2.tex | 2 +- 1 file changed, 1 insertion(+), 1 deletion(-) (limited to 'buch/papers/parzyl/teil2.tex') diff --git a/buch/papers/parzyl/teil2.tex b/buch/papers/parzyl/teil2.tex index e6a7e28..5ba9de8 100644 --- a/buch/papers/parzyl/teil2.tex +++ b/buch/papers/parzyl/teil2.tex @@ -23,7 +23,7 @@ Die parabolischen Zylinderkoordinaten tauchen auf, wenn man das elektrische Feld \label{parzyl:fig:leiterplatte_2d} \end{minipage} \end{figure} -Die Äquipotentiallinien sind dabei rot dargestellt und die des elektrischen Feldes sind grün. Die semi-infinite Platte ist in blau dargestellt. +Die Äquipotentiallinien sind dabei in rot ,die des elektrischen Feldes in grün und semi-infinite Platte ist in blau dargestellt. Das dies so ist kann im Zweidimensionalen mit Hilfe von komplexen Funktionen gezeigt werden. Die Platte ist dann nur eine Halbgerade, was man in Abbildung \ref{parzyl:fig:leiterplatte_2d} sieht. -- cgit v1.2.1 From 1d82e0588b95188264168223fd0337529e88acf0 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: Alain Date: Sat, 20 Aug 2022 12:10:36 +0200 Subject: =?UTF-8?q?koordinatensystem=20=C3=A4nderungen?= MIME-Version: 1.0 Content-Type: text/plain; charset=UTF-8 Content-Transfer-Encoding: 8bit --- buch/papers/parzyl/teil2.tex | 24 +++++++++++++++++------- 1 file changed, 17 insertions(+), 7 deletions(-) (limited to 'buch/papers/parzyl/teil2.tex') diff --git a/buch/papers/parzyl/teil2.tex b/buch/papers/parzyl/teil2.tex index 5ba9de8..fbe5711 100644 --- a/buch/papers/parzyl/teil2.tex +++ b/buch/papers/parzyl/teil2.tex @@ -108,21 +108,31 @@ Dies kann umgeformt werden zu Die Äquipotentialflächen können nun betrachtet werden, indem man die Funktion, welche das Potential beschreibt, gleich eine Konstante setzt, \begin{equation} - \sigma = U(x,y) = \sqrt{\frac{\sqrt{x^2+y^2} + x}{2}}. +% \sigma = U(x,y) = \sqrt{\frac{\sqrt{x^2+y^2} + x}{2}}. + c_1 = U(x,y) = \sqrt{\frac{\sqrt{x^2+y^2} + x}{2}}. \end{equation} Die Flächen mit der gleichen elektrischen Feldstärke können als \begin{equation} - \tau = V(x,y) = \sqrt{\frac{\sqrt{x^2+y^2} - x}{2}} +% \tau = V(x,y) = \sqrt{\frac{\sqrt{x^2+y^2} - x}{2}} + c_2 = V(x,y) = \sqrt{\frac{\sqrt{x^2+y^2} - x}{2}} \end{equation} beschrieben werden. Diese zwei Gleichungen zeigen nun, wie man vom kartesischen Koordinatensystem ins parabolische Zylinderkoordinatensystem kommt. - - +%Werden diese Formeln nun nach $x$ und $y$ aufgelöst +%\begin{equation} +% x = \sigma \tau, +%\end{equation} +%\begin{equation} +% y = \frac{1}{2}\left ( \tau^2 - \sigma^2 \right ), +%\end{equation} +%so beschreibe sie, wie man aus dem parabolischen Zylinderkoordinatensystem zurück ins kartesische rechnen kann. Werden diese Formeln nun nach $x$ und $y$ aufgelöst \begin{equation} - x = \sigma \tau, + x = c_1^2 - c_2^2 , \end{equation} \begin{equation} - y = \frac{1}{2}\left ( \tau^2 - \sigma^2 \right ), + y = 2c_1 c_2, \end{equation} -so beschreibe sie, wie man aus dem parabolischen Zylinderkoordinatensystem zurück ins kartesische rechnen kann. \ No newline at end of file +so beschreibe sie mit $c_1 = \tau \sqrt{2}$ und $c_2 = \sigma \sqrt{2}$ die Beziehung +zwischen dem parabolischen Zylinderkoordinatensystem und dem kartesischen Koordinatensystem. + -- cgit v1.2.1 From db498caa668ca8d0fa3e51de0f3668a47325d2e5 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: Alain Date: Sat, 20 Aug 2022 12:16:00 +0200 Subject: align --- buch/papers/parzyl/teil2.tex | 12 +++++------- 1 file changed, 5 insertions(+), 7 deletions(-) (limited to 'buch/papers/parzyl/teil2.tex') diff --git a/buch/papers/parzyl/teil2.tex b/buch/papers/parzyl/teil2.tex index fbe5711..ab0e971 100644 --- a/buch/papers/parzyl/teil2.tex +++ b/buch/papers/parzyl/teil2.tex @@ -127,12 +127,10 @@ kartesischen Koordinatensystem ins parabolische Zylinderkoordinatensystem kommt. %\end{equation} %so beschreibe sie, wie man aus dem parabolischen Zylinderkoordinatensystem zurück ins kartesische rechnen kann. Werden diese Formeln nun nach $x$ und $y$ aufgelöst -\begin{equation} - x = c_1^2 - c_2^2 , -\end{equation} -\begin{equation} - y = 2c_1 c_2, -\end{equation} -so beschreibe sie mit $c_1 = \tau \sqrt{2}$ und $c_2 = \sigma \sqrt{2}$ die Beziehung +\begin{align} + x &= c_1^2 - c_2^2 ,\\ + y &= 2c_1 c_2, +\end{align} +so beschreiben sie mit $c_1 = \tau \sqrt{2}$ und $c_2 = \sigma \sqrt{2}$ die Beziehung zwischen dem parabolischen Zylinderkoordinatensystem und dem kartesischen Koordinatensystem. -- cgit v1.2.1 From d2cb5860b83b16ef466a23473e8366a686ce20f7 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: Alain Date: Sat, 20 Aug 2022 12:23:30 +0200 Subject: jetz aber --- buch/papers/parzyl/teil2.tex | 2 +- 1 file changed, 1 insertion(+), 1 deletion(-) (limited to 'buch/papers/parzyl/teil2.tex') diff --git a/buch/papers/parzyl/teil2.tex b/buch/papers/parzyl/teil2.tex index ab0e971..0cf4283 100644 --- a/buch/papers/parzyl/teil2.tex +++ b/buch/papers/parzyl/teil2.tex @@ -131,6 +131,6 @@ Werden diese Formeln nun nach $x$ und $y$ aufgelöst x &= c_1^2 - c_2^2 ,\\ y &= 2c_1 c_2, \end{align} -so beschreiben sie mit $c_1 = \tau \sqrt{2}$ und $c_2 = \sigma \sqrt{2}$ die Beziehung +so beschreiben sie mit $\tau = c_1 \sqrt{2}$ und $\sigma = c_2 \sqrt{2}$ die Beziehung zwischen dem parabolischen Zylinderkoordinatensystem und dem kartesischen Koordinatensystem. -- cgit v1.2.1