From 8664c5cb874029c45314c18d1d1b0d2be4bb5a9c Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: tschwall <55748566+tschwall@users.noreply.github.com>
Date: Sat, 13 Aug 2022 14:22:36 +0200
Subject: Added Part 3

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 buch/papers/parzyl/teil2.tex | 31 ++++++++++++++++++++-----------
 1 file changed, 20 insertions(+), 11 deletions(-)

(limited to 'buch/papers/parzyl/teil2.tex')

diff --git a/buch/papers/parzyl/teil2.tex b/buch/papers/parzyl/teil2.tex
index 3f890d0..aaea42b 100644
--- a/buch/papers/parzyl/teil2.tex
+++ b/buch/papers/parzyl/teil2.tex
@@ -11,10 +11,10 @@
 \subsection{Elektrisches Feld einer semi-infiniten Platte
 \label{parzyl:subsection:bonorum}}
 Die parabolischen Zylinderkoordinaten tauchen auf, wenn man das elektrische Feld einer semi-infiniten Platte finden will.
-Das dies so ist kann im zwei Dimensionalen mit Hilfe von komplexen Funktionen gezeigt werden. Wobei die Platte dann nur eine Linie ist.
+Das dies so ist kann im zwei Dimensionalen mit Hilfe von komplexen Funktionen gezeigt werden. Die Platte ist dann nur eine Linie, was man in Abbildung TODO sieht.
 Jede komplexe Funktion $F(z)$ kann geschrieben werden als
 \begin{equation}
-	F(z) = U(x,y) + iV(x,y) \qquad z \in \mathbb{C}; x,y \in \mathbb{R}.
+	F(s) = U(x,y) + iV(x,y) \qquad s \in \mathbb{C}; x,y \in \mathbb{R}.
 \end{equation}  
 Dabei muss gelten, falls die Funktion differenzierbar ist, dass
 \begin{equation}
@@ -35,7 +35,7 @@ Aus dieser Bedingung folgt
 	\frac{\partial^2 U(x,y)}{\partial y^2}
 	=
 	0
-	}_{\nabla^2U(x,y)=0}
+	}_{\displaystyle{\nabla^2U(x,y)=0}}
 	\qquad
 	\underbrace{
 	\frac{\partial^2 V(x,y)}{\partial x^2}
@@ -43,26 +43,35 @@ Aus dieser Bedingung folgt
 	\frac{\partial^2 V(x,y)}{\partial y^2}
 	=
 	0
-	}_{\nabla^2V(x,y) = 0}.
+	}_{\displaystyle{\nabla^2V(x,y) = 0}}.
 \end{equation}
-Zusätzlich zeigen diese Bedingungen auch, dass die zwei Funktionen $U(x,y)$ und $V(x,y)$ orthogonal zueinander sind.
+Zusätzlich kann auch gezeigt werden, dass die Funktion $F(z)$ eine winkeltreue Abbildung ist. 
 Der Zusammenhang zum elektrischen Feld ist jetzt, dass das Potential an einem quellenfreien Punkt gegeben ist als 
 \begin{equation}
 	\nabla^2\phi(x,y) = 0.
 \end{equation}
-Da dies bei komplexen differenzierbaren Funktionen gilt, wie Gleichung \ref{parzyl_e_feld_zweite_ab} zeigt, kann entweder $U(x,y)$ oder $V(x,y)$ von einer solchen Funktion als das Potential angesehen werden. Im weiteren wird für das Potential $U(x,y)$ verwendet.  
-Da die Funktion, welche nicht das Potential beschreibt, in weiteren angenommen als $V(x,y)$, orthogonal zum Potential ist, zeigt dies das Verhalten des elektrischen Feldes.
-Um nun zu den parabolische Zylinderkoordinaten zu gelangen muss nur noch eine geeignete komplexe Funktion $F(z)$ gefunden werden, welche eine semi-infinite Platte beschreiben kann. Man könnte natürlich auch nach anderen Funktionen suchen, welche andere Bedingungen erfüllen und würde dann auf andere Koordinatensysteme stossen. Die gesuchte Funktion in diesem Fall ist
+Dies ist eine Bedingung welche differenzierbare Funktionen, wie in Gleichung \ref{parzyl_e_feld_zweite_ab} gezeigt wird, bereits besitzen. 
+Nun kann zum Beispiel $U(x,y)$ als das Potential angeschaut werden
 \begin{equation}
-	F(z) 
+	\phi(x,y) = U(x,y).
+\end{equation}
+Orthogonal zum Potential ist das elektrische Feld
+\begin{equation}
+	E(x,y) = V(x,y).
+\end{equation}
+Um nun zu den parabolische Zylinderkoordinaten zu gelangen muss nur noch eine geeignete komplexe Funktion $F(s)$ gefunden werden, 
+welche eine semi-infinite Platte beschreiben kann.
+Die gesuchte Funktion in diesem Fall ist
+\begin{equation}
+	F(s) 
 	= 
-	\sqrt{z} 
+	\sqrt{s} 
 	= 
 	\sqrt{x + iy}.
 \end{equation}
 Dies kann umgeformt werden zu
 \begin{equation}
-	F(z) 
+	F(s) 
 	= 
 	\underbrace{\sqrt{\frac{\sqrt{x^2+y^2} + x}{2}}}_{U(x,y)} 
 	+ 
-- 
cgit v1.2.1


From 37be038856d46324ca0f036f486c73b48bc22e4c Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: tschwall <55748566+tschwall@users.noreply.github.com>
Date: Tue, 16 Aug 2022 22:24:51 +0200
Subject: Updated stuff

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 buch/papers/parzyl/teil2.tex | 13 ++++++++-----
 1 file changed, 8 insertions(+), 5 deletions(-)

(limited to 'buch/papers/parzyl/teil2.tex')

diff --git a/buch/papers/parzyl/teil2.tex b/buch/papers/parzyl/teil2.tex
index aaea42b..4af6860 100644
--- a/buch/papers/parzyl/teil2.tex
+++ b/buch/papers/parzyl/teil2.tex
@@ -5,12 +5,15 @@
 %
 \section{Anwendung in der Physik 
 \label{parzyl:section:teil2}}
-\rhead{Teil 2}
+\rhead{Anwendung in der Physik}
 
-
-\subsection{Elektrisches Feld einer semi-infiniten Platte
-\label{parzyl:subsection:bonorum}}
-Die parabolischen Zylinderkoordinaten tauchen auf, wenn man das elektrische Feld einer semi-infiniten Platte finden will.
+Die parabolischen Zylinderkoordinaten tauchen auf, wenn man das elektrische Feld einer semi-infiniten Platte, wie in Abbildung \ref{parzyl:fig:leiterplatte} gezeigt, finden will.
+\begin{figure}
+	 \centering
+	\includegraphics[width=0.9\textwidth]{papers/parzyl/img/plane.pdf}
+	\caption{Semi-infinite Leiterplatte}
+	\label{parzyl:fig:leiterplatte}
+\end{figure}
 Das dies so ist kann im zwei Dimensionalen mit Hilfe von komplexen Funktionen gezeigt werden. Die Platte ist dann nur eine Linie, was man in Abbildung TODO sieht.
 Jede komplexe Funktion $F(z)$ kann geschrieben werden als
 \begin{equation}
-- 
cgit v1.2.1


From 7cdb2904f851c326a4fd72b58491f3b8199620df Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: Alain <mceagle117@gmail.com>
Date: Thu, 18 Aug 2022 11:46:08 +0200
Subject: verbesserungen

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 buch/papers/parzyl/teil2.tex | 29 +++++++++++++++--------------
 1 file changed, 15 insertions(+), 14 deletions(-)

(limited to 'buch/papers/parzyl/teil2.tex')

diff --git a/buch/papers/parzyl/teil2.tex b/buch/papers/parzyl/teil2.tex
index 4af6860..573432a 100644
--- a/buch/papers/parzyl/teil2.tex
+++ b/buch/papers/parzyl/teil2.tex
@@ -19,7 +19,7 @@ Jede komplexe Funktion $F(z)$ kann geschrieben werden als
 \begin{equation}
 	F(s) = U(x,y) + iV(x,y) \qquad s \in \mathbb{C}; x,y \in \mathbb{R}.
 \end{equation}  
-Dabei muss gelten, falls die Funktion differenzierbar ist, dass
+Dabei müssen, falls die Funktion differenzierbar ist, die Cauchy-Riemann Differentialgleichungen 
 \begin{equation}
 	\frac{\partial U(x,y)}{\partial x} 
 	=
@@ -27,8 +27,9 @@ Dabei muss gelten, falls die Funktion differenzierbar ist, dass
 	\qquad
 	\frac{\partial V(x,y)}{\partial x}
 	=
-	-\frac{\partial U(x,y)}{\partial y}.
+	-\frac{\partial U(x,y)}{\partial y}
 \end{equation}
+gelten.
 Aus dieser Bedingung folgt 
 \begin{equation}
 	\label{parzyl_e_feld_zweite_ab}
@@ -53,7 +54,7 @@ Der Zusammenhang zum elektrischen Feld ist jetzt, dass das Potential an einem qu
 \begin{equation}
 	\nabla^2\phi(x,y) = 0.
 \end{equation}
-Dies ist eine Bedingung welche differenzierbare Funktionen, wie in Gleichung \ref{parzyl_e_feld_zweite_ab} gezeigt wird, bereits besitzen. 
+Dies ist eine Bedingung welche differenzierbare Funktionen, wie in Gleichung \eqref{parzyl_e_feld_zweite_ab} gezeigt wird, bereits besitzen. 
 Nun kann zum Beispiel $U(x,y)$ als das Potential angeschaut werden
 \begin{equation}
 	\phi(x,y) = U(x,y).
@@ -62,7 +63,8 @@ Orthogonal zum Potential ist das elektrische Feld
 \begin{equation}
 	E(x,y) = V(x,y).
 \end{equation}
-Um nun zu den parabolische Zylinderkoordinaten zu gelangen muss nur noch eine geeignete komplexe Funktion $F(s)$ gefunden werden, 
+Um nun zu den parabolische Zylinderkoordinaten zu gelangen muss nur noch eine geeignete 
+komplexe Funktion $F(s)$ gefunden werden, 
 welche eine semi-infinite Platte beschreiben kann.
 Die gesuchte Funktion in diesem Fall ist
 \begin{equation}
@@ -81,23 +83,22 @@ Dies kann umgeformt werden zu
 	i\underbrace{\sqrt{\frac{\sqrt{x^2+y^2} - x}{2}}}_{V(x,y)}
 	.
 \end{equation}
-Die Äquipotentialflächen können nun betrachtet werden, indem man die Funktion welche das Potential beschreibt gleich eine Konstante setzt,
+Die Äquipotentialflächen können nun betrachtet werden, 
+indem man die Funktion, welche das Potential beschreibt, gleich eine Konstante setzt,
 \begin{equation}
-	\sigma = U(x,y) = \sqrt{\frac{\sqrt{x^2+y^2} + x}{2}},
+	\sigma = U(x,y) = \sqrt{\frac{\sqrt{x^2+y^2} + x}{2}}.
 \end{equation}
-und die Flächen mit der gleichen elektrischen Feldstärke können als
+Die Flächen mit der gleichen elektrischen Feldstärke können als
 \begin{equation}
 	\tau = V(x,y) = \sqrt{\frac{\sqrt{x^2+y^2} - x}{2}}
 \end{equation}
-beschrieben werden. Diese zwei Gleichungen zeigen nun wie man vom kartesischen Koordinatensystem ins parabolische Zylinderkoordinatensystem kommt. Werden diese Formeln nun nach x und y aufgelöst so beschreibe sie, wie man aus dem parabolischen Zylinderkoordinatensystem zurück ins kartesische rechnen kann
+beschrieben werden. Diese zwei Gleichungen zeigen nun, wie man vom 
+kartesischen Koordinatensystem ins parabolische Zylinderkoordinatensystem kommt. 
+Werden diese Formeln nun nach $x$ und $y$ aufgelöst 
 \begin{equation}
 	x = \sigma \tau,
 \end{equation}
 \begin{equation}
-	y = \frac{1}{2}\left ( \tau^2 - \sigma^2 \right )
+	y = \frac{1}{2}\left ( \tau^2 - \sigma^2 \right ),
 \end{equation}
-
-
-
-
-
+so beschreibe sie, wie man aus dem parabolischen Zylinderkoordinatensystem zurück ins kartesische rechnen kann.
\ No newline at end of file
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cgit v1.2.1

