From 50f65a2a67b3574d5fbf162ee5951fc189f52319 Mon Sep 17 00:00:00 2001
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Date: Fri, 29 Jul 2022 13:43:08 +0200
Subject: Let the pain begin

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 buch/papers/parzyl/teil2.tex | 108 +++++++++++++++++++++++++++++++------------
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 \section{Physik sache 
 \label{parzyl:section:teil2}}
 \rhead{Teil 2}
-Sed ut perspiciatis unde omnis iste natus error sit voluptatem
-accusantium doloremque laudantium, totam rem aperiam, eaque ipsa
-quae ab illo inventore veritatis et quasi architecto beatae vitae
-dicta sunt explicabo. Nemo enim ipsam voluptatem quia voluptas sit
-aspernatur aut odit aut fugit, sed quia consequuntur magni dolores
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-est, qui dolorem ipsum quia dolor sit amet, consectetur, adipisci
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-veniam, quis nostrum exercitationem ullam corporis suscipit laboriosam,
-nisi ut aliquid ex ea commodi consequatur? Quis autem vel eum iure
-reprehenderit qui in ea voluptate velit esse quam nihil molestiae
-consequatur, vel illum qui dolorem eum fugiat quo voluptas nulla
-pariatur?
-
-\subsection{De finibus bonorum et malorum
+
+
+\subsection{Elektrisches Feld einer semi-infiniten Platte
 \label{parzyl:subsection:bonorum}}
-At vero eos et accusamus et iusto odio dignissimos ducimus qui
-blanditiis praesentium voluptatum deleniti atque corrupti quos
-dolores et quas molestias excepturi sint occaecati cupiditate non
-provident, similique sunt in culpa qui officia deserunt mollitia
-animi, id est laborum et dolorum fuga. Et harum quidem rerum facilis
-est et expedita distinctio. Nam libero tempore, cum soluta nobis
-est eligendi optio cumque nihil impedit quo minus id quod maxime
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-consequatur aut perferendis doloribus asperiores repellat.
+Die parabolischen Zylinderkoordinaten tauchen auf, wenn man das elektrische Feld einer semi-infiniten Platte finden will. Das dies so ist kann mit Hilfe von komplexen Funktionen gezeigt werden. Jede komplexe Funktion $F(z)$, wie in  gezeigt, kann geschrieben werden als
+\begin{equation}
+	F(z) = U(x,y) + iV(x,y) \qquad z = x + iy.
+\end{equation}  
+Dabei muss gelten, falls die Funktion differenzierbar ist, dass
+\begin{equation}
+	\frac{\partial U(x,y)}{\partial x} 
+	=
+	\frac{\partial V(x,y)}{\partial y} 
+	\qquad
+	\frac{\partial V(x,y)}{\partial x}
+	=
+	-\frac{\partial U(x,y)}{\partial y}.
+\end{equation}
+Aus dieser Bedingung folgt 
+\begin{equation}
+	\label{parzyl_e_feld_zweite_ab}
+	\underbrace{
+	\frac{\partial^2 U(x,y)}{\partial x^2}
+	+ 
+	\frac{\partial^2 U(x,y)}{\partial y^2}
+	=
+	0
+	}_{\nabla^2U(x,y)=0}
+	\qquad
+	\underbrace{
+	\frac{\partial^2 V(x,y)}{\partial x^2}
+	+
+	\frac{\partial^2 V(x,y)}{\partial y^2}
+	=
+	0
+	}_{\nabla^2V(x,y) = 0}.
+\end{equation}
+Zusätzlich zeigen diese Bedingungen auch, dass die zwei Funktionen $U(x,y)$ und $V(x,y)$ orthogonal zueinander sind.
+Der Zusammenhang zum elektrischen Feld ist jetzt, dass das Potential an einem quellenfreien Punkt als 
+\begin{equation}
+	\nabla^2\phi(x,y) = 0.
+\end{equation}
+Da dies bei komplexen differenzierbaren Funktionen gilt, wie Gleichung \ref{parzyl_e_feld_zweite_ab} zeigt, kann entweder $U(x,y)$ oder $V(x,y)$ von einer solchen Funktion als das Potential angesehen werden. Im weiteren wird für dies $U(x,y)$ verwendet.  
+Da die Funktion, welche nicht das Potential beschreibt $V(x,y)$ orthogonal zum Potential ist, zeigt diese das Verhalten des elektrischen Feldes.
+Um nun zu den parabolische Zylinderkoordinaten zu gelangen muss nur noch eine geeignete komplexe Funktion $F(z)$ gefunden werden, welche eine semi-infinite Platte beschreiben kann. Man könnte natürlich auch nach anderen Funktionen suchen, welche andere Bedingungen erfüllen und würde dann auf andere Koordinatensysteme stossen. Die gesuchte Funktion in diesem Fall ist
+\begin{equation}
+	F(z) 
+	= 
+	\sqrt{z} 
+	= 
+	\sqrt{x + iy}.
+\end{equation}
+Dies kann umgeformt werden zu
+\begin{equation}
+	F(z) 
+	= 
+	\underbrace{\sqrt{\frac{\sqrt{x^2+y^2} + x}{2}}}_{U(x,y)} 
+	+ 
+	i\underbrace{\sqrt{\frac{\sqrt{x^2+y^2} - x}{2}}}_{V(x,y)}
+	.
+\end{equation}
+Die Äquipotentialflächen können nun betrachtet werden, indem man die Funktion welche das Potential beschreibt gleich eine Konstante setzt,
+\begin{equation}
+	\sigma = U(x,y) = \sqrt{\frac{\sqrt{x^2+y^2} + x}{2}},
+\end{equation}
+und die Flächen mit der gleichen elektrischen Feldstärke können als
+\begin{equation}
+	\tau = V(x,y) = \sqrt{\frac{\sqrt{x^2+y^2} - x}{2}}
+\end{equation}
+beschrieben werden. Diese zwei Gleichungen zeigen nun wie man vom kartesischen Koordinatensystem ins parabolische Zylinderkoordinatensystem kommt. Werden diese Formeln nun nach x und y aufgelöst so beschreibe sie, wie man aus dem parabolischen Zylinderkoordinatensystem zurück ins kartesische rechnen kann
+\begin{equation}
+	x = \sigma \tau,
+\end{equation}
+\begin{equation}
+	y = \frac{1}{2}\left ( \tau^2 - \sigma^2 \right )
+\end{equation}
+
+
+
+
 
 
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cgit v1.2.1

