From 8664c5cb874029c45314c18d1d1b0d2be4bb5a9c Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: tschwall <55748566+tschwall@users.noreply.github.com>
Date: Sat, 13 Aug 2022 14:22:36 +0200
Subject: Added Part 3

---
 buch/papers/parzyl/teil3.tex | 78 ++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++--
 1 file changed, 76 insertions(+), 2 deletions(-)

(limited to 'buch/papers/parzyl/teil3.tex')

diff --git a/buch/papers/parzyl/teil3.tex b/buch/papers/parzyl/teil3.tex
index 4e44bd6..12b7519 100644
--- a/buch/papers/parzyl/teil3.tex
+++ b/buch/papers/parzyl/teil3.tex
@@ -3,6 +3,80 @@
 %
 % (c) 2020 Prof Dr Andreas Müller, Hochschule Rapperswil
 %
-\section{Teil 3
-\label{parzyl:section:teil3}}
+\section{Eigenschaften
+\label{parzyl:section:Eigenschaften}}
 \rhead{Teil 3}
+\subsection{Potenzreihenentwicklung
+	\label{parzyl:potenz}}
+Die parabolischen Zylinderfunktionen, welche in Gleichung \ref{parzyl:eq:solution_dgl} gegeben sind, können auch als Potenzreihen geschrieben werden
+\begin{align}
+	w_1(k,z)
+	&=  
+	e^{-z^2/4} \,
+	{}_{1} F_{1}
+	(
+	{\textstyle \frac{1}{4}} 
+	- k, {\textstyle \frac{1}{2}} ; {\textstyle \frac{1}{2}}z^2) 
+	= 
+	e^{-\frac{z^2}{4}}
+	\sum^{\infty}_{n=0}
+	\frac{\left ( \frac{1}{4} - k \right )_{n}}{\left ( \frac{1}{2}\right )_{n}}
+	\frac{\left ( \frac{1}{2} z^2\right )^n}{n!} \\
+	&=
+	e^{-\frac{z^2}{4}}
+	\left ( 
+	1 
+	+
+	\left ( \frac{1}{2} - 2k \right )\frac{z^2}{2!}
+	+
+	\left ( \frac{1}{2} - 2k \right )\left ( \frac{5}{2} - 2k \right )\frac{z^4}{4!}  
+	+
+	\dots
+	\right )
+\end{align}
+und
+\begin{align}
+	w_2(k,z)
+	&=  
+	ze^{-z^2/4} \,
+	{}_{1} F_{1}
+	(
+	{\textstyle \frac{3}{4}} 
+	- k, {\textstyle \frac{3}{2}} ; {\textstyle \frac{1}{2}}z^2) 
+	= 
+	ze^{-\frac{z^2}{4}}
+	\sum^{\infty}_{n=0}
+	\frac{\left ( \frac{3}{4} - k \right )_{n}}{\left ( \frac{3}{2}\right )_{n}}
+	\frac{\left ( \frac{1}{2} z^2\right )^n}{n!} \\
+	&=
+	e^{-\frac{z^2}{4}}
+	\left ( 
+	z 
+	+
+	\left ( \frac{3}{2} - 2k \right )\frac{z^3}{3!}
+	+
+	\left ( \frac{3}{2} - 2k \right )\left ( \frac{7}{2} - 2k \right )\frac{z^5}{5!}  
+	+
+	\dots
+	\right ).
+\end{align}
+Bei den Potenzreihen sieht man gut, dass die Ordnung des Polynoms im generellen ins unendliche geht. Es gibt allerdings die Möglichkeit für bestimmte k das die Terme in der Klammer gleich null werden und das Polynom somit eine endliche Ordnung $n$ hat. Dies geschieht bei $w_1(k,z)$ falls
+\begin{equation}
+	k = \frac{1}{4} + n \qquad n \in \mathbb{N}_0
+\end{equation}
+und bei $w_2(k,z)$ falls
+\begin{equation}
+	k = \frac{3}{4} + n \qquad n \in \mathbb{N}_0.
+\end{equation}
+
+\subsection{Ableitung}
+Es kann gezeigt werden, dass die Ableitungen $\frac{\partial w_1(z,k)}{\partial z}$ und $\frac{\partial w_2(z,k)}{\partial z}$ einen Zusammenhang zwischen $w_1(z,k)$ und $w_2(z,k)$ zeigen. Die Ableitung von $w_1(z,k)$ nach $z$ kann über die Produktregel berechnet werden und ist gegeben als
+\begin{equation}
+	\frac{\partial w_1(z,k)}{\partial z} = \left (\frac{1}{2} - 2k \right ) w_2(z, k -\frac{1}{2}) - \frac{1}{2} z w_1(z,k),
+\end{equation} 
+und die Ableitung von $w_2(z,k)$ als
+\begin{equation}
+	\frac{\partial w_2(z,k)}{\partial z} = w_1(z, k -\frac{1}{2}) - \frac{1}{2} z w_2(z,k).
+\end{equation}
+Über diese Eigenschaft können einfach weitere Ableitungen berechnet werden. 
+
-- 
cgit v1.2.1


From 37be038856d46324ca0f036f486c73b48bc22e4c Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: tschwall <55748566+tschwall@users.noreply.github.com>
Date: Tue, 16 Aug 2022 22:24:51 +0200
Subject: Updated stuff

---
 buch/papers/parzyl/teil3.tex | 3 ++-
 1 file changed, 2 insertions(+), 1 deletion(-)

(limited to 'buch/papers/parzyl/teil3.tex')

diff --git a/buch/papers/parzyl/teil3.tex b/buch/papers/parzyl/teil3.tex
index 12b7519..972fd33 100644
--- a/buch/papers/parzyl/teil3.tex
+++ b/buch/papers/parzyl/teil3.tex
@@ -5,7 +5,8 @@
 %
 \section{Eigenschaften
 \label{parzyl:section:Eigenschaften}}
-\rhead{Teil 3}
+\rhead{Eigenschaften}
+
 \subsection{Potenzreihenentwicklung
 	\label{parzyl:potenz}}
 Die parabolischen Zylinderfunktionen, welche in Gleichung \ref{parzyl:eq:solution_dgl} gegeben sind, können auch als Potenzreihen geschrieben werden
-- 
cgit v1.2.1


From a8b82aafff82dbff739714d7009419a0015eebcf Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: Alain <mceagle117@gmail.com>
Date: Wed, 17 Aug 2022 23:41:00 +0200
Subject: =?UTF-8?q?n=C3=B6d=20ganz?=
MIME-Version: 1.0
Content-Type: text/plain; charset=UTF-8
Content-Transfer-Encoding: 8bit

---
 buch/papers/parzyl/teil3.tex | 39 +++++++++++++++++++++++----------------
 1 file changed, 23 insertions(+), 16 deletions(-)

(limited to 'buch/papers/parzyl/teil3.tex')

diff --git a/buch/papers/parzyl/teil3.tex b/buch/papers/parzyl/teil3.tex
index 972fd33..78950e1 100644
--- a/buch/papers/parzyl/teil3.tex
+++ b/buch/papers/parzyl/teil3.tex
@@ -9,41 +9,45 @@
 
 \subsection{Potenzreihenentwicklung
 	\label{parzyl:potenz}}
-Die parabolischen Zylinderfunktionen, welche in Gleichung \ref{parzyl:eq:solution_dgl} gegeben sind, können auch als Potenzreihen geschrieben werden
+%Die parabolischen Zylinderfunktionen, welche in Gleichung \ref{parzyl:eq:solution_dgl} gegeben sind, 
+%können auch als Potenzreihen geschrieben werden
+Die parabolischen Zylinderfunktionen können auch als Potenzreihen geschrieben werden.
+Im folgenden Abschnitt werden die Terme welche nur von $n$ oder $a$ abhängig sind vernachlässigt.
+Die parabolischen Zylinderfunktionen sind Linearkombinationen aus einem geraden Teil $w_1(\alpha, z)$ 
+und einem ungeraden Teil $w_2(\alpha, z)$, welche als Potenzreihe
 \begin{align}
-	w_1(k,z)
+	w_1(\alpha,z)
 	&=  
 	e^{-z^2/4} \,
 	{}_{1} F_{1}
 	(
-	{\textstyle \frac{1}{4}} 
-	- k, {\textstyle \frac{1}{2}} ; {\textstyle \frac{1}{2}}z^2) 
+	\alpha, {\textstyle \frac{1}{2}} ; {\textstyle \frac{1}{2}}z^2) 
 	= 
 	e^{-\frac{z^2}{4}}
 	\sum^{\infty}_{n=0}
-	\frac{\left ( \frac{1}{4} - k \right )_{n}}{\left ( \frac{1}{2}\right )_{n}}
+	\frac{\left ( \alpha \right )_{n}}{\left ( \frac{1}{2}\right )_{n}}
 	\frac{\left ( \frac{1}{2} z^2\right )^n}{n!} \\
 	&=
 	e^{-\frac{z^2}{4}}
 	\left ( 
 	1 
 	+
-	\left ( \frac{1}{2} - 2k \right )\frac{z^2}{2!}
+	\left ( 2\alpha \right )\frac{z^2}{2!}
 	+
-	\left ( \frac{1}{2} - 2k \right )\left ( \frac{5}{2} - 2k \right )\frac{z^4}{4!}  
+	\left ( 2\alpha \right )\left ( 2 + 2\alpha \right )\frac{z^4}{4!}  
 	+
 	\dots
 	\right )
 \end{align}
 und
 \begin{align}
-	w_2(k,z)
+	w_2(\alpha,z)
 	&=  
 	ze^{-z^2/4} \,
 	{}_{1} F_{1}
 	(
-	{\textstyle \frac{3}{4}} 
-	- k, {\textstyle \frac{3}{2}} ; {\textstyle \frac{1}{2}}z^2) 
+	{\textstyle \frac{1}{2}} 
+	+ \alpha, {\textstyle \frac{3}{2}} ; {\textstyle \frac{1}{2}}z^2) 
 	= 
 	ze^{-\frac{z^2}{4}}
 	\sum^{\infty}_{n=0}
@@ -54,20 +58,23 @@ und
 	\left ( 
 	z 
 	+
-	\left ( \frac{3}{2} - 2k \right )\frac{z^3}{3!}
+	\left ( 1 + 2\alpha \right )\frac{z^3}{3!}
 	+
-	\left ( \frac{3}{2} - 2k \right )\left ( \frac{7}{2} - 2k \right )\frac{z^5}{5!}  
+	\left ( 1 + 2\alpha \right )\left ( 3 + 2\alpha \right )\frac{z^5}{5!}  
 	+
 	\dots
 	\right ).
 \end{align}
-Bei den Potenzreihen sieht man gut, dass die Ordnung des Polynoms im generellen ins unendliche geht. Es gibt allerdings die Möglichkeit für bestimmte k das die Terme in der Klammer gleich null werden und das Polynom somit eine endliche Ordnung $n$ hat. Dies geschieht bei $w_1(k,z)$ falls
+sind.
+Bei den Potenzreihen sieht man gut, dass die Ordnung des Polynoms im generellen ins unendliche geht. 
+Es gibt allerdings die Möglichkeit für bestimmte $\alpha$ das die Terme in der Klammer gleich null werden 
+und das Polynom somit eine endliche Ordnung $n$ hat. Dies geschieht bei $w_1(\alpha,z)$ falls
 \begin{equation}
-	k = \frac{1}{4} + n \qquad n \in \mathbb{N}_0
+	\alpha =  -n \qquad n \in \mathbb{N}_0
 \end{equation}
-und bei $w_2(k,z)$ falls
+und bei $w_2(\alpha,z)$ falls
 \begin{equation}
-	k = \frac{3}{4} + n \qquad n \in \mathbb{N}_0.
+	\alpha = -\frac{1}{2} - n \qquad n \in \mathbb{N}_0.
 \end{equation}
 
 \subsection{Ableitung}
-- 
cgit v1.2.1


From a5bf03e77ac18012b8608ba6b3c46c301d66528c Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: Alain <mceagle117@gmail.com>
Date: Thu, 18 Aug 2022 09:47:52 +0200
Subject: ableitung

---
 buch/papers/parzyl/teil3.tex | 21 ++++++++++++++++-----
 1 file changed, 16 insertions(+), 5 deletions(-)

(limited to 'buch/papers/parzyl/teil3.tex')

diff --git a/buch/papers/parzyl/teil3.tex b/buch/papers/parzyl/teil3.tex
index 78950e1..b68229f 100644
--- a/buch/papers/parzyl/teil3.tex
+++ b/buch/papers/parzyl/teil3.tex
@@ -78,13 +78,24 @@ und bei $w_2(\alpha,z)$ falls
 \end{equation}
 
 \subsection{Ableitung}
-Es kann gezeigt werden, dass die Ableitungen $\frac{\partial w_1(z,k)}{\partial z}$ und $\frac{\partial w_2(z,k)}{\partial z}$ einen Zusammenhang zwischen $w_1(z,k)$ und $w_2(z,k)$ zeigen. Die Ableitung von $w_1(z,k)$ nach $z$ kann über die Produktregel berechnet werden und ist gegeben als
+Die Ableitungen $\frac{\partial w_1(z,k)}{\partial z}$ und $\frac{\partial w_2(z,k)}{\partial z}$ 
+können mit den Eigenschaften der hypergeometrischen Funktionen in Abschnitt 
+\ref{buch:rekursion:hypergeometrisch:stammableitung} berechnet werden. 
+Zusammen mit der Produktregel ergeben sich die Ableitungen
 \begin{equation}
-	\frac{\partial w_1(z,k)}{\partial z} = \left (\frac{1}{2} - 2k \right ) w_2(z, k -\frac{1}{2}) - \frac{1}{2} z w_1(z,k),
+	\frac{\partial w_1(\alpha,z)}{\partial z} = 2\alpha w_2(\alpha + \frac{1}{2}, z) - \frac{1}{2} z w_1(\alpha, z),
 \end{equation} 
-und die Ableitung von $w_2(z,k)$ als
+und
+%\begin{equation}
+%	\frac{\partial w_2(z,k)}{\partial z} = w_1(z, k -\frac{1}{2}) - \frac{1}{2} z w_2(z,k).
+%\end{equation}
 \begin{equation}
-	\frac{\partial w_2(z,k)}{\partial z} = w_1(z, k -\frac{1}{2}) - \frac{1}{2} z w_2(z,k).
+	\frac{\partial w_2(\alpha,z)}{\partial z} = e^{-z^2/4} \left(
+		z^{-1} w_2(\alpha, z) - \frac{z}{2} w_2(\alpha, z) + 2 z^2 \left(\frac{\alpha + 1}{3}\right)
+		{}_{1} F_{1} (
+	{\textstyle \frac{3}{2}} 
+	+ \alpha, {\textstyle \frac{5}{2}} ; {\textstyle \frac{1}{2}}z^2)
+	\right)
 \end{equation}
-Über diese Eigenschaft können einfach weitere Ableitungen berechnet werden. 
+Nach dem selben Vorgehen können weitere Ableitungen berechnet werden.
 
-- 
cgit v1.2.1


From 7cdb2904f851c326a4fd72b58491f3b8199620df Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: Alain <mceagle117@gmail.com>
Date: Thu, 18 Aug 2022 11:46:08 +0200
Subject: verbesserungen

---
 buch/papers/parzyl/teil3.tex | 61 +++++++++++++++++++++++---------------------
 1 file changed, 32 insertions(+), 29 deletions(-)

(limited to 'buch/papers/parzyl/teil3.tex')

diff --git a/buch/papers/parzyl/teil3.tex b/buch/papers/parzyl/teil3.tex
index b68229f..166eebf 100644
--- a/buch/papers/parzyl/teil3.tex
+++ b/buch/papers/parzyl/teil3.tex
@@ -13,88 +13,91 @@
 %können auch als Potenzreihen geschrieben werden
 Die parabolischen Zylinderfunktionen können auch als Potenzreihen geschrieben werden.
 Im folgenden Abschnitt werden die Terme welche nur von $n$ oder $a$ abhängig sind vernachlässigt.
-Die parabolischen Zylinderfunktionen sind Linearkombinationen aus einem geraden Teil $w_1(\alpha, z)$ 
-und einem ungeraden Teil $w_2(\alpha, z)$, welche als Potenzreihe
+Die parabolischen Zylinderfunktionen sind Linearkombinationen aus einem geraden Teil $w_1(\alpha, x)$ 
+und einem ungeraden Teil $w_2(\alpha, x)$, welche als Potenzreihe
 \begin{align}
-	w_1(\alpha,z)
+	w_1(\alpha,x)
 	&=  
-	e^{-z^2/4} \,
+	e^{-x^2/4} \,
 	{}_{1} F_{1}
 	(
-	\alpha, {\textstyle \frac{1}{2}} ; {\textstyle \frac{1}{2}}z^2) 
+	\alpha, {\textstyle \frac{1}{2}} ; {\textstyle \frac{1}{2}}x^2) 
 	= 
-	e^{-\frac{z^2}{4}}
+	e^{-\frac{x^2}{4}}
 	\sum^{\infty}_{n=0}
 	\frac{\left ( \alpha \right )_{n}}{\left ( \frac{1}{2}\right )_{n}}
-	\frac{\left ( \frac{1}{2} z^2\right )^n}{n!} \\
+	\frac{\left ( \frac{1}{2} x^2\right )^n}{n!} \\
 	&=
-	e^{-\frac{z^2}{4}}
+	e^{-\frac{x^2}{4}}
 	\left ( 
 	1 
 	+
-	\left ( 2\alpha \right )\frac{z^2}{2!}
+	\left ( 2\alpha \right )\frac{x^2}{2!}
 	+
-	\left ( 2\alpha \right )\left ( 2 + 2\alpha \right )\frac{z^4}{4!}  
+	\left ( 2\alpha \right )\left ( 2 + 2\alpha \right )\frac{x^4}{4!}  
 	+
 	\dots
 	\right )
 \end{align}
 und
 \begin{align}
-	w_2(\alpha,z)
+	w_2(\alpha,x)
 	&=  
-	ze^{-z^2/4} \,
+	xe^{-x^2/4} \,
 	{}_{1} F_{1}
 	(
 	{\textstyle \frac{1}{2}} 
-	+ \alpha, {\textstyle \frac{3}{2}} ; {\textstyle \frac{1}{2}}z^2) 
+	+ \alpha, {\textstyle \frac{3}{2}} ; {\textstyle \frac{1}{2}}x^2) 
 	= 
-	ze^{-\frac{z^2}{4}}
+	xe^{-\frac{x^2}{4}}
 	\sum^{\infty}_{n=0}
 	\frac{\left ( \frac{3}{4} - k \right )_{n}}{\left ( \frac{3}{2}\right )_{n}}
-	\frac{\left ( \frac{1}{2} z^2\right )^n}{n!} \\
+	\frac{\left ( \frac{1}{2} x^2\right )^n}{n!} \\
 	&=
-	e^{-\frac{z^2}{4}}
+	e^{-\frac{x^2}{4}}
 	\left ( 
-	z 
+	x 
 	+
-	\left ( 1 + 2\alpha \right )\frac{z^3}{3!}
+	\left ( 1 + 2\alpha \right )\frac{x^3}{3!}
 	+
-	\left ( 1 + 2\alpha \right )\left ( 3 + 2\alpha \right )\frac{z^5}{5!}  
+	\left ( 1 + 2\alpha \right )\left ( 3 + 2\alpha \right )\frac{x^5}{5!}  
 	+
 	\dots
-	\right ).
+	\right )
 \end{align}
 sind.
-Bei den Potenzreihen sieht man gut, dass die Ordnung des Polynoms im generellen ins unendliche geht. 
+Die Potenzreihen sind in der regel unendliche Reihen. 
 Es gibt allerdings die Möglichkeit für bestimmte $\alpha$ das die Terme in der Klammer gleich null werden 
-und das Polynom somit eine endliche Ordnung $n$ hat. Dies geschieht bei $w_1(\alpha,z)$ falls
+und die Reihe somit eine endliche Anzahl $n$ Summanden hat.
+Dies geschieht bei $w_1(\alpha,x)$ falls
 \begin{equation}
 	\alpha =  -n \qquad n \in \mathbb{N}_0
 \end{equation}
-und bei $w_2(\alpha,z)$ falls
+und bei $w_2(\alpha,x)$ falls
 \begin{equation}
 	\alpha = -\frac{1}{2} - n \qquad n \in \mathbb{N}_0.
 \end{equation}
-
+Der Wert des von $\alpha$ ist abhängig, ob man $D_n(x)$ oder $U(a,x)$ / $V(a,x)$ verwendet.
+Bei $D_n(x)$ gilt $\alpha = -{\textstyle \frac{1}{2}} n$ und bei $U(a,z)$ oder $V(a,x)$ gilt 
+$\alpha = {\textstyle \frac{1}{2}} a + {\textstyle \frac{1}{4}}$.
 \subsection{Ableitung}
-Die Ableitungen $\frac{\partial w_1(z,k)}{\partial z}$ und $\frac{\partial w_2(z,k)}{\partial z}$ 
+Die Ableitungen $\frac{\partial w_1(\alpha, x)}{\partial x}$ und $\frac{\partial w_2(\alpha, x)}{\partial x}$ 
 können mit den Eigenschaften der hypergeometrischen Funktionen in Abschnitt 
 \ref{buch:rekursion:hypergeometrisch:stammableitung} berechnet werden. 
 Zusammen mit der Produktregel ergeben sich die Ableitungen
 \begin{equation}
-	\frac{\partial w_1(\alpha,z)}{\partial z} = 2\alpha w_2(\alpha + \frac{1}{2}, z) - \frac{1}{2} z w_1(\alpha, z),
+	\frac{\partial w_1(\alpha,x)}{\partial x} = 2\alpha w_2(\alpha + \frac{1}{2}, x) - \frac{1}{2} x w_1(\alpha, x),
 \end{equation} 
 und
 %\begin{equation}
 %	\frac{\partial w_2(z,k)}{\partial z} = w_1(z, k -\frac{1}{2}) - \frac{1}{2} z w_2(z,k).
 %\end{equation}
 \begin{equation}
-	\frac{\partial w_2(\alpha,z)}{\partial z} = e^{-z^2/4} \left(
-		z^{-1} w_2(\alpha, z) - \frac{z}{2} w_2(\alpha, z) + 2 z^2 \left(\frac{\alpha + 1}{3}\right)
+	\frac{\partial w_2(\alpha,x)}{\partial x} = e^{-x^2/4} \left(
+		x^{-1} w_2(\alpha, x) - \frac{x}{2} w_2(\alpha, x) + 2 x^2 \left(\frac{\alpha + 1}{3}\right)
 		{}_{1} F_{1} (
 	{\textstyle \frac{3}{2}} 
-	+ \alpha, {\textstyle \frac{5}{2}} ; {\textstyle \frac{1}{2}}z^2)
+	+ \alpha, {\textstyle \frac{5}{2}} ; {\textstyle \frac{1}{2}}x^2)
 	\right)
 \end{equation}
 Nach dem selben Vorgehen können weitere Ableitungen berechnet werden.
-- 
cgit v1.2.1


From aea9cc922545bd617166b89edc353c2c2f180106 Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: Alain <mceagle117@gmail.com>
Date: Thu, 18 Aug 2022 22:14:37 +0200
Subject: verbesserungen

---
 buch/papers/parzyl/teil3.tex | 10 +++++-----
 1 file changed, 5 insertions(+), 5 deletions(-)

(limited to 'buch/papers/parzyl/teil3.tex')

diff --git a/buch/papers/parzyl/teil3.tex b/buch/papers/parzyl/teil3.tex
index 166eebf..6432905 100644
--- a/buch/papers/parzyl/teil3.tex
+++ b/buch/papers/parzyl/teil3.tex
@@ -12,9 +12,9 @@
 %Die parabolischen Zylinderfunktionen, welche in Gleichung \ref{parzyl:eq:solution_dgl} gegeben sind, 
 %können auch als Potenzreihen geschrieben werden
 Die parabolischen Zylinderfunktionen können auch als Potenzreihen geschrieben werden.
-Im folgenden Abschnitt werden die Terme welche nur von $n$ oder $a$ abhängig sind vernachlässigt.
+In diesem Abschnitt werden die Terme welche nur von $n$ oder $a$ abhängig sind vernachlässigt.
 Die parabolischen Zylinderfunktionen sind Linearkombinationen aus einem geraden Teil $w_1(\alpha, x)$ 
-und einem ungeraden Teil $w_2(\alpha, x)$, welche als Potenzreihe
+und einem ungeraden Teil $w_2(\alpha, x)$, welche als Potenzreihen
 \begin{align}
 	w_1(\alpha,x)
 	&=  
@@ -67,9 +67,9 @@ und
 \end{align}
 sind.
 Die Potenzreihen sind in der regel unendliche Reihen. 
-Es gibt allerdings die Möglichkeit für bestimmte $\alpha$ das die Terme in der Klammer gleich null werden 
+Es gibt allerdings die Möglichkeit, dass für bestimmte $\alpha$ die Terme in der Klammer gleich null werden 
 und die Reihe somit eine endliche Anzahl $n$ Summanden hat.
-Dies geschieht bei $w_1(\alpha,x)$ falls
+Dies geschieht bei $w_1(\alpha,x)$, falls
 \begin{equation}
 	\alpha =  -n \qquad n \in \mathbb{N}_0
 \end{equation}
@@ -77,7 +77,7 @@ und bei $w_2(\alpha,x)$ falls
 \begin{equation}
 	\alpha = -\frac{1}{2} - n \qquad n \in \mathbb{N}_0.
 \end{equation}
-Der Wert des von $\alpha$ ist abhängig, ob man $D_n(x)$ oder $U(a,x)$ / $V(a,x)$ verwendet.
+Der Wert von $\alpha$ ist abhängig, ob man $D_n(x)$ oder $U(a,x)$ / $V(a,x)$ verwendet.
 Bei $D_n(x)$ gilt $\alpha = -{\textstyle \frac{1}{2}} n$ und bei $U(a,z)$ oder $V(a,x)$ gilt 
 $\alpha = {\textstyle \frac{1}{2}} a + {\textstyle \frac{1}{4}}$.
 \subsection{Ableitung}
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cgit v1.2.1


From aa2fec29136fb8eebab30b6c7bdd96917c58a298 Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: Alain <mceagle117@gmail.com>
Date: Fri, 19 Aug 2022 08:47:28 +0200
Subject: verbesserungen

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 buch/papers/parzyl/teil3.tex | 8 ++++----
 1 file changed, 4 insertions(+), 4 deletions(-)

(limited to 'buch/papers/parzyl/teil3.tex')

diff --git a/buch/papers/parzyl/teil3.tex b/buch/papers/parzyl/teil3.tex
index 6432905..1b59ed9 100644
--- a/buch/papers/parzyl/teil3.tex
+++ b/buch/papers/parzyl/teil3.tex
@@ -12,8 +12,8 @@
 %Die parabolischen Zylinderfunktionen, welche in Gleichung \ref{parzyl:eq:solution_dgl} gegeben sind, 
 %können auch als Potenzreihen geschrieben werden
 Die parabolischen Zylinderfunktionen können auch als Potenzreihen geschrieben werden.
-In diesem Abschnitt werden die Terme welche nur von $n$ oder $a$ abhängig sind vernachlässigt.
-Die parabolischen Zylinderfunktionen sind Linearkombinationen aus einem geraden Teil $w_1(\alpha, x)$ 
+Parabolische Zylinderfunktionen sind Linearkombinationen 
+$A(\alpha)w_1(\alpha, x) + B(\alpha)w_2(\alpha, x)$ aus einem geraden Teil $w_1(\alpha, x)$ 
 und einem ungeraden Teil $w_2(\alpha, x)$, welche als Potenzreihen
 \begin{align}
 	w_1(\alpha,x)
@@ -51,7 +51,7 @@ und
 	= 
 	xe^{-\frac{x^2}{4}}
 	\sum^{\infty}_{n=0}
-	\frac{\left ( \frac{3}{4} - k \right )_{n}}{\left ( \frac{3}{2}\right )_{n}}
+	\frac{\left ( \frac{1}{2} + \alpha \right )_{n}}{\left ( \frac{3}{2}\right )_{n}}
 	\frac{\left ( \frac{1}{2} x^2\right )^n}{n!} \\
 	&=
 	e^{-\frac{x^2}{4}}
@@ -77,7 +77,7 @@ und bei $w_2(\alpha,x)$ falls
 \begin{equation}
 	\alpha = -\frac{1}{2} - n \qquad n \in \mathbb{N}_0.
 \end{equation}
-Der Wert von $\alpha$ ist abhängig, ob man $D_n(x)$ oder $U(a,x)$ / $V(a,x)$ verwendet.
+Der Wert von $\alpha$ ist abhängig, ob man $D_n(x)$, $U(a,x)$ oder $V(a,x)$ verwendet.
 Bei $D_n(x)$ gilt $\alpha = -{\textstyle \frac{1}{2}} n$ und bei $U(a,z)$ oder $V(a,x)$ gilt 
 $\alpha = {\textstyle \frac{1}{2}} a + {\textstyle \frac{1}{4}}$.
 \subsection{Ableitung}
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