From d80e30b37d3b51fc4d47229fb3e88610fbc7a476 Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: haddoucher <reda.haddouche@ost.ch>
Date: Mon, 22 Aug 2022 14:43:20 +0200
Subject: neuste Version

---
 buch/papers/parzyl/teil3.tex | 102 +++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++--
 1 file changed, 99 insertions(+), 3 deletions(-)

(limited to 'buch/papers/parzyl/teil3.tex')

diff --git a/buch/papers/parzyl/teil3.tex b/buch/papers/parzyl/teil3.tex
index 4e44bd6..166eebf 100644
--- a/buch/papers/parzyl/teil3.tex
+++ b/buch/papers/parzyl/teil3.tex
@@ -3,6 +3,102 @@
 %
 % (c) 2020 Prof Dr Andreas Müller, Hochschule Rapperswil
 %
-\section{Teil 3
-\label{parzyl:section:teil3}}
-\rhead{Teil 3}
+\section{Eigenschaften
+\label{parzyl:section:Eigenschaften}}
+\rhead{Eigenschaften}
+
+\subsection{Potenzreihenentwicklung
+	\label{parzyl:potenz}}
+%Die parabolischen Zylinderfunktionen, welche in Gleichung \ref{parzyl:eq:solution_dgl} gegeben sind, 
+%können auch als Potenzreihen geschrieben werden
+Die parabolischen Zylinderfunktionen können auch als Potenzreihen geschrieben werden.
+Im folgenden Abschnitt werden die Terme welche nur von $n$ oder $a$ abhängig sind vernachlässigt.
+Die parabolischen Zylinderfunktionen sind Linearkombinationen aus einem geraden Teil $w_1(\alpha, x)$ 
+und einem ungeraden Teil $w_2(\alpha, x)$, welche als Potenzreihe
+\begin{align}
+	w_1(\alpha,x)
+	&=  
+	e^{-x^2/4} \,
+	{}_{1} F_{1}
+	(
+	\alpha, {\textstyle \frac{1}{2}} ; {\textstyle \frac{1}{2}}x^2) 
+	= 
+	e^{-\frac{x^2}{4}}
+	\sum^{\infty}_{n=0}
+	\frac{\left ( \alpha \right )_{n}}{\left ( \frac{1}{2}\right )_{n}}
+	\frac{\left ( \frac{1}{2} x^2\right )^n}{n!} \\
+	&=
+	e^{-\frac{x^2}{4}}
+	\left ( 
+	1 
+	+
+	\left ( 2\alpha \right )\frac{x^2}{2!}
+	+
+	\left ( 2\alpha \right )\left ( 2 + 2\alpha \right )\frac{x^4}{4!}  
+	+
+	\dots
+	\right )
+\end{align}
+und
+\begin{align}
+	w_2(\alpha,x)
+	&=  
+	xe^{-x^2/4} \,
+	{}_{1} F_{1}
+	(
+	{\textstyle \frac{1}{2}} 
+	+ \alpha, {\textstyle \frac{3}{2}} ; {\textstyle \frac{1}{2}}x^2) 
+	= 
+	xe^{-\frac{x^2}{4}}
+	\sum^{\infty}_{n=0}
+	\frac{\left ( \frac{3}{4} - k \right )_{n}}{\left ( \frac{3}{2}\right )_{n}}
+	\frac{\left ( \frac{1}{2} x^2\right )^n}{n!} \\
+	&=
+	e^{-\frac{x^2}{4}}
+	\left ( 
+	x 
+	+
+	\left ( 1 + 2\alpha \right )\frac{x^3}{3!}
+	+
+	\left ( 1 + 2\alpha \right )\left ( 3 + 2\alpha \right )\frac{x^5}{5!}  
+	+
+	\dots
+	\right )
+\end{align}
+sind.
+Die Potenzreihen sind in der regel unendliche Reihen. 
+Es gibt allerdings die Möglichkeit für bestimmte $\alpha$ das die Terme in der Klammer gleich null werden 
+und die Reihe somit eine endliche Anzahl $n$ Summanden hat.
+Dies geschieht bei $w_1(\alpha,x)$ falls
+\begin{equation}
+	\alpha =  -n \qquad n \in \mathbb{N}_0
+\end{equation}
+und bei $w_2(\alpha,x)$ falls
+\begin{equation}
+	\alpha = -\frac{1}{2} - n \qquad n \in \mathbb{N}_0.
+\end{equation}
+Der Wert des von $\alpha$ ist abhängig, ob man $D_n(x)$ oder $U(a,x)$ / $V(a,x)$ verwendet.
+Bei $D_n(x)$ gilt $\alpha = -{\textstyle \frac{1}{2}} n$ und bei $U(a,z)$ oder $V(a,x)$ gilt 
+$\alpha = {\textstyle \frac{1}{2}} a + {\textstyle \frac{1}{4}}$.
+\subsection{Ableitung}
+Die Ableitungen $\frac{\partial w_1(\alpha, x)}{\partial x}$ und $\frac{\partial w_2(\alpha, x)}{\partial x}$ 
+können mit den Eigenschaften der hypergeometrischen Funktionen in Abschnitt 
+\ref{buch:rekursion:hypergeometrisch:stammableitung} berechnet werden. 
+Zusammen mit der Produktregel ergeben sich die Ableitungen
+\begin{equation}
+	\frac{\partial w_1(\alpha,x)}{\partial x} = 2\alpha w_2(\alpha + \frac{1}{2}, x) - \frac{1}{2} x w_1(\alpha, x),
+\end{equation} 
+und
+%\begin{equation}
+%	\frac{\partial w_2(z,k)}{\partial z} = w_1(z, k -\frac{1}{2}) - \frac{1}{2} z w_2(z,k).
+%\end{equation}
+\begin{equation}
+	\frac{\partial w_2(\alpha,x)}{\partial x} = e^{-x^2/4} \left(
+		x^{-1} w_2(\alpha, x) - \frac{x}{2} w_2(\alpha, x) + 2 x^2 \left(\frac{\alpha + 1}{3}\right)
+		{}_{1} F_{1} (
+	{\textstyle \frac{3}{2}} 
+	+ \alpha, {\textstyle \frac{5}{2}} ; {\textstyle \frac{1}{2}}x^2)
+	\right)
+\end{equation}
+Nach dem selben Vorgehen können weitere Ableitungen berechnet werden.
+
-- 
cgit v1.2.1

