From 3db5682b70a73baec580d839e5f9e1cc909bd5fb Mon Sep 17 00:00:00 2001
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Date: Fri, 29 Jul 2022 16:39:19 +0200
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 buch/papers/parzyl/teil3.tex | 98 --------------------------------------------
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 \section{Teil 3
 \label{parzyl:section:teil3}}
 \rhead{Teil 3}
-\subsection{Helmholtz Gleichung im parabolischen Zylinderkoordinatensystem
-\label{parzyl:subsection:malorum}}
-Die Differentialgleichungen, welche zu den parabolischen Zylinderfunktionen führen tauchen, wie bereits erwähnt, dann auf, wenn die Helmholtz Gleichung
-\begin{equation}
-	\Delta f(x,y,z) = \lambda f(x,y,z) 
-\end{equation}
-im parabolischen Zylinderkoordinatensystem
-\begin{equation}
-	\Delta f(\sigma,\tau,z) = \lambda f(\sigma,\tau,z) 
-\end{equation}
-gelöst wird.
-Wobei der Laplace Operator $\Delta$ im parabolischen Zylinderkoordinatensystem gegeben ist als
-\begin{equation}
-	\nabla 
-	= 
-	\frac{1}{\sigma^2 + \tau^2}
-	\left ( 
-	\frac{\partial^2}{\partial \sigma^2} 
-	+ 
-	\frac{\partial^2}{\partial \tau^2}
-	\right )
-	+ 
-	\frac{\partial^2}{\partial z^2}.
-\end{equation}
-Die Helmholtz Gleichung würde also wie folgt lauten
-\begin{equation}
-	\nabla f(\sigma, \tau, z)
-	=
-	\frac{1}{\sigma^2 + \tau^2}
-	\left ( 
-	\frac{\partial^2 f(\sigma,\tau,z)}{\partial \sigma^2} 
-	+ 
-	\frac{\partial^2 f(\sigma,\tau,z)}{\partial \tau^2}
-	\right )
-	+ 
-	\frac{\partial^2 f(\sigma,\tau,z)}{\partial z^2}
-	= 
-	\lambda f(\sigma,\tau,z)
-\end{equation}
-Diese partielle Differentialgleichung kann mit Hilfe von Separation gelöst werden, dazu wird 
-\begin{equation}
-	f(\sigma,\tau,z) = g(\sigma)h(\tau)i(z)
-\end{equation}
-gesetzt. 
-Was dann schlussendlich zu den Differentialgleichungen 
-\begin{equation}\label{parzyl_sep_dgl_1}
-	g''(\sigma) 
-	- 
-	\left (
-	\lambda\sigma^2
-	+
-	\mu 
-	\right )
-	g(\sigma)
-	=
-	0,
-\end{equation}
-\begin{equation}\label{parzyl_sep_dgl_2}
-	h''(\tau) 
-	- 
-	\left (
-	\lambda\tau^2
-	-
-	\mu 
-	\right )
-	h(\tau)
-	=
-	0
-\end{equation}
-und
-\begin{equation}\label{parzyl_sep_dgl_3}
-	i''(z) 
-	+
-	\left (
-	\lambda
-	+
-	\mu 
-	\right )
-	i(\tau)
-	=
-	0
-\end{equation}
-führt.
-Wobei die Lösung von \ref{parzyl_sep_dgl_3}
-\begin{equation}
-	i(z) 
-	= 
-	A\cos{ 
-		\left ( 
-		\sqrt{\lambda + \mu}z
-		\right )}
-	+
-	B\sin{ 
-		\left ( 
-		\sqrt{\lambda + \mu}z
-		\right )}
-\end{equation}
-ist und \ref{parzyl_sep_dgl_1} und \ref{parzyl_sep_dgl_2} die sogenannten Weberschen Differentialgleichungen sind, welche die parabolischen Zylinder Funktionen als Lösung haben.
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cgit v1.2.1

