From 3dd42149bf496fe5cca749e69f839c2f6ab888a7 Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: tschwall <55748566+tschwall@users.noreply.github.com>
Date: Fri, 19 Aug 2022 11:10:07 +0200
Subject: Corrected errors

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 buch/papers/parzyl/img/Plane_2D.png | Bin 99330 -> 209118 bytes
 buch/papers/parzyl/teil2.tex        |  27 ++++++++++++++++++++-------
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index 7c32877..f55e3cf 100644
Binary files a/buch/papers/parzyl/img/Plane_2D.png and b/buch/papers/parzyl/img/Plane_2D.png differ
diff --git a/buch/papers/parzyl/teil2.tex b/buch/papers/parzyl/teil2.tex
index d37c650..f0b5c34 100644
--- a/buch/papers/parzyl/teil2.tex
+++ b/buch/papers/parzyl/teil2.tex
@@ -12,7 +12,7 @@ Die parabolischen Zylinderkoordinaten tauchen auf, wenn man das elektrische Feld
 	\centering
 	\begin{minipage}{.7\textwidth}
 		 \centering
-		\includegraphics[width=\textwidth]{papers/parzyl/img/plane.pdf}
+		\includegraphics[width=\textwidth]{papers/parzyl/images/halfplane.pdf}
 		\caption{Semi-infinite Leiterplatte}
 		\label{parzyl:fig:leiterplatte}
 	\end{minipage}%
@@ -23,11 +23,12 @@ Die parabolischen Zylinderkoordinaten tauchen auf, wenn man das elektrische Feld
 	\label{parzyl:fig:leiterplatte_2d}
 	\end{minipage}
 \end{figure}
-Das dies so ist kann im zwei Dimensionalen mit Hilfe von komplexen Funktionen gezeigt werden. Die Platte ist dann nur eine Linie, was man in Abbildung \ref{parzyl:fig:leiterplatte_2d} sieht.
+Das dies so ist kann im Zweidimensionalen mit Hilfe von komplexen Funktionen gezeigt werden. Die Platte ist dann nur eine Halbgerade, was man in Abbildung \ref{parzyl:fig:leiterplatte_2d} sieht.
+
 
 Jede komplexe Funktion $F(z)$ kann geschrieben werden als
 \begin{equation}
-	F(s) = U(x,y) + iV(x,y) \qquad s \in \mathbb{C}; x,y \in \mathbb{R}.
+	F(s) = U(x,y) + iV(x,y) \quad s = x + iy \qquad s \in \mathbb{C}; x,y \in \mathbb{R}.
 \end{equation}  
 Dabei müssen, falls die Funktion differenzierbar ist, die Cauchy-Riemann Differentialgleichungen 
 \begin{equation}
@@ -59,23 +60,31 @@ Aus dieser Bedingung folgt
 	0
 	}_{\displaystyle{\nabla^2V(x,y) = 0}}.
 \end{equation}
-Zusätzlich kann auch gezeigt werden, dass die Funktion $F(z)$ eine winkeltreue Abbildung ist. 
+Zusätzlich kann auch gezeigt werden, dass die Funktion $F(z)$ eine winkeltreue Abbildung ist.
+
+ 
 Der Zusammenhang zum elektrischen Feld ist jetzt, dass das Potential an einem quellenfreien Punkt gegeben ist als 
 \begin{equation}
 	\nabla^2\phi(x,y) = 0.
 \end{equation}
-Dies ist eine Bedingung welche differenzierbare Funktionen, wie in Gleichung \eqref{parzyl_e_feld_zweite_ab} gezeigt wird, bereits besitzen. 
+Dies ist eine Bedingung, welche differenzierbare Funktionen, wie in Gleichung \eqref{parzyl_e_feld_zweite_ab} gezeigt wird, bereits besitzen. 
+
+
 Nun kann zum Beispiel $U(x,y)$ als das Potential angeschaut werden
 \begin{equation}
 	\phi(x,y) = U(x,y).
 \end{equation}
-Orthogonal zum Potential ist das elektrische Feld
+Orthogonal zu den Äquipotenzialfläche sind die Feldlinien des elektrische Feld
 \begin{equation}
 	E(x,y) = V(x,y).
 \end{equation}
+
+
 Um nun zu den parabolische Zylinderkoordinaten zu gelangen muss nur noch eine geeignete 
 komplexe Funktion $F(s)$ gefunden werden, 
 welche eine semi-infinite Platte beschreiben kann.
+
+
 Die gesuchte Funktion in diesem Fall ist
 \begin{equation}
 	F(s) 
@@ -93,6 +102,8 @@ Dies kann umgeformt werden zu
 	i\underbrace{\sqrt{\frac{\sqrt{x^2+y^2} - x}{2}}}_{V(x,y)}
 	.
 \end{equation}
+
+
 Die Äquipotentialflächen können nun betrachtet werden, 
 indem man die Funktion, welche das Potential beschreibt, gleich eine Konstante setzt,
 \begin{equation}
@@ -103,7 +114,9 @@ Die Flächen mit der gleichen elektrischen Feldstärke können als
 	\tau = V(x,y) = \sqrt{\frac{\sqrt{x^2+y^2} - x}{2}}
 \end{equation}
 beschrieben werden. Diese zwei Gleichungen zeigen nun, wie man vom 
-kartesischen Koordinatensystem ins parabolische Zylinderkoordinatensystem kommt. 
+kartesischen Koordinatensystem ins parabolische Zylinderkoordinatensystem kommt.
+
+ 
 Werden diese Formeln nun nach $x$ und $y$ aufgelöst 
 \begin{equation}
 	x = \sigma \tau,
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