From c73e95e3b92f7e4552e24466e4de956ec5ce2d16 Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: Alain <mceagle117@gmail.com>
Date: Fri, 26 Aug 2022 11:07:32 +0200
Subject: final?
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buch/papers/parzyl/teil0.tex | 2 +-
buch/papers/parzyl/teil1.tex | 5 ++++-
buch/papers/parzyl/teil2.tex | 4 ++--
buch/papers/parzyl/teil3.tex | 15 ++++++++++-----
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(limited to 'buch/papers/parzyl')
diff --git a/buch/papers/parzyl/teil0.tex b/buch/papers/parzyl/teil0.tex
index eb1a152..e6d27b9 100644
--- a/buch/papers/parzyl/teil0.tex
+++ b/buch/papers/parzyl/teil0.tex
@@ -202,7 +202,7 @@ Mit dem Laplace Operator aus \eqref{parzyl:eq:laplaceInParZylCor} lautet die Hel
=
\lambda f(\sigma,\tau,z).
\end{equation}
-Diese partielle Differentialgleichung kann mit Hilfe von Separation gelöst werden, dazu wird
+Diese partielle Differentialgleichung kann mit Hilfe von Separation gelöst werden. Dazu wird
\begin{equation}
f(\sigma,\tau,z) = g(\sigma)h(\tau)i(z)
\end{equation}
diff --git a/buch/papers/parzyl/teil1.tex b/buch/papers/parzyl/teil1.tex
index e6a55b2..1f9db85 100644
--- a/buch/papers/parzyl/teil1.tex
+++ b/buch/papers/parzyl/teil1.tex
@@ -6,7 +6,10 @@
\section{Lösung
\label{parzyl:section:teil1}}
\rhead{Lösung}
-\subsection{Lösung harmonischer Oszillator}
+Zur Lösung der Helmholtz-Gleichung müssen erst die Lösungen der separierten
+Differentialgleichungen \eqref{parzyl:sep_dgl_1} bis \eqref{parzyl:sep_dgl_3}
+gefunden werden.
+\subsection{Lösung der Schwingungsgleichung \eqref{parzyl:sep_dgl_3}}
\eqref{parzyl:sep_dgl_3} beschriebt einen ungedämpften harmonischen Oszillator.
Die Lösung ist somit
\begin{equation}
diff --git a/buch/papers/parzyl/teil2.tex b/buch/papers/parzyl/teil2.tex
index 1b63c8e..705dbef 100644
--- a/buch/papers/parzyl/teil2.tex
+++ b/buch/papers/parzyl/teil2.tex
@@ -14,7 +14,7 @@
Die parabolischen Zylinderfunktionen können auch als Potenzreihen geschrieben werden.
Parabolische Zylinderfunktionen sind Linearkombinationen
$A(\alpha)w_1(\alpha, x) + B(\alpha)w_2(\alpha, x)$ aus einem geraden Teil $w_1(\alpha, x)$
-und einem ungeraden Teil $w_2(\alpha, x)$, welche als Potenzreihen
+und einem ungeraden Teil $w_2(\alpha, x)$, welche als Potenzreihen geschrieben
\begin{align}
w_1(\alpha,x)
&=
@@ -75,7 +75,7 @@ Dies geschieht bei $w_1(\alpha,x)$, falls
\begin{equation}
\alpha = -n \qquad n \in \mathbb{N}_0
% \sigma = U(x,y) = \sqrt{\frac{\sqrt{x^2+y^2} + x}{2}}.
- c_1 = U(x,y) = \sqrt{\frac{\sqrt{x^2+y^2} + x}{2}}.
+% c_1 = U(x,y) = \sqrt{\frac{\sqrt{x^2+y^2} + x}{2}}.
\end{equation}
und bei $w_2(\alpha,x)$ falls
\begin{equation}
diff --git a/buch/papers/parzyl/teil3.tex b/buch/papers/parzyl/teil3.tex
index 12c28fe..4176b55 100644
--- a/buch/papers/parzyl/teil3.tex
+++ b/buch/papers/parzyl/teil3.tex
@@ -15,8 +15,9 @@ Die parabolischen Zylinderkoordinaten tauchen auf, wenn man das elektrische Feld
\caption{Semi-infinite Leiterplatte}
\label{parzyl:fig:leiterplatte}
\end{figure}
-Die Äquipotentiallinien sind dabei in rot ,die des elektrischen Feldes in grün und semi-infinite Platte ist in blau dargestellt.
-Das dies so ist kann im Zweidimensionalen mit Hilfe von komplexen Funktionen gezeigt werden. Die Platte ist dann nur eine Halbgerade, was man in Abbildung \ref{parzyl:fig:leiterplatte_2d} sieht.
+Die Äquipotentiallinien sind dabei in rot, die des elektrischen Feldes in grün und
+semi-infinite Platte ist in blau dargestellt.
+Das dies so ist, kann im Zweidimensionalen mit Hilfe von komplexen Funktionen gezeigt werden. Die Platte ist dann nur eine Halbgerade, was man in Abbildung \ref{parzyl:fig:leiterplatte_2d} sieht.
\begin{figure}
\centering
\includegraphics[width=0.6\textwidth]{papers/parzyl/img/Plane_2D.png}
@@ -95,9 +96,9 @@ Dies kann umgeformt werden zu
\begin{equation}
F(s)
=
- \underbrace{\sqrt{\frac{\sqrt{x^2+y^2} + x}{2}}}_{U(x,y)}
+ \underbrace{\sqrt{\frac{\sqrt{x^2+y^2} + x}{2}}}_{\displaystyle{U(x,y)}}
+
- i\underbrace{\sqrt{\frac{\sqrt{x^2+y^2} - x}{2}}}_{V(x,y)}
+ i\underbrace{\sqrt{\frac{\sqrt{x^2+y^2} - x}{2}}}_{\displaystyle{V(x,y)}}
.
\end{equation}
@@ -143,7 +144,11 @@ Werden diese Formeln nun nach $x$ und $y$ aufgelöst
so beschreiben sie mit $\tau = c_1 \sqrt{2}$ und $\sigma = c_2 \sqrt{2}$ die Beziehung
zwischen dem parabolischen Zylinderkoordinatensystem und dem kartesischen Koordinatensystem.
-Nun wurde gezeigt wieso sich das parabolische Zylinderkoordinatensystem am besten eignet um das Potential und das elektrische Feld einer semi-infiniten Leiterplatte zu beschreien. Falls man nun die Helmholtz-Gleichung in diesem Bereich lösen müsste, da man zum Beispiel am Verhalten einer elektromagnetischne Welle in der Nähe der Platte interessiert wäre, so würde man auf die parabolischen Zylinderfunktionen kommen.
+Nun wurde gezeigt, wieso sich das parabolische Zylinderkoordinatensystem am besten eignet, um
+das Potential und das elektrische Feld einer semi-infiniten Leiterplatte zu beschreiben.
+Um die Helmholtz-Gleichung in diesem Bereich zu lösen,
+da man zum Beispiel am Verhalten einer elektromagnetische Welle in der Nähe
+der Platte interessiert ist, kann man jetzt die parabolischen Zylinderfunktionen verwenden.
%Werden diese Formeln nun nach $x$ und $y$ aufgelöst
%\begin{equation}
% x = \sigma \tau,
--
cgit v1.2.1