From c73e95e3b92f7e4552e24466e4de956ec5ce2d16 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: Alain Date: Fri, 26 Aug 2022 11:07:32 +0200 Subject: final? --- buch/papers/parzyl/teil0.tex | 2 +- buch/papers/parzyl/teil1.tex | 5 ++++- buch/papers/parzyl/teil2.tex | 4 ++-- buch/papers/parzyl/teil3.tex | 15 ++++++++++----- 4 files changed, 17 insertions(+), 9 deletions(-) (limited to 'buch/papers/parzyl') diff --git a/buch/papers/parzyl/teil0.tex b/buch/papers/parzyl/teil0.tex index eb1a152..e6d27b9 100644 --- a/buch/papers/parzyl/teil0.tex +++ b/buch/papers/parzyl/teil0.tex @@ -202,7 +202,7 @@ Mit dem Laplace Operator aus \eqref{parzyl:eq:laplaceInParZylCor} lautet die Hel = \lambda f(\sigma,\tau,z). \end{equation} -Diese partielle Differentialgleichung kann mit Hilfe von Separation gelöst werden, dazu wird +Diese partielle Differentialgleichung kann mit Hilfe von Separation gelöst werden. Dazu wird \begin{equation} f(\sigma,\tau,z) = g(\sigma)h(\tau)i(z) \end{equation} diff --git a/buch/papers/parzyl/teil1.tex b/buch/papers/parzyl/teil1.tex index e6a55b2..1f9db85 100644 --- a/buch/papers/parzyl/teil1.tex +++ b/buch/papers/parzyl/teil1.tex @@ -6,7 +6,10 @@ \section{Lösung \label{parzyl:section:teil1}} \rhead{Lösung} -\subsection{Lösung harmonischer Oszillator} +Zur Lösung der Helmholtz-Gleichung müssen erst die Lösungen der separierten +Differentialgleichungen \eqref{parzyl:sep_dgl_1} bis \eqref{parzyl:sep_dgl_3} +gefunden werden. +\subsection{Lösung der Schwingungsgleichung \eqref{parzyl:sep_dgl_3}} \eqref{parzyl:sep_dgl_3} beschriebt einen ungedämpften harmonischen Oszillator. Die Lösung ist somit \begin{equation} diff --git a/buch/papers/parzyl/teil2.tex b/buch/papers/parzyl/teil2.tex index 1b63c8e..705dbef 100644 --- a/buch/papers/parzyl/teil2.tex +++ b/buch/papers/parzyl/teil2.tex @@ -14,7 +14,7 @@ Die parabolischen Zylinderfunktionen können auch als Potenzreihen geschrieben werden. Parabolische Zylinderfunktionen sind Linearkombinationen $A(\alpha)w_1(\alpha, x) + B(\alpha)w_2(\alpha, x)$ aus einem geraden Teil $w_1(\alpha, x)$ -und einem ungeraden Teil $w_2(\alpha, x)$, welche als Potenzreihen +und einem ungeraden Teil $w_2(\alpha, x)$, welche als Potenzreihen geschrieben \begin{align} w_1(\alpha,x) &= @@ -75,7 +75,7 @@ Dies geschieht bei $w_1(\alpha,x)$, falls \begin{equation} \alpha = -n \qquad n \in \mathbb{N}_0 % \sigma = U(x,y) = \sqrt{\frac{\sqrt{x^2+y^2} + x}{2}}. - c_1 = U(x,y) = \sqrt{\frac{\sqrt{x^2+y^2} + x}{2}}. +% c_1 = U(x,y) = \sqrt{\frac{\sqrt{x^2+y^2} + x}{2}}. \end{equation} und bei $w_2(\alpha,x)$ falls \begin{equation} diff --git a/buch/papers/parzyl/teil3.tex b/buch/papers/parzyl/teil3.tex index 12c28fe..4176b55 100644 --- a/buch/papers/parzyl/teil3.tex +++ b/buch/papers/parzyl/teil3.tex @@ -15,8 +15,9 @@ Die parabolischen Zylinderkoordinaten tauchen auf, wenn man das elektrische Feld \caption{Semi-infinite Leiterplatte} \label{parzyl:fig:leiterplatte} \end{figure} -Die Äquipotentiallinien sind dabei in rot ,die des elektrischen Feldes in grün und semi-infinite Platte ist in blau dargestellt. -Das dies so ist kann im Zweidimensionalen mit Hilfe von komplexen Funktionen gezeigt werden. Die Platte ist dann nur eine Halbgerade, was man in Abbildung \ref{parzyl:fig:leiterplatte_2d} sieht. +Die Äquipotentiallinien sind dabei in rot, die des elektrischen Feldes in grün und +semi-infinite Platte ist in blau dargestellt. +Das dies so ist, kann im Zweidimensionalen mit Hilfe von komplexen Funktionen gezeigt werden. Die Platte ist dann nur eine Halbgerade, was man in Abbildung \ref{parzyl:fig:leiterplatte_2d} sieht. \begin{figure} \centering \includegraphics[width=0.6\textwidth]{papers/parzyl/img/Plane_2D.png} @@ -95,9 +96,9 @@ Dies kann umgeformt werden zu \begin{equation} F(s) = - \underbrace{\sqrt{\frac{\sqrt{x^2+y^2} + x}{2}}}_{U(x,y)} + \underbrace{\sqrt{\frac{\sqrt{x^2+y^2} + x}{2}}}_{\displaystyle{U(x,y)}} + - i\underbrace{\sqrt{\frac{\sqrt{x^2+y^2} - x}{2}}}_{V(x,y)} + i\underbrace{\sqrt{\frac{\sqrt{x^2+y^2} - x}{2}}}_{\displaystyle{V(x,y)}} . \end{equation} @@ -143,7 +144,11 @@ Werden diese Formeln nun nach $x$ und $y$ aufgelöst so beschreiben sie mit $\tau = c_1 \sqrt{2}$ und $\sigma = c_2 \sqrt{2}$ die Beziehung zwischen dem parabolischen Zylinderkoordinatensystem und dem kartesischen Koordinatensystem. -Nun wurde gezeigt wieso sich das parabolische Zylinderkoordinatensystem am besten eignet um das Potential und das elektrische Feld einer semi-infiniten Leiterplatte zu beschreien. Falls man nun die Helmholtz-Gleichung in diesem Bereich lösen müsste, da man zum Beispiel am Verhalten einer elektromagnetischne Welle in der Nähe der Platte interessiert wäre, so würde man auf die parabolischen Zylinderfunktionen kommen. +Nun wurde gezeigt, wieso sich das parabolische Zylinderkoordinatensystem am besten eignet, um +das Potential und das elektrische Feld einer semi-infiniten Leiterplatte zu beschreiben. +Um die Helmholtz-Gleichung in diesem Bereich zu lösen, +da man zum Beispiel am Verhalten einer elektromagnetische Welle in der Nähe +der Platte interessiert ist, kann man jetzt die parabolischen Zylinderfunktionen verwenden. %Werden diese Formeln nun nach $x$ und $y$ aufgelöst %\begin{equation} % x = \sigma \tau, -- cgit v1.2.1