From cb815146f12661f320a771464c5083e5196bb783 Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: tschwall <55748566+tschwall@users.noreply.github.com>
Date: Thu, 18 Aug 2022 16:51:08 +0200
Subject: Added graphic
---
buch/papers/parzyl/img/Plane_2D.png | Bin 0 -> 99330 bytes
buch/papers/parzyl/teil2.tex | 20 +++++++++++++++-----
2 files changed, 15 insertions(+), 5 deletions(-)
create mode 100644 buch/papers/parzyl/img/Plane_2D.png
(limited to 'buch/papers/parzyl')
diff --git a/buch/papers/parzyl/img/Plane_2D.png b/buch/papers/parzyl/img/Plane_2D.png
new file mode 100644
index 0000000..7c32877
Binary files /dev/null and b/buch/papers/parzyl/img/Plane_2D.png differ
diff --git a/buch/papers/parzyl/teil2.tex b/buch/papers/parzyl/teil2.tex
index 573432a..d37c650 100644
--- a/buch/papers/parzyl/teil2.tex
+++ b/buch/papers/parzyl/teil2.tex
@@ -9,12 +9,22 @@
Die parabolischen Zylinderkoordinaten tauchen auf, wenn man das elektrische Feld einer semi-infiniten Platte, wie in Abbildung \ref{parzyl:fig:leiterplatte} gezeigt, finden will.
\begin{figure}
- \centering
- \includegraphics[width=0.9\textwidth]{papers/parzyl/img/plane.pdf}
- \caption{Semi-infinite Leiterplatte}
- \label{parzyl:fig:leiterplatte}
+ \centering
+ \begin{minipage}{.7\textwidth}
+ \centering
+ \includegraphics[width=\textwidth]{papers/parzyl/img/plane.pdf}
+ \caption{Semi-infinite Leiterplatte}
+ \label{parzyl:fig:leiterplatte}
+ \end{minipage}%
+ \begin{minipage}{.25\textwidth}
+ \centering
+ \includegraphics[width=\textwidth]{papers/parzyl/img/Plane_2D.png}
+ \caption{Semi-infinite Leiterplatte dargestellt in 2D}
+ \label{parzyl:fig:leiterplatte_2d}
+ \end{minipage}
\end{figure}
-Das dies so ist kann im zwei Dimensionalen mit Hilfe von komplexen Funktionen gezeigt werden. Die Platte ist dann nur eine Linie, was man in Abbildung TODO sieht.
+Das dies so ist kann im zwei Dimensionalen mit Hilfe von komplexen Funktionen gezeigt werden. Die Platte ist dann nur eine Linie, was man in Abbildung \ref{parzyl:fig:leiterplatte_2d} sieht.
+
Jede komplexe Funktion $F(z)$ kann geschrieben werden als
\begin{equation}
F(s) = U(x,y) + iV(x,y) \qquad s \in \mathbb{C}; x,y \in \mathbb{R}.
--
cgit v1.2.1
From aea9cc922545bd617166b89edc353c2c2f180106 Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: Alain <mceagle117@gmail.com>
Date: Thu, 18 Aug 2022 22:14:37 +0200
Subject: verbesserungen
---
buch/papers/parzyl/teil1.tex | 12 ++++++------
buch/papers/parzyl/teil3.tex | 10 +++++-----
2 files changed, 11 insertions(+), 11 deletions(-)
(limited to 'buch/papers/parzyl')
diff --git a/buch/papers/parzyl/teil1.tex b/buch/papers/parzyl/teil1.tex
index 13d8109..2caabde 100644
--- a/buch/papers/parzyl/teil1.tex
+++ b/buch/papers/parzyl/teil1.tex
@@ -13,13 +13,13 @@ Die Lösung ist somit
i(z)
=
A\cos{
- \left (
- \sqrt{\lambda + \mu}z
+ \left ( z
+ \sqrt{\lambda + \mu}
\right )}
+
B\sin{
- \left (
- \sqrt{\lambda + \mu}z
+ \left ( z
+ \sqrt{\lambda + \mu}
\right )}.
\end{equation}
Die Differentialgleichungen \eqref{parzyl:sep_dgl_1} und \eqref{parzyl:sep_dgl_2} werden in \cite{parzyl:whittaker}
@@ -51,7 +51,7 @@ mit Hilfe der Whittaker Gleichung gelöst.
M_{k, -m} \left(x\right)
\end{equation*}
gehören zu den Whittaker Funktionen und sind Lösungen
- von der Whittaker Differentialgleichung
+ der Whittaker Differentialgleichung
\begin{equation}
\frac{d^2W}{d x^2} +
\biggl( -\frac{1}{4} + \frac{k}{x} + \frac{\frac{1}{4} - m^2}{x^2} \biggr) W = 0.
@@ -95,7 +95,7 @@ $w$ als Lösung haben.
% - k, {\textstyle \frac{3}{2}} ; {\textstyle \frac{1}{2}}z^2).
%\end{align}
-In der Literatur gibt es verschiedene Standartlösungen für
+In der Literatur gibt es verschiedene Standardlösungen für
\eqref{parzyl:eq:weberDiffEq}, wobei die Differentialgleichung jeweils
unterschiedlich geschrieben wird.
Whittaker und Watson zeigen in \cite{parzyl:whittaker} die Lösung
diff --git a/buch/papers/parzyl/teil3.tex b/buch/papers/parzyl/teil3.tex
index 166eebf..6432905 100644
--- a/buch/papers/parzyl/teil3.tex
+++ b/buch/papers/parzyl/teil3.tex
@@ -12,9 +12,9 @@
%Die parabolischen Zylinderfunktionen, welche in Gleichung \ref{parzyl:eq:solution_dgl} gegeben sind,
%können auch als Potenzreihen geschrieben werden
Die parabolischen Zylinderfunktionen können auch als Potenzreihen geschrieben werden.
-Im folgenden Abschnitt werden die Terme welche nur von $n$ oder $a$ abhängig sind vernachlässigt.
+In diesem Abschnitt werden die Terme welche nur von $n$ oder $a$ abhängig sind vernachlässigt.
Die parabolischen Zylinderfunktionen sind Linearkombinationen aus einem geraden Teil $w_1(\alpha, x)$
-und einem ungeraden Teil $w_2(\alpha, x)$, welche als Potenzreihe
+und einem ungeraden Teil $w_2(\alpha, x)$, welche als Potenzreihen
\begin{align}
w_1(\alpha,x)
&=
@@ -67,9 +67,9 @@ und
\end{align}
sind.
Die Potenzreihen sind in der regel unendliche Reihen.
-Es gibt allerdings die Möglichkeit für bestimmte $\alpha$ das die Terme in der Klammer gleich null werden
+Es gibt allerdings die Möglichkeit, dass für bestimmte $\alpha$ die Terme in der Klammer gleich null werden
und die Reihe somit eine endliche Anzahl $n$ Summanden hat.
-Dies geschieht bei $w_1(\alpha,x)$ falls
+Dies geschieht bei $w_1(\alpha,x)$, falls
\begin{equation}
\alpha = -n \qquad n \in \mathbb{N}_0
\end{equation}
@@ -77,7 +77,7 @@ und bei $w_2(\alpha,x)$ falls
\begin{equation}
\alpha = -\frac{1}{2} - n \qquad n \in \mathbb{N}_0.
\end{equation}
-Der Wert des von $\alpha$ ist abhängig, ob man $D_n(x)$ oder $U(a,x)$ / $V(a,x)$ verwendet.
+Der Wert von $\alpha$ ist abhängig, ob man $D_n(x)$ oder $U(a,x)$ / $V(a,x)$ verwendet.
Bei $D_n(x)$ gilt $\alpha = -{\textstyle \frac{1}{2}} n$ und bei $U(a,z)$ oder $V(a,x)$ gilt
$\alpha = {\textstyle \frac{1}{2}} a + {\textstyle \frac{1}{4}}$.
\subsection{Ableitung}
--
cgit v1.2.1
From aa2fec29136fb8eebab30b6c7bdd96917c58a298 Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: Alain <mceagle117@gmail.com>
Date: Fri, 19 Aug 2022 08:47:28 +0200
Subject: verbesserungen
---
buch/papers/parzyl/teil0.tex | 4 ++--
buch/papers/parzyl/teil1.tex | 2 +-
buch/papers/parzyl/teil3.tex | 8 ++++----
3 files changed, 7 insertions(+), 7 deletions(-)
(limited to 'buch/papers/parzyl')
diff --git a/buch/papers/parzyl/teil0.tex b/buch/papers/parzyl/teil0.tex
index 8be936d..70caa05 100644
--- a/buch/papers/parzyl/teil0.tex
+++ b/buch/papers/parzyl/teil0.tex
@@ -19,8 +19,8 @@ Die partielle Differentialgleichung
\begin{equation}
\Delta f = \lambda f
\end{equation}
-ist als Helmholtz-Gleichung bekannt und beschreibt das Eigenwert Problem für den Laplace-Operator.
-Sie ist eine der Gleichungen welche auftritt wenn die Wellengleichung
+ist als Helmholtz-Gleichung bekannt und beschreibt das Eigenwertproblem für den Laplace-Operator.
+Sie ist eine der Gleichungen, welche auftritt, wenn die Wellengleichung
\begin{equation}
\left ( \nabla^2 - \frac{1}{c^2}\frac{\partial^2}{\partial t^2} \right ) u(\textbf{r},t)
=
diff --git a/buch/papers/parzyl/teil1.tex b/buch/papers/parzyl/teil1.tex
index 2caabde..0e1ad1b 100644
--- a/buch/papers/parzyl/teil1.tex
+++ b/buch/papers/parzyl/teil1.tex
@@ -94,7 +94,7 @@ $w$ als Lösung haben.
% ({\textstyle \frac{3}{4}}
% - k, {\textstyle \frac{3}{2}} ; {\textstyle \frac{1}{2}}z^2).
%\end{align}
-
+\subsection{Standardlösungen}
In der Literatur gibt es verschiedene Standardlösungen für
\eqref{parzyl:eq:weberDiffEq}, wobei die Differentialgleichung jeweils
unterschiedlich geschrieben wird.
diff --git a/buch/papers/parzyl/teil3.tex b/buch/papers/parzyl/teil3.tex
index 6432905..1b59ed9 100644
--- a/buch/papers/parzyl/teil3.tex
+++ b/buch/papers/parzyl/teil3.tex
@@ -12,8 +12,8 @@
%Die parabolischen Zylinderfunktionen, welche in Gleichung \ref{parzyl:eq:solution_dgl} gegeben sind,
%können auch als Potenzreihen geschrieben werden
Die parabolischen Zylinderfunktionen können auch als Potenzreihen geschrieben werden.
-In diesem Abschnitt werden die Terme welche nur von $n$ oder $a$ abhängig sind vernachlässigt.
-Die parabolischen Zylinderfunktionen sind Linearkombinationen aus einem geraden Teil $w_1(\alpha, x)$
+Parabolische Zylinderfunktionen sind Linearkombinationen
+$A(\alpha)w_1(\alpha, x) + B(\alpha)w_2(\alpha, x)$ aus einem geraden Teil $w_1(\alpha, x)$
und einem ungeraden Teil $w_2(\alpha, x)$, welche als Potenzreihen
\begin{align}
w_1(\alpha,x)
@@ -51,7 +51,7 @@ und
=
xe^{-\frac{x^2}{4}}
\sum^{\infty}_{n=0}
- \frac{\left ( \frac{3}{4} - k \right )_{n}}{\left ( \frac{3}{2}\right )_{n}}
+ \frac{\left ( \frac{1}{2} + \alpha \right )_{n}}{\left ( \frac{3}{2}\right )_{n}}
\frac{\left ( \frac{1}{2} x^2\right )^n}{n!} \\
&=
e^{-\frac{x^2}{4}}
@@ -77,7 +77,7 @@ und bei $w_2(\alpha,x)$ falls
\begin{equation}
\alpha = -\frac{1}{2} - n \qquad n \in \mathbb{N}_0.
\end{equation}
-Der Wert von $\alpha$ ist abhängig, ob man $D_n(x)$ oder $U(a,x)$ / $V(a,x)$ verwendet.
+Der Wert von $\alpha$ ist abhängig, ob man $D_n(x)$, $U(a,x)$ oder $V(a,x)$ verwendet.
Bei $D_n(x)$ gilt $\alpha = -{\textstyle \frac{1}{2}} n$ und bei $U(a,z)$ oder $V(a,x)$ gilt
$\alpha = {\textstyle \frac{1}{2}} a + {\textstyle \frac{1}{4}}$.
\subsection{Ableitung}
--
cgit v1.2.1
From 3dd42149bf496fe5cca749e69f839c2f6ab888a7 Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: tschwall <55748566+tschwall@users.noreply.github.com>
Date: Fri, 19 Aug 2022 11:10:07 +0200
Subject: Corrected errors
---
buch/papers/parzyl/img/Plane_2D.png | Bin 99330 -> 209118 bytes
buch/papers/parzyl/teil2.tex | 27 ++++++++++++++++++++-------
2 files changed, 20 insertions(+), 7 deletions(-)
(limited to 'buch/papers/parzyl')
diff --git a/buch/papers/parzyl/img/Plane_2D.png b/buch/papers/parzyl/img/Plane_2D.png
index 7c32877..f55e3cf 100644
Binary files a/buch/papers/parzyl/img/Plane_2D.png and b/buch/papers/parzyl/img/Plane_2D.png differ
diff --git a/buch/papers/parzyl/teil2.tex b/buch/papers/parzyl/teil2.tex
index d37c650..f0b5c34 100644
--- a/buch/papers/parzyl/teil2.tex
+++ b/buch/papers/parzyl/teil2.tex
@@ -12,7 +12,7 @@ Die parabolischen Zylinderkoordinaten tauchen auf, wenn man das elektrische Feld
\centering
\begin{minipage}{.7\textwidth}
\centering
- \includegraphics[width=\textwidth]{papers/parzyl/img/plane.pdf}
+ \includegraphics[width=\textwidth]{papers/parzyl/images/halfplane.pdf}
\caption{Semi-infinite Leiterplatte}
\label{parzyl:fig:leiterplatte}
\end{minipage}%
@@ -23,11 +23,12 @@ Die parabolischen Zylinderkoordinaten tauchen auf, wenn man das elektrische Feld
\label{parzyl:fig:leiterplatte_2d}
\end{minipage}
\end{figure}
-Das dies so ist kann im zwei Dimensionalen mit Hilfe von komplexen Funktionen gezeigt werden. Die Platte ist dann nur eine Linie, was man in Abbildung \ref{parzyl:fig:leiterplatte_2d} sieht.
+Das dies so ist kann im Zweidimensionalen mit Hilfe von komplexen Funktionen gezeigt werden. Die Platte ist dann nur eine Halbgerade, was man in Abbildung \ref{parzyl:fig:leiterplatte_2d} sieht.
+
Jede komplexe Funktion $F(z)$ kann geschrieben werden als
\begin{equation}
- F(s) = U(x,y) + iV(x,y) \qquad s \in \mathbb{C}; x,y \in \mathbb{R}.
+ F(s) = U(x,y) + iV(x,y) \quad s = x + iy \qquad s \in \mathbb{C}; x,y \in \mathbb{R}.
\end{equation}
Dabei müssen, falls die Funktion differenzierbar ist, die Cauchy-Riemann Differentialgleichungen
\begin{equation}
@@ -59,23 +60,31 @@ Aus dieser Bedingung folgt
0
}_{\displaystyle{\nabla^2V(x,y) = 0}}.
\end{equation}
-Zusätzlich kann auch gezeigt werden, dass die Funktion $F(z)$ eine winkeltreue Abbildung ist.
+Zusätzlich kann auch gezeigt werden, dass die Funktion $F(z)$ eine winkeltreue Abbildung ist.
+
+
Der Zusammenhang zum elektrischen Feld ist jetzt, dass das Potential an einem quellenfreien Punkt gegeben ist als
\begin{equation}
\nabla^2\phi(x,y) = 0.
\end{equation}
-Dies ist eine Bedingung welche differenzierbare Funktionen, wie in Gleichung \eqref{parzyl_e_feld_zweite_ab} gezeigt wird, bereits besitzen.
+Dies ist eine Bedingung, welche differenzierbare Funktionen, wie in Gleichung \eqref{parzyl_e_feld_zweite_ab} gezeigt wird, bereits besitzen.
+
+
Nun kann zum Beispiel $U(x,y)$ als das Potential angeschaut werden
\begin{equation}
\phi(x,y) = U(x,y).
\end{equation}
-Orthogonal zum Potential ist das elektrische Feld
+Orthogonal zu den Äquipotenzialfläche sind die Feldlinien des elektrische Feld
\begin{equation}
E(x,y) = V(x,y).
\end{equation}
+
+
Um nun zu den parabolische Zylinderkoordinaten zu gelangen muss nur noch eine geeignete
komplexe Funktion $F(s)$ gefunden werden,
welche eine semi-infinite Platte beschreiben kann.
+
+
Die gesuchte Funktion in diesem Fall ist
\begin{equation}
F(s)
@@ -93,6 +102,8 @@ Dies kann umgeformt werden zu
i\underbrace{\sqrt{\frac{\sqrt{x^2+y^2} - x}{2}}}_{V(x,y)}
.
\end{equation}
+
+
Die Äquipotentialflächen können nun betrachtet werden,
indem man die Funktion, welche das Potential beschreibt, gleich eine Konstante setzt,
\begin{equation}
@@ -103,7 +114,9 @@ Die Flächen mit der gleichen elektrischen Feldstärke können als
\tau = V(x,y) = \sqrt{\frac{\sqrt{x^2+y^2} - x}{2}}
\end{equation}
beschrieben werden. Diese zwei Gleichungen zeigen nun, wie man vom
-kartesischen Koordinatensystem ins parabolische Zylinderkoordinatensystem kommt.
+kartesischen Koordinatensystem ins parabolische Zylinderkoordinatensystem kommt.
+
+
Werden diese Formeln nun nach $x$ und $y$ aufgelöst
\begin{equation}
x = \sigma \tau,
--
cgit v1.2.1
From ecd2ba28a3d26f232c45df6502d6e89d6b7bd05b Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: Alain <mceagle117@gmail.com>
Date: Fri, 19 Aug 2022 14:22:52 +0200
Subject: verbesserungen
---
buch/papers/parzyl/references.bib | 9 +++++++++
buch/papers/parzyl/teil0.tex | 4 ++--
2 files changed, 11 insertions(+), 2 deletions(-)
(limited to 'buch/papers/parzyl')
diff --git a/buch/papers/parzyl/references.bib b/buch/papers/parzyl/references.bib
index 390d5ed..9639d0b 100644
--- a/buch/papers/parzyl/references.bib
+++ b/buch/papers/parzyl/references.bib
@@ -65,4 +65,13 @@
year = {2022},
month = {8},
day = {17}
+}
+
+@online{parzyl:scalefac,
+ title = {An introduction to curvlinear orthogonal coordinates},
+ url = {http://dslavsk.sites.luc.edu/courses/phys301/classnotes/scalefactorscomplete.pdf},
+ date = {2022-08-18},
+ year = {2022},
+ month = {08},
+ day = {18}
}
\ No newline at end of file
diff --git a/buch/papers/parzyl/teil0.tex b/buch/papers/parzyl/teil0.tex
index 70caa05..065c077 100644
--- a/buch/papers/parzyl/teil0.tex
+++ b/buch/papers/parzyl/teil0.tex
@@ -95,12 +95,12 @@ und
konstantes $\sigma$ und die grünen ein konstantes $\tau$.}
\label{parzyl:fig:cordinates}
\end{figure}
-Abbildung \ref{parzyl:fig:cordinates} zeigt das Parabolische Koordinatensystem.
+Abbildung \ref{parzyl:fig:cordinates} zeigt das parabolische Koordinatensystem.
Das parabolische Zylinderkoordinatensystem entsteht wenn die Parabeln aus der
Ebene gezogen werden.
Um in diesem Koordinatensystem integrieren und differenzieren zu
-können braucht es die Skalierungsfaktoren $h_{\tau}$, $h_{\sigma}$ und $h_{z}$.
+können braucht es die Skalierungsfaktoren $h_{\tau}$, $h_{\sigma}$ und $h_{z}$ \cite{parzyl:scalefac}.
Eine infinitessimal kleine Distanz $ds$ zwischen zwei Punkten
kann im kartesischen Koordinatensystem mit
--
cgit v1.2.1
From 029cf2a8c2ca284e92229a3e1a1b16ed39e7dbec Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: tschwall <55748566+tschwall@users.noreply.github.com>
Date: Fri, 19 Aug 2022 14:28:37 +0200
Subject: Updated Paper
---
buch/papers/parzyl/teil2.tex | 1 +
1 file changed, 1 insertion(+)
(limited to 'buch/papers/parzyl')
diff --git a/buch/papers/parzyl/teil2.tex b/buch/papers/parzyl/teil2.tex
index f0b5c34..e6a7e28 100644
--- a/buch/papers/parzyl/teil2.tex
+++ b/buch/papers/parzyl/teil2.tex
@@ -23,6 +23,7 @@ Die parabolischen Zylinderkoordinaten tauchen auf, wenn man das elektrische Feld
\label{parzyl:fig:leiterplatte_2d}
\end{minipage}
\end{figure}
+Die Äquipotentiallinien sind dabei rot dargestellt und die des elektrischen Feldes sind grün. Die semi-infinite Platte ist in blau dargestellt.
Das dies so ist kann im Zweidimensionalen mit Hilfe von komplexen Funktionen gezeigt werden. Die Platte ist dann nur eine Halbgerade, was man in Abbildung \ref{parzyl:fig:leiterplatte_2d} sieht.
--
cgit v1.2.1
From 8b79b30b55c44b0bbf7cc484c7eb2c5f7e273088 Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: tschwall <55748566+tschwall@users.noreply.github.com>
Date: Fri, 19 Aug 2022 14:36:18 +0200
Subject: Updated Paper
---
buch/papers/parzyl/teil2.tex | 2 +-
1 file changed, 1 insertion(+), 1 deletion(-)
(limited to 'buch/papers/parzyl')
diff --git a/buch/papers/parzyl/teil2.tex b/buch/papers/parzyl/teil2.tex
index e6a7e28..5ba9de8 100644
--- a/buch/papers/parzyl/teil2.tex
+++ b/buch/papers/parzyl/teil2.tex
@@ -23,7 +23,7 @@ Die parabolischen Zylinderkoordinaten tauchen auf, wenn man das elektrische Feld
\label{parzyl:fig:leiterplatte_2d}
\end{minipage}
\end{figure}
-Die Äquipotentiallinien sind dabei rot dargestellt und die des elektrischen Feldes sind grün. Die semi-infinite Platte ist in blau dargestellt.
+Die Äquipotentiallinien sind dabei in rot ,die des elektrischen Feldes in grün und semi-infinite Platte ist in blau dargestellt.
Das dies so ist kann im Zweidimensionalen mit Hilfe von komplexen Funktionen gezeigt werden. Die Platte ist dann nur eine Halbgerade, was man in Abbildung \ref{parzyl:fig:leiterplatte_2d} sieht.
--
cgit v1.2.1
From cc6b7320b8de4f36bc4a6516af87c66a108bc81c Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: Alain <mceagle117@gmail.com>
Date: Fri, 19 Aug 2022 15:01:01 +0200
Subject: 1 satz
---
buch/papers/parzyl/teil0.tex | 1 +
1 file changed, 1 insertion(+)
(limited to 'buch/papers/parzyl')
diff --git a/buch/papers/parzyl/teil0.tex b/buch/papers/parzyl/teil0.tex
index 065c077..f9e34d5 100644
--- a/buch/papers/parzyl/teil0.tex
+++ b/buch/papers/parzyl/teil0.tex
@@ -98,6 +98,7 @@ und
Abbildung \ref{parzyl:fig:cordinates} zeigt das parabolische Koordinatensystem.
Das parabolische Zylinderkoordinatensystem entsteht wenn die Parabeln aus der
Ebene gezogen werden.
+Die Flächen mit $\tau = 0$ oder $\sigma = 0$ stellen somit Halbebenen entlang der $z$-Achse dar.
Um in diesem Koordinatensystem integrieren und differenzieren zu
können braucht es die Skalierungsfaktoren $h_{\tau}$, $h_{\sigma}$ und $h_{z}$ \cite{parzyl:scalefac}.
--
cgit v1.2.1
From 1d82e0588b95188264168223fd0337529e88acf0 Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: Alain <mceagle117@gmail.com>
Date: Sat, 20 Aug 2022 12:10:36 +0200
Subject: =?UTF-8?q?koordinatensystem=20=C3=A4nderungen?=
MIME-Version: 1.0
Content-Type: text/plain; charset=UTF-8
Content-Transfer-Encoding: 8bit
---
buch/papers/parzyl/img/coordinates.png | Bin 0 -> 1215422 bytes
buch/papers/parzyl/teil0.tex | 20 ++++++++++----------
buch/papers/parzyl/teil2.tex | 24 +++++++++++++++++-------
3 files changed, 27 insertions(+), 17 deletions(-)
create mode 100644 buch/papers/parzyl/img/coordinates.png
(limited to 'buch/papers/parzyl')
diff --git a/buch/papers/parzyl/img/coordinates.png b/buch/papers/parzyl/img/coordinates.png
new file mode 100644
index 0000000..0ea3701
Binary files /dev/null and b/buch/papers/parzyl/img/coordinates.png differ
diff --git a/buch/papers/parzyl/teil0.tex b/buch/papers/parzyl/teil0.tex
index f9e34d5..3bf9257 100644
--- a/buch/papers/parzyl/teil0.tex
+++ b/buch/papers/parzyl/teil0.tex
@@ -73,26 +73,26 @@ Das parabolischen Zylinderkoordinatensystem \cite{parzyl:coordinates} ist ein kr
bei dem parabolische Zylinder die Koordinatenflächen bilden.
Die Koordinate $(\sigma, \tau, z)$ sind in kartesischen Koordinaten ausgedrückt mit
\begin{align}
- x & = \sigma \tau \\
+ x & = \frac{1}{2}\left(\tau^2 - \sigma^2\right) \\
\label{parzyl:coordRelationsa}
- y & = \frac{1}{2}\left(\tau^2 - \sigma^2\right) \\
+ y & = \sigma \tau\\
z & = z.
\label{parzyl:coordRelationse}
\end{align}
-Wird $\tau$ oder $\sigma$ konstant gesetzt, resultieren die Parabeln
+Wird $\sigma$ oder $\tau$ konstant gesetzt, resultieren die Parabeln
\begin{equation}
- y = \frac{1}{2} \left( \frac{x^2}{\sigma^2} - \sigma^2 \right)
+ x = \frac{1}{2} \left( \frac{y^2}{\sigma^2} - \sigma^2 \right)
\end{equation}
und
\begin{equation}
- y = \frac{1}{2} \left( -\frac{x^2}{\tau^2} + \tau^2 \right).
+ x = \frac{1}{2} \left( -\frac{y^2}{\tau^2} + \tau^2 \right).
\end{equation}
\begin{figure}
\centering
- \includegraphics[scale=0.4]{papers/parzyl/img/koordinaten.png}
- \caption{Das parabolische Koordinatensystem. Die roten Parabeln haben ein
- konstantes $\sigma$ und die grünen ein konstantes $\tau$.}
+ \includegraphics[scale=0.32]{papers/parzyl/img/coordinates.png}
+ \caption{Das parabolische Koordinatensystem. Die grünen Parabeln haben ein
+ konstantes $\sigma$ und die roten ein konstantes $\tau$.}
\label{parzyl:fig:cordinates}
\end{figure}
Abbildung \ref{parzyl:fig:cordinates} zeigt das parabolische Koordinatensystem.
@@ -124,11 +124,11 @@ von \eqref{parzyl:coordRelationsa} - \eqref{parzyl:coordRelationse} als
dx &= \frac{\partial x }{\partial \sigma} d\sigma +
\frac{\partial x }{\partial \tau} d\tau +
\frac{\partial x }{\partial \tilde{z}} d \tilde{z}
- = \tau d\sigma + \sigma d \tau \\
+ = \tau d\tau - \sigma d \sigma \\
dy &= \frac{\partial y }{\partial \sigma} d\sigma +
\frac{\partial y }{\partial \tau} d\tau +
\frac{\partial y }{\partial \tilde{z}} d \tilde{z}
- = \tau d\tau - \sigma d \sigma \\
+ = \tau d\sigma + \sigma d \tau \\
dz &= \frac{\partial \tilde{z} }{\partial \sigma} d\sigma +
\frac{\partial \tilde{z} }{\partial \tau} d\tau +
\frac{\partial \tilde{z} }{\partial \tilde{z}} d \tilde{z}
diff --git a/buch/papers/parzyl/teil2.tex b/buch/papers/parzyl/teil2.tex
index 5ba9de8..fbe5711 100644
--- a/buch/papers/parzyl/teil2.tex
+++ b/buch/papers/parzyl/teil2.tex
@@ -108,21 +108,31 @@ Dies kann umgeformt werden zu
Die Äquipotentialflächen können nun betrachtet werden,
indem man die Funktion, welche das Potential beschreibt, gleich eine Konstante setzt,
\begin{equation}
- \sigma = U(x,y) = \sqrt{\frac{\sqrt{x^2+y^2} + x}{2}}.
+% \sigma = U(x,y) = \sqrt{\frac{\sqrt{x^2+y^2} + x}{2}}.
+ c_1 = U(x,y) = \sqrt{\frac{\sqrt{x^2+y^2} + x}{2}}.
\end{equation}
Die Flächen mit der gleichen elektrischen Feldstärke können als
\begin{equation}
- \tau = V(x,y) = \sqrt{\frac{\sqrt{x^2+y^2} - x}{2}}
+% \tau = V(x,y) = \sqrt{\frac{\sqrt{x^2+y^2} - x}{2}}
+ c_2 = V(x,y) = \sqrt{\frac{\sqrt{x^2+y^2} - x}{2}}
\end{equation}
beschrieben werden. Diese zwei Gleichungen zeigen nun, wie man vom
kartesischen Koordinatensystem ins parabolische Zylinderkoordinatensystem kommt.
-
-
+%Werden diese Formeln nun nach $x$ und $y$ aufgelöst
+%\begin{equation}
+% x = \sigma \tau,
+%\end{equation}
+%\begin{equation}
+% y = \frac{1}{2}\left ( \tau^2 - \sigma^2 \right ),
+%\end{equation}
+%so beschreibe sie, wie man aus dem parabolischen Zylinderkoordinatensystem zurück ins kartesische rechnen kann.
Werden diese Formeln nun nach $x$ und $y$ aufgelöst
\begin{equation}
- x = \sigma \tau,
+ x = c_1^2 - c_2^2 ,
\end{equation}
\begin{equation}
- y = \frac{1}{2}\left ( \tau^2 - \sigma^2 \right ),
+ y = 2c_1 c_2,
\end{equation}
-so beschreibe sie, wie man aus dem parabolischen Zylinderkoordinatensystem zurück ins kartesische rechnen kann.
\ No newline at end of file
+so beschreibe sie mit $c_1 = \tau \sqrt{2}$ und $c_2 = \sigma \sqrt{2}$ die Beziehung
+zwischen dem parabolischen Zylinderkoordinatensystem und dem kartesischen Koordinatensystem.
+
--
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From db498caa668ca8d0fa3e51de0f3668a47325d2e5 Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: Alain <mceagle117@gmail.com>
Date: Sat, 20 Aug 2022 12:16:00 +0200
Subject: align
---
buch/papers/parzyl/teil2.tex | 12 +++++-------
1 file changed, 5 insertions(+), 7 deletions(-)
(limited to 'buch/papers/parzyl')
diff --git a/buch/papers/parzyl/teil2.tex b/buch/papers/parzyl/teil2.tex
index fbe5711..ab0e971 100644
--- a/buch/papers/parzyl/teil2.tex
+++ b/buch/papers/parzyl/teil2.tex
@@ -127,12 +127,10 @@ kartesischen Koordinatensystem ins parabolische Zylinderkoordinatensystem kommt.
%\end{equation}
%so beschreibe sie, wie man aus dem parabolischen Zylinderkoordinatensystem zurück ins kartesische rechnen kann.
Werden diese Formeln nun nach $x$ und $y$ aufgelöst
-\begin{equation}
- x = c_1^2 - c_2^2 ,
-\end{equation}
-\begin{equation}
- y = 2c_1 c_2,
-\end{equation}
-so beschreibe sie mit $c_1 = \tau \sqrt{2}$ und $c_2 = \sigma \sqrt{2}$ die Beziehung
+\begin{align}
+ x &= c_1^2 - c_2^2 ,\\
+ y &= 2c_1 c_2,
+\end{align}
+so beschreiben sie mit $c_1 = \tau \sqrt{2}$ und $c_2 = \sigma \sqrt{2}$ die Beziehung
zwischen dem parabolischen Zylinderkoordinatensystem und dem kartesischen Koordinatensystem.
--
cgit v1.2.1
From d2cb5860b83b16ef466a23473e8366a686ce20f7 Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: Alain <mceagle117@gmail.com>
Date: Sat, 20 Aug 2022 12:23:30 +0200
Subject: jetz aber
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buch/papers/parzyl/teil2.tex | 2 +-
1 file changed, 1 insertion(+), 1 deletion(-)
(limited to 'buch/papers/parzyl')
diff --git a/buch/papers/parzyl/teil2.tex b/buch/papers/parzyl/teil2.tex
index ab0e971..0cf4283 100644
--- a/buch/papers/parzyl/teil2.tex
+++ b/buch/papers/parzyl/teil2.tex
@@ -131,6 +131,6 @@ Werden diese Formeln nun nach $x$ und $y$ aufgelöst
x &= c_1^2 - c_2^2 ,\\
y &= 2c_1 c_2,
\end{align}
-so beschreiben sie mit $c_1 = \tau \sqrt{2}$ und $c_2 = \sigma \sqrt{2}$ die Beziehung
+so beschreiben sie mit $\tau = c_1 \sqrt{2}$ und $\sigma = c_2 \sqrt{2}$ die Beziehung
zwischen dem parabolischen Zylinderkoordinatensystem und dem kartesischen Koordinatensystem.
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cgit v1.2.1