From 0c3ae18ee42f7b3154642175faea29e957d8bba0 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: Alain Date: Fri, 29 Jul 2022 15:53:20 +0200 Subject: skalierungsfaktoren --- buch/papers/parzyl/teil0.tex | 77 +++++++++++++++++++++++++++++++++----------- buch/papers/parzyl/teil1.tex | 32 ------------------ 2 files changed, 59 insertions(+), 50 deletions(-) (limited to 'buch/papers/parzyl') diff --git a/buch/papers/parzyl/teil0.tex b/buch/papers/parzyl/teil0.tex index ab3056b..f6e63d4 100644 --- a/buch/papers/parzyl/teil0.tex +++ b/buch/papers/parzyl/teil0.tex @@ -43,8 +43,10 @@ Im parabloischen Zylinderkoordinatensystem bilden parabolische Zylinder die Koor Die Koordinate $(\sigma, \tau, z)$ sind in kartesischen Koordinaten ausgedrückt mit \begin{align} x & = \sigma \tau \\ + \label{parzyl:coordRelationsa} y & = \frac{1}{2}\left(\tau^2 - \sigma^2\right) \\ z & = z. + \label{parzyl:coordRelationse} \end{align} Wird $\tau$ oder $\sigma$ konstant gesetzt reultieren die Parabeln \begin{equation} @@ -60,26 +62,65 @@ und \includegraphics[scale=0.4]{papers/parzyl/img/koordinaten.png} \caption{Das parabolische Koordinatensystem. Die roten Parabeln haben ein konstantes $\sigma$ und die grünen ein konstantes $\tau$.} - \label{fig:cordinates} + \label{parzyl:fig:cordinates} \end{figure} -Abbildung \ref{fig:cordinates} zeigt das Parabolische Koordinatensystem. +Abbildung \ref{parzyl:fig:cordinates} zeigt das Parabolische Koordinatensystem. Das parabolische Zylinderkoordinatensystem entsteht wenn die Parabeln aus der Ebene gezogen werden. -\subsection{Differnetialgleichung} -Lorem ipsum dolor sit amet, consetetur sadipscing elitr, sed diam -nonumy eirmod tempor invidunt ut labore et dolore magna aliquyam -erat, sed diam voluptua \cite{parzyl:bibtex}. -At vero eos et accusam et justo duo dolores et ea rebum. -Stet clita kasd gubergren, no sea takimata sanctus est Lorem ipsum -dolor sit amet. - -Lorem ipsum dolor sit amet, consetetur sadipscing elitr, sed diam -nonumy eirmod tempor invidunt ut labore et dolore magna aliquyam -erat, sed diam voluptua. -At vero eos et accusam et justo duo dolores et ea rebum. Stet clita -kasd gubergren, no sea takimata sanctus est Lorem ipsum dolor sit -amet. - - +Um in diesem Koordinatensystem integrieren und differenzieren zu +können braucht es die Skalierungsfaktoren $h_{\tau}$, $h_{\sigma}$ und $h_{z}$. +Der Skalierungsfaktor braucht es, damit die Distanzen zwischen zwei +Punkten unabhängig vom Koordinatensystem sind. +Wird eine infinitessimal kleine Distanz $ds$ zwischen zwei Punkten betrachtet +kann dies im kartesischen Koordinatensystem mit +\begin{equation} + \left(ds\right)^2 = \left(dx\right)^2 + \left(dy\right)^2 + + \left(dz\right)^2 + \label{parzyl:eq:ds} +\end{equation} +ausgedrückt werden. +Das Skalierungsfaktoren werden so bestimmt, dass +\begin{equation} + \left(ds\right)^2 = \left(h_{\sigma}d\sigma\right)^2 + + \left(h_{\tau}d\tau\right)^2 + \left(h_z dz\right)^2 +\label{parzyl:eq:dspara} +\end{equation} +gilt. +Dafür werden $dx$, $dy$, und $dz$ in \eqref{parzyl:eq:ds} mit den Beziehungen +von \eqref{parzyl:coordRelationsa} - \eqref{parzyl:coordRelationse} als +\begin{align} + dx &= \frac{\delta x }{\delta \sigma} d\sigma + + \frac{\delta x }{\delta \tau} d\tau + + \frac{\delta x }{\delta \tilde{z}} d \tilde{z} + = \tau d\sigma + \sigma d \tau \\ + dy &= \frac{\delta y }{\delta \sigma} d\sigma + + \frac{\delta y }{\delta \tau} d\tau + + \frac{\delta y }{\delta \tilde{z}} d \tilde{z} + = \tau d\tau - \sigma d \sigma \\ + dz &= \frac{\delta \tilde{z} }{\delta \sigma} d\sigma + + \frac{\delta \tilde{z} }{\delta \tau} d\tau + + \frac{\delta \tilde{z} }{\delta \tilde{z}} d \tilde{z} + = d \tilde{z} \\ +\end{align} +substituiert. +Wird diese gleichung in der Form von \eqref{parzyl:eq:dspara} +geschrieben, resultiert +\begin{equation} + \left(d s\right)^2 = + \left(\sigma^2 + \tau^2\right)\left(d\sigma\right)^2 + + \left(\sigma^2 + \tau^2\right)\left(d\tau\right)^2 + + \left(d \tilde{z}\right)^2. +\end{equation} +Daraus resultieren die Skalierungsfaktoren +\begin{align} + h_{\sigma} &= \sqrt{\sigma^2 + \tau^2}\\ + h_{\sigma} &= \sqrt{\sigma^2 + \tau^2}\\ + h_{z} &= 1. +\end{align} +\subsection{Differentialgleichung} +Möchte man eine Differentialgleichung im parabolischen +Zylinderkoordinatensystem lösen müssen die Skalierungsfaktoren +mitgerechnet werden. +\dots diff --git a/buch/papers/parzyl/teil1.tex b/buch/papers/parzyl/teil1.tex index 7d5c1a4..b7e906c 100644 --- a/buch/papers/parzyl/teil1.tex +++ b/buch/papers/parzyl/teil1.tex @@ -6,36 +6,4 @@ \section{Lösung \label{parzyl:section:teil1}} \rhead{Problemstellung} -\begin{equation} -\int_a^b x^2\, dx -= -\left[ \frac13 x^3 \right]_a^b -= -\frac{b^3-a^3}3. -\label{parzyl:equation1} -\end{equation} -Neque porro quisquam est, qui dolorem ipsum quia dolor sit amet, -consectetur, adipisci velit, sed quia non numquam eius modi tempora -incidunt ut labore et dolore magnam aliquam quaerat voluptatem. - -Ut enim ad minima veniam, quis nostrum exercitationem ullam corporis -suscipit laboriosam, nisi ut aliquid ex ea commodi consequatur? -Quis autem vel eum iure reprehenderit qui in ea voluptate velit -esse quam nihil molestiae consequatur, vel illum qui dolorem eum -fugiat quo voluptas nulla pariatur? - - -Et harum quidem rerum facilis est et expedita distinctio -\ref{parzyl:section:loesung}. -Nam libero tempore, cum soluta nobis est eligendi optio cumque nihil -impedit quo minus id quod maxime placeat facere possimus, omnis -voluptas assumenda est, omnis dolor repellendus -\ref{parzyl:section:folgerung}. -Temporibus autem quibusdam et aut officiis debitis aut rerum -necessitatibus saepe eveniet ut et voluptates repudiandae sint et -molestiae non recusandae. -Itaque earum rerum hic tenetur a sapiente delectus, ut aut reiciendis -voluptatibus maiores alias consequatur aut perferendis doloribus -asperiores repellat. - -- cgit v1.2.1