From 23d12ac04f38d75c3a904fd99cf6586efc7ea267 Mon Sep 17 00:00:00 2001
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Date: Mon, 15 Aug 2022 13:13:59 +0200
Subject: Finished first version of solution properties.

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 buch/papers/sturmliouville/eigenschaften.tex | 60 ++++++++++++++++++++++++++--
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index 6e6a26f..1552f7f 100644
--- a/buch/papers/sturmliouville/eigenschaften.tex
+++ b/buch/papers/sturmliouville/eigenschaften.tex
@@ -13,9 +13,63 @@ zustande kommen.
 
 Dazu wird der Operator $L_0$ welcher bereits in Kapitel
 \ref{buch:integrale:subsection:sturm-liouville-problem} betrachtet wurde,
-noch etwas genauer angeschaut. Es wird also
+noch etwas genauer angeschaut. Es wird also im Folgenden
 \[
     L_0
     =
-    -\frac{d}{dx}p(x)
-\]
\ No newline at end of file
+    -\frac{d}{dx}p(x)\frac{d}{dx}
+\]
+zusammen mit den Randbedingungen
+\[
+    \begin{aligned}
+        k_a y(a) + h_a p(a) y'(a) &= 0 \\
+        k_b y(b) + h_b p(b) y'(b) &= 0
+    \end{aligned}
+\]
+verwendet. Wie im Kapitel
+\ref{buch:integrale:subsection:sturm-liouville-problem} bereits gezeigt,
+resultieren die Randbedingungen aus der Anforderung den Operator $L_0$
+selbsadjungiert zu machen.
+Es wurde allerdings noch nicht darauf eingegangen, welche Eigenschaften dies
+für die Lösungen des Sturm-Liouville-Problems zur Folge hat.
+
+\subsubsection{Exkurs zum Spektralsatz}
+
+Um zu verstehen was für Eigenschaften der selbstadjungierte Operator $L_0$ in 
+den Lösungen hervorbringt, wird der Spektralsatz benötigt.
+
+Dieser wird in der linearen Algebra oft verwendet um zu zeigen, dass eine Matrix
+diagonalisierbar ist, beziehungsweise dass eine Orthonormalbasis existiert.
+Dazu wird zunächst gezeigt, dass eine gegebene $n\times n$-Matrix $A$ aus einem
+endlichdimensionalem $\mathbb{K}$-Vektorraum selbstadungiert ist, also dass
+\[
+    \langle Av, w \rangle
+    =
+    \langle v, Aw \rangle
+\]
+für $ v, w \in \mathbb{K}^n$ gilt.
+Ist dies der Fall, folgt direkt, dass $A$ auch normal ist.
+Dann wird die Aussage des Spektralsatzes verwended, welche besagt, dass für
+Endomorphismen genau dann eine Orthonormalbasis aus Eigenvektoren existiert,
+wenn sie normal sind und nur Eigenwerte aus $\mathbb{K}$ besitzten.
+
+Dies ist allerdings nicht die Einzige Version des Spektralsatzes.
+Unter anderen gibt es den Spektralsatz für kompakte Operatoren.
+Dieser besagt, dass wenn ein linearer kompakter Operator in
+$\mathbb{R}$ selbstadjungiert ist, ein (eventuell endliches)
+Orthonormalsystem existiert.
+
+\subsubsection{Anwendung des Spektralsatzes auf $L_0$}
+
+Der Spektralsatz besagt also, dass, weil $ L_0 $ selbstadjungiert ist, eine
+Orthonormalbasis aus Eigenvektoren existiert.
+Genauer bedeutet dies, dass alle Eigenvektoren beziehungsweise alle Lösungen
+des Sturm-Liouville-Problems orthogonal zueinander sind bezüglich dem
+Skalarprodukt, in dem $ L_0 $ selbstadjungiert ist.
+
+Erfüllt also eine Differenzialgleichung die in Abschnitt
+\ref{sturmliouville:section:teil0} präsentierten Eigenschaften und erfüllen
+die Randbedingungen der Differentialgleichung die Randbedingungen
+des Sturm-Liouville-Problems, kann bereits geschlossen werden, dass die
+Lösungsfunktion des Problems eine Linearkombination aus orthogonalen
+Basisfunktionen ist.
\ No newline at end of file
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