From 08931fd248fc0c14173b5ee9bb34e545d7d4bf03 Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: haddoucher <reda.haddouche@ost.ch>
Date: Tue, 26 Jul 2022 15:05:25 +0200
Subject: struktur

verbessert
---
 buch/papers/sturmliouville/eigenschaften.tex | 55 ++++++++++++++++++++++++++++
 1 file changed, 55 insertions(+)
 create mode 100644 buch/papers/sturmliouville/eigenschaften.tex

(limited to 'buch/papers/sturmliouville/eigenschaften.tex')

diff --git a/buch/papers/sturmliouville/eigenschaften.tex b/buch/papers/sturmliouville/eigenschaften.tex
new file mode 100644
index 0000000..c23c1d6
--- /dev/null
+++ b/buch/papers/sturmliouville/eigenschaften.tex
@@ -0,0 +1,55 @@
+%
+% teil1.tex -- Beispiel-File für das Paper
+%
+% (c) 2020 Prof Dr Andreas Müller, Hochschule Rapperswil
+%
+\section{Teil 1
+\label{sturmliouville:section:teil1}}
+\rhead{Problemstellung}
+Sed ut perspiciatis unde omnis iste natus error sit voluptatem
+accusantium doloremque laudantium, totam rem aperiam, eaque ipsa
+quae ab illo inventore veritatis et quasi architecto beatae vitae
+dicta sunt explicabo.
+Nemo enim ipsam voluptatem quia voluptas sit aspernatur aut odit
+aut fugit, sed quia consequuntur magni dolores eos qui ratione
+voluptatem sequi nesciunt
+\begin{equation}
+\int_a^b x^2\, dx
+=
+\left[ \frac13 x^3 \right]_a^b
+=
+\frac{b^3-a^3}3.
+\label{sturmliouville:equation1}
+\end{equation}
+Neque porro quisquam est, qui dolorem ipsum quia dolor sit amet,
+consectetur, adipisci velit, sed quia non numquam eius modi tempora
+incidunt ut labore et dolore magnam aliquam quaerat voluptatem.
+
+Ut enim ad minima veniam, quis nostrum exercitationem ullam corporis
+suscipit laboriosam, nisi ut aliquid ex ea commodi consequatur?
+Quis autem vel eum iure reprehenderit qui in ea voluptate velit
+esse quam nihil molestiae consequatur, vel illum qui dolorem eum
+fugiat quo voluptas nulla pariatur?
+
+\subsection{De finibus bonorum et malorum
+\label{sturmliouville:subsection:finibus}}
+At vero eos et accusamus et iusto odio dignissimos ducimus qui
+blanditiis praesentium voluptatum deleniti atque corrupti quos
+dolores et quas molestias excepturi sint occaecati cupiditate non
+provident, similique sunt in culpa qui officia deserunt mollitia
+animi, id est laborum et dolorum fuga \eqref{000tempmlate:equation1}.
+
+Et harum quidem rerum facilis est et expedita distinctio
+\ref{sturmliouville:section:loesung}.
+Nam libero tempore, cum soluta nobis est eligendi optio cumque nihil
+impedit quo minus id quod maxime placeat facere possimus, omnis
+voluptas assumenda est, omnis dolor repellendus
+\ref{sturmliouville:section:folgerung}.
+Temporibus autem quibusdam et aut officiis debitis aut rerum
+necessitatibus saepe eveniet ut et voluptates repudiandae sint et
+molestiae non recusandae.
+Itaque earum rerum hic tenetur a sapiente delectus, ut aut reiciendis
+voluptatibus maiores alias consequatur aut perferendis doloribus
+asperiores repellat.
+
+
-- 
cgit v1.2.1


From 355193f2047a9c34e6a96281c73ed04cc8287c1e Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: haddoucher <reda.haddouche@ost.ch>
Date: Tue, 26 Jul 2022 15:36:01 +0200
Subject: =?UTF-8?q?=C3=A4nderungen?=
MIME-Version: 1.0
Content-Type: text/plain; charset=UTF-8
Content-Transfer-Encoding: 8bit

---
 buch/papers/sturmliouville/eigenschaften.tex | 49 ++--------------------------
 1 file changed, 2 insertions(+), 47 deletions(-)

(limited to 'buch/papers/sturmliouville/eigenschaften.tex')

diff --git a/buch/papers/sturmliouville/eigenschaften.tex b/buch/papers/sturmliouville/eigenschaften.tex
index c23c1d6..6d37612 100644
--- a/buch/papers/sturmliouville/eigenschaften.tex
+++ b/buch/papers/sturmliouville/eigenschaften.tex
@@ -3,53 +3,8 @@
 %
 % (c) 2020 Prof Dr Andreas Müller, Hochschule Rapperswil
 %
-\section{Teil 1
+\section{Eigenschaften von Lösungen
 \label{sturmliouville:section:teil1}}
-\rhead{Problemstellung}
-Sed ut perspiciatis unde omnis iste natus error sit voluptatem
-accusantium doloremque laudantium, totam rem aperiam, eaque ipsa
-quae ab illo inventore veritatis et quasi architecto beatae vitae
-dicta sunt explicabo.
-Nemo enim ipsam voluptatem quia voluptas sit aspernatur aut odit
-aut fugit, sed quia consequuntur magni dolores eos qui ratione
-voluptatem sequi nesciunt
-\begin{equation}
-\int_a^b x^2\, dx
-=
-\left[ \frac13 x^3 \right]_a^b
-=
-\frac{b^3-a^3}3.
-\label{sturmliouville:equation1}
-\end{equation}
-Neque porro quisquam est, qui dolorem ipsum quia dolor sit amet,
-consectetur, adipisci velit, sed quia non numquam eius modi tempora
-incidunt ut labore et dolore magnam aliquam quaerat voluptatem.
-
-Ut enim ad minima veniam, quis nostrum exercitationem ullam corporis
-suscipit laboriosam, nisi ut aliquid ex ea commodi consequatur?
-Quis autem vel eum iure reprehenderit qui in ea voluptate velit
-esse quam nihil molestiae consequatur, vel illum qui dolorem eum
-fugiat quo voluptas nulla pariatur?
-
-\subsection{De finibus bonorum et malorum
-\label{sturmliouville:subsection:finibus}}
-At vero eos et accusamus et iusto odio dignissimos ducimus qui
-blanditiis praesentium voluptatum deleniti atque corrupti quos
-dolores et quas molestias excepturi sint occaecati cupiditate non
-provident, similique sunt in culpa qui officia deserunt mollitia
-animi, id est laborum et dolorum fuga \eqref{000tempmlate:equation1}.
-
-Et harum quidem rerum facilis est et expedita distinctio
-\ref{sturmliouville:section:loesung}.
-Nam libero tempore, cum soluta nobis est eligendi optio cumque nihil
-impedit quo minus id quod maxime placeat facere possimus, omnis
-voluptas assumenda est, omnis dolor repellendus
-\ref{sturmliouville:section:folgerung}.
-Temporibus autem quibusdam et aut officiis debitis aut rerum
-necessitatibus saepe eveniet ut et voluptates repudiandae sint et
-molestiae non recusandae.
-Itaque earum rerum hic tenetur a sapiente delectus, ut aut reiciendis
-voluptatibus maiores alias consequatur aut perferendis doloribus
-asperiores repellat.
+\rhead{Eigenschaften von Lösungen}
 
 
-- 
cgit v1.2.1


From 796f2b607d90c7d2aed4ac38b39830bb2a93cfea Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: =?UTF-8?q?Erik=20L=C3=B6ffler?= <erik.loeffler@ost.ch>
Date: Tue, 26 Jul 2022 16:04:10 +0200
Subject: Added comments on what to work on.

---
 buch/papers/sturmliouville/eigenschaften.tex | 3 +--
 1 file changed, 1 insertion(+), 2 deletions(-)

(limited to 'buch/papers/sturmliouville/eigenschaften.tex')

diff --git a/buch/papers/sturmliouville/eigenschaften.tex b/buch/papers/sturmliouville/eigenschaften.tex
index 6d37612..a397dcc 100644
--- a/buch/papers/sturmliouville/eigenschaften.tex
+++ b/buch/papers/sturmliouville/eigenschaften.tex
@@ -6,5 +6,4 @@
 \section{Eigenschaften von Lösungen
 \label{sturmliouville:section:teil1}}
 \rhead{Eigenschaften von Lösungen}
-
-
+% Erik work
-- 
cgit v1.2.1


From d9bbd9cc6541847425f1fced501b5865e2ba282e Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: =?UTF-8?q?Erik=20L=C3=B6ffler?= <erik.loeffler@ost.ch>
Date: Wed, 27 Jul 2022 14:48:48 +0200
Subject: Adjusted labels and included new file.

---
 buch/papers/sturmliouville/eigenschaften.tex | 2 +-
 1 file changed, 1 insertion(+), 1 deletion(-)

(limited to 'buch/papers/sturmliouville/eigenschaften.tex')

diff --git a/buch/papers/sturmliouville/eigenschaften.tex b/buch/papers/sturmliouville/eigenschaften.tex
index a397dcc..9f20070 100644
--- a/buch/papers/sturmliouville/eigenschaften.tex
+++ b/buch/papers/sturmliouville/eigenschaften.tex
@@ -4,6 +4,6 @@
 % (c) 2020 Prof Dr Andreas Müller, Hochschule Rapperswil
 %
 \section{Eigenschaften von Lösungen
-\label{sturmliouville:section:teil1}}
+\label{sturmliouville:section:solution-properties}}
 \rhead{Eigenschaften von Lösungen}
 % Erik work
-- 
cgit v1.2.1


From 97e85459986381371236d1b9529d67064ac226c8 Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: =?UTF-8?q?Erik=20L=C3=B6ffler?= <erik.loeffler@ost.ch>
Date: Mon, 15 Aug 2022 11:58:27 +0200
Subject: Started properties of solutions.

---
 buch/papers/sturmliouville/eigenschaften.tex | 16 ++++++++++++++--
 1 file changed, 14 insertions(+), 2 deletions(-)

(limited to 'buch/papers/sturmliouville/eigenschaften.tex')

diff --git a/buch/papers/sturmliouville/eigenschaften.tex b/buch/papers/sturmliouville/eigenschaften.tex
index 9f20070..6e6a26f 100644
--- a/buch/papers/sturmliouville/eigenschaften.tex
+++ b/buch/papers/sturmliouville/eigenschaften.tex
@@ -1,9 +1,21 @@
 %
-% teil1.tex -- Beispiel-File für das Paper
+% eigenschaften.tex -- Eigenschaften der Lösungen
 %
 % (c) 2020 Prof Dr Andreas Müller, Hochschule Rapperswil
 %
 \section{Eigenschaften von Lösungen
 \label{sturmliouville:section:solution-properties}}
 \rhead{Eigenschaften von Lösungen}
-% Erik work
+
+Im weiteren werden nun die Eigenschaften der Lösungen eines
+Sturm-Liouville-Problems diskutiert und aufgezeigt, wie diese Eigenschaften
+zustande kommen.
+
+Dazu wird der Operator $L_0$ welcher bereits in Kapitel
+\ref{buch:integrale:subsection:sturm-liouville-problem} betrachtet wurde,
+noch etwas genauer angeschaut. Es wird also
+\[
+    L_0
+    =
+    -\frac{d}{dx}p(x)
+\]
\ No newline at end of file
-- 
cgit v1.2.1


From 23d12ac04f38d75c3a904fd99cf6586efc7ea267 Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: =?UTF-8?q?Erik=20L=C3=B6ffler?= <erik.loeffler@ost.ch>
Date: Mon, 15 Aug 2022 13:13:59 +0200
Subject: Finished first version of solution properties.

---
 buch/papers/sturmliouville/eigenschaften.tex | 60 ++++++++++++++++++++++++++--
 1 file changed, 57 insertions(+), 3 deletions(-)

(limited to 'buch/papers/sturmliouville/eigenschaften.tex')

diff --git a/buch/papers/sturmliouville/eigenschaften.tex b/buch/papers/sturmliouville/eigenschaften.tex
index 6e6a26f..1552f7f 100644
--- a/buch/papers/sturmliouville/eigenschaften.tex
+++ b/buch/papers/sturmliouville/eigenschaften.tex
@@ -13,9 +13,63 @@ zustande kommen.
 
 Dazu wird der Operator $L_0$ welcher bereits in Kapitel
 \ref{buch:integrale:subsection:sturm-liouville-problem} betrachtet wurde,
-noch etwas genauer angeschaut. Es wird also
+noch etwas genauer angeschaut. Es wird also im Folgenden
 \[
     L_0
     =
-    -\frac{d}{dx}p(x)
-\]
\ No newline at end of file
+    -\frac{d}{dx}p(x)\frac{d}{dx}
+\]
+zusammen mit den Randbedingungen
+\[
+    \begin{aligned}
+        k_a y(a) + h_a p(a) y'(a) &= 0 \\
+        k_b y(b) + h_b p(b) y'(b) &= 0
+    \end{aligned}
+\]
+verwendet. Wie im Kapitel
+\ref{buch:integrale:subsection:sturm-liouville-problem} bereits gezeigt,
+resultieren die Randbedingungen aus der Anforderung den Operator $L_0$
+selbsadjungiert zu machen.
+Es wurde allerdings noch nicht darauf eingegangen, welche Eigenschaften dies
+für die Lösungen des Sturm-Liouville-Problems zur Folge hat.
+
+\subsubsection{Exkurs zum Spektralsatz}
+
+Um zu verstehen was für Eigenschaften der selbstadjungierte Operator $L_0$ in 
+den Lösungen hervorbringt, wird der Spektralsatz benötigt.
+
+Dieser wird in der linearen Algebra oft verwendet um zu zeigen, dass eine Matrix
+diagonalisierbar ist, beziehungsweise dass eine Orthonormalbasis existiert.
+Dazu wird zunächst gezeigt, dass eine gegebene $n\times n$-Matrix $A$ aus einem
+endlichdimensionalem $\mathbb{K}$-Vektorraum selbstadungiert ist, also dass
+\[
+    \langle Av, w \rangle
+    =
+    \langle v, Aw \rangle
+\]
+für $ v, w \in \mathbb{K}^n$ gilt.
+Ist dies der Fall, folgt direkt, dass $A$ auch normal ist.
+Dann wird die Aussage des Spektralsatzes verwended, welche besagt, dass für
+Endomorphismen genau dann eine Orthonormalbasis aus Eigenvektoren existiert,
+wenn sie normal sind und nur Eigenwerte aus $\mathbb{K}$ besitzten.
+
+Dies ist allerdings nicht die Einzige Version des Spektralsatzes.
+Unter anderen gibt es den Spektralsatz für kompakte Operatoren.
+Dieser besagt, dass wenn ein linearer kompakter Operator in
+$\mathbb{R}$ selbstadjungiert ist, ein (eventuell endliches)
+Orthonormalsystem existiert.
+
+\subsubsection{Anwendung des Spektralsatzes auf $L_0$}
+
+Der Spektralsatz besagt also, dass, weil $ L_0 $ selbstadjungiert ist, eine
+Orthonormalbasis aus Eigenvektoren existiert.
+Genauer bedeutet dies, dass alle Eigenvektoren beziehungsweise alle Lösungen
+des Sturm-Liouville-Problems orthogonal zueinander sind bezüglich dem
+Skalarprodukt, in dem $ L_0 $ selbstadjungiert ist.
+
+Erfüllt also eine Differenzialgleichung die in Abschnitt
+\ref{sturmliouville:section:teil0} präsentierten Eigenschaften und erfüllen
+die Randbedingungen der Differentialgleichung die Randbedingungen
+des Sturm-Liouville-Problems, kann bereits geschlossen werden, dass die
+Lösungsfunktion des Problems eine Linearkombination aus orthogonalen
+Basisfunktionen ist.
\ No newline at end of file
-- 
cgit v1.2.1


From 8c6898303fc394c4f132664ef0b15fe484e9c5d9 Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: =?UTF-8?q?Erik=20L=C3=B6ffler?= <erik.loeffler@ost.ch>
Date: Mon, 15 Aug 2022 13:42:16 +0200
Subject: Added reference for "Spektralsatz".

---
 buch/papers/sturmliouville/eigenschaften.tex | 6 ++++--
 1 file changed, 4 insertions(+), 2 deletions(-)

(limited to 'buch/papers/sturmliouville/eigenschaften.tex')

diff --git a/buch/papers/sturmliouville/eigenschaften.tex b/buch/papers/sturmliouville/eigenschaften.tex
index 1552f7f..f972cd5 100644
--- a/buch/papers/sturmliouville/eigenschaften.tex
+++ b/buch/papers/sturmliouville/eigenschaften.tex
@@ -49,12 +49,14 @@ endlichdimensionalem $\mathbb{K}$-Vektorraum selbstadungiert ist, also dass
 \]
 für $ v, w \in \mathbb{K}^n$ gilt.
 Ist dies der Fall, folgt direkt, dass $A$ auch normal ist.
-Dann wird die Aussage des Spektralsatzes verwended, welche besagt, dass für
+Dann wird die Aussage des Spektralsatzes
+\cite{sturmliouville:spektralsatz-wiki} verwended, welche besagt, dass für
 Endomorphismen genau dann eine Orthonormalbasis aus Eigenvektoren existiert,
 wenn sie normal sind und nur Eigenwerte aus $\mathbb{K}$ besitzten.
 
 Dies ist allerdings nicht die Einzige Version des Spektralsatzes.
-Unter anderen gibt es den Spektralsatz für kompakte Operatoren.
+Unter anderen gibt es den Spektralsatz für kompakte Operatoren 
+\cite{sturmliouville:spektralsatz-wiki}.
 Dieser besagt, dass wenn ein linearer kompakter Operator in
 $\mathbb{R}$ selbstadjungiert ist, ein (eventuell endliches)
 Orthonormalsystem existiert.
-- 
cgit v1.2.1


From 8b01c81f362cf20246e3d8319edfda15c18ff83f Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: =?UTF-8?q?Erik=20L=C3=B6ffler?= <erik.loeffler@ost.ch>
Date: Mon, 15 Aug 2022 13:45:34 +0200
Subject: Improved code formatting.

---
 buch/papers/sturmliouville/eigenschaften.tex | 6 ++++--
 1 file changed, 4 insertions(+), 2 deletions(-)

(limited to 'buch/papers/sturmliouville/eigenschaften.tex')

diff --git a/buch/papers/sturmliouville/eigenschaften.tex b/buch/papers/sturmliouville/eigenschaften.tex
index f972cd5..4c14630 100644
--- a/buch/papers/sturmliouville/eigenschaften.tex
+++ b/buch/papers/sturmliouville/eigenschaften.tex
@@ -13,7 +13,8 @@ zustande kommen.
 
 Dazu wird der Operator $L_0$ welcher bereits in Kapitel
 \ref{buch:integrale:subsection:sturm-liouville-problem} betrachtet wurde,
-noch etwas genauer angeschaut. Es wird also im Folgenden
+noch etwas genauer angeschaut.
+Es wird also im Folgenden
 \[
     L_0
     =
@@ -26,7 +27,8 @@ zusammen mit den Randbedingungen
         k_b y(b) + h_b p(b) y'(b) &= 0
     \end{aligned}
 \]
-verwendet. Wie im Kapitel
+verwendet.
+Wie im Kapitel
 \ref{buch:integrale:subsection:sturm-liouville-problem} bereits gezeigt,
 resultieren die Randbedingungen aus der Anforderung den Operator $L_0$
 selbsadjungiert zu machen.
-- 
cgit v1.2.1


From 987a5b51eaf65c4074c50ba12a3b21c2d2957260 Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: =?UTF-8?q?Erik=20L=C3=B6ffler?= <erik.loeffler@ost.ch>
Date: Mon, 15 Aug 2022 15:06:11 +0200
Subject: Corrected small mistake in psolution roperties.

---
 buch/papers/sturmliouville/eigenschaften.tex | 4 ++--
 1 file changed, 2 insertions(+), 2 deletions(-)

(limited to 'buch/papers/sturmliouville/eigenschaften.tex')

diff --git a/buch/papers/sturmliouville/eigenschaften.tex b/buch/papers/sturmliouville/eigenschaften.tex
index 4c14630..8553238 100644
--- a/buch/papers/sturmliouville/eigenschaften.tex
+++ b/buch/papers/sturmliouville/eigenschaften.tex
@@ -37,7 +37,7 @@ für die Lösungen des Sturm-Liouville-Problems zur Folge hat.
 
 \subsubsection{Exkurs zum Spektralsatz}
 
-Um zu verstehen was für Eigenschaften der selbstadjungierte Operator $L_0$ in 
+Um zu verstehen was für Eigenschaften der selbstadjungierte Operator $ L_0 $ in 
 den Lösungen hervorbringt, wird der Spektralsatz benötigt.
 
 Dieser wird in der linearen Algebra oft verwendet um zu zeigen, dass eine Matrix
@@ -67,7 +67,7 @@ Orthonormalsystem existiert.
 
 Der Spektralsatz besagt also, dass, weil $ L_0 $ selbstadjungiert ist, eine
 Orthonormalbasis aus Eigenvektoren existiert.
-Genauer bedeutet dies, dass alle Eigenvektoren beziehungsweise alle Lösungen
+Genauer bedeutet dies, dass alle Eigenvektoren, beziehungsweise alle Lösungen
 des Sturm-Liouville-Problems orthogonal zueinander sind bezüglich dem
 Skalarprodukt, in dem $ L_0 $ selbstadjungiert ist.
 
-- 
cgit v1.2.1


From 53cc7f1baf28448cb6196ba6ddf305e1b1403e7d Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: =?UTF-8?q?Erik=20L=C3=B6ffler?= <erik.loeffler@ost.ch>
Date: Mon, 15 Aug 2022 15:45:11 +0200
Subject: Changed reference to conform with convetion.

---
 buch/papers/sturmliouville/eigenschaften.tex | 23 +++++++++++------------
 1 file changed, 11 insertions(+), 12 deletions(-)

(limited to 'buch/papers/sturmliouville/eigenschaften.tex')

diff --git a/buch/papers/sturmliouville/eigenschaften.tex b/buch/papers/sturmliouville/eigenschaften.tex
index 8553238..fda8be6 100644
--- a/buch/papers/sturmliouville/eigenschaften.tex
+++ b/buch/papers/sturmliouville/eigenschaften.tex
@@ -11,9 +11,9 @@ Im weiteren werden nun die Eigenschaften der Lösungen eines
 Sturm-Liouville-Problems diskutiert und aufgezeigt, wie diese Eigenschaften
 zustande kommen.
 
-Dazu wird der Operator $L_0$ welcher bereits in Kapitel
-\ref{buch:integrale:subsection:sturm-liouville-problem} betrachtet wurde,
-noch etwas genauer angeschaut.
+Dazu wird der Operator $L_0$ welcher bereits in 
+Kapitel~\ref{buch:integrale:subsection:sturm-liouville-problem} betrachtet
+wurde, noch etwas genauer angeschaut.
 Es wird also im Folgenden
 \[
     L_0
@@ -28,16 +28,15 @@ zusammen mit den Randbedingungen
     \end{aligned}
 \]
 verwendet.
-Wie im Kapitel
-\ref{buch:integrale:subsection:sturm-liouville-problem} bereits gezeigt,
-resultieren die Randbedingungen aus der Anforderung den Operator $L_0$
+Wie im Kapitel~\ref{buch:integrale:subsection:sturm-liouville-problem} bereits 
+gezeigt, resultieren die Randbedingungen aus der Anforderung den Operator $L_0$
 selbsadjungiert zu machen.
 Es wurde allerdings noch nicht darauf eingegangen, welche Eigenschaften dies
 für die Lösungen des Sturm-Liouville-Problems zur Folge hat.
 
 \subsubsection{Exkurs zum Spektralsatz}
 
-Um zu verstehen was für Eigenschaften der selbstadjungierte Operator $ L_0 $ in 
+Um zu verstehen was für Eigenschaften der selbstadjungierte Operator $L_0$ in 
 den Lösungen hervorbringt, wird der Spektralsatz benötigt.
 
 Dieser wird in der linearen Algebra oft verwendet um zu zeigen, dass eine Matrix
@@ -65,15 +64,15 @@ Orthonormalsystem existiert.
 
 \subsubsection{Anwendung des Spektralsatzes auf $L_0$}
 
-Der Spektralsatz besagt also, dass, weil $ L_0 $ selbstadjungiert ist, eine
+Der Spektralsatz besagt also, dass, weil $L_0$ selbstadjungiert ist, eine
 Orthonormalbasis aus Eigenvektoren existiert.
 Genauer bedeutet dies, dass alle Eigenvektoren, beziehungsweise alle Lösungen
 des Sturm-Liouville-Problems orthogonal zueinander sind bezüglich dem
-Skalarprodukt, in dem $ L_0 $ selbstadjungiert ist.
+Skalarprodukt, in dem $L_0$ selbstadjungiert ist.
 
-Erfüllt also eine Differenzialgleichung die in Abschnitt
-\ref{sturmliouville:section:teil0} präsentierten Eigenschaften und erfüllen
-die Randbedingungen der Differentialgleichung die Randbedingungen
+Erfüllt also eine Differenzialgleichung die in
+Abschnitt~\ref{sturmliouville:section:teil0} präsentierten Eigenschaften und 
+erfüllen die Randbedingungen der Differentialgleichung die Randbedingungen
 des Sturm-Liouville-Problems, kann bereits geschlossen werden, dass die
 Lösungsfunktion des Problems eine Linearkombination aus orthogonalen
 Basisfunktionen ist.
\ No newline at end of file
-- 
cgit v1.2.1


From 6753e360b35735f6f3c32774042a78a2405e0ceb Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: =?UTF-8?q?Erik=20L=C3=B6ffler?= <erik.loeffler@ost.ch>
Date: Tue, 16 Aug 2022 15:47:34 +0200
Subject: Corrected some minor mistakes in solution properties.

---
 buch/papers/sturmliouville/eigenschaften.tex | 6 +++---
 1 file changed, 3 insertions(+), 3 deletions(-)

(limited to 'buch/papers/sturmliouville/eigenschaften.tex')

diff --git a/buch/papers/sturmliouville/eigenschaften.tex b/buch/papers/sturmliouville/eigenschaften.tex
index fda8be6..87ba864 100644
--- a/buch/papers/sturmliouville/eigenschaften.tex
+++ b/buch/papers/sturmliouville/eigenschaften.tex
@@ -42,7 +42,7 @@ den Lösungen hervorbringt, wird der Spektralsatz benötigt.
 Dieser wird in der linearen Algebra oft verwendet um zu zeigen, dass eine Matrix
 diagonalisierbar ist, beziehungsweise dass eine Orthonormalbasis existiert.
 Dazu wird zunächst gezeigt, dass eine gegebene $n\times n$-Matrix $A$ aus einem
-endlichdimensionalem $\mathbb{K}$-Vektorraum selbstadungiert ist, also dass
+endlichdimensionalem $\mathbb{K}$-Vektorraum selbstadjungiert ist, also dass
 \[
     \langle Av, w \rangle
     =
@@ -67,8 +67,8 @@ Orthonormalsystem existiert.
 Der Spektralsatz besagt also, dass, weil $L_0$ selbstadjungiert ist, eine
 Orthonormalbasis aus Eigenvektoren existiert.
 Genauer bedeutet dies, dass alle Eigenvektoren, beziehungsweise alle Lösungen
-des Sturm-Liouville-Problems orthogonal zueinander sind bezüglich dem
-Skalarprodukt, in dem $L_0$ selbstadjungiert ist.
+des Sturm-Liouville-Problems orthogonal zueinander sind bezüglich des
+Skalarprodukts, in dem $L_0$ selbstadjungiert ist.
 
 Erfüllt also eine Differenzialgleichung die in
 Abschnitt~\ref{sturmliouville:section:teil0} präsentierten Eigenschaften und 
-- 
cgit v1.2.1


From 0904096277bc7944a6c0baf50f4032c2f4d9909a Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: =?UTF-8?q?Erik=20L=C3=B6ffler?= <erik.loeffler@ost.ch>
Date: Tue, 16 Aug 2022 16:11:37 +0200
Subject: Corrected some smaller mistakes in fourier example and added authors
 to files.

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 buch/papers/sturmliouville/eigenschaften.tex | 1 +
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diff --git a/buch/papers/sturmliouville/eigenschaften.tex b/buch/papers/sturmliouville/eigenschaften.tex
index 87ba864..85f0bf3 100644
--- a/buch/papers/sturmliouville/eigenschaften.tex
+++ b/buch/papers/sturmliouville/eigenschaften.tex
@@ -1,5 +1,6 @@
 %
 % eigenschaften.tex -- Eigenschaften der Lösungen
+% Author: Erik Löffler
 %
 % (c) 2020 Prof Dr Andreas Müller, Hochschule Rapperswil
 %
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cgit v1.2.1


From 030aa1f0d5bb3020c909ff7cedd102ea5ff69927 Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: =?UTF-8?q?Erik=20L=C3=B6ffler?= <erik.loeffler@ost.ch>
Date: Wed, 17 Aug 2022 15:47:34 +0200
Subject: Revised solution properties section.

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 buch/papers/sturmliouville/eigenschaften.tex | 32 ++++++++++++++++------------
 1 file changed, 18 insertions(+), 14 deletions(-)

(limited to 'buch/papers/sturmliouville/eigenschaften.tex')

diff --git a/buch/papers/sturmliouville/eigenschaften.tex b/buch/papers/sturmliouville/eigenschaften.tex
index 85f0bf3..bef8a39 100644
--- a/buch/papers/sturmliouville/eigenschaften.tex
+++ b/buch/papers/sturmliouville/eigenschaften.tex
@@ -37,31 +37,35 @@ für die Lösungen des Sturm-Liouville-Problems zur Folge hat.
 
 \subsubsection{Exkurs zum Spektralsatz}
 
-Um zu verstehen was für Eigenschaften der selbstadjungierte Operator $L_0$ in 
+Um zu verstehen welche Eigenschaften der selbstadjungierte Operator $L_0$ in 
 den Lösungen hervorbringt, wird der Spektralsatz benötigt.
 
 Dieser wird in der linearen Algebra oft verwendet um zu zeigen, dass eine Matrix
 diagonalisierbar ist, beziehungsweise dass eine Orthonormalbasis existiert.
-Dazu wird zunächst gezeigt, dass eine gegebene $n\times n$-Matrix $A$ aus einem
-endlichdimensionalem $\mathbb{K}$-Vektorraum selbstadjungiert ist, also dass
+
+Im Fall einer gegebenen $n\times n$-Matrix $A$ mit reellen Einträgen wird dazu 
+zunächst gezeigt, dass $A$ selbstadjungiert ist, also dass
 \[
     \langle Av, w \rangle
     =
     \langle v, Aw \rangle
 \]
-für $ v, w \in \mathbb{K}^n$ gilt.
-Ist dies der Fall, folgt direkt, dass $A$ auch normal ist.
-Dann wird die Aussage des Spektralsatzes
-\cite{sturmliouville:spektralsatz-wiki} verwended, welche besagt, dass für
-Endomorphismen genau dann eine Orthonormalbasis aus Eigenvektoren existiert,
-wenn sie normal sind und nur Eigenwerte aus $\mathbb{K}$ besitzten.
+für $ v, w \in \mathbb{R}^n$ gilt.
+Ist dies der Fall, kann die Aussage des Spektralsatzes
+\cite{sturmliouville:spektralsatz-wiki} verwended werden.
+Daraus folgt dann, dass eine Orthonormalbasis aus Eigenvektoren existiert,
+wenn $A$ nur Eigenwerte aus $\mathbb{R}$ besitzt.
 
 Dies ist allerdings nicht die Einzige Version des Spektralsatzes.
-Unter anderen gibt es den Spektralsatz für kompakte Operatoren 
-\cite{sturmliouville:spektralsatz-wiki}.
-Dieser besagt, dass wenn ein linearer kompakter Operator in
-$\mathbb{R}$ selbstadjungiert ist, ein (eventuell endliches)
-Orthonormalsystem existiert.
+Unter anderen gibt es den Spektralsatz für kompakte Operatoren
+\cite{sturmliouville:spektralsatz-wiki}, welcher für das
+Sturm-Liouville-Problem von Bedeutung ist.
+Welche Voraussetzungen erfüllt sein müssen, um diese Version des
+Satzes verwenden zu können, wird hier aber nicht diskutiert und kann bei den
+Beispielen in diesem Kapitel als gegeben betrachtet werden.
+Grundsätzlich ist die Aussage in dieser Version dieselbe, wie bei den Matrizen,
+also dass für ein Operator eine Orthonormalbasis aus Eigenvektoren existiert,
+falls er selbstadjungiert ist.
 
 \subsubsection{Anwendung des Spektralsatzes auf $L_0$}
 
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cgit v1.2.1

