From 89713bfdec5519956942a81e52ba11ed742730e0 Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: =?UTF-8?q?Erik=20L=C3=B6ffler?= <erik.loeffler@ost.ch>
Date: Fri, 19 Aug 2022 16:10:08 +0200
Subject: Commit before merging and revising all work.

---
 buch/papers/sturmliouville/eigenschaften.tex | 9 +++++++++
 1 file changed, 9 insertions(+)

(limited to 'buch/papers/sturmliouville/eigenschaften.tex')

diff --git a/buch/papers/sturmliouville/eigenschaften.tex b/buch/papers/sturmliouville/eigenschaften.tex
index bef8a39..7ac2d92 100644
--- a/buch/papers/sturmliouville/eigenschaften.tex
+++ b/buch/papers/sturmliouville/eigenschaften.tex
@@ -4,10 +4,19 @@
 %
 % (c) 2020 Prof Dr Andreas Müller, Hochschule Rapperswil
 %
+
+
 \section{Eigenschaften von Lösungen
 \label{sturmliouville:section:solution-properties}}
 \rhead{Eigenschaften von Lösungen}
 
+
+%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% OLD section %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
+
+% \section{OLD: Eigenschaften von Lösungen}
+% \label{sturmliouville:section:solution-properties}}
+% \rhead{Eigenschaften von Lösungen}
+
 Im weiteren werden nun die Eigenschaften der Lösungen eines
 Sturm-Liouville-Problems diskutiert und aufgezeigt, wie diese Eigenschaften
 zustande kommen.
-- 
cgit v1.2.1


From 578b2428f3e2a1be020de0254c6e1e679aca1957 Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: =?UTF-8?q?Erik=20L=C3=B6ffler?=
 <100943759+erik-loeffler@users.noreply.github.com>
Date: Sat, 20 Aug 2022 15:00:08 +0200
Subject: Added hints for revised structure.

---
 buch/papers/sturmliouville/eigenschaften.tex | 17 +++++++++++++++--
 1 file changed, 15 insertions(+), 2 deletions(-)

(limited to 'buch/papers/sturmliouville/eigenschaften.tex')

diff --git a/buch/papers/sturmliouville/eigenschaften.tex b/buch/papers/sturmliouville/eigenschaften.tex
index 7ac2d92..6085e75 100644
--- a/buch/papers/sturmliouville/eigenschaften.tex
+++ b/buch/papers/sturmliouville/eigenschaften.tex
@@ -10,6 +10,19 @@
 \label{sturmliouville:section:solution-properties}}
 \rhead{Eigenschaften von Lösungen}
 
+% TODO:
+%  state goal
+%  use only what is necessary
+%  make sure it is easy enough to understand (sentences as shot as possible)
+%    -> Eigenvalue problem with matrices only
+%    -> prepare reader for following examples
+%
+% order:
+%  1. Eigenvalue problems with matrices
+%  2. Sturm-Liouville is an Eigenvalue prolem
+%  3. Sturm-Liouville operator (selfadjacent)
+%  4. Spektralsatz (brief)
+%  5. Base of orthonormal functions
 
 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% OLD section %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
 
@@ -21,7 +34,7 @@ Im weiteren werden nun die Eigenschaften der Lösungen eines
 Sturm-Liouville-Problems diskutiert und aufgezeigt, wie diese Eigenschaften
 zustande kommen.
 
-Dazu wird der Operator $L_0$ welcher bereits in 
+Dazu wird der Operator $L_0$ welcher bereits in
 Kapitel~\ref{buch:integrale:subsection:sturm-liouville-problem} betrachtet
 wurde, noch etwas genauer angeschaut.
 Es wird also im Folgenden
@@ -85,7 +98,7 @@ des Sturm-Liouville-Problems orthogonal zueinander sind bezüglich des
 Skalarprodukts, in dem $L_0$ selbstadjungiert ist.
 
 Erfüllt also eine Differenzialgleichung die in
-Abschnitt~\ref{sturmliouville:section:teil0} präsentierten Eigenschaften und 
+Abschnitt~\ref{sturmliouville:section:teil0} präsentierten Eigenschaften und
 erfüllen die Randbedingungen der Differentialgleichung die Randbedingungen
 des Sturm-Liouville-Problems, kann bereits geschlossen werden, dass die
 Lösungsfunktion des Problems eine Linearkombination aus orthogonalen
-- 
cgit v1.2.1


From 59c0b79063b76b84f64203685bfdb2768a69b984 Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: =?UTF-8?q?Erik=20L=C3=B6ffler?=
 <100943759+erik-loeffler@users.noreply.github.com>
Date: Sun, 21 Aug 2022 23:48:29 +0200
Subject: Started revised draft of solution properties.

---
 buch/papers/sturmliouville/eigenschaften.tex | 64 ++++++++++++++++++++++------
 1 file changed, 52 insertions(+), 12 deletions(-)

(limited to 'buch/papers/sturmliouville/eigenschaften.tex')

diff --git a/buch/papers/sturmliouville/eigenschaften.tex b/buch/papers/sturmliouville/eigenschaften.tex
index 6085e75..4ab5e62 100644
--- a/buch/papers/sturmliouville/eigenschaften.tex
+++ b/buch/papers/sturmliouville/eigenschaften.tex
@@ -5,11 +5,6 @@
 % (c) 2020 Prof Dr Andreas Müller, Hochschule Rapperswil
 %
 
-
-\section{Eigenschaften von Lösungen
-\label{sturmliouville:section:solution-properties}}
-\rhead{Eigenschaften von Lösungen}
-
 % TODO:
 %  state goal
 %  use only what is necessary
@@ -19,16 +14,59 @@
 %
 % order:
 %  1. Eigenvalue problems with matrices
-%  2. Sturm-Liouville is an Eigenvalue prolem
-%  3. Sturm-Liouville operator (selfadjacent)
-%  4. Spektralsatz (brief)
+%  2. Sturm-Liouville is an Eigenvalue problem
+%  3. Sturm-Liouville operator (self-adjacent)
+%  4. Spectral theorem (brief)
 %  5. Base of orthonormal functions
 
+\section{Eigenschaften von Lösungen
+\label{sturmliouville:section:solution-properties}}
+\rhead{Eigenschaften von Lösungen}
+
+Im weiteren werden nun die Eigenschaften der Lösungen eines
+Sturm-Liouville-Problems diskutiert.
+Im wesendlichen wird darauf eingegangen, wie die Orthogonalität der Lösungen
+zustande kommt.
+Dazu wird zunächst das Eigenwertproblem für Matrizen wiederholt und angeschaut
+unter welchen Voraussetzungen die Lösungen orthogonal sind.
+Dann wird gezeigt, dass das Sturm-Liouville-Problem auch ein Eigenwertproblem
+dieser Art ist und es wird auf au die Orthogononalität der Lösungsfunktion
+geschlossen.
+
+\subsection{Eigenwertprobleme mit Matrizen}
+
+Das Eigenwertprobelm 
+\[
+    A v
+    =
+    \lambda v 
+\]
+für die $n \times n$-Matrix $A$, dem Eigenwert $\lambda$ und dem Eigenvektor $v$
+in der linearen Algebra wird häufig im Zusammenhang mit
+Matrixzerlegungen diskutiert.
+
+Mittels Spektralsatzes kann zum Beispiel geschlossen werden, dass wenn
+\[
+    <Av, w>
+    =
+    <v, Aw>
+\]
+gilt, die Matrix A symmetrisch (und somit selbstadjungiert) ist und somit eine
+Orthonormalbasis aus Eigenvektoren besitzt.
+In aneren Worten: durch diese Eigenschaft ist gegeben, dass A diagonalisierbar
+ist und alle Eigenvektoren orthogonal zueinander sind.
+
+\subsection{}
+
+
 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% OLD section %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
 
-% \section{OLD: Eigenschaften von Lösungen}
-% \label{sturmliouville:section:solution-properties}}
-% \rhead{Eigenschaften von Lösungen}
+\iffalse
+
+\section{OLD: Eigenschaften von Lösungen
+%\label{sturmliouville:section:solution-properties}
+}
+\rhead{Eigenschaften von Lösungen}
 
 Im weiteren werden nun die Eigenschaften der Lösungen eines
 Sturm-Liouville-Problems diskutiert und aufgezeigt, wie diese Eigenschaften
@@ -102,4 +140,6 @@ Abschnitt~\ref{sturmliouville:section:teil0} präsentierten Eigenschaften und
 erfüllen die Randbedingungen der Differentialgleichung die Randbedingungen
 des Sturm-Liouville-Problems, kann bereits geschlossen werden, dass die
 Lösungsfunktion des Problems eine Linearkombination aus orthogonalen
-Basisfunktionen ist.
\ No newline at end of file
+Basisfunktionen ist.
+
+\fi
-- 
cgit v1.2.1


From db90beb875d89142f7a54dea1d0b78ac0ec573db Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: =?UTF-8?q?Erik=20L=C3=B6ffler?= <erik.loeffler@ost.ch>
Date: Mon, 22 Aug 2022 16:11:36 +0200
Subject: Added some changes to TODOs.

---
 buch/papers/sturmliouville/eigenschaften.tex | 4 ++--
 1 file changed, 2 insertions(+), 2 deletions(-)

(limited to 'buch/papers/sturmliouville/eigenschaften.tex')

diff --git a/buch/papers/sturmliouville/eigenschaften.tex b/buch/papers/sturmliouville/eigenschaften.tex
index 4ab5e62..882b938 100644
--- a/buch/papers/sturmliouville/eigenschaften.tex
+++ b/buch/papers/sturmliouville/eigenschaften.tex
@@ -47,9 +47,9 @@ Matrixzerlegungen diskutiert.
 
 Mittels Spektralsatzes kann zum Beispiel geschlossen werden, dass wenn
 \[
-    <Av, w>
+    \langle Av, w \rangle
     =
-    <v, Aw>
+    \langle v, Aw \rangle
 \]
 gilt, die Matrix A symmetrisch (und somit selbstadjungiert) ist und somit eine
 Orthonormalbasis aus Eigenvektoren besitzt.
-- 
cgit v1.2.1


From c9b4b7146d216cea89daa380260be9d29718ea05 Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: =?UTF-8?q?Erik=20L=C3=B6ffler?= <erik.loeffler@ost.ch>
Date: Mon, 22 Aug 2022 17:07:24 +0200
Subject: Added new text to solution properties.

---
 buch/papers/sturmliouville/eigenschaften.tex | 44 ++++++++++++++++++++++++----
 1 file changed, 39 insertions(+), 5 deletions(-)

(limited to 'buch/papers/sturmliouville/eigenschaften.tex')

diff --git a/buch/papers/sturmliouville/eigenschaften.tex b/buch/papers/sturmliouville/eigenschaften.tex
index 882b938..5cb7a29 100644
--- a/buch/papers/sturmliouville/eigenschaften.tex
+++ b/buch/papers/sturmliouville/eigenschaften.tex
@@ -26,7 +26,7 @@
 Im weiteren werden nun die Eigenschaften der Lösungen eines
 Sturm-Liouville-Problems diskutiert.
 Im wesendlichen wird darauf eingegangen, wie die Orthogonalität der Lösungen
-zustande kommt.
+zustande kommt, damit diese später bei den Beispielen verwendet werden kann.
 Dazu wird zunächst das Eigenwertproblem für Matrizen wiederholt und angeschaut
 unter welchen Voraussetzungen die Lösungen orthogonal sind.
 Dann wird gezeigt, dass das Sturm-Liouville-Problem auch ein Eigenwertproblem
@@ -34,8 +34,8 @@ dieser Art ist und es wird auf au die Orthogononalität der Lösungsfunktion
 geschlossen.
 
 \subsection{Eigenwertprobleme mit Matrizen}
-
-Das Eigenwertprobelm 
+% TODO
+Das Eigenwertproblem 
 \[
     A v
     =
@@ -51,13 +51,47 @@ Mittels Spektralsatzes kann zum Beispiel geschlossen werden, dass wenn
     =
     \langle v, Aw \rangle
 \]
-gilt, die Matrix A symmetrisch (und somit selbstadjungiert) ist und somit eine
+gilt, die Matrix A symmetrisch (und somit selbstadjungiert) ist und deshalb eine
 Orthonormalbasis aus Eigenvektoren besitzt.
 In aneren Worten: durch diese Eigenschaft ist gegeben, dass A diagonalisierbar
 ist und alle Eigenvektoren orthogonal zueinander sind.
 
-\subsection{}
+\subsection{Das Sturm-Liouville-Problem als Eigenwertproblem}
 
+Wie in Kapitel (??) bereits eingeführt, kann das Sturm-Liouville-Problem als
+Eigenwertproblem geschrieben werden, indem der Operator
+\[
+    L
+    =
+    \frac{1}{w(x)}\left( -\frac{d}{dx}p(x) \frac{d}{dx} + q(x)\right)
+\]
+eingeführt wird.
+Mit diesem Operator kann nun
+\[
+    (p(x)y'(x))' + q(x)y(x)
+    =
+    \lambda w(x) y(x)
+\]
+umgeschrieben werden zu
+\[
+    L y
+    =
+    \lambda y.
+\]
+
+\subsection{Orthogonalität der Lösungsfunktionen}
+
+Nun wird das Eigenwertproblem weiter angeschaut.
+Um auf die Orthogonalität der Lösungsfunktion zu schliessen, wird dafür der
+Operator $L$ genauer betrachtet.
+Analog zur Matrix $A$ aus Abschnitt (??) kann auch für $L$ gezeigt werden,
+dass dieser Operator selbstadjungiert ist, also dass
+\[
+    \langle L v, w\rangle
+    =
+    \langle v, L w\rangle
+\]
+gilt.
 
 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% OLD section %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
 
-- 
cgit v1.2.1


From d2a613407668270cc0a57e2f979ed849ad5ad0ec Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: =?UTF-8?q?Erik=20L=C3=B6ffler?= <erik.loeffler@ost.ch>
Date: Mon, 22 Aug 2022 17:54:39 +0200
Subject: Minor changes.

---
 buch/papers/sturmliouville/eigenschaften.tex | 5 ++++-
 1 file changed, 4 insertions(+), 1 deletion(-)

(limited to 'buch/papers/sturmliouville/eigenschaften.tex')

diff --git a/buch/papers/sturmliouville/eigenschaften.tex b/buch/papers/sturmliouville/eigenschaften.tex
index 5cb7a29..19fda59 100644
--- a/buch/papers/sturmliouville/eigenschaften.tex
+++ b/buch/papers/sturmliouville/eigenschaften.tex
@@ -35,7 +35,7 @@ geschlossen.
 
 \subsection{Eigenwertprobleme mit Matrizen}
 % TODO
-Das Eigenwertproblem 
+Das Eigenwertproblem
 \[
     A v
     =
@@ -58,6 +58,8 @@ ist und alle Eigenvektoren orthogonal zueinander sind.
 
 \subsection{Das Sturm-Liouville-Problem als Eigenwertproblem}
 
+% TODO: check L for errors (- sign)
+
 Wie in Kapitel (??) bereits eingeführt, kann das Sturm-Liouville-Problem als
 Eigenwertproblem geschrieben werden, indem der Operator
 \[
@@ -92,6 +94,7 @@ dass dieser Operator selbstadjungiert ist, also dass
     \langle v, L w\rangle
 \]
 gilt.
+Wie in Kapitel (??) bereits gezeigt 
 
 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% OLD section %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
 
-- 
cgit v1.2.1


From 4185d85a5f36bb2f8e67c1342c12d45cf9fd67d5 Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: =?UTF-8?q?Erik=20L=C3=B6ffler?=
 <100943759+erik-loeffler@users.noreply.github.com>
Date: Tue, 23 Aug 2022 14:16:24 +0200
Subject: Eigenvalueproblem for matrices explained.

---
 buch/papers/sturmliouville/eigenschaften.tex | 38 ++++++++++++++++------------
 1 file changed, 22 insertions(+), 16 deletions(-)

(limited to 'buch/papers/sturmliouville/eigenschaften.tex')

diff --git a/buch/papers/sturmliouville/eigenschaften.tex b/buch/papers/sturmliouville/eigenschaften.tex
index 19fda59..b143b6e 100644
--- a/buch/papers/sturmliouville/eigenschaften.tex
+++ b/buch/papers/sturmliouville/eigenschaften.tex
@@ -28,33 +28,39 @@ Sturm-Liouville-Problems diskutiert.
 Im wesendlichen wird darauf eingegangen, wie die Orthogonalität der Lösungen
 zustande kommt, damit diese später bei den Beispielen verwendet werden kann.
 Dazu wird zunächst das Eigenwertproblem für Matrizen wiederholt und angeschaut
-unter welchen Voraussetzungen die Lösungen orthogonal sind.
+unter welchen Voraussetzungen die Lösungen dieses Problems orthogonal sind.
 Dann wird gezeigt, dass das Sturm-Liouville-Problem auch ein Eigenwertproblem
 dieser Art ist und es wird auf au die Orthogononalität der Lösungsfunktion
 geschlossen.
 
-\subsection{Eigenwertprobleme mit Matrizen}
-% TODO
-Das Eigenwertproblem
+\subsection{Eigenwertprobleme mit symmetrischen Matrizen}
+
+% TODO: intro
+
+Angenomen es sei eine reelle, symmetrische $n \times n$-Matrix $A$ gegeben.
+Dass $A$ symmetrisch ist, bedeutet, dass
 \[
-    A v
+    \langle Av, w \rangle
     =
-    \lambda v 
+    \langle v, Aw \rangle
 \]
-für die $n \times n$-Matrix $A$, dem Eigenwert $\lambda$ und dem Eigenvektor $v$
-in der linearen Algebra wird häufig im Zusammenhang mit
-Matrixzerlegungen diskutiert.
+für $v, w \in \mathbb{R}^n$ erfüllt ist.
 
-Mittels Spektralsatzes kann zum Beispiel geschlossen werden, dass wenn
+Für reelle, symmetrische Matrizen zeigt dies auch direkt, dass die Matrix
+selbstadjungiert ist.
+Das ist wichtig, da der Spektralsatz~\cite{sturmliouville:spektralsatz-wiki}
+für selbstadjungierte Matrizen formuliert ist.
+
+Dieser sagt nun aus, dass die Matrix $A$ diagonalisierbar ist.
+In anderen Worten bilden die Eigenvektoren $v_i \in  \mathbb{R}^n$ des 
+Eigenwertproblems
 \[
-    \langle Av, w \rangle
+    A v_i
     =
-    \langle v, Aw \rangle
+    \lambda_i v_i
+    \qquad \lambda_i \in \mathbb{R}
 \]
-gilt, die Matrix A symmetrisch (und somit selbstadjungiert) ist und deshalb eine
-Orthonormalbasis aus Eigenvektoren besitzt.
-In aneren Worten: durch diese Eigenschaft ist gegeben, dass A diagonalisierbar
-ist und alle Eigenvektoren orthogonal zueinander sind.
+eine Orthogonalbasis.
 
 \subsection{Das Sturm-Liouville-Problem als Eigenwertproblem}
 
-- 
cgit v1.2.1


From a2b36b7f9a4e4324ef827a6fdeb3e598e2b6fa6f Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: =?UTF-8?q?Erik=20L=C3=B6ffler?=
 <100943759+erik-loeffler@users.noreply.github.com>
Date: Tue, 23 Aug 2022 14:59:24 +0200
Subject: Finished revised draft of solution properties.

---
 buch/papers/sturmliouville/eigenschaften.tex | 42 ++++++++++++++++++----------
 1 file changed, 28 insertions(+), 14 deletions(-)

(limited to 'buch/papers/sturmliouville/eigenschaften.tex')

diff --git a/buch/papers/sturmliouville/eigenschaften.tex b/buch/papers/sturmliouville/eigenschaften.tex
index b143b6e..948217a 100644
--- a/buch/papers/sturmliouville/eigenschaften.tex
+++ b/buch/papers/sturmliouville/eigenschaften.tex
@@ -33,7 +33,8 @@ Dann wird gezeigt, dass das Sturm-Liouville-Problem auch ein Eigenwertproblem
 dieser Art ist und es wird auf au die Orthogononalität der Lösungsfunktion
 geschlossen.
 
-\subsection{Eigenwertprobleme mit symmetrischen Matrizen}
+\subsection{Eigenwertprobleme mit symmetrischen Matrizen
+\label{sturmliouville:section:eigenvalue-problem-matrix}}
 
 % TODO: intro
 
@@ -64,43 +65,56 @@ eine Orthogonalbasis.
 
 \subsection{Das Sturm-Liouville-Problem als Eigenwertproblem}
 
-% TODO: check L for errors (- sign)
-
-Wie in Kapitel (??) bereits eingeführt, kann das Sturm-Liouville-Problem als
-Eigenwertproblem geschrieben werden, indem der Operator
+In Kapitel~\ref{buch:integrale:subsection:sturm-liouville-problem} wurde bereits
+der Operator
 \[
     L
     =
     \frac{1}{w(x)}\left( -\frac{d}{dx}p(x) \frac{d}{dx} + q(x)\right)
 \]
-eingeführt wird.
-Mit diesem Operator kann nun
+eingeführt.
+Dieser wird nun verwendet um die Differenzialgleichung 
 \[
     (p(x)y'(x))' + q(x)y(x)
     =
     \lambda w(x) y(x)
 \]
-umgeschrieben werden zu
-\[
+in das Eigenwertproblem
+\begin{equation}
+    \label{sturmliouville:eigenvalue-problem}
     L y
     =
     \lambda y.
-\]
+\end{equation}
+umzuschreiben.
 
 \subsection{Orthogonalität der Lösungsfunktionen}
 
-Nun wird das Eigenwertproblem weiter angeschaut.
+Nun wird das Eigenwertproblem~\eqref{sturmliouville:eigenvalue-problem} näher
+angeschaut.
 Um auf die Orthogonalität der Lösungsfunktion zu schliessen, wird dafür der
 Operator $L$ genauer betrachtet.
-Analog zur Matrix $A$ aus Abschnitt (??) kann auch für $L$ gezeigt werden,
-dass dieser Operator selbstadjungiert ist, also dass
+Analog zur Matrix $A$ aus 
+Abschnitt~\ref{sturmliouville:section:eigenvalue-problem-matrix} kann auch für
+$L$ gezeigt werden, dass dieser Operator selbstadjungiert ist, also dass
 \[
     \langle L v, w\rangle
     =
     \langle v, L w\rangle
 \]
 gilt.
-Wie in Kapitel (??) bereits gezeigt 
+Wie in Kapitel~\ref{buch:integrale:subsection:sturm-liouville-problem} bereits
+gezeigt, ist dies durch die Randbedingungen des Sturm-Liouville-Problems
+sicher gestellt.
+
+Um nun über den Spektralsatz auf die Orthogonalität der Lösungsfunktion $y$ zu
+schliessen, muss der Operator $L$ ein sogenannter \"kompakter Operator\" sein.
+Bei einem regulären Sturm-Liouville-Problem ist diese für $L$ gegeben und wird
+im Weiteren nicht näher diskutiert.
+
+Es kann nun also dank dem Spektralsatz darauf geschlossen werden, dass die
+Lösungsfunktion $y$ eises regulären Sturm-Liouville-Problems eine
+Linearkombination aus orthogonalen Basisfunktionen sein muss.
 
 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% OLD section %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
 
-- 
cgit v1.2.1


From 18c6aa18da3ea994e9fd8075bc308eab0ed0dd41 Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: =?UTF-8?q?Erik=20L=C3=B6ffler?=
 <100943759+erik-loeffler@users.noreply.github.com>
Date: Tue, 23 Aug 2022 15:10:56 +0200
Subject: Corrected quotation marks.

---
 buch/papers/sturmliouville/eigenschaften.tex | 2 +-
 1 file changed, 1 insertion(+), 1 deletion(-)

(limited to 'buch/papers/sturmliouville/eigenschaften.tex')

diff --git a/buch/papers/sturmliouville/eigenschaften.tex b/buch/papers/sturmliouville/eigenschaften.tex
index 948217a..7c52a5c 100644
--- a/buch/papers/sturmliouville/eigenschaften.tex
+++ b/buch/papers/sturmliouville/eigenschaften.tex
@@ -108,7 +108,7 @@ gezeigt, ist dies durch die Randbedingungen des Sturm-Liouville-Problems
 sicher gestellt.
 
 Um nun über den Spektralsatz auf die Orthogonalität der Lösungsfunktion $y$ zu
-schliessen, muss der Operator $L$ ein sogenannter \"kompakter Operator\" sein.
+schliessen, muss der Operator $L$ ein sogenannter ''kompakter Operator'' sein.
 Bei einem regulären Sturm-Liouville-Problem ist diese für $L$ gegeben und wird
 im Weiteren nicht näher diskutiert.
 
-- 
cgit v1.2.1


From 905073fc0febc0af8aa43e58868b98f4f33b98fa Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: =?UTF-8?q?Erik=20L=C3=B6ffler?=
 <100943759+erik-loeffler@users.noreply.github.com>
Date: Tue, 23 Aug 2022 15:46:42 +0200
Subject: Corrected all labels to comply with guidelines.

---
 buch/papers/sturmliouville/eigenschaften.tex | 10 +++++-----
 1 file changed, 5 insertions(+), 5 deletions(-)

(limited to 'buch/papers/sturmliouville/eigenschaften.tex')

diff --git a/buch/papers/sturmliouville/eigenschaften.tex b/buch/papers/sturmliouville/eigenschaften.tex
index 7c52a5c..d8e2112 100644
--- a/buch/papers/sturmliouville/eigenschaften.tex
+++ b/buch/papers/sturmliouville/eigenschaften.tex
@@ -20,7 +20,7 @@
 %  5. Base of orthonormal functions
 
 \section{Eigenschaften von Lösungen
-\label{sturmliouville:section:solution-properties}}
+\label{sturmliouville:sec:solution-properties}}
 \rhead{Eigenschaften von Lösungen}
 
 Im weiteren werden nun die Eigenschaften der Lösungen eines
@@ -34,7 +34,7 @@ dieser Art ist und es wird auf au die Orthogononalität der Lösungsfunktion
 geschlossen.
 
 \subsection{Eigenwertprobleme mit symmetrischen Matrizen
-\label{sturmliouville:section:eigenvalue-problem-matrix}}
+\label{sturmliouville:sec:eigenvalue-problem-matrix}}
 
 % TODO: intro
 
@@ -81,7 +81,7 @@ Dieser wird nun verwendet um die Differenzialgleichung
 \]
 in das Eigenwertproblem
 \begin{equation}
-    \label{sturmliouville:eigenvalue-problem}
+    \label{sturmliouville:eq:eigenvalue-problem}
     L y
     =
     \lambda y.
@@ -90,12 +90,12 @@ umzuschreiben.
 
 \subsection{Orthogonalität der Lösungsfunktionen}
 
-Nun wird das Eigenwertproblem~\eqref{sturmliouville:eigenvalue-problem} näher
+Nun wird das Eigenwertproblem~\eqref{sturmliouville:eq:eigenvalue-problem} näher
 angeschaut.
 Um auf die Orthogonalität der Lösungsfunktion zu schliessen, wird dafür der
 Operator $L$ genauer betrachtet.
 Analog zur Matrix $A$ aus 
-Abschnitt~\ref{sturmliouville:section:eigenvalue-problem-matrix} kann auch für
+Abschnitt~\ref{sturmliouville:sec:eigenvalue-problem-matrix} kann auch für
 $L$ gezeigt werden, dass dieser Operator selbstadjungiert ist, also dass
 \[
     \langle L v, w\rangle
-- 
cgit v1.2.1


From af422520cbe2299c837521ea43c54e4331cadfac Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: =?UTF-8?q?Erik=20L=C3=B6ffler?= <erik.loeffler@ost.ch>
Date: Wed, 24 Aug 2022 08:30:28 +0200
Subject: Corrections in solution properties.

---
 buch/papers/sturmliouville/eigenschaften.tex | 35 +++++++++++++++-------------
 1 file changed, 19 insertions(+), 16 deletions(-)

(limited to 'buch/papers/sturmliouville/eigenschaften.tex')

diff --git a/buch/papers/sturmliouville/eigenschaften.tex b/buch/papers/sturmliouville/eigenschaften.tex
index d8e2112..cef276b 100644
--- a/buch/papers/sturmliouville/eigenschaften.tex
+++ b/buch/papers/sturmliouville/eigenschaften.tex
@@ -23,14 +23,14 @@
 \label{sturmliouville:sec:solution-properties}}
 \rhead{Eigenschaften von Lösungen}
 
-Im weiteren werden nun die Eigenschaften der Lösungen eines
+Im weiteren werden nun die Eigenschaften der Lösung eines
 Sturm-Liouville-Problems diskutiert.
-Im wesendlichen wird darauf eingegangen, wie die Orthogonalität der Lösungen
-zustande kommt, damit diese später bei den Beispielen verwendet werden kann.
+Im wesentlichen wird darauf eingegangen, wie die Orthogonalität der Lösungen
+zustande kommt, damit diese später in den Beispielen verwendet werden kann.
 Dazu wird zunächst das Eigenwertproblem für Matrizen wiederholt und angeschaut
 unter welchen Voraussetzungen die Lösungen dieses Problems orthogonal sind.
 Dann wird gezeigt, dass das Sturm-Liouville-Problem auch ein Eigenwertproblem
-dieser Art ist und es wird auf au die Orthogononalität der Lösungsfunktion
+dieser Art ist und es wird auf au die Orthogonalität der Lösungsfunktionen
 geschlossen.
 
 \subsection{Eigenwertprobleme mit symmetrischen Matrizen
@@ -44,16 +44,17 @@ Dass $A$ symmetrisch ist, bedeutet, dass
     \langle Av, w \rangle
     =
     \langle v, Aw \rangle
+    \qquad
+    v, w \in \mathbb{R}^n
 \]
-für $v, w \in \mathbb{R}^n$ erfüllt ist.
+erfüllt ist.
 
 Für reelle, symmetrische Matrizen zeigt dies auch direkt, dass die Matrix
 selbstadjungiert ist.
 Das ist wichtig, da der Spektralsatz~\cite{sturmliouville:spektralsatz-wiki}
-für selbstadjungierte Matrizen formuliert ist.
-
-Dieser sagt nun aus, dass die Matrix $A$ diagonalisierbar ist.
-In anderen Worten bilden die Eigenvektoren $v_i \in  \mathbb{R}^n$ des 
+für selbstadjungierte Matrizen formuliert ist. Dieser sagt nun aus, dass die
+Matrix $A$ diagonalisierbar ist.
+In anderen Worten bilden die Eigenvektoren $v_i \in \mathbb{R}^n$ des 
 Eigenwertproblems
 \[
     A v_i
@@ -104,13 +105,15 @@ $L$ gezeigt werden, dass dieser Operator selbstadjungiert ist, also dass
 \]
 gilt.
 Wie in Kapitel~\ref{buch:integrale:subsection:sturm-liouville-problem} bereits
-gezeigt, ist dies durch die Randbedingungen des Sturm-Liouville-Problems
-sicher gestellt.
-
-Um nun über den Spektralsatz auf die Orthogonalität der Lösungsfunktion $y$ zu
-schliessen, muss der Operator $L$ ein sogenannter ''kompakter Operator'' sein.
-Bei einem regulären Sturm-Liouville-Problem ist diese für $L$ gegeben und wird
-im Weiteren nicht näher diskutiert.
+gezeigt, ist dies durch die
+Randbedingungen~\eqref{sturmliouville:eq:randbedingungen} des
+Sturm-Liouville-Problems sicher gestellt.
+
+Um nun über den Spektralsatz~\cite{sturmliouville:spektralsatz-wiki} auf die
+Orthogonalität der Lösungsfunktion $y$ zu schliessen, muss der Operator $L$ ein
+sogenannter ''kompakter Operator'' sein.
+Bei einem regulären Sturm-Liouville-Problem ist diese Eigenschaft für $L$
+gegeben und wird im Weiteren nicht näher diskutiert.
 
 Es kann nun also dank dem Spektralsatz darauf geschlossen werden, dass die
 Lösungsfunktion $y$ eises regulären Sturm-Liouville-Problems eine
-- 
cgit v1.2.1


From 08f2fa49aebb5880f5b510196f693f4cb68d439d Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: =?UTF-8?q?Erik=20L=C3=B6ffler?=
 <100943759+erik-loeffler@users.noreply.github.com>
Date: Thu, 25 Aug 2022 22:36:30 +0200
Subject: Final corrections before pull request.

---
 buch/papers/sturmliouville/eigenschaften.tex | 87 +---------------------------
 1 file changed, 1 insertion(+), 86 deletions(-)

(limited to 'buch/papers/sturmliouville/eigenschaften.tex')

diff --git a/buch/papers/sturmliouville/eigenschaften.tex b/buch/papers/sturmliouville/eigenschaften.tex
index cef276b..8616172 100644
--- a/buch/papers/sturmliouville/eigenschaften.tex
+++ b/buch/papers/sturmliouville/eigenschaften.tex
@@ -116,90 +116,5 @@ Bei einem regulären Sturm-Liouville-Problem ist diese Eigenschaft für $L$
 gegeben und wird im Weiteren nicht näher diskutiert.
 
 Es kann nun also dank dem Spektralsatz darauf geschlossen werden, dass die
-Lösungsfunktion $y$ eises regulären Sturm-Liouville-Problems eine
+Lösungsfunktion $y$ eines regulären Sturm-Liouville-Problems eine
 Linearkombination aus orthogonalen Basisfunktionen sein muss.
-
-%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% OLD section %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
-
-\iffalse
-
-\section{OLD: Eigenschaften von Lösungen
-%\label{sturmliouville:section:solution-properties}
-}
-\rhead{Eigenschaften von Lösungen}
-
-Im weiteren werden nun die Eigenschaften der Lösungen eines
-Sturm-Liouville-Problems diskutiert und aufgezeigt, wie diese Eigenschaften
-zustande kommen.
-
-Dazu wird der Operator $L_0$ welcher bereits in
-Kapitel~\ref{buch:integrale:subsection:sturm-liouville-problem} betrachtet
-wurde, noch etwas genauer angeschaut.
-Es wird also im Folgenden
-\[
-    L_0
-    =
-    -\frac{d}{dx}p(x)\frac{d}{dx}
-\]
-zusammen mit den Randbedingungen
-\[
-    \begin{aligned}
-        k_a y(a) + h_a p(a) y'(a) &= 0 \\
-        k_b y(b) + h_b p(b) y'(b) &= 0
-    \end{aligned}
-\]
-verwendet.
-Wie im Kapitel~\ref{buch:integrale:subsection:sturm-liouville-problem} bereits 
-gezeigt, resultieren die Randbedingungen aus der Anforderung den Operator $L_0$
-selbsadjungiert zu machen.
-Es wurde allerdings noch nicht darauf eingegangen, welche Eigenschaften dies
-für die Lösungen des Sturm-Liouville-Problems zur Folge hat.
-
-\subsubsection{Exkurs zum Spektralsatz}
-
-Um zu verstehen welche Eigenschaften der selbstadjungierte Operator $L_0$ in 
-den Lösungen hervorbringt, wird der Spektralsatz benötigt.
-
-Dieser wird in der linearen Algebra oft verwendet um zu zeigen, dass eine Matrix
-diagonalisierbar ist, beziehungsweise dass eine Orthonormalbasis existiert.
-
-Im Fall einer gegebenen $n\times n$-Matrix $A$ mit reellen Einträgen wird dazu 
-zunächst gezeigt, dass $A$ selbstadjungiert ist, also dass
-\[
-    \langle Av, w \rangle
-    =
-    \langle v, Aw \rangle
-\]
-für $ v, w \in \mathbb{R}^n$ gilt.
-Ist dies der Fall, kann die Aussage des Spektralsatzes
-\cite{sturmliouville:spektralsatz-wiki} verwended werden.
-Daraus folgt dann, dass eine Orthonormalbasis aus Eigenvektoren existiert,
-wenn $A$ nur Eigenwerte aus $\mathbb{R}$ besitzt.
-
-Dies ist allerdings nicht die Einzige Version des Spektralsatzes.
-Unter anderen gibt es den Spektralsatz für kompakte Operatoren
-\cite{sturmliouville:spektralsatz-wiki}, welcher für das
-Sturm-Liouville-Problem von Bedeutung ist.
-Welche Voraussetzungen erfüllt sein müssen, um diese Version des
-Satzes verwenden zu können, wird hier aber nicht diskutiert und kann bei den
-Beispielen in diesem Kapitel als gegeben betrachtet werden.
-Grundsätzlich ist die Aussage in dieser Version dieselbe, wie bei den Matrizen,
-also dass für ein Operator eine Orthonormalbasis aus Eigenvektoren existiert,
-falls er selbstadjungiert ist.
-
-\subsubsection{Anwendung des Spektralsatzes auf $L_0$}
-
-Der Spektralsatz besagt also, dass, weil $L_0$ selbstadjungiert ist, eine
-Orthonormalbasis aus Eigenvektoren existiert.
-Genauer bedeutet dies, dass alle Eigenvektoren, beziehungsweise alle Lösungen
-des Sturm-Liouville-Problems orthogonal zueinander sind bezüglich des
-Skalarprodukts, in dem $L_0$ selbstadjungiert ist.
-
-Erfüllt also eine Differenzialgleichung die in
-Abschnitt~\ref{sturmliouville:section:teil0} präsentierten Eigenschaften und
-erfüllen die Randbedingungen der Differentialgleichung die Randbedingungen
-des Sturm-Liouville-Problems, kann bereits geschlossen werden, dass die
-Lösungsfunktion des Problems eine Linearkombination aus orthogonalen
-Basisfunktionen ist.
-
-\fi
-- 
cgit v1.2.1

