From 4185d85a5f36bb2f8e67c1342c12d45cf9fd67d5 Mon Sep 17 00:00:00 2001
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Date: Tue, 23 Aug 2022 14:16:24 +0200
Subject: Eigenvalueproblem for matrices explained.

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 buch/papers/sturmliouville/eigenschaften.tex | 38 ++++++++++++++++------------
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--- a/buch/papers/sturmliouville/eigenschaften.tex
+++ b/buch/papers/sturmliouville/eigenschaften.tex
@@ -28,33 +28,39 @@ Sturm-Liouville-Problems diskutiert.
 Im wesendlichen wird darauf eingegangen, wie die Orthogonalität der Lösungen
 zustande kommt, damit diese später bei den Beispielen verwendet werden kann.
 Dazu wird zunächst das Eigenwertproblem für Matrizen wiederholt und angeschaut
-unter welchen Voraussetzungen die Lösungen orthogonal sind.
+unter welchen Voraussetzungen die Lösungen dieses Problems orthogonal sind.
 Dann wird gezeigt, dass das Sturm-Liouville-Problem auch ein Eigenwertproblem
 dieser Art ist und es wird auf au die Orthogononalität der Lösungsfunktion
 geschlossen.
 
-\subsection{Eigenwertprobleme mit Matrizen}
-% TODO
-Das Eigenwertproblem
+\subsection{Eigenwertprobleme mit symmetrischen Matrizen}
+
+% TODO: intro
+
+Angenomen es sei eine reelle, symmetrische $n \times n$-Matrix $A$ gegeben.
+Dass $A$ symmetrisch ist, bedeutet, dass
 \[
-    A v
+    \langle Av, w \rangle
     =
-    \lambda v 
+    \langle v, Aw \rangle
 \]
-für die $n \times n$-Matrix $A$, dem Eigenwert $\lambda$ und dem Eigenvektor $v$
-in der linearen Algebra wird häufig im Zusammenhang mit
-Matrixzerlegungen diskutiert.
+für $v, w \in \mathbb{R}^n$ erfüllt ist.
 
-Mittels Spektralsatzes kann zum Beispiel geschlossen werden, dass wenn
+Für reelle, symmetrische Matrizen zeigt dies auch direkt, dass die Matrix
+selbstadjungiert ist.
+Das ist wichtig, da der Spektralsatz~\cite{sturmliouville:spektralsatz-wiki}
+für selbstadjungierte Matrizen formuliert ist.
+
+Dieser sagt nun aus, dass die Matrix $A$ diagonalisierbar ist.
+In anderen Worten bilden die Eigenvektoren $v_i \in  \mathbb{R}^n$ des 
+Eigenwertproblems
 \[
-    \langle Av, w \rangle
+    A v_i
     =
-    \langle v, Aw \rangle
+    \lambda_i v_i
+    \qquad \lambda_i \in \mathbb{R}
 \]
-gilt, die Matrix A symmetrisch (und somit selbstadjungiert) ist und deshalb eine
-Orthonormalbasis aus Eigenvektoren besitzt.
-In aneren Worten: durch diese Eigenschaft ist gegeben, dass A diagonalisierbar
-ist und alle Eigenvektoren orthogonal zueinander sind.
+eine Orthogonalbasis.
 
 \subsection{Das Sturm-Liouville-Problem als Eigenwertproblem}
 
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cgit v1.2.1