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Date: Thu, 25 Aug 2022 22:36:30 +0200
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 buch/papers/sturmliouville/eigenschaften.tex | 87 +---------------------------
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index cef276b..8616172 100644
--- a/buch/papers/sturmliouville/eigenschaften.tex
+++ b/buch/papers/sturmliouville/eigenschaften.tex
@@ -116,90 +116,5 @@ Bei einem regulären Sturm-Liouville-Problem ist diese Eigenschaft für $L$
 gegeben und wird im Weiteren nicht näher diskutiert.
 
 Es kann nun also dank dem Spektralsatz darauf geschlossen werden, dass die
-Lösungsfunktion $y$ eises regulären Sturm-Liouville-Problems eine
+Lösungsfunktion $y$ eines regulären Sturm-Liouville-Problems eine
 Linearkombination aus orthogonalen Basisfunktionen sein muss.
-
-%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% OLD section %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
-
-\iffalse
-
-\section{OLD: Eigenschaften von Lösungen
-%\label{sturmliouville:section:solution-properties}
-}
-\rhead{Eigenschaften von Lösungen}
-
-Im weiteren werden nun die Eigenschaften der Lösungen eines
-Sturm-Liouville-Problems diskutiert und aufgezeigt, wie diese Eigenschaften
-zustande kommen.
-
-Dazu wird der Operator $L_0$ welcher bereits in
-Kapitel~\ref{buch:integrale:subsection:sturm-liouville-problem} betrachtet
-wurde, noch etwas genauer angeschaut.
-Es wird also im Folgenden
-\[
-    L_0
-    =
-    -\frac{d}{dx}p(x)\frac{d}{dx}
-\]
-zusammen mit den Randbedingungen
-\[
-    \begin{aligned}
-        k_a y(a) + h_a p(a) y'(a) &= 0 \\
-        k_b y(b) + h_b p(b) y'(b) &= 0
-    \end{aligned}
-\]
-verwendet.
-Wie im Kapitel~\ref{buch:integrale:subsection:sturm-liouville-problem} bereits 
-gezeigt, resultieren die Randbedingungen aus der Anforderung den Operator $L_0$
-selbsadjungiert zu machen.
-Es wurde allerdings noch nicht darauf eingegangen, welche Eigenschaften dies
-für die Lösungen des Sturm-Liouville-Problems zur Folge hat.
-
-\subsubsection{Exkurs zum Spektralsatz}
-
-Um zu verstehen welche Eigenschaften der selbstadjungierte Operator $L_0$ in 
-den Lösungen hervorbringt, wird der Spektralsatz benötigt.
-
-Dieser wird in der linearen Algebra oft verwendet um zu zeigen, dass eine Matrix
-diagonalisierbar ist, beziehungsweise dass eine Orthonormalbasis existiert.
-
-Im Fall einer gegebenen $n\times n$-Matrix $A$ mit reellen Einträgen wird dazu 
-zunächst gezeigt, dass $A$ selbstadjungiert ist, also dass
-\[
-    \langle Av, w \rangle
-    =
-    \langle v, Aw \rangle
-\]
-für $ v, w \in \mathbb{R}^n$ gilt.
-Ist dies der Fall, kann die Aussage des Spektralsatzes
-\cite{sturmliouville:spektralsatz-wiki} verwended werden.
-Daraus folgt dann, dass eine Orthonormalbasis aus Eigenvektoren existiert,
-wenn $A$ nur Eigenwerte aus $\mathbb{R}$ besitzt.
-
-Dies ist allerdings nicht die Einzige Version des Spektralsatzes.
-Unter anderen gibt es den Spektralsatz für kompakte Operatoren
-\cite{sturmliouville:spektralsatz-wiki}, welcher für das
-Sturm-Liouville-Problem von Bedeutung ist.
-Welche Voraussetzungen erfüllt sein müssen, um diese Version des
-Satzes verwenden zu können, wird hier aber nicht diskutiert und kann bei den
-Beispielen in diesem Kapitel als gegeben betrachtet werden.
-Grundsätzlich ist die Aussage in dieser Version dieselbe, wie bei den Matrizen,
-also dass für ein Operator eine Orthonormalbasis aus Eigenvektoren existiert,
-falls er selbstadjungiert ist.
-
-\subsubsection{Anwendung des Spektralsatzes auf $L_0$}
-
-Der Spektralsatz besagt also, dass, weil $L_0$ selbstadjungiert ist, eine
-Orthonormalbasis aus Eigenvektoren existiert.
-Genauer bedeutet dies, dass alle Eigenvektoren, beziehungsweise alle Lösungen
-des Sturm-Liouville-Problems orthogonal zueinander sind bezüglich des
-Skalarprodukts, in dem $L_0$ selbstadjungiert ist.
-
-Erfüllt also eine Differenzialgleichung die in
-Abschnitt~\ref{sturmliouville:section:teil0} präsentierten Eigenschaften und
-erfüllen die Randbedingungen der Differentialgleichung die Randbedingungen
-des Sturm-Liouville-Problems, kann bereits geschlossen werden, dass die
-Lösungsfunktion des Problems eine Linearkombination aus orthogonalen
-Basisfunktionen ist.
-
-\fi
-- 
cgit v1.2.1

