From 89713bfdec5519956942a81e52ba11ed742730e0 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: =?UTF-8?q?Erik=20L=C3=B6ffler?= Date: Fri, 19 Aug 2022 16:10:08 +0200 Subject: Commit before merging and revising all work. --- buch/papers/sturmliouville/eigenschaften.tex | 9 +++++++++ 1 file changed, 9 insertions(+) (limited to 'buch/papers/sturmliouville/eigenschaften.tex') diff --git a/buch/papers/sturmliouville/eigenschaften.tex b/buch/papers/sturmliouville/eigenschaften.tex index bef8a39..7ac2d92 100644 --- a/buch/papers/sturmliouville/eigenschaften.tex +++ b/buch/papers/sturmliouville/eigenschaften.tex @@ -4,10 +4,19 @@ % % (c) 2020 Prof Dr Andreas Müller, Hochschule Rapperswil % + + \section{Eigenschaften von Lösungen \label{sturmliouville:section:solution-properties}} \rhead{Eigenschaften von Lösungen} + +%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% OLD section %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% + +% \section{OLD: Eigenschaften von Lösungen} +% \label{sturmliouville:section:solution-properties}} +% \rhead{Eigenschaften von Lösungen} + Im weiteren werden nun die Eigenschaften der Lösungen eines Sturm-Liouville-Problems diskutiert und aufgezeigt, wie diese Eigenschaften zustande kommen. -- cgit v1.2.1 From 578b2428f3e2a1be020de0254c6e1e679aca1957 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: =?UTF-8?q?Erik=20L=C3=B6ffler?= <100943759+erik-loeffler@users.noreply.github.com> Date: Sat, 20 Aug 2022 15:00:08 +0200 Subject: Added hints for revised structure. --- buch/papers/sturmliouville/eigenschaften.tex | 17 +++++++++++++++-- 1 file changed, 15 insertions(+), 2 deletions(-) (limited to 'buch/papers/sturmliouville/eigenschaften.tex') diff --git a/buch/papers/sturmliouville/eigenschaften.tex b/buch/papers/sturmliouville/eigenschaften.tex index 7ac2d92..6085e75 100644 --- a/buch/papers/sturmliouville/eigenschaften.tex +++ b/buch/papers/sturmliouville/eigenschaften.tex @@ -10,6 +10,19 @@ \label{sturmliouville:section:solution-properties}} \rhead{Eigenschaften von Lösungen} +% TODO: +% state goal +% use only what is necessary +% make sure it is easy enough to understand (sentences as shot as possible) +% -> Eigenvalue problem with matrices only +% -> prepare reader for following examples +% +% order: +% 1. Eigenvalue problems with matrices +% 2. Sturm-Liouville is an Eigenvalue prolem +% 3. Sturm-Liouville operator (selfadjacent) +% 4. Spektralsatz (brief) +% 5. Base of orthonormal functions %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% OLD section %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% @@ -21,7 +34,7 @@ Im weiteren werden nun die Eigenschaften der Lösungen eines Sturm-Liouville-Problems diskutiert und aufgezeigt, wie diese Eigenschaften zustande kommen. -Dazu wird der Operator $L_0$ welcher bereits in +Dazu wird der Operator $L_0$ welcher bereits in Kapitel~\ref{buch:integrale:subsection:sturm-liouville-problem} betrachtet wurde, noch etwas genauer angeschaut. Es wird also im Folgenden @@ -85,7 +98,7 @@ des Sturm-Liouville-Problems orthogonal zueinander sind bezüglich des Skalarprodukts, in dem $L_0$ selbstadjungiert ist. Erfüllt also eine Differenzialgleichung die in -Abschnitt~\ref{sturmliouville:section:teil0} präsentierten Eigenschaften und +Abschnitt~\ref{sturmliouville:section:teil0} präsentierten Eigenschaften und erfüllen die Randbedingungen der Differentialgleichung die Randbedingungen des Sturm-Liouville-Problems, kann bereits geschlossen werden, dass die Lösungsfunktion des Problems eine Linearkombination aus orthogonalen -- cgit v1.2.1 From 59c0b79063b76b84f64203685bfdb2768a69b984 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: =?UTF-8?q?Erik=20L=C3=B6ffler?= <100943759+erik-loeffler@users.noreply.github.com> Date: Sun, 21 Aug 2022 23:48:29 +0200 Subject: Started revised draft of solution properties. --- buch/papers/sturmliouville/eigenschaften.tex | 64 ++++++++++++++++++++++------ 1 file changed, 52 insertions(+), 12 deletions(-) (limited to 'buch/papers/sturmliouville/eigenschaften.tex') diff --git a/buch/papers/sturmliouville/eigenschaften.tex b/buch/papers/sturmliouville/eigenschaften.tex index 6085e75..4ab5e62 100644 --- a/buch/papers/sturmliouville/eigenschaften.tex +++ b/buch/papers/sturmliouville/eigenschaften.tex @@ -5,11 +5,6 @@ % (c) 2020 Prof Dr Andreas Müller, Hochschule Rapperswil % - -\section{Eigenschaften von Lösungen -\label{sturmliouville:section:solution-properties}} -\rhead{Eigenschaften von Lösungen} - % TODO: % state goal % use only what is necessary @@ -19,16 +14,59 @@ % % order: % 1. Eigenvalue problems with matrices -% 2. Sturm-Liouville is an Eigenvalue prolem -% 3. Sturm-Liouville operator (selfadjacent) -% 4. Spektralsatz (brief) +% 2. Sturm-Liouville is an Eigenvalue problem +% 3. Sturm-Liouville operator (self-adjacent) +% 4. Spectral theorem (brief) % 5. Base of orthonormal functions +\section{Eigenschaften von Lösungen +\label{sturmliouville:section:solution-properties}} +\rhead{Eigenschaften von Lösungen} + +Im weiteren werden nun die Eigenschaften der Lösungen eines +Sturm-Liouville-Problems diskutiert. +Im wesendlichen wird darauf eingegangen, wie die Orthogonalität der Lösungen +zustande kommt. +Dazu wird zunächst das Eigenwertproblem für Matrizen wiederholt und angeschaut +unter welchen Voraussetzungen die Lösungen orthogonal sind. +Dann wird gezeigt, dass das Sturm-Liouville-Problem auch ein Eigenwertproblem +dieser Art ist und es wird auf au die Orthogononalität der Lösungsfunktion +geschlossen. + +\subsection{Eigenwertprobleme mit Matrizen} + +Das Eigenwertprobelm +\[ + A v + = + \lambda v +\] +für die $n \times n$-Matrix $A$, dem Eigenwert $\lambda$ und dem Eigenvektor $v$ +in der linearen Algebra wird häufig im Zusammenhang mit +Matrixzerlegungen diskutiert. + +Mittels Spektralsatzes kann zum Beispiel geschlossen werden, dass wenn +\[ + + = + +\] +gilt, die Matrix A symmetrisch (und somit selbstadjungiert) ist und somit eine +Orthonormalbasis aus Eigenvektoren besitzt. +In aneren Worten: durch diese Eigenschaft ist gegeben, dass A diagonalisierbar +ist und alle Eigenvektoren orthogonal zueinander sind. + +\subsection{} + + %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% OLD section %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% -% \section{OLD: Eigenschaften von Lösungen} -% \label{sturmliouville:section:solution-properties}} -% \rhead{Eigenschaften von Lösungen} +\iffalse + +\section{OLD: Eigenschaften von Lösungen +%\label{sturmliouville:section:solution-properties} +} +\rhead{Eigenschaften von Lösungen} Im weiteren werden nun die Eigenschaften der Lösungen eines Sturm-Liouville-Problems diskutiert und aufgezeigt, wie diese Eigenschaften @@ -102,4 +140,6 @@ Abschnitt~\ref{sturmliouville:section:teil0} präsentierten Eigenschaften und erfüllen die Randbedingungen der Differentialgleichung die Randbedingungen des Sturm-Liouville-Problems, kann bereits geschlossen werden, dass die Lösungsfunktion des Problems eine Linearkombination aus orthogonalen -Basisfunktionen ist. \ No newline at end of file +Basisfunktionen ist. + +\fi -- cgit v1.2.1 From db90beb875d89142f7a54dea1d0b78ac0ec573db Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: =?UTF-8?q?Erik=20L=C3=B6ffler?= Date: Mon, 22 Aug 2022 16:11:36 +0200 Subject: Added some changes to TODOs. --- buch/papers/sturmliouville/eigenschaften.tex | 4 ++-- 1 file changed, 2 insertions(+), 2 deletions(-) (limited to 'buch/papers/sturmliouville/eigenschaften.tex') diff --git a/buch/papers/sturmliouville/eigenschaften.tex b/buch/papers/sturmliouville/eigenschaften.tex index 4ab5e62..882b938 100644 --- a/buch/papers/sturmliouville/eigenschaften.tex +++ b/buch/papers/sturmliouville/eigenschaften.tex @@ -47,9 +47,9 @@ Matrixzerlegungen diskutiert. Mittels Spektralsatzes kann zum Beispiel geschlossen werden, dass wenn \[ - + \langle Av, w \rangle = - + \langle v, Aw \rangle \] gilt, die Matrix A symmetrisch (und somit selbstadjungiert) ist und somit eine Orthonormalbasis aus Eigenvektoren besitzt. -- cgit v1.2.1 From c9b4b7146d216cea89daa380260be9d29718ea05 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: =?UTF-8?q?Erik=20L=C3=B6ffler?= Date: Mon, 22 Aug 2022 17:07:24 +0200 Subject: Added new text to solution properties. --- buch/papers/sturmliouville/eigenschaften.tex | 44 ++++++++++++++++++++++++---- 1 file changed, 39 insertions(+), 5 deletions(-) (limited to 'buch/papers/sturmliouville/eigenschaften.tex') diff --git a/buch/papers/sturmliouville/eigenschaften.tex b/buch/papers/sturmliouville/eigenschaften.tex index 882b938..5cb7a29 100644 --- a/buch/papers/sturmliouville/eigenschaften.tex +++ b/buch/papers/sturmliouville/eigenschaften.tex @@ -26,7 +26,7 @@ Im weiteren werden nun die Eigenschaften der Lösungen eines Sturm-Liouville-Problems diskutiert. Im wesendlichen wird darauf eingegangen, wie die Orthogonalität der Lösungen -zustande kommt. +zustande kommt, damit diese später bei den Beispielen verwendet werden kann. Dazu wird zunächst das Eigenwertproblem für Matrizen wiederholt und angeschaut unter welchen Voraussetzungen die Lösungen orthogonal sind. Dann wird gezeigt, dass das Sturm-Liouville-Problem auch ein Eigenwertproblem @@ -34,8 +34,8 @@ dieser Art ist und es wird auf au die Orthogononalität der Lösungsfunktion geschlossen. \subsection{Eigenwertprobleme mit Matrizen} - -Das Eigenwertprobelm +% TODO +Das Eigenwertproblem \[ A v = @@ -51,13 +51,47 @@ Mittels Spektralsatzes kann zum Beispiel geschlossen werden, dass wenn = \langle v, Aw \rangle \] -gilt, die Matrix A symmetrisch (und somit selbstadjungiert) ist und somit eine +gilt, die Matrix A symmetrisch (und somit selbstadjungiert) ist und deshalb eine Orthonormalbasis aus Eigenvektoren besitzt. In aneren Worten: durch diese Eigenschaft ist gegeben, dass A diagonalisierbar ist und alle Eigenvektoren orthogonal zueinander sind. -\subsection{} +\subsection{Das Sturm-Liouville-Problem als Eigenwertproblem} +Wie in Kapitel (??) bereits eingeführt, kann das Sturm-Liouville-Problem als +Eigenwertproblem geschrieben werden, indem der Operator +\[ + L + = + \frac{1}{w(x)}\left( -\frac{d}{dx}p(x) \frac{d}{dx} + q(x)\right) +\] +eingeführt wird. +Mit diesem Operator kann nun +\[ + (p(x)y'(x))' + q(x)y(x) + = + \lambda w(x) y(x) +\] +umgeschrieben werden zu +\[ + L y + = + \lambda y. +\] + +\subsection{Orthogonalität der Lösungsfunktionen} + +Nun wird das Eigenwertproblem weiter angeschaut. +Um auf die Orthogonalität der Lösungsfunktion zu schliessen, wird dafür der +Operator $L$ genauer betrachtet. +Analog zur Matrix $A$ aus Abschnitt (??) kann auch für $L$ gezeigt werden, +dass dieser Operator selbstadjungiert ist, also dass +\[ + \langle L v, w\rangle + = + \langle v, L w\rangle +\] +gilt. %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% OLD section %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% -- cgit v1.2.1 From d2a613407668270cc0a57e2f979ed849ad5ad0ec Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: =?UTF-8?q?Erik=20L=C3=B6ffler?= Date: Mon, 22 Aug 2022 17:54:39 +0200 Subject: Minor changes. --- buch/papers/sturmliouville/eigenschaften.tex | 5 ++++- 1 file changed, 4 insertions(+), 1 deletion(-) (limited to 'buch/papers/sturmliouville/eigenschaften.tex') diff --git a/buch/papers/sturmliouville/eigenschaften.tex b/buch/papers/sturmliouville/eigenschaften.tex index 5cb7a29..19fda59 100644 --- a/buch/papers/sturmliouville/eigenschaften.tex +++ b/buch/papers/sturmliouville/eigenschaften.tex @@ -35,7 +35,7 @@ geschlossen. \subsection{Eigenwertprobleme mit Matrizen} % TODO -Das Eigenwertproblem +Das Eigenwertproblem \[ A v = @@ -58,6 +58,8 @@ ist und alle Eigenvektoren orthogonal zueinander sind. \subsection{Das Sturm-Liouville-Problem als Eigenwertproblem} +% TODO: check L for errors (- sign) + Wie in Kapitel (??) bereits eingeführt, kann das Sturm-Liouville-Problem als Eigenwertproblem geschrieben werden, indem der Operator \[ @@ -92,6 +94,7 @@ dass dieser Operator selbstadjungiert ist, also dass \langle v, L w\rangle \] gilt. +Wie in Kapitel (??) bereits gezeigt %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% OLD section %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% -- cgit v1.2.1 From 4185d85a5f36bb2f8e67c1342c12d45cf9fd67d5 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: =?UTF-8?q?Erik=20L=C3=B6ffler?= <100943759+erik-loeffler@users.noreply.github.com> Date: Tue, 23 Aug 2022 14:16:24 +0200 Subject: Eigenvalueproblem for matrices explained. --- buch/papers/sturmliouville/eigenschaften.tex | 38 ++++++++++++++++------------ 1 file changed, 22 insertions(+), 16 deletions(-) (limited to 'buch/papers/sturmliouville/eigenschaften.tex') diff --git a/buch/papers/sturmliouville/eigenschaften.tex b/buch/papers/sturmliouville/eigenschaften.tex index 19fda59..b143b6e 100644 --- a/buch/papers/sturmliouville/eigenschaften.tex +++ b/buch/papers/sturmliouville/eigenschaften.tex @@ -28,33 +28,39 @@ Sturm-Liouville-Problems diskutiert. Im wesendlichen wird darauf eingegangen, wie die Orthogonalität der Lösungen zustande kommt, damit diese später bei den Beispielen verwendet werden kann. Dazu wird zunächst das Eigenwertproblem für Matrizen wiederholt und angeschaut -unter welchen Voraussetzungen die Lösungen orthogonal sind. +unter welchen Voraussetzungen die Lösungen dieses Problems orthogonal sind. Dann wird gezeigt, dass das Sturm-Liouville-Problem auch ein Eigenwertproblem dieser Art ist und es wird auf au die Orthogononalität der Lösungsfunktion geschlossen. -\subsection{Eigenwertprobleme mit Matrizen} -% TODO -Das Eigenwertproblem +\subsection{Eigenwertprobleme mit symmetrischen Matrizen} + +% TODO: intro + +Angenomen es sei eine reelle, symmetrische $n \times n$-Matrix $A$ gegeben. +Dass $A$ symmetrisch ist, bedeutet, dass \[ - A v + \langle Av, w \rangle = - \lambda v + \langle v, Aw \rangle \] -für die $n \times n$-Matrix $A$, dem Eigenwert $\lambda$ und dem Eigenvektor $v$ -in der linearen Algebra wird häufig im Zusammenhang mit -Matrixzerlegungen diskutiert. +für $v, w \in \mathbb{R}^n$ erfüllt ist. -Mittels Spektralsatzes kann zum Beispiel geschlossen werden, dass wenn +Für reelle, symmetrische Matrizen zeigt dies auch direkt, dass die Matrix +selbstadjungiert ist. +Das ist wichtig, da der Spektralsatz~\cite{sturmliouville:spektralsatz-wiki} +für selbstadjungierte Matrizen formuliert ist. + +Dieser sagt nun aus, dass die Matrix $A$ diagonalisierbar ist. +In anderen Worten bilden die Eigenvektoren $v_i \in \mathbb{R}^n$ des +Eigenwertproblems \[ - \langle Av, w \rangle + A v_i = - \langle v, Aw \rangle + \lambda_i v_i + \qquad \lambda_i \in \mathbb{R} \] -gilt, die Matrix A symmetrisch (und somit selbstadjungiert) ist und deshalb eine -Orthonormalbasis aus Eigenvektoren besitzt. -In aneren Worten: durch diese Eigenschaft ist gegeben, dass A diagonalisierbar -ist und alle Eigenvektoren orthogonal zueinander sind. +eine Orthogonalbasis. \subsection{Das Sturm-Liouville-Problem als Eigenwertproblem} -- cgit v1.2.1 From a2b36b7f9a4e4324ef827a6fdeb3e598e2b6fa6f Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: =?UTF-8?q?Erik=20L=C3=B6ffler?= <100943759+erik-loeffler@users.noreply.github.com> Date: Tue, 23 Aug 2022 14:59:24 +0200 Subject: Finished revised draft of solution properties. --- buch/papers/sturmliouville/eigenschaften.tex | 42 ++++++++++++++++++---------- 1 file changed, 28 insertions(+), 14 deletions(-) (limited to 'buch/papers/sturmliouville/eigenschaften.tex') diff --git a/buch/papers/sturmliouville/eigenschaften.tex b/buch/papers/sturmliouville/eigenschaften.tex index b143b6e..948217a 100644 --- a/buch/papers/sturmliouville/eigenschaften.tex +++ b/buch/papers/sturmliouville/eigenschaften.tex @@ -33,7 +33,8 @@ Dann wird gezeigt, dass das Sturm-Liouville-Problem auch ein Eigenwertproblem dieser Art ist und es wird auf au die Orthogononalität der Lösungsfunktion geschlossen. -\subsection{Eigenwertprobleme mit symmetrischen Matrizen} +\subsection{Eigenwertprobleme mit symmetrischen Matrizen +\label{sturmliouville:section:eigenvalue-problem-matrix}} % TODO: intro @@ -64,43 +65,56 @@ eine Orthogonalbasis. \subsection{Das Sturm-Liouville-Problem als Eigenwertproblem} -% TODO: check L for errors (- sign) - -Wie in Kapitel (??) bereits eingeführt, kann das Sturm-Liouville-Problem als -Eigenwertproblem geschrieben werden, indem der Operator +In Kapitel~\ref{buch:integrale:subsection:sturm-liouville-problem} wurde bereits +der Operator \[ L = \frac{1}{w(x)}\left( -\frac{d}{dx}p(x) \frac{d}{dx} + q(x)\right) \] -eingeführt wird. -Mit diesem Operator kann nun +eingeführt. +Dieser wird nun verwendet um die Differenzialgleichung \[ (p(x)y'(x))' + q(x)y(x) = \lambda w(x) y(x) \] -umgeschrieben werden zu -\[ +in das Eigenwertproblem +\begin{equation} + \label{sturmliouville:eigenvalue-problem} L y = \lambda y. -\] +\end{equation} +umzuschreiben. \subsection{Orthogonalität der Lösungsfunktionen} -Nun wird das Eigenwertproblem weiter angeschaut. +Nun wird das Eigenwertproblem~\eqref{sturmliouville:eigenvalue-problem} näher +angeschaut. Um auf die Orthogonalität der Lösungsfunktion zu schliessen, wird dafür der Operator $L$ genauer betrachtet. -Analog zur Matrix $A$ aus Abschnitt (??) kann auch für $L$ gezeigt werden, -dass dieser Operator selbstadjungiert ist, also dass +Analog zur Matrix $A$ aus +Abschnitt~\ref{sturmliouville:section:eigenvalue-problem-matrix} kann auch für +$L$ gezeigt werden, dass dieser Operator selbstadjungiert ist, also dass \[ \langle L v, w\rangle = \langle v, L w\rangle \] gilt. -Wie in Kapitel (??) bereits gezeigt +Wie in Kapitel~\ref{buch:integrale:subsection:sturm-liouville-problem} bereits +gezeigt, ist dies durch die Randbedingungen des Sturm-Liouville-Problems +sicher gestellt. + +Um nun über den Spektralsatz auf die Orthogonalität der Lösungsfunktion $y$ zu +schliessen, muss der Operator $L$ ein sogenannter \"kompakter Operator\" sein. +Bei einem regulären Sturm-Liouville-Problem ist diese für $L$ gegeben und wird +im Weiteren nicht näher diskutiert. + +Es kann nun also dank dem Spektralsatz darauf geschlossen werden, dass die +Lösungsfunktion $y$ eises regulären Sturm-Liouville-Problems eine +Linearkombination aus orthogonalen Basisfunktionen sein muss. %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% OLD section %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% -- cgit v1.2.1