From d80e30b37d3b51fc4d47229fb3e88610fbc7a476 Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: haddoucher <reda.haddouche@ost.ch>
Date: Mon, 22 Aug 2022 14:43:20 +0200
Subject: neuste Version

---
 buch/papers/sturmliouville/eigenschaften.tex | 105 ++++++++++++++++++++++-----
 1 file changed, 86 insertions(+), 19 deletions(-)

(limited to 'buch/papers/sturmliouville/eigenschaften.tex')

diff --git a/buch/papers/sturmliouville/eigenschaften.tex b/buch/papers/sturmliouville/eigenschaften.tex
index fda8be6..4ab5e62 100644
--- a/buch/papers/sturmliouville/eigenschaften.tex
+++ b/buch/papers/sturmliouville/eigenschaften.tex
@@ -1,17 +1,78 @@
 %
 % eigenschaften.tex -- Eigenschaften der Lösungen
+% Author: Erik Löffler
 %
 % (c) 2020 Prof Dr Andreas Müller, Hochschule Rapperswil
 %
+
+% TODO:
+%  state goal
+%  use only what is necessary
+%  make sure it is easy enough to understand (sentences as shot as possible)
+%    -> Eigenvalue problem with matrices only
+%    -> prepare reader for following examples
+%
+% order:
+%  1. Eigenvalue problems with matrices
+%  2. Sturm-Liouville is an Eigenvalue problem
+%  3. Sturm-Liouville operator (self-adjacent)
+%  4. Spectral theorem (brief)
+%  5. Base of orthonormal functions
+
 \section{Eigenschaften von Lösungen
 \label{sturmliouville:section:solution-properties}}
 \rhead{Eigenschaften von Lösungen}
 
+Im weiteren werden nun die Eigenschaften der Lösungen eines
+Sturm-Liouville-Problems diskutiert.
+Im wesendlichen wird darauf eingegangen, wie die Orthogonalität der Lösungen
+zustande kommt.
+Dazu wird zunächst das Eigenwertproblem für Matrizen wiederholt und angeschaut
+unter welchen Voraussetzungen die Lösungen orthogonal sind.
+Dann wird gezeigt, dass das Sturm-Liouville-Problem auch ein Eigenwertproblem
+dieser Art ist und es wird auf au die Orthogononalität der Lösungsfunktion
+geschlossen.
+
+\subsection{Eigenwertprobleme mit Matrizen}
+
+Das Eigenwertprobelm 
+\[
+    A v
+    =
+    \lambda v 
+\]
+für die $n \times n$-Matrix $A$, dem Eigenwert $\lambda$ und dem Eigenvektor $v$
+in der linearen Algebra wird häufig im Zusammenhang mit
+Matrixzerlegungen diskutiert.
+
+Mittels Spektralsatzes kann zum Beispiel geschlossen werden, dass wenn
+\[
+    <Av, w>
+    =
+    <v, Aw>
+\]
+gilt, die Matrix A symmetrisch (und somit selbstadjungiert) ist und somit eine
+Orthonormalbasis aus Eigenvektoren besitzt.
+In aneren Worten: durch diese Eigenschaft ist gegeben, dass A diagonalisierbar
+ist und alle Eigenvektoren orthogonal zueinander sind.
+
+\subsection{}
+
+
+%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% OLD section %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
+
+\iffalse
+
+\section{OLD: Eigenschaften von Lösungen
+%\label{sturmliouville:section:solution-properties}
+}
+\rhead{Eigenschaften von Lösungen}
+
 Im weiteren werden nun die Eigenschaften der Lösungen eines
 Sturm-Liouville-Problems diskutiert und aufgezeigt, wie diese Eigenschaften
 zustande kommen.
 
-Dazu wird der Operator $L_0$ welcher bereits in 
+Dazu wird der Operator $L_0$ welcher bereits in
 Kapitel~\ref{buch:integrale:subsection:sturm-liouville-problem} betrachtet
 wurde, noch etwas genauer angeschaut.
 Es wird also im Folgenden
@@ -36,43 +97,49 @@ für die Lösungen des Sturm-Liouville-Problems zur Folge hat.
 
 \subsubsection{Exkurs zum Spektralsatz}
 
-Um zu verstehen was für Eigenschaften der selbstadjungierte Operator $L_0$ in 
+Um zu verstehen welche Eigenschaften der selbstadjungierte Operator $L_0$ in 
 den Lösungen hervorbringt, wird der Spektralsatz benötigt.
 
 Dieser wird in der linearen Algebra oft verwendet um zu zeigen, dass eine Matrix
 diagonalisierbar ist, beziehungsweise dass eine Orthonormalbasis existiert.
-Dazu wird zunächst gezeigt, dass eine gegebene $n\times n$-Matrix $A$ aus einem
-endlichdimensionalem $\mathbb{K}$-Vektorraum selbstadungiert ist, also dass
+
+Im Fall einer gegebenen $n\times n$-Matrix $A$ mit reellen Einträgen wird dazu 
+zunächst gezeigt, dass $A$ selbstadjungiert ist, also dass
 \[
     \langle Av, w \rangle
     =
     \langle v, Aw \rangle
 \]
-für $ v, w \in \mathbb{K}^n$ gilt.
-Ist dies der Fall, folgt direkt, dass $A$ auch normal ist.
-Dann wird die Aussage des Spektralsatzes
-\cite{sturmliouville:spektralsatz-wiki} verwended, welche besagt, dass für
-Endomorphismen genau dann eine Orthonormalbasis aus Eigenvektoren existiert,
-wenn sie normal sind und nur Eigenwerte aus $\mathbb{K}$ besitzten.
+für $ v, w \in \mathbb{R}^n$ gilt.
+Ist dies der Fall, kann die Aussage des Spektralsatzes
+\cite{sturmliouville:spektralsatz-wiki} verwended werden.
+Daraus folgt dann, dass eine Orthonormalbasis aus Eigenvektoren existiert,
+wenn $A$ nur Eigenwerte aus $\mathbb{R}$ besitzt.
 
 Dies ist allerdings nicht die Einzige Version des Spektralsatzes.
-Unter anderen gibt es den Spektralsatz für kompakte Operatoren 
-\cite{sturmliouville:spektralsatz-wiki}.
-Dieser besagt, dass wenn ein linearer kompakter Operator in
-$\mathbb{R}$ selbstadjungiert ist, ein (eventuell endliches)
-Orthonormalsystem existiert.
+Unter anderen gibt es den Spektralsatz für kompakte Operatoren
+\cite{sturmliouville:spektralsatz-wiki}, welcher für das
+Sturm-Liouville-Problem von Bedeutung ist.
+Welche Voraussetzungen erfüllt sein müssen, um diese Version des
+Satzes verwenden zu können, wird hier aber nicht diskutiert und kann bei den
+Beispielen in diesem Kapitel als gegeben betrachtet werden.
+Grundsätzlich ist die Aussage in dieser Version dieselbe, wie bei den Matrizen,
+also dass für ein Operator eine Orthonormalbasis aus Eigenvektoren existiert,
+falls er selbstadjungiert ist.
 
 \subsubsection{Anwendung des Spektralsatzes auf $L_0$}
 
 Der Spektralsatz besagt also, dass, weil $L_0$ selbstadjungiert ist, eine
 Orthonormalbasis aus Eigenvektoren existiert.
 Genauer bedeutet dies, dass alle Eigenvektoren, beziehungsweise alle Lösungen
-des Sturm-Liouville-Problems orthogonal zueinander sind bezüglich dem
-Skalarprodukt, in dem $L_0$ selbstadjungiert ist.
+des Sturm-Liouville-Problems orthogonal zueinander sind bezüglich des
+Skalarprodukts, in dem $L_0$ selbstadjungiert ist.
 
 Erfüllt also eine Differenzialgleichung die in
-Abschnitt~\ref{sturmliouville:section:teil0} präsentierten Eigenschaften und 
+Abschnitt~\ref{sturmliouville:section:teil0} präsentierten Eigenschaften und
 erfüllen die Randbedingungen der Differentialgleichung die Randbedingungen
 des Sturm-Liouville-Problems, kann bereits geschlossen werden, dass die
 Lösungsfunktion des Problems eine Linearkombination aus orthogonalen
-Basisfunktionen ist.
\ No newline at end of file
+Basisfunktionen ist.
+
+\fi
-- 
cgit v1.2.1

