From 97e85459986381371236d1b9529d67064ac226c8 Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: =?UTF-8?q?Erik=20L=C3=B6ffler?= <erik.loeffler@ost.ch>
Date: Mon, 15 Aug 2022 11:58:27 +0200
Subject: Started properties of solutions.

---
 buch/papers/sturmliouville/eigenschaften.tex | 16 ++++++++++++++--
 1 file changed, 14 insertions(+), 2 deletions(-)

(limited to 'buch/papers/sturmliouville/eigenschaften.tex')

diff --git a/buch/papers/sturmliouville/eigenschaften.tex b/buch/papers/sturmliouville/eigenschaften.tex
index 9f20070..6e6a26f 100644
--- a/buch/papers/sturmliouville/eigenschaften.tex
+++ b/buch/papers/sturmliouville/eigenschaften.tex
@@ -1,9 +1,21 @@
 %
-% teil1.tex -- Beispiel-File für das Paper
+% eigenschaften.tex -- Eigenschaften der Lösungen
 %
 % (c) 2020 Prof Dr Andreas Müller, Hochschule Rapperswil
 %
 \section{Eigenschaften von Lösungen
 \label{sturmliouville:section:solution-properties}}
 \rhead{Eigenschaften von Lösungen}
-% Erik work
+
+Im weiteren werden nun die Eigenschaften der Lösungen eines
+Sturm-Liouville-Problems diskutiert und aufgezeigt, wie diese Eigenschaften
+zustande kommen.
+
+Dazu wird der Operator $L_0$ welcher bereits in Kapitel
+\ref{buch:integrale:subsection:sturm-liouville-problem} betrachtet wurde,
+noch etwas genauer angeschaut. Es wird also
+\[
+    L_0
+    =
+    -\frac{d}{dx}p(x)
+\]
\ No newline at end of file
-- 
cgit v1.2.1


From 23d12ac04f38d75c3a904fd99cf6586efc7ea267 Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: =?UTF-8?q?Erik=20L=C3=B6ffler?= <erik.loeffler@ost.ch>
Date: Mon, 15 Aug 2022 13:13:59 +0200
Subject: Finished first version of solution properties.

---
 buch/papers/sturmliouville/eigenschaften.tex | 60 ++++++++++++++++++++++++++--
 1 file changed, 57 insertions(+), 3 deletions(-)

(limited to 'buch/papers/sturmliouville/eigenschaften.tex')

diff --git a/buch/papers/sturmliouville/eigenschaften.tex b/buch/papers/sturmliouville/eigenschaften.tex
index 6e6a26f..1552f7f 100644
--- a/buch/papers/sturmliouville/eigenschaften.tex
+++ b/buch/papers/sturmliouville/eigenschaften.tex
@@ -13,9 +13,63 @@ zustande kommen.
 
 Dazu wird der Operator $L_0$ welcher bereits in Kapitel
 \ref{buch:integrale:subsection:sturm-liouville-problem} betrachtet wurde,
-noch etwas genauer angeschaut. Es wird also
+noch etwas genauer angeschaut. Es wird also im Folgenden
 \[
     L_0
     =
-    -\frac{d}{dx}p(x)
-\]
\ No newline at end of file
+    -\frac{d}{dx}p(x)\frac{d}{dx}
+\]
+zusammen mit den Randbedingungen
+\[
+    \begin{aligned}
+        k_a y(a) + h_a p(a) y'(a) &= 0 \\
+        k_b y(b) + h_b p(b) y'(b) &= 0
+    \end{aligned}
+\]
+verwendet. Wie im Kapitel
+\ref{buch:integrale:subsection:sturm-liouville-problem} bereits gezeigt,
+resultieren die Randbedingungen aus der Anforderung den Operator $L_0$
+selbsadjungiert zu machen.
+Es wurde allerdings noch nicht darauf eingegangen, welche Eigenschaften dies
+für die Lösungen des Sturm-Liouville-Problems zur Folge hat.
+
+\subsubsection{Exkurs zum Spektralsatz}
+
+Um zu verstehen was für Eigenschaften der selbstadjungierte Operator $L_0$ in 
+den Lösungen hervorbringt, wird der Spektralsatz benötigt.
+
+Dieser wird in der linearen Algebra oft verwendet um zu zeigen, dass eine Matrix
+diagonalisierbar ist, beziehungsweise dass eine Orthonormalbasis existiert.
+Dazu wird zunächst gezeigt, dass eine gegebene $n\times n$-Matrix $A$ aus einem
+endlichdimensionalem $\mathbb{K}$-Vektorraum selbstadungiert ist, also dass
+\[
+    \langle Av, w \rangle
+    =
+    \langle v, Aw \rangle
+\]
+für $ v, w \in \mathbb{K}^n$ gilt.
+Ist dies der Fall, folgt direkt, dass $A$ auch normal ist.
+Dann wird die Aussage des Spektralsatzes verwended, welche besagt, dass für
+Endomorphismen genau dann eine Orthonormalbasis aus Eigenvektoren existiert,
+wenn sie normal sind und nur Eigenwerte aus $\mathbb{K}$ besitzten.
+
+Dies ist allerdings nicht die Einzige Version des Spektralsatzes.
+Unter anderen gibt es den Spektralsatz für kompakte Operatoren.
+Dieser besagt, dass wenn ein linearer kompakter Operator in
+$\mathbb{R}$ selbstadjungiert ist, ein (eventuell endliches)
+Orthonormalsystem existiert.
+
+\subsubsection{Anwendung des Spektralsatzes auf $L_0$}
+
+Der Spektralsatz besagt also, dass, weil $ L_0 $ selbstadjungiert ist, eine
+Orthonormalbasis aus Eigenvektoren existiert.
+Genauer bedeutet dies, dass alle Eigenvektoren beziehungsweise alle Lösungen
+des Sturm-Liouville-Problems orthogonal zueinander sind bezüglich dem
+Skalarprodukt, in dem $ L_0 $ selbstadjungiert ist.
+
+Erfüllt also eine Differenzialgleichung die in Abschnitt
+\ref{sturmliouville:section:teil0} präsentierten Eigenschaften und erfüllen
+die Randbedingungen der Differentialgleichung die Randbedingungen
+des Sturm-Liouville-Problems, kann bereits geschlossen werden, dass die
+Lösungsfunktion des Problems eine Linearkombination aus orthogonalen
+Basisfunktionen ist.
\ No newline at end of file
-- 
cgit v1.2.1


From 8c6898303fc394c4f132664ef0b15fe484e9c5d9 Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: =?UTF-8?q?Erik=20L=C3=B6ffler?= <erik.loeffler@ost.ch>
Date: Mon, 15 Aug 2022 13:42:16 +0200
Subject: Added reference for "Spektralsatz".

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 buch/papers/sturmliouville/eigenschaften.tex | 6 ++++--
 1 file changed, 4 insertions(+), 2 deletions(-)

(limited to 'buch/papers/sturmliouville/eigenschaften.tex')

diff --git a/buch/papers/sturmliouville/eigenschaften.tex b/buch/papers/sturmliouville/eigenschaften.tex
index 1552f7f..f972cd5 100644
--- a/buch/papers/sturmliouville/eigenschaften.tex
+++ b/buch/papers/sturmliouville/eigenschaften.tex
@@ -49,12 +49,14 @@ endlichdimensionalem $\mathbb{K}$-Vektorraum selbstadungiert ist, also dass
 \]
 für $ v, w \in \mathbb{K}^n$ gilt.
 Ist dies der Fall, folgt direkt, dass $A$ auch normal ist.
-Dann wird die Aussage des Spektralsatzes verwended, welche besagt, dass für
+Dann wird die Aussage des Spektralsatzes
+\cite{sturmliouville:spektralsatz-wiki} verwended, welche besagt, dass für
 Endomorphismen genau dann eine Orthonormalbasis aus Eigenvektoren existiert,
 wenn sie normal sind und nur Eigenwerte aus $\mathbb{K}$ besitzten.
 
 Dies ist allerdings nicht die Einzige Version des Spektralsatzes.
-Unter anderen gibt es den Spektralsatz für kompakte Operatoren.
+Unter anderen gibt es den Spektralsatz für kompakte Operatoren 
+\cite{sturmliouville:spektralsatz-wiki}.
 Dieser besagt, dass wenn ein linearer kompakter Operator in
 $\mathbb{R}$ selbstadjungiert ist, ein (eventuell endliches)
 Orthonormalsystem existiert.
-- 
cgit v1.2.1


From 8b01c81f362cf20246e3d8319edfda15c18ff83f Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: =?UTF-8?q?Erik=20L=C3=B6ffler?= <erik.loeffler@ost.ch>
Date: Mon, 15 Aug 2022 13:45:34 +0200
Subject: Improved code formatting.

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 buch/papers/sturmliouville/eigenschaften.tex | 6 ++++--
 1 file changed, 4 insertions(+), 2 deletions(-)

(limited to 'buch/papers/sturmliouville/eigenschaften.tex')

diff --git a/buch/papers/sturmliouville/eigenschaften.tex b/buch/papers/sturmliouville/eigenschaften.tex
index f972cd5..4c14630 100644
--- a/buch/papers/sturmliouville/eigenschaften.tex
+++ b/buch/papers/sturmliouville/eigenschaften.tex
@@ -13,7 +13,8 @@ zustande kommen.
 
 Dazu wird der Operator $L_0$ welcher bereits in Kapitel
 \ref{buch:integrale:subsection:sturm-liouville-problem} betrachtet wurde,
-noch etwas genauer angeschaut. Es wird also im Folgenden
+noch etwas genauer angeschaut.
+Es wird also im Folgenden
 \[
     L_0
     =
@@ -26,7 +27,8 @@ zusammen mit den Randbedingungen
         k_b y(b) + h_b p(b) y'(b) &= 0
     \end{aligned}
 \]
-verwendet. Wie im Kapitel
+verwendet.
+Wie im Kapitel
 \ref{buch:integrale:subsection:sturm-liouville-problem} bereits gezeigt,
 resultieren die Randbedingungen aus der Anforderung den Operator $L_0$
 selbsadjungiert zu machen.
-- 
cgit v1.2.1


From 987a5b51eaf65c4074c50ba12a3b21c2d2957260 Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: =?UTF-8?q?Erik=20L=C3=B6ffler?= <erik.loeffler@ost.ch>
Date: Mon, 15 Aug 2022 15:06:11 +0200
Subject: Corrected small mistake in psolution roperties.

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 buch/papers/sturmliouville/eigenschaften.tex | 4 ++--
 1 file changed, 2 insertions(+), 2 deletions(-)

(limited to 'buch/papers/sturmliouville/eigenschaften.tex')

diff --git a/buch/papers/sturmliouville/eigenschaften.tex b/buch/papers/sturmliouville/eigenschaften.tex
index 4c14630..8553238 100644
--- a/buch/papers/sturmliouville/eigenschaften.tex
+++ b/buch/papers/sturmliouville/eigenschaften.tex
@@ -37,7 +37,7 @@ für die Lösungen des Sturm-Liouville-Problems zur Folge hat.
 
 \subsubsection{Exkurs zum Spektralsatz}
 
-Um zu verstehen was für Eigenschaften der selbstadjungierte Operator $L_0$ in 
+Um zu verstehen was für Eigenschaften der selbstadjungierte Operator $ L_0 $ in 
 den Lösungen hervorbringt, wird der Spektralsatz benötigt.
 
 Dieser wird in der linearen Algebra oft verwendet um zu zeigen, dass eine Matrix
@@ -67,7 +67,7 @@ Orthonormalsystem existiert.
 
 Der Spektralsatz besagt also, dass, weil $ L_0 $ selbstadjungiert ist, eine
 Orthonormalbasis aus Eigenvektoren existiert.
-Genauer bedeutet dies, dass alle Eigenvektoren beziehungsweise alle Lösungen
+Genauer bedeutet dies, dass alle Eigenvektoren, beziehungsweise alle Lösungen
 des Sturm-Liouville-Problems orthogonal zueinander sind bezüglich dem
 Skalarprodukt, in dem $ L_0 $ selbstadjungiert ist.
 
-- 
cgit v1.2.1


From 53cc7f1baf28448cb6196ba6ddf305e1b1403e7d Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: =?UTF-8?q?Erik=20L=C3=B6ffler?= <erik.loeffler@ost.ch>
Date: Mon, 15 Aug 2022 15:45:11 +0200
Subject: Changed reference to conform with convetion.

---
 buch/papers/sturmliouville/eigenschaften.tex | 23 +++++++++++------------
 1 file changed, 11 insertions(+), 12 deletions(-)

(limited to 'buch/papers/sturmliouville/eigenschaften.tex')

diff --git a/buch/papers/sturmliouville/eigenschaften.tex b/buch/papers/sturmliouville/eigenschaften.tex
index 8553238..fda8be6 100644
--- a/buch/papers/sturmliouville/eigenschaften.tex
+++ b/buch/papers/sturmliouville/eigenschaften.tex
@@ -11,9 +11,9 @@ Im weiteren werden nun die Eigenschaften der Lösungen eines
 Sturm-Liouville-Problems diskutiert und aufgezeigt, wie diese Eigenschaften
 zustande kommen.
 
-Dazu wird der Operator $L_0$ welcher bereits in Kapitel
-\ref{buch:integrale:subsection:sturm-liouville-problem} betrachtet wurde,
-noch etwas genauer angeschaut.
+Dazu wird der Operator $L_0$ welcher bereits in 
+Kapitel~\ref{buch:integrale:subsection:sturm-liouville-problem} betrachtet
+wurde, noch etwas genauer angeschaut.
 Es wird also im Folgenden
 \[
     L_0
@@ -28,16 +28,15 @@ zusammen mit den Randbedingungen
     \end{aligned}
 \]
 verwendet.
-Wie im Kapitel
-\ref{buch:integrale:subsection:sturm-liouville-problem} bereits gezeigt,
-resultieren die Randbedingungen aus der Anforderung den Operator $L_0$
+Wie im Kapitel~\ref{buch:integrale:subsection:sturm-liouville-problem} bereits 
+gezeigt, resultieren die Randbedingungen aus der Anforderung den Operator $L_0$
 selbsadjungiert zu machen.
 Es wurde allerdings noch nicht darauf eingegangen, welche Eigenschaften dies
 für die Lösungen des Sturm-Liouville-Problems zur Folge hat.
 
 \subsubsection{Exkurs zum Spektralsatz}
 
-Um zu verstehen was für Eigenschaften der selbstadjungierte Operator $ L_0 $ in 
+Um zu verstehen was für Eigenschaften der selbstadjungierte Operator $L_0$ in 
 den Lösungen hervorbringt, wird der Spektralsatz benötigt.
 
 Dieser wird in der linearen Algebra oft verwendet um zu zeigen, dass eine Matrix
@@ -65,15 +64,15 @@ Orthonormalsystem existiert.
 
 \subsubsection{Anwendung des Spektralsatzes auf $L_0$}
 
-Der Spektralsatz besagt also, dass, weil $ L_0 $ selbstadjungiert ist, eine
+Der Spektralsatz besagt also, dass, weil $L_0$ selbstadjungiert ist, eine
 Orthonormalbasis aus Eigenvektoren existiert.
 Genauer bedeutet dies, dass alle Eigenvektoren, beziehungsweise alle Lösungen
 des Sturm-Liouville-Problems orthogonal zueinander sind bezüglich dem
-Skalarprodukt, in dem $ L_0 $ selbstadjungiert ist.
+Skalarprodukt, in dem $L_0$ selbstadjungiert ist.
 
-Erfüllt also eine Differenzialgleichung die in Abschnitt
-\ref{sturmliouville:section:teil0} präsentierten Eigenschaften und erfüllen
-die Randbedingungen der Differentialgleichung die Randbedingungen
+Erfüllt also eine Differenzialgleichung die in
+Abschnitt~\ref{sturmliouville:section:teil0} präsentierten Eigenschaften und 
+erfüllen die Randbedingungen der Differentialgleichung die Randbedingungen
 des Sturm-Liouville-Problems, kann bereits geschlossen werden, dass die
 Lösungsfunktion des Problems eine Linearkombination aus orthogonalen
 Basisfunktionen ist.
\ No newline at end of file
-- 
cgit v1.2.1

