From 97e85459986381371236d1b9529d67064ac226c8 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: =?UTF-8?q?Erik=20L=C3=B6ffler?= Date: Mon, 15 Aug 2022 11:58:27 +0200 Subject: Started properties of solutions. --- buch/papers/sturmliouville/eigenschaften.tex | 16 ++++++++++++++-- 1 file changed, 14 insertions(+), 2 deletions(-) (limited to 'buch/papers/sturmliouville/eigenschaften.tex') diff --git a/buch/papers/sturmliouville/eigenschaften.tex b/buch/papers/sturmliouville/eigenschaften.tex index 9f20070..6e6a26f 100644 --- a/buch/papers/sturmliouville/eigenschaften.tex +++ b/buch/papers/sturmliouville/eigenschaften.tex @@ -1,9 +1,21 @@ % -% teil1.tex -- Beispiel-File für das Paper +% eigenschaften.tex -- Eigenschaften der Lösungen % % (c) 2020 Prof Dr Andreas Müller, Hochschule Rapperswil % \section{Eigenschaften von Lösungen \label{sturmliouville:section:solution-properties}} \rhead{Eigenschaften von Lösungen} -% Erik work + +Im weiteren werden nun die Eigenschaften der Lösungen eines +Sturm-Liouville-Problems diskutiert und aufgezeigt, wie diese Eigenschaften +zustande kommen. + +Dazu wird der Operator $L_0$ welcher bereits in Kapitel +\ref{buch:integrale:subsection:sturm-liouville-problem} betrachtet wurde, +noch etwas genauer angeschaut. Es wird also +\[ + L_0 + = + -\frac{d}{dx}p(x) +\] \ No newline at end of file -- cgit v1.2.1 From 23d12ac04f38d75c3a904fd99cf6586efc7ea267 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: =?UTF-8?q?Erik=20L=C3=B6ffler?= Date: Mon, 15 Aug 2022 13:13:59 +0200 Subject: Finished first version of solution properties. --- buch/papers/sturmliouville/eigenschaften.tex | 60 ++++++++++++++++++++++++++-- 1 file changed, 57 insertions(+), 3 deletions(-) (limited to 'buch/papers/sturmliouville/eigenschaften.tex') diff --git a/buch/papers/sturmliouville/eigenschaften.tex b/buch/papers/sturmliouville/eigenschaften.tex index 6e6a26f..1552f7f 100644 --- a/buch/papers/sturmliouville/eigenschaften.tex +++ b/buch/papers/sturmliouville/eigenschaften.tex @@ -13,9 +13,63 @@ zustande kommen. Dazu wird der Operator $L_0$ welcher bereits in Kapitel \ref{buch:integrale:subsection:sturm-liouville-problem} betrachtet wurde, -noch etwas genauer angeschaut. Es wird also +noch etwas genauer angeschaut. Es wird also im Folgenden \[ L_0 = - -\frac{d}{dx}p(x) -\] \ No newline at end of file + -\frac{d}{dx}p(x)\frac{d}{dx} +\] +zusammen mit den Randbedingungen +\[ + \begin{aligned} + k_a y(a) + h_a p(a) y'(a) &= 0 \\ + k_b y(b) + h_b p(b) y'(b) &= 0 + \end{aligned} +\] +verwendet. Wie im Kapitel +\ref{buch:integrale:subsection:sturm-liouville-problem} bereits gezeigt, +resultieren die Randbedingungen aus der Anforderung den Operator $L_0$ +selbsadjungiert zu machen. +Es wurde allerdings noch nicht darauf eingegangen, welche Eigenschaften dies +für die Lösungen des Sturm-Liouville-Problems zur Folge hat. + +\subsubsection{Exkurs zum Spektralsatz} + +Um zu verstehen was für Eigenschaften der selbstadjungierte Operator $L_0$ in +den Lösungen hervorbringt, wird der Spektralsatz benötigt. + +Dieser wird in der linearen Algebra oft verwendet um zu zeigen, dass eine Matrix +diagonalisierbar ist, beziehungsweise dass eine Orthonormalbasis existiert. +Dazu wird zunächst gezeigt, dass eine gegebene $n\times n$-Matrix $A$ aus einem +endlichdimensionalem $\mathbb{K}$-Vektorraum selbstadungiert ist, also dass +\[ + \langle Av, w \rangle + = + \langle v, Aw \rangle +\] +für $ v, w \in \mathbb{K}^n$ gilt. +Ist dies der Fall, folgt direkt, dass $A$ auch normal ist. +Dann wird die Aussage des Spektralsatzes verwended, welche besagt, dass für +Endomorphismen genau dann eine Orthonormalbasis aus Eigenvektoren existiert, +wenn sie normal sind und nur Eigenwerte aus $\mathbb{K}$ besitzten. + +Dies ist allerdings nicht die Einzige Version des Spektralsatzes. +Unter anderen gibt es den Spektralsatz für kompakte Operatoren. +Dieser besagt, dass wenn ein linearer kompakter Operator in +$\mathbb{R}$ selbstadjungiert ist, ein (eventuell endliches) +Orthonormalsystem existiert. + +\subsubsection{Anwendung des Spektralsatzes auf $L_0$} + +Der Spektralsatz besagt also, dass, weil $ L_0 $ selbstadjungiert ist, eine +Orthonormalbasis aus Eigenvektoren existiert. +Genauer bedeutet dies, dass alle Eigenvektoren beziehungsweise alle Lösungen +des Sturm-Liouville-Problems orthogonal zueinander sind bezüglich dem +Skalarprodukt, in dem $ L_0 $ selbstadjungiert ist. + +Erfüllt also eine Differenzialgleichung die in Abschnitt +\ref{sturmliouville:section:teil0} präsentierten Eigenschaften und erfüllen +die Randbedingungen der Differentialgleichung die Randbedingungen +des Sturm-Liouville-Problems, kann bereits geschlossen werden, dass die +Lösungsfunktion des Problems eine Linearkombination aus orthogonalen +Basisfunktionen ist. \ No newline at end of file -- cgit v1.2.1 From 8c6898303fc394c4f132664ef0b15fe484e9c5d9 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: =?UTF-8?q?Erik=20L=C3=B6ffler?= Date: Mon, 15 Aug 2022 13:42:16 +0200 Subject: Added reference for "Spektralsatz". --- buch/papers/sturmliouville/eigenschaften.tex | 6 ++++-- 1 file changed, 4 insertions(+), 2 deletions(-) (limited to 'buch/papers/sturmliouville/eigenschaften.tex') diff --git a/buch/papers/sturmliouville/eigenschaften.tex b/buch/papers/sturmliouville/eigenschaften.tex index 1552f7f..f972cd5 100644 --- a/buch/papers/sturmliouville/eigenschaften.tex +++ b/buch/papers/sturmliouville/eigenschaften.tex @@ -49,12 +49,14 @@ endlichdimensionalem $\mathbb{K}$-Vektorraum selbstadungiert ist, also dass \] für $ v, w \in \mathbb{K}^n$ gilt. Ist dies der Fall, folgt direkt, dass $A$ auch normal ist. -Dann wird die Aussage des Spektralsatzes verwended, welche besagt, dass für +Dann wird die Aussage des Spektralsatzes +\cite{sturmliouville:spektralsatz-wiki} verwended, welche besagt, dass für Endomorphismen genau dann eine Orthonormalbasis aus Eigenvektoren existiert, wenn sie normal sind und nur Eigenwerte aus $\mathbb{K}$ besitzten. Dies ist allerdings nicht die Einzige Version des Spektralsatzes. -Unter anderen gibt es den Spektralsatz für kompakte Operatoren. +Unter anderen gibt es den Spektralsatz für kompakte Operatoren +\cite{sturmliouville:spektralsatz-wiki}. Dieser besagt, dass wenn ein linearer kompakter Operator in $\mathbb{R}$ selbstadjungiert ist, ein (eventuell endliches) Orthonormalsystem existiert. -- cgit v1.2.1 From 8b01c81f362cf20246e3d8319edfda15c18ff83f Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: =?UTF-8?q?Erik=20L=C3=B6ffler?= Date: Mon, 15 Aug 2022 13:45:34 +0200 Subject: Improved code formatting. --- buch/papers/sturmliouville/eigenschaften.tex | 6 ++++-- 1 file changed, 4 insertions(+), 2 deletions(-) (limited to 'buch/papers/sturmliouville/eigenschaften.tex') diff --git a/buch/papers/sturmliouville/eigenschaften.tex b/buch/papers/sturmliouville/eigenschaften.tex index f972cd5..4c14630 100644 --- a/buch/papers/sturmliouville/eigenschaften.tex +++ b/buch/papers/sturmliouville/eigenschaften.tex @@ -13,7 +13,8 @@ zustande kommen. Dazu wird der Operator $L_0$ welcher bereits in Kapitel \ref{buch:integrale:subsection:sturm-liouville-problem} betrachtet wurde, -noch etwas genauer angeschaut. Es wird also im Folgenden +noch etwas genauer angeschaut. +Es wird also im Folgenden \[ L_0 = @@ -26,7 +27,8 @@ zusammen mit den Randbedingungen k_b y(b) + h_b p(b) y'(b) &= 0 \end{aligned} \] -verwendet. Wie im Kapitel +verwendet. +Wie im Kapitel \ref{buch:integrale:subsection:sturm-liouville-problem} bereits gezeigt, resultieren die Randbedingungen aus der Anforderung den Operator $L_0$ selbsadjungiert zu machen. -- cgit v1.2.1 From 987a5b51eaf65c4074c50ba12a3b21c2d2957260 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: =?UTF-8?q?Erik=20L=C3=B6ffler?= Date: Mon, 15 Aug 2022 15:06:11 +0200 Subject: Corrected small mistake in psolution roperties. --- buch/papers/sturmliouville/eigenschaften.tex | 4 ++-- 1 file changed, 2 insertions(+), 2 deletions(-) (limited to 'buch/papers/sturmliouville/eigenschaften.tex') diff --git a/buch/papers/sturmliouville/eigenschaften.tex b/buch/papers/sturmliouville/eigenschaften.tex index 4c14630..8553238 100644 --- a/buch/papers/sturmliouville/eigenschaften.tex +++ b/buch/papers/sturmliouville/eigenschaften.tex @@ -37,7 +37,7 @@ für die Lösungen des Sturm-Liouville-Problems zur Folge hat. \subsubsection{Exkurs zum Spektralsatz} -Um zu verstehen was für Eigenschaften der selbstadjungierte Operator $L_0$ in +Um zu verstehen was für Eigenschaften der selbstadjungierte Operator $ L_0 $ in den Lösungen hervorbringt, wird der Spektralsatz benötigt. Dieser wird in der linearen Algebra oft verwendet um zu zeigen, dass eine Matrix @@ -67,7 +67,7 @@ Orthonormalsystem existiert. Der Spektralsatz besagt also, dass, weil $ L_0 $ selbstadjungiert ist, eine Orthonormalbasis aus Eigenvektoren existiert. -Genauer bedeutet dies, dass alle Eigenvektoren beziehungsweise alle Lösungen +Genauer bedeutet dies, dass alle Eigenvektoren, beziehungsweise alle Lösungen des Sturm-Liouville-Problems orthogonal zueinander sind bezüglich dem Skalarprodukt, in dem $ L_0 $ selbstadjungiert ist. -- cgit v1.2.1 From 53cc7f1baf28448cb6196ba6ddf305e1b1403e7d Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: =?UTF-8?q?Erik=20L=C3=B6ffler?= Date: Mon, 15 Aug 2022 15:45:11 +0200 Subject: Changed reference to conform with convetion. --- buch/papers/sturmliouville/eigenschaften.tex | 23 +++++++++++------------ 1 file changed, 11 insertions(+), 12 deletions(-) (limited to 'buch/papers/sturmliouville/eigenschaften.tex') diff --git a/buch/papers/sturmliouville/eigenschaften.tex b/buch/papers/sturmliouville/eigenschaften.tex index 8553238..fda8be6 100644 --- a/buch/papers/sturmliouville/eigenschaften.tex +++ b/buch/papers/sturmliouville/eigenschaften.tex @@ -11,9 +11,9 @@ Im weiteren werden nun die Eigenschaften der Lösungen eines Sturm-Liouville-Problems diskutiert und aufgezeigt, wie diese Eigenschaften zustande kommen. -Dazu wird der Operator $L_0$ welcher bereits in Kapitel -\ref{buch:integrale:subsection:sturm-liouville-problem} betrachtet wurde, -noch etwas genauer angeschaut. +Dazu wird der Operator $L_0$ welcher bereits in +Kapitel~\ref{buch:integrale:subsection:sturm-liouville-problem} betrachtet +wurde, noch etwas genauer angeschaut. Es wird also im Folgenden \[ L_0 @@ -28,16 +28,15 @@ zusammen mit den Randbedingungen \end{aligned} \] verwendet. -Wie im Kapitel -\ref{buch:integrale:subsection:sturm-liouville-problem} bereits gezeigt, -resultieren die Randbedingungen aus der Anforderung den Operator $L_0$ +Wie im Kapitel~\ref{buch:integrale:subsection:sturm-liouville-problem} bereits +gezeigt, resultieren die Randbedingungen aus der Anforderung den Operator $L_0$ selbsadjungiert zu machen. Es wurde allerdings noch nicht darauf eingegangen, welche Eigenschaften dies für die Lösungen des Sturm-Liouville-Problems zur Folge hat. \subsubsection{Exkurs zum Spektralsatz} -Um zu verstehen was für Eigenschaften der selbstadjungierte Operator $ L_0 $ in +Um zu verstehen was für Eigenschaften der selbstadjungierte Operator $L_0$ in den Lösungen hervorbringt, wird der Spektralsatz benötigt. Dieser wird in der linearen Algebra oft verwendet um zu zeigen, dass eine Matrix @@ -65,15 +64,15 @@ Orthonormalsystem existiert. \subsubsection{Anwendung des Spektralsatzes auf $L_0$} -Der Spektralsatz besagt also, dass, weil $ L_0 $ selbstadjungiert ist, eine +Der Spektralsatz besagt also, dass, weil $L_0$ selbstadjungiert ist, eine Orthonormalbasis aus Eigenvektoren existiert. Genauer bedeutet dies, dass alle Eigenvektoren, beziehungsweise alle Lösungen des Sturm-Liouville-Problems orthogonal zueinander sind bezüglich dem -Skalarprodukt, in dem $ L_0 $ selbstadjungiert ist. +Skalarprodukt, in dem $L_0$ selbstadjungiert ist. -Erfüllt also eine Differenzialgleichung die in Abschnitt -\ref{sturmliouville:section:teil0} präsentierten Eigenschaften und erfüllen -die Randbedingungen der Differentialgleichung die Randbedingungen +Erfüllt also eine Differenzialgleichung die in +Abschnitt~\ref{sturmliouville:section:teil0} präsentierten Eigenschaften und +erfüllen die Randbedingungen der Differentialgleichung die Randbedingungen des Sturm-Liouville-Problems, kann bereits geschlossen werden, dass die Lösungsfunktion des Problems eine Linearkombination aus orthogonalen Basisfunktionen ist. \ No newline at end of file -- cgit v1.2.1