From 905073fc0febc0af8aa43e58868b98f4f33b98fa Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: =?UTF-8?q?Erik=20L=C3=B6ffler?= <100943759+erik-loeffler@users.noreply.github.com> Date: Tue, 23 Aug 2022 15:46:42 +0200 Subject: Corrected all labels to comply with guidelines. --- buch/papers/sturmliouville/einleitung.tex | 45 ++++++++++++++++++------------- 1 file changed, 26 insertions(+), 19 deletions(-) (limited to 'buch/papers/sturmliouville/einleitung.tex') diff --git a/buch/papers/sturmliouville/einleitung.tex b/buch/papers/sturmliouville/einleitung.tex index 4ed3752..2552574 100644 --- a/buch/papers/sturmliouville/einleitung.tex +++ b/buch/papers/sturmliouville/einleitung.tex @@ -32,12 +32,12 @@ partielle Differentialgleichung mit mehreren Variablen. \begin{definition} \index{Sturm-Liouville-Gleichung}% Wenn die lineare homogene Differentialgleichung -\begin{equation} +\[ \frac{d^2y}{dx^2} + a(x)\frac{dy}{dx} + b(x)y = 0 -\end{equation} +\] als \begin{equation} - \label{eq:sturm-liouville-equation} + \label{sturmliouville:eq:sturm-liouville-equation} \frac{d}{dx} (p(x) \frac{dy}{dx}) + (q(x) + \lambda w(x)) y = @@ -47,18 +47,20 @@ geschrieben werden kann, dann wird diese Gleichung als Sturm-Liouville-Gleichung bezeichnet. \end{definition} Alle homogenen linearen gewöhnlichen Differentialgleichungen 2. Ordnung können -in die Form der Gleichung \eqref{eq:sturm-liouville-equation} umgewandelt -werden. +in die Form der Gleichung \eqref{sturmliouville:eq:sturm-liouville-equation} +umgewandelt werden. -Damit es sich um ein Sturm-Liouville-Problem handelt, benötigt es noch die Randbedingung, die im nächsten Unterkapitel behandelt wird. +Damit es sich um ein Sturm-Liouville-Problem handelt, benötigt es noch die +Randbedingung, die im nächsten Unterkapitel behandelt wird. -\subsection{Randbedingungen\label{sub:was-ist-das-slp-randbedingungen}} +\subsection{Randbedingungen +\label{sturmliouville:sub:was-ist-das-slp-randbedingungen}} Geeignete Randbedingungen sind erforderlich, um die Lösungen einer Differentialgleichung genau zu bestimmen. Die Sturm-Liouville-Gleichung mit homogenen Randbedingungen des dritten Typs \begin{equation} \begin{aligned} - \label{eq:randbedingungen} + \label{sturmliouville:eq:randbedingungen} k_a y(a) + h_a p(a) y'(a) &= 0 \\ k_b y(b) + h_b p(b) y'(b) &= 0. \end{aligned} @@ -66,26 +68,28 @@ Die Sturm-Liouville-Gleichung mit homogenen Randbedingungen des dritten Typs ist das klassische Sturm-Liouville-Problem. -\subsection{Koeffizientenfunktionen\label{sub:koeffizientenfunktionen}} +\subsection{Koeffizientenfunktionen +\label{sturmliouville:sub:koeffizientenfunktionen}} Die Funktionen $p(x)$, $q(x)$ und $w(x)$ werden als Koeffizientenfunktionen mit ihren freien Variablen $x$ bezeichnet. -Diese Funktionen erhält man, indem man eine Differentialgleichung in die Sturm-Liouville-Form bringt. +Diese Funktionen erhält man, indem man eine Differentialgleichung in die +Sturm-Liouville-Form bringt. Die Funktion $w(x)$ (manchmal auch $r(x)$ genannt) wird als Gewichtsfunktion oder Dichtefunktion bezeichnet. -Die Eigenschaften der Koeffizientenfunktionen sowie andere Bedingungen haben einen großen Einfluss auf die Lösbarkeit des Sturm-Liouville-Problems und werden im nächsten Kapitel diskutiert. - - +Die Eigenschaften der Koeffizientenfunktionen sowie andere Bedingungen haben +einen großen Einfluss auf die Lösbarkeit des Sturm-Liouville-Problems und werden +im nächsten Kapitel diskutiert. % %Kapitel mit "Das reguläre Sturm-Liouville-Problem" % \subsection{Das reguläre oder singuläre Sturm-Liouville-Problem -\label{sub:reguläre_sturm_liouville_problem}} +\label{sturmliouville:sub:reguläre_sturm_liouville_problem}} Damit es sich um ein reguläres Sturm-Liouville-Problem handelt, müssen einige Bedingungen beachtet werden. \begin{definition} - \label{def:reguläres_sturm-liouville-problem} + \label{sturmliouville:def:reguläres_sturm-liouville-problem} \index{regläres Sturm-Liouville-Problem} Die Bedingungen für ein reguläres Sturm-Liouville-Problem sind: \begin{itemize} @@ -94,11 +98,13 @@ Bedingungen beachtet werden. \item sowie müssen in einem endlichen Intervall $[a,b]$ integrierbar sein. \item $p(x)$ und $w(x)$ sind $>0$. - \item Es gelten die Randbedingungen \eqref{eq:randbedingungen}, wobei + \item Es gelten die Randbedingungen + \eqref{sturmliouville:eq:randbedingungen}, wobei $|k_i|^2 + |h_i|^2\ne 0$ mit $i=a,b$. \end{itemize} \end{definition} -Werden diese Bedingungen nicht erfüllt, so handelt es sich um ein singuläres Sturm-Liouville-Problem. +Werden diese Bedingungen nicht erfüllt, so handelt es sich um ein singuläres +Sturm-Liouville-Problem. \begin{beispiel} Das Randwertproblem @@ -112,8 +118,9 @@ Werden diese Bedingungen nicht erfüllt, so handelt es sich um ein singuläres S Wenn man die Gleichung in die Sturm-Liouville Form umformen, dann ergeben die Koeffizientenfunktionen $p(x) = w(x) = x$ und $q(x) = -m^2/x$. Schaut man jetzt die Bedingungen im - Kapitel~\ref{sub:reguläre_sturm_liouville_problem} an und vergleicht diese mit - unseren Koeffizientenfunktionen, so erkennt man einige Probleme: + Kapitel~\ref{sturmliouville:sub:reguläre_sturm_liouville_problem} an und + vergleicht diese mit unseren Koeffizientenfunktionen, so erkennt man einige + Probleme: \begin{itemize} \item $p(x)$ und $w(x)$ sind nicht positiv, wenn $x = 0$ ist. \item $q(x)$ ist nicht kontinuierlich, wenn $x = 0$ ist. -- cgit v1.2.1 From a966f864bde5198499f4066d2c1c97d44e51cb02 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: haddoucher Date: Wed, 24 Aug 2022 12:55:52 +0200 Subject: Korrekturen Wurde einiges korrigiert. Heute abend wirds noch einmal durchgelesen. --- buch/papers/sturmliouville/einleitung.tex | 59 +++++++++++++++---------------- 1 file changed, 28 insertions(+), 31 deletions(-) (limited to 'buch/papers/sturmliouville/einleitung.tex') diff --git a/buch/papers/sturmliouville/einleitung.tex b/buch/papers/sturmliouville/einleitung.tex index 2552574..08e25f2 100644 --- a/buch/papers/sturmliouville/einleitung.tex +++ b/buch/papers/sturmliouville/einleitung.tex @@ -15,19 +15,20 @@ % Check for readability \section{Was ist das Sturm-Liouville-Problem\label{sturmliouville:section:teil0}} -\rhead{Einleitung} +\rhead{Was ist das Sturm-Liouville-Problem} Das Sturm-Liouville-Problem wurde benannt nach dem schweizerisch-französischen Mathematiker und Physiker Jacques Charles Fran\c{c}ois Sturm und dem französischen Mathematiker Joseph Liouville. Gemeinsam haben sie in der mathematischen Physik die Sturm-Liouville-Theorie -entwickelt und gilt für die Lösung von gewöhnlichen Differentialgleichungen, -jedoch verwendet man die Theorie öfters bei der Lösung von partiellen +entwickelt. +Dies gilt für die Lösung von gewöhnlichen Differentialgleichungen, +jedoch verwendet man die Theorie beim lösen von partiellen Differentialgleichungen. -Normalerweise betrachtet man für das Strum-Liouville-Problem eine gewöhnliche -Differentialgleichung 2. Ordnung, und wenn es sich um eine partielle -Differentialgleichung handelt, kann man sie in mehrere gewöhnliche -Differentialgleichungen umwandeln. Wie z. B. den Separationsansatz, die -partielle Differentialgleichung mit mehreren Variablen. +Man betrachtet für das Strum-Liouville-Problem eine gewöhnliche +Differentialgleichung 2. Ordnung. +Wenn es sich um eine partielle +Differentialgleichung handelt, kann man sie mittels Separation in mehrere gewöhnliche +Differentialgleichungen umwandeln. \begin{definition} \index{Sturm-Liouville-Gleichung}% @@ -43,7 +44,7 @@ als = 0 \end{equation} -geschrieben werden kann, dann wird diese Gleichung als Sturm-Liouville-Gleichung +geschrieben werden kann, dann wird die Gleichung \eqref{sturmliouville:eq:sturm-liouville-equation} als Sturm-Liouville-Gleichung bezeichnet. \end{definition} Alle homogenen linearen gewöhnlichen Differentialgleichungen 2. Ordnung können @@ -51,7 +52,7 @@ in die Form der Gleichung \eqref{sturmliouville:eq:sturm-liouville-equation} umgewandelt werden. Damit es sich um ein Sturm-Liouville-Problem handelt, benötigt es noch die -Randbedingung, die im nächsten Unterkapitel behandelt wird. +Randbedingung, die im nächsten Unterkapitel behandelt wird. \subsection{Randbedingungen \label{sturmliouville:sub:was-ist-das-slp-randbedingungen}} @@ -62,7 +63,7 @@ Die Sturm-Liouville-Gleichung mit homogenen Randbedingungen des dritten Typs \begin{aligned} \label{sturmliouville:eq:randbedingungen} k_a y(a) + h_a p(a) y'(a) &= 0 \\ - k_b y(b) + h_b p(b) y'(b) &= 0. + k_b y(b) + h_b p(b) y'(b) &= 0 \end{aligned} \end{equation} ist das klassische Sturm-Liouville-Problem. @@ -70,21 +71,21 @@ ist das klassische Sturm-Liouville-Problem. \subsection{Koeffizientenfunktionen \label{sturmliouville:sub:koeffizientenfunktionen}} -Die Funktionen $p(x)$, $q(x)$ und $w(x)$ werden als Koeffizientenfunktionen mit -ihren freien Variablen $x$ bezeichnet. +Die Funktionen $p(x)$, $q(x)$ und $w(x)$ werden als Koeffizientenfunktionen +bezeichnet. Diese Funktionen erhält man, indem man eine Differentialgleichung in die -Sturm-Liouville-Form bringt. +Sturm-Liouville-Form bringt und dann die Koeffizientenfunktionen vergleicht. Die Funktion $w(x)$ (manchmal auch $r(x)$ genannt) wird als Gewichtsfunktion oder Dichtefunktion bezeichnet. Die Eigenschaften der Koeffizientenfunktionen sowie andere Bedingungen haben einen großen Einfluss auf die Lösbarkeit des Sturm-Liouville-Problems und werden -im nächsten Kapitel diskutiert. +im nächsten Kapitel diskutiert. % %Kapitel mit "Das reguläre Sturm-Liouville-Problem" % -\subsection{Das reguläre oder singuläre Sturm-Liouville-Problem +\subsection{Das reguläre und singuläre Sturm-Liouville-Problem \label{sturmliouville:sub:reguläre_sturm_liouville_problem}} Damit es sich um ein reguläres Sturm-Liouville-Problem handelt, müssen einige Bedingungen beachtet werden. @@ -94,8 +95,8 @@ Bedingungen beachtet werden. Die Bedingungen für ein reguläres Sturm-Liouville-Problem sind: \begin{itemize} \item Die Funktionen $p(x), p'(x), q(x)$ und $w(x)$ müssen stetig und - reell sein. - \item sowie müssen in einem endlichen Intervall $[a,b]$ integrierbar + reell sein + \item sowie in einem endlichen Intervall $[a,b]$ integrierbar sein. \item $p(x)$ und $w(x)$ sind $>0$. \item Es gelten die Randbedingungen @@ -103,36 +104,32 @@ Bedingungen beachtet werden. $|k_i|^2 + |h_i|^2\ne 0$ mit $i=a,b$. \end{itemize} \end{definition} -Werden diese Bedingungen nicht erfüllt, so handelt es sich um ein singuläres +Wird eine oder mehrere dieser Bedingungen nicht erfüllt, so handelt es sich um ein singuläres Sturm-Liouville-Problem. \begin{beispiel} Das Randwertproblem \begin{equation} \begin{aligned} - x^2y'' + xy' + (\lambda^2x^2 - m^2)y &= 0, 0 Date: Thu, 25 Aug 2022 13:38:43 +0200 Subject: Minor changes. --- buch/papers/sturmliouville/einleitung.tex | 3 ++- 1 file changed, 2 insertions(+), 1 deletion(-) (limited to 'buch/papers/sturmliouville/einleitung.tex') diff --git a/buch/papers/sturmliouville/einleitung.tex b/buch/papers/sturmliouville/einleitung.tex index 08e25f2..4701b8a 100644 --- a/buch/papers/sturmliouville/einleitung.tex +++ b/buch/papers/sturmliouville/einleitung.tex @@ -1,5 +1,6 @@ % % einleitung.tex -- Beispiel-File für die Einleitung +% Author: Réda Haddouche % % (c) 2020 Prof Dr Andreas Müller, Hochschule Rapperswil % @@ -7,7 +8,7 @@ % TODO: % order: % 1. State goal of showing examples in intro -% 2. Show Sturm-Liouville form +% 2. Show Sturm-Liouville form % 3. Explain boundary conditions as necessary in regards to examples % (make singular property brief) % -- cgit v1.2.1