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Date: Tue, 23 Aug 2022 14:08:06 +0200
Subject: Update einleitung.tex

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@@ -38,8 +38,8 @@ Wenn die lineare homogene Differentialgleichung
 als
 \begin{equation}
 	\label{eq:sturm-liouville-equation}
-	\frac{d}{dx} (p(x) \frac{dy}{dx}) + \lbrack q(x) +
-	\lambda w(x) \rbrack y
+	\frac{d}{dx} (p(x) \frac{dy}{dx}) + (q(x) +
+	\lambda w(x)) y
 	=
 	0 
 \end{equation}
@@ -50,6 +50,8 @@ Alle homogenen linearen gewöhnlichen Differentialgleichungen 2. Ordnung können
 in die Form der Gleichung \eqref{eq:sturm-liouville-equation} umgewandelt
 werden.
 
+Damit es sich um ein Sturm-Liouville-Problem handelt, benötigt es noch die Randbedingung, die im nächsten Unterkapitel behandelt wird. 
+
 \subsection{Randbedingungen\label{sub:was-ist-das-slp-randbedingungen}}
 Geeignete Randbedingungen sind erforderlich, um die Lösungen einer
 Differentialgleichung genau zu bestimmen.
@@ -64,39 +66,15 @@ Die Sturm-Liouville-Gleichung mit homogenen Randbedingungen des dritten Typs
 ist das klassische Sturm-Liouville-Problem.
 
 
-\subsection{Eigenwertproblem}
-Die Gleichungen \eqref{eq:sturm-liouville-equation} hat die Form eines
-Eigenwertproblems.
-Wenn bei der Sturm-Liouville-Gleichung \eqref{eq:sturm-liouville-equation} alles
-konstant bleibt, aber der Wert von $\lambda$ sich ändert, erhält man eine andere
-Eigenfunktion, weil man eine andere gewöhnliche Differentialgleichung löst;
-der Parameter $\lambda$ wird als Eigenwert bezeichnet.
-Es ist genau das gleiche Prinzip wie bei den Matrizen, andere Eigenwerte ergeben
-andere Eigenvektoren.
-Es besteht eine Korrespondenz zwischen den Eigenwerten und den Eigenvektoren.
-Das gleiche gilt auch beim Sturm-Liouville-Problem, und zwar
-\begin{equation}
-	\lambda \overset{Korrespondenz}\leftrightarrow y.
-\end{equation}
-
-Die Theorie besagt, wenn $y_m$, $y_n$ Eigenfuktionen des
-Sturm-Liouville-Problems sind, die verschiedene Eigenwerte $\lambda_m$,
-$\lambda_n$ ($\lambda_m \neq \lambda_n$) entsprechen, so sind $y_m$, $y_n$
-orthogonal zu y -
-dies gilt für das Intervall (a,b).
-Somit ergibt die Gleichung
-\begin{equation}
-	\label{eq:skalar-sturm-liouville}
-	\int_{a}^{b} w(x)y_m y_n = 0.
-\end{equation}
-
-\subsection{Koeffizientenfunktionen}
+\subsection{Koeffizientenfunktionen\label{sub:koeffizientenfunktionen}}
 Die Funktionen $p(x)$, $q(x)$ und $w(x)$ werden als Koeffizientenfunktionen mit
 ihren freien Variablen $x$ bezeichnet.
+Diese Funktionen erhält man, indem man eine Differentialgleichung in die Sturm-Liouville-Form bringt.
 Die Funktion $w(x)$ (manchmal auch $r(x)$ genannt) wird als Gewichtsfunktion
 oder Dichtefunktion bezeichnet.
-Die Eigenschaften der Koeffizientenfunktionen haben einen grossen Einfluss auf
-die Lösbarkeit des Sturm-Liouville-Problems.
+Die Eigenschaften der Koeffizientenfunktionen sowie andere Bedingungen haben einen großen Einfluss auf die Lösbarkeit des Sturm-Liouville-Problems und werden im nächsten Kapitel diskutiert. 
+
+
 
 %
 %Kapitel mit "Das reguläre Sturm-Liouville-Problem"
@@ -120,9 +98,7 @@ Bedingungen beachtet werden.
 		$|k_i|^2 + |h_i|^2\ne 0$ mit $i=a,b$.
 	\end{itemize}
 \end{definition}
-Bei einem regulären Sturm-Liouville-Problem geht es darum, wichtige
-Eigenschaften der Eigenfunktionen beschreiben zu können, ohne sie genau zu
-kennen.
+Werden diese Bedingungen nicht erfüllt, so handelt es sich um ein singuläres Sturm-Liouville-Problem.
 
 \begin{beispiel}
 	Das Randwertproblem
@@ -136,7 +112,7 @@ kennen.
 	Wenn man die Gleichung in die Sturm-Liouville Form umformen, dann ergeben
 	die Koeffizientenfunktionen $p(x) = w(x) = x$ und $q(x) = -m^2/x$.
 	Schaut man jetzt die Bedingungen im
-	Kapitel~\ref{sub:reguläre_sturm_liouville_problem} an und vergleicht diese
+	Kapitel~\ref{sub:reguläre_sturm_liouville_problem} an und vergleicht diese mit
 	unseren Koeffizientenfunktionen, so erkennt man einige Probleme:
 	\begin{itemize}
 		\item $p(x)$ und $w(x)$ sind nicht positiv, wenn $x = 0$ ist.
-- 
cgit v1.2.1

