From 905073fc0febc0af8aa43e58868b98f4f33b98fa Mon Sep 17 00:00:00 2001
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Date: Tue, 23 Aug 2022 15:46:42 +0200
Subject: Corrected all labels to comply with guidelines.

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 buch/papers/sturmliouville/einleitung.tex | 45 ++++++++++++++++++-------------
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+++ b/buch/papers/sturmliouville/einleitung.tex
@@ -32,12 +32,12 @@ partielle Differentialgleichung mit mehreren Variablen.
 \begin{definition}
 	\index{Sturm-Liouville-Gleichung}%
 Wenn die lineare homogene Differentialgleichung
-\begin{equation}
+\[
 	\frac{d^2y}{dx^2} + a(x)\frac{dy}{dx} + b(x)y = 0
-\end{equation}
+\]
 als
 \begin{equation}
-	\label{eq:sturm-liouville-equation}
+	\label{sturmliouville:eq:sturm-liouville-equation}
 	\frac{d}{dx} (p(x) \frac{dy}{dx}) + (q(x) +
 	\lambda w(x)) y
 	=
@@ -47,18 +47,20 @@ geschrieben werden kann, dann wird diese Gleichung als Sturm-Liouville-Gleichung
 bezeichnet.
 \end{definition}
 Alle homogenen linearen gewöhnlichen Differentialgleichungen 2. Ordnung können
-in die Form der Gleichung \eqref{eq:sturm-liouville-equation} umgewandelt
-werden.
+in die Form der Gleichung \eqref{sturmliouville:eq:sturm-liouville-equation} 
+umgewandelt werden.
 
-Damit es sich um ein Sturm-Liouville-Problem handelt, benötigt es noch die Randbedingung, die im nächsten Unterkapitel behandelt wird. 
+Damit es sich um ein Sturm-Liouville-Problem handelt, benötigt es noch die
+Randbedingung, die im nächsten Unterkapitel behandelt wird. 
 
-\subsection{Randbedingungen\label{sub:was-ist-das-slp-randbedingungen}}
+\subsection{Randbedingungen
+\label{sturmliouville:sub:was-ist-das-slp-randbedingungen}}
 Geeignete Randbedingungen sind erforderlich, um die Lösungen einer
 Differentialgleichung genau zu bestimmen.
 Die Sturm-Liouville-Gleichung mit homogenen Randbedingungen des dritten Typs
 \begin{equation}
 	\begin{aligned}
-		\label{eq:randbedingungen}
+		\label{sturmliouville:eq:randbedingungen}
 		k_a y(a) + h_a p(a) y'(a) &= 0 \\
 		k_b y(b) + h_b p(b) y'(b) &= 0.
 	\end{aligned}
@@ -66,26 +68,28 @@ Die Sturm-Liouville-Gleichung mit homogenen Randbedingungen des dritten Typs
 ist das klassische Sturm-Liouville-Problem.
 
 
-\subsection{Koeffizientenfunktionen\label{sub:koeffizientenfunktionen}}
+\subsection{Koeffizientenfunktionen
+\label{sturmliouville:sub:koeffizientenfunktionen}}
 Die Funktionen $p(x)$, $q(x)$ und $w(x)$ werden als Koeffizientenfunktionen mit
 ihren freien Variablen $x$ bezeichnet.
-Diese Funktionen erhält man, indem man eine Differentialgleichung in die Sturm-Liouville-Form bringt.
+Diese Funktionen erhält man, indem man eine Differentialgleichung in die
+Sturm-Liouville-Form bringt.
 Die Funktion $w(x)$ (manchmal auch $r(x)$ genannt) wird als Gewichtsfunktion
 oder Dichtefunktion bezeichnet.
-Die Eigenschaften der Koeffizientenfunktionen sowie andere Bedingungen haben einen großen Einfluss auf die Lösbarkeit des Sturm-Liouville-Problems und werden im nächsten Kapitel diskutiert. 
-
-
+Die Eigenschaften der Koeffizientenfunktionen sowie andere Bedingungen haben
+einen großen Einfluss auf die Lösbarkeit des Sturm-Liouville-Problems und werden
+im nächsten Kapitel diskutiert. 
 
 %
 %Kapitel mit "Das reguläre Sturm-Liouville-Problem"
 %
 
 \subsection{Das reguläre oder singuläre Sturm-Liouville-Problem
-\label{sub:reguläre_sturm_liouville_problem}}
+\label{sturmliouville:sub:reguläre_sturm_liouville_problem}}
 Damit es sich um ein reguläres Sturm-Liouville-Problem handelt, müssen einige
 Bedingungen beachtet werden.
 \begin{definition}
-	\label{def:reguläres_sturm-liouville-problem}
+	\label{sturmliouville:def:reguläres_sturm-liouville-problem}
 	\index{regläres Sturm-Liouville-Problem}
 	Die Bedingungen für ein reguläres Sturm-Liouville-Problem sind:
 	\begin{itemize}
@@ -94,11 +98,13 @@ Bedingungen beachtet werden.
 		\item sowie müssen in einem endlichen Intervall $[a,b]$ integrierbar
 		sein.
 		\item $p(x)$ und $w(x)$ sind $>0$.
-		\item Es gelten die Randbedingungen \eqref{eq:randbedingungen}, wobei
+		\item Es gelten die Randbedingungen 
+		\eqref{sturmliouville:eq:randbedingungen}, wobei
 		$|k_i|^2 + |h_i|^2\ne 0$ mit $i=a,b$.
 	\end{itemize}
 \end{definition}
-Werden diese Bedingungen nicht erfüllt, so handelt es sich um ein singuläres Sturm-Liouville-Problem.
+Werden diese Bedingungen nicht erfüllt, so handelt es sich um ein singuläres
+Sturm-Liouville-Problem.
 
 \begin{beispiel}
 	Das Randwertproblem
@@ -112,8 +118,9 @@ Werden diese Bedingungen nicht erfüllt, so handelt es sich um ein singuläres S
 	Wenn man die Gleichung in die Sturm-Liouville Form umformen, dann ergeben
 	die Koeffizientenfunktionen $p(x) = w(x) = x$ und $q(x) = -m^2/x$.
 	Schaut man jetzt die Bedingungen im
-	Kapitel~\ref{sub:reguläre_sturm_liouville_problem} an und vergleicht diese mit
-	unseren Koeffizientenfunktionen, so erkennt man einige Probleme:
+	Kapitel~\ref{sturmliouville:sub:reguläre_sturm_liouville_problem} an und 
+	vergleicht diese mit unseren Koeffizientenfunktionen, so erkennt man einige
+	Probleme:
 	\begin{itemize}
 		\item $p(x)$ und $w(x)$ sind nicht positiv, wenn $x = 0$ ist.
 		\item $q(x)$ ist nicht kontinuierlich, wenn $x = 0$ ist.
-- 
cgit v1.2.1

