From d8b0e6f27ac13c684bf829f4f73c11f4408945a5 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: =?UTF-8?q?Erik=20L=C3=B6ffler?= Date: Thu, 11 Aug 2022 15:29:32 +0200 Subject: Added Tschebyscheff file. --- buch/papers/sturmliouville/tschebyscheff_beispiel.tex | 7 +++++++ 1 file changed, 7 insertions(+) create mode 100644 buch/papers/sturmliouville/tschebyscheff_beispiel.tex (limited to 'buch/papers/sturmliouville/tschebyscheff_beispiel.tex') diff --git a/buch/papers/sturmliouville/tschebyscheff_beispiel.tex b/buch/papers/sturmliouville/tschebyscheff_beispiel.tex new file mode 100644 index 0000000..54f13d4 --- /dev/null +++ b/buch/papers/sturmliouville/tschebyscheff_beispiel.tex @@ -0,0 +1,7 @@ +% +% tschebyscheff_beispiel.tex +% +% (c) 2020 Prof Dr Andreas Müller, Hochschule Rapperswil +% + +\subsection{Tschebyscheff} \ No newline at end of file -- cgit v1.2.1 From e27b521c00cdde53f0cbc0f0051881b5242adadc Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: haddoucher Date: Thu, 11 Aug 2022 18:47:14 +0200 Subject: Beispiel & einleitung beispiel angefangen und einleitung korrigiert --- .../sturmliouville/tschebyscheff_beispiel.tex | 51 +++++++++++++++++++++- 1 file changed, 50 insertions(+), 1 deletion(-) (limited to 'buch/papers/sturmliouville/tschebyscheff_beispiel.tex') diff --git a/buch/papers/sturmliouville/tschebyscheff_beispiel.tex b/buch/papers/sturmliouville/tschebyscheff_beispiel.tex index 54f13d4..391841a 100644 --- a/buch/papers/sturmliouville/tschebyscheff_beispiel.tex +++ b/buch/papers/sturmliouville/tschebyscheff_beispiel.tex @@ -4,4 +4,53 @@ % (c) 2020 Prof Dr Andreas Müller, Hochschule Rapperswil % -\subsection{Tschebyscheff} \ No newline at end of file +\subsection{Tschebyscheff-Polynome\label{sub:tschebyscheff-polynome}} +Im Kapitel \ref{sub:beispiele_sturm_liouville_problem} sind die Koeffizientenfunktionen die man braucht schon aufgeliste, und zwar mit +\begin{align*} + w(x) &= \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} \\ + p(x) &= \sqrt{1-x^2} \\ + q(x) &= 0 +\end{align*}. +Da die Sturm-Liouville-Gleichung +\begin{equation} + \label{eq:sturm-liouville-equation} + \frac{d}{dx}\lbrack \sqrt{1-x^2} \frac{dy}{dx} \rbrack + \lbrack 0 + \lambda \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} \rbrack y = 0 +\end{equation} +nun mit den Koeffizientenfunktionen aufgestellt werden kann, bleibt die Frage, ob es sich um ein reguläres oder singuläres Sturm-Liouville-Problem handelt. +Für das reguläre Problem laut der Definition \ref{def:reguläres_sturm-liouville-problem} muss die funktion $p(x) = \sqrt{1-x^2}$, $p'(x) = -2x$, $q(x) = 0$ und $w(x) = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$ stetig und reell sein - und sie sind es auch. +Auf dem Intervall $(-1,1)$ sind die Tschebyscheff-Polynome erster Art mit Hilfe von Hyperbelfunktionen +\begin{equation} + T_n(x) = \cos n (\arccos x) +\end{equation}. +Für $x>1$ und $x<-1$ sehen die Polynome wie folgt aus: +\begin{equation} + T_n(x) = \left\{\begin{array}{ll} \cosh (n \arccos x), & x > 1\\ + (-1)^n \cosh (n \arccos (-x)), & x<-1 \end{array}\right. +\end{equation}, +jedoch ist die Orthogonalität nur auf dem Intervall $\[ -1, 1\]$ sichergestellt. +Die nächste Bedingung beinhaltet, dass die Funktion $p(x)^-1$ und $w(x)>0$ sein müssen. +Die Funktion +\begin{equation*} + p(x)^-1 = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} +\end{equation*} +ist die gleiche wie $w(x)$. + +Für die Verifizierung der Randbedingungen benötigt man erneut $p(x)$. +Da sich die Polynome nur auf dem Intervall $\[ -1,1 \]$ orthogonal verhalten, sind $a = -1$ und $b = 1$ gesetzt. +Beim einsetzen in die Randbedingung \ref{eq:randbedingungen}, erhält man +\begin{equation} +\begin{aligned} + k_a y(-1) + h_a y'(-1) &= h_a +\end{aligned} +\end{equation} + + + + + + + + + + + -- cgit v1.2.1 From 2f2665e1ee770f7813fe5406ba27a480cff2f541 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: =?UTF-8?q?Erik=20L=C3=B6ffler?= Date: Mon, 15 Aug 2022 16:21:39 +0200 Subject: Corrected some error to make tschebyscheff example compile. --- buch/papers/sturmliouville/tschebyscheff_beispiel.tex | 6 +++--- 1 file changed, 3 insertions(+), 3 deletions(-) (limited to 'buch/papers/sturmliouville/tschebyscheff_beispiel.tex') diff --git a/buch/papers/sturmliouville/tschebyscheff_beispiel.tex b/buch/papers/sturmliouville/tschebyscheff_beispiel.tex index 391841a..8561479 100644 --- a/buch/papers/sturmliouville/tschebyscheff_beispiel.tex +++ b/buch/papers/sturmliouville/tschebyscheff_beispiel.tex @@ -13,7 +13,7 @@ Im Kapitel \ref{sub:beispiele_sturm_liouville_problem} sind die Koeffizientenfun \end{align*}. Da die Sturm-Liouville-Gleichung \begin{equation} - \label{eq:sturm-liouville-equation} + \label{eq:sturm-liouville-equation-tscheby} \frac{d}{dx}\lbrack \sqrt{1-x^2} \frac{dy}{dx} \rbrack + \lbrack 0 + \lambda \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} \rbrack y = 0 \end{equation} nun mit den Koeffizientenfunktionen aufgestellt werden kann, bleibt die Frage, ob es sich um ein reguläres oder singuläres Sturm-Liouville-Problem handelt. @@ -27,7 +27,7 @@ Für $x>1$ und $x<-1$ sehen die Polynome wie folgt aus: T_n(x) = \left\{\begin{array}{ll} \cosh (n \arccos x), & x > 1\\ (-1)^n \cosh (n \arccos (-x)), & x<-1 \end{array}\right. \end{equation}, -jedoch ist die Orthogonalität nur auf dem Intervall $\[ -1, 1\]$ sichergestellt. +jedoch ist die Orthogonalität nur auf dem Intervall $[ -1, 1]$ sichergestellt. Die nächste Bedingung beinhaltet, dass die Funktion $p(x)^-1$ und $w(x)>0$ sein müssen. Die Funktion \begin{equation*} @@ -36,7 +36,7 @@ Die Funktion ist die gleiche wie $w(x)$. Für die Verifizierung der Randbedingungen benötigt man erneut $p(x)$. -Da sich die Polynome nur auf dem Intervall $\[ -1,1 \]$ orthogonal verhalten, sind $a = -1$ und $b = 1$ gesetzt. +Da sich die Polynome nur auf dem Intervall $[ -1,1 ]$ orthogonal verhalten, sind $a = -1$ und $b = 1$ gesetzt. Beim einsetzen in die Randbedingung \ref{eq:randbedingungen}, erhält man \begin{equation} \begin{aligned} -- cgit v1.2.1 From f7c0dfbd20c97ae0e617aec796f2adc6d81369dc Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: =?UTF-8?q?Erik=20L=C3=B6ffler?= Date: Tue, 16 Aug 2022 14:20:30 +0200 Subject: Merged tschebyscheff section. --- .../sturmliouville/tschebyscheff_beispiel.tex | 23 ++++++++++++++++++---- 1 file changed, 19 insertions(+), 4 deletions(-) (limited to 'buch/papers/sturmliouville/tschebyscheff_beispiel.tex') diff --git a/buch/papers/sturmliouville/tschebyscheff_beispiel.tex b/buch/papers/sturmliouville/tschebyscheff_beispiel.tex index 8561479..a18684f 100644 --- a/buch/papers/sturmliouville/tschebyscheff_beispiel.tex +++ b/buch/papers/sturmliouville/tschebyscheff_beispiel.tex @@ -28,10 +28,10 @@ Für $x>1$ und $x<-1$ sehen die Polynome wie folgt aus: (-1)^n \cosh (n \arccos (-x)), & x<-1 \end{array}\right. \end{equation}, jedoch ist die Orthogonalität nur auf dem Intervall $[ -1, 1]$ sichergestellt. -Die nächste Bedingung beinhaltet, dass die Funktion $p(x)^-1$ und $w(x)>0$ sein müssen. +Die nächste Bedingung beinhaltet, dass die Funktion $p(x)^{-1}$ und $w(x)>0$ sein müssen. Die Funktion \begin{equation*} - p(x)^-1 = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} + p(x)^{-1} = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} \end{equation*} ist die gleiche wie $w(x)$. @@ -40,10 +40,25 @@ Da sich die Polynome nur auf dem Intervall $[ -1,1 ]$ orthogonal verhalten, sind Beim einsetzen in die Randbedingung \ref{eq:randbedingungen}, erhält man \begin{equation} \begin{aligned} - k_a y(-1) + h_a y'(-1) &= h_a + k_a y(-1) + h_a y'(-1) &= 0 + k_b y(-1) + h_b y'(-1) &= 0 \end{aligned} -\end{equation} +\end{equation}. +Die Funktion $y(x)$ und $y'(x)$ sind in diesem Fall die Tschebyscheff Polynome (siehe \label{sub:definiton_der_tschebyscheff-Polynome}). +Es gibt zwei Arten von Tschebyscheff Polynome: die erste Art $T_n(x)$ und die zweite Art $U_n(x)$. +Jedoch beachtet man in diesem Kapitel nur die Tschebyscheff Polynome erster Art (\ref{eq:tschebyscheff-polynome}). +Die Funktion $y(x)$ wird nun mit der Funktion $T_n(x)$ ersetzt und für die Verifizierung der Randbedingung wählt man $n=2$. +Somit erhält man +\begin{equation} + \begin{aligned} + k_a T_2(-1) + h_a T_{2}'(-1) &= k_a = 0\\ + k_b T_2(1) + h_b T_{2}'(1) &= k_b = 0 +\end{aligned} +\end{equation}. +Ähnlich wie beim Beispiel der Wärmeleitung in einem homogenen Stab kann man, damit die Bedingung $|k_i|^2 + |h_i|^2\ne 0$ erfüllt ist, können beliebige $h_a \ne 0$ und $h_b \ne 0$ gewählt werden. +Somit ist erneut gezeigt, dass die Randbedingungen der Tschebyscheff-Polynome auf die Sturm-Liouville-Randbedingungen erfüllt und alle daraus resultierenden Lösungen orthogonal sind. + -- cgit v1.2.1 From b3611aa8b6f2c56c8940c18c582de0fd3dd205f2 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: haddoucher Date: Thu, 18 Aug 2022 12:31:12 +0200 Subject: tschebyscheff kapitel fertig geschrieben --- .../sturmliouville/tschebyscheff_beispiel.tex | 31 +++++++++++++++------- 1 file changed, 21 insertions(+), 10 deletions(-) (limited to 'buch/papers/sturmliouville/tschebyscheff_beispiel.tex') diff --git a/buch/papers/sturmliouville/tschebyscheff_beispiel.tex b/buch/papers/sturmliouville/tschebyscheff_beispiel.tex index a18684f..3817dc0 100644 --- a/buch/papers/sturmliouville/tschebyscheff_beispiel.tex +++ b/buch/papers/sturmliouville/tschebyscheff_beispiel.tex @@ -4,8 +4,9 @@ % (c) 2020 Prof Dr Andreas Müller, Hochschule Rapperswil % -\subsection{Tschebyscheff-Polynome\label{sub:tschebyscheff-polynome}} -Im Kapitel \ref{sub:beispiele_sturm_liouville_problem} sind die Koeffizientenfunktionen die man braucht schon aufgeliste, und zwar mit +\subsection{Sind Tschebyscheff-Polynome orthogonal zueinander?\label{sub:tschebyscheff-polynome}} +\subsubsection*{Definition der Koeffizientenfunktion} +Im Kapitel \ref{sub:beispiele_sturm_liouville_problem} sind die Koeffizientenfunktionen, die man braucht, schon aufgeliste, und zwar mit \begin{align*} w(x) &= \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} \\ p(x) &= \sqrt{1-x^2} \\ @@ -14,10 +15,12 @@ Im Kapitel \ref{sub:beispiele_sturm_liouville_problem} sind die Koeffizientenfun Da die Sturm-Liouville-Gleichung \begin{equation} \label{eq:sturm-liouville-equation-tscheby} - \frac{d}{dx}\lbrack \sqrt{1-x^2} \frac{dy}{dx} \rbrack + \lbrack 0 + \lambda \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} \rbrack y = 0 + \frac{d}{dx} (\sqrt{1-x^2} \frac{dy}{dx}) + (0 + \lambda \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}) y = 0 \end{equation} nun mit den Koeffizientenfunktionen aufgestellt werden kann, bleibt die Frage, ob es sich um ein reguläres oder singuläres Sturm-Liouville-Problem handelt. -Für das reguläre Problem laut der Definition \ref{def:reguläres_sturm-liouville-problem} muss die funktion $p(x) = \sqrt{1-x^2}$, $p'(x) = -2x$, $q(x) = 0$ und $w(x) = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$ stetig und reell sein - und sie sind es auch. + +\subsubsection*{regulär oder singulär?} +Für das reguläre Problem laut der Definition \ref{def:reguläres_sturm-liouville-problem} muss die funktion $p(x) = \sqrt{1-x^2}$, $p'(x) = -2x$, $q(x) = 0$ und $w(x) = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$ stetig und reell sein --- und sie sind es auch. Auf dem Intervall $(-1,1)$ sind die Tschebyscheff-Polynome erster Art mit Hilfe von Hyperbelfunktionen \begin{equation} T_n(x) = \cos n (\arccos x) @@ -28,22 +31,23 @@ Für $x>1$ und $x<-1$ sehen die Polynome wie folgt aus: (-1)^n \cosh (n \arccos (-x)), & x<-1 \end{array}\right. \end{equation}, jedoch ist die Orthogonalität nur auf dem Intervall $[ -1, 1]$ sichergestellt. -Die nächste Bedingung beinhaltet, dass die Funktion $p(x)^{-1}$ und $w(x)>0$ sein müssen. +Die nächste Bedingung beinhaltet, dass die Funktion $p(x)$ und $w(x)>0$ sein müssen. Die Funktion \begin{equation*} p(x)^{-1} = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} \end{equation*} -ist die gleiche wie $w(x)$. +ist die gleiche wie $w(x)$ und erfüllt die Bedingung. +\subsubsection*{Randwertproblem} Für die Verifizierung der Randbedingungen benötigt man erneut $p(x)$. Da sich die Polynome nur auf dem Intervall $[ -1,1 ]$ orthogonal verhalten, sind $a = -1$ und $b = 1$ gesetzt. Beim einsetzen in die Randbedingung \ref{eq:randbedingungen}, erhält man \begin{equation} \begin{aligned} k_a y(-1) + h_a y'(-1) &= 0 - k_b y(-1) + h_b y'(-1) &= 0 + k_b y(-1) + h_b y'(-1) &= 0. \end{aligned} -\end{equation}. +\end{equation} Die Funktion $y(x)$ und $y'(x)$ sind in diesem Fall die Tschebyscheff Polynome (siehe \label{sub:definiton_der_tschebyscheff-Polynome}). Es gibt zwei Arten von Tschebyscheff Polynome: die erste Art $T_n(x)$ und die zweite Art $U_n(x)$. Jedoch beachtet man in diesem Kapitel nur die Tschebyscheff Polynome erster Art (\ref{eq:tschebyscheff-polynome}). @@ -52,12 +56,19 @@ Somit erhält man \begin{equation} \begin{aligned} k_a T_2(-1) + h_a T_{2}'(-1) &= k_a = 0\\ - k_b T_2(1) + h_b T_{2}'(1) &= k_b = 0 + k_b T_2(1) + h_b T_{2}'(1) &= k_b = 0. \end{aligned} -\end{equation}. +\end{equation} Ähnlich wie beim Beispiel der Wärmeleitung in einem homogenen Stab kann man, damit die Bedingung $|k_i|^2 + |h_i|^2\ne 0$ erfüllt ist, können beliebige $h_a \ne 0$ und $h_b \ne 0$ gewählt werden. Somit ist erneut gezeigt, dass die Randbedingungen der Tschebyscheff-Polynome auf die Sturm-Liouville-Randbedingungen erfüllt und alle daraus resultierenden Lösungen orthogonal sind. +\begin{beispiel} + Die Gleichung \ref{eq:skalar-sturm-liouville} mit $y_m = T_1(x)$ und $y_n(x) = T_2(x)$ eingesetzt sowie $a=-1$ und $b = 1$ ergibt + \[ + \int_{-1}^{1} w(x) x (2x^2-1) dx = 0. + \] +\end{beispiel} + -- cgit v1.2.1