From 905073fc0febc0af8aa43e58868b98f4f33b98fa Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: =?UTF-8?q?Erik=20L=C3=B6ffler?=
 <100943759+erik-loeffler@users.noreply.github.com>
Date: Tue, 23 Aug 2022 15:46:42 +0200
Subject: Corrected all labels to comply with guidelines.

---
 buch/papers/sturmliouville/tschebyscheff_beispiel.tex | 16 +++++++++-------
 1 file changed, 9 insertions(+), 7 deletions(-)

(limited to 'buch/papers/sturmliouville/tschebyscheff_beispiel.tex')

diff --git a/buch/papers/sturmliouville/tschebyscheff_beispiel.tex b/buch/papers/sturmliouville/tschebyscheff_beispiel.tex
index cad71d7..18e6198 100644
--- a/buch/papers/sturmliouville/tschebyscheff_beispiel.tex
+++ b/buch/papers/sturmliouville/tschebyscheff_beispiel.tex
@@ -5,15 +5,15 @@
 %
 
 \subsection{Sind Tschebyscheff-Polynome orthogonal zueinander?
-\label{sub:tschebyscheff-polynome}}
+\label{sturmliouville:sub:tschebyscheff-polynome}}
 \subsubsection*{Definition der Koeffizientenfunktion}
 Im Kapitel \ref{sub:beispiele_sturm_liouville_problem} sind die
 Koeffizientenfunktionen, die man braucht, schon aufgeliste, und zwar mit
 \begin{align*}
 	w(x) &= \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} \\
 	p(x) &= \sqrt{1-x^2} \\
-	q(x) &= 0
-\end{align*}.
+	q(x) &= 0.
+\end{align*}
 Da die Sturm-Liouville-Gleichung
 \begin{equation}
 	\label{eq:sturm-liouville-equation-tscheby}
@@ -27,7 +27,7 @@ ob es sich um ein reguläres oder singuläres Sturm-Liouville-Problem handelt.
 
 \subsubsection*{regulär oder singulär?}
 Für das reguläre Problem laut der
-Definition~\ref{def:reguläres_sturm-liouville-problem} muss die funktion
+Definition~\ref{sturmliouville:def:reguläres_sturm-liouville-problem} muss die funktion
 $p(x) = \sqrt{1-x^2}$, $p'(x) = -2x$, $q(x) = 0$ und
 $w(x) = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$ stetig und reell sein --- und sie sind es auch.
 Auf dem Intervall $(-1,1)$ sind die Tschebyscheff-Polynome erster Art mit Hilfe
@@ -55,7 +55,8 @@ ist die gleiche wie $w(x)$ und erfüllt die Bedingung.
 Für die Verifizierung der Randbedingungen benötigt man erneut $p(x)$.
 Da sich die Polynome nur auf dem Intervall $[ -1,1 ]$ orthogonal verhalten,
 sind $a = -1$ und $b = 1$ gesetzt.
-Beim einsetzen in die Randbedingung \eqref{eq:randbedingungen}, erhält man
+Beim einsetzen in die Randbedingung \eqref{sturmliouville:eq:randbedingungen},
+erhält man
 \begin{equation}
 \begin{aligned}
 	k_a y(-1) + h_a y'(-1) &= 0\\
@@ -81,8 +82,9 @@ auf die Sturm-Liouville-Randbedingungen erfüllt und alle daraus resultierenden
 Lösungen orthogonal sind.
 
 \begin{beispiel}
-	Die Gleichung \eqref{eq:skalar-sturm-liouville} mit $y_m = T_1(x)$ und
-	$y_n(x) = T_2(x)$ eingesetzt sowie $a=-1$ und $b = 1$ ergibt
+	Die Gleichung \eqref{eq:skalar-sturm-liouville} mit
+	$y_m = T_1(x)$ und $y_n(x) = T_2(x)$ eingesetzt sowie $a=-1$ und $b = 1$
+	ergibt
 	\[
 	\int_{-1}^{1} w(x) x (2x^2-1) dx = 0.
 	\]
-- 
cgit v1.2.1


From a966f864bde5198499f4066d2c1c97d44e51cb02 Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: haddoucher <reda.haddouche@ost.ch>
Date: Wed, 24 Aug 2022 12:55:52 +0200
Subject: Korrekturen

Wurde einiges korrigiert. Heute abend wirds noch einmal durchgelesen.
---
 .../sturmliouville/tschebyscheff_beispiel.tex      | 92 +++++++++++-----------
 1 file changed, 46 insertions(+), 46 deletions(-)

(limited to 'buch/papers/sturmliouville/tschebyscheff_beispiel.tex')

diff --git a/buch/papers/sturmliouville/tschebyscheff_beispiel.tex b/buch/papers/sturmliouville/tschebyscheff_beispiel.tex
index 18e6198..8f673a5 100644
--- a/buch/papers/sturmliouville/tschebyscheff_beispiel.tex
+++ b/buch/papers/sturmliouville/tschebyscheff_beispiel.tex
@@ -4,14 +4,15 @@
 % (c) 2020 Prof Dr Andreas Müller, Hochschule Rapperswil
 %
 
-\subsection{Sind Tschebyscheff-Polynome orthogonal zueinander?
+\subsection{Tschebyscheff-Polynome
 \label{sturmliouville:sub:tschebyscheff-polynome}}
+\rhead{Tschebyscheff-Polynome}
 \subsubsection*{Definition der Koeffizientenfunktion}
 Im Kapitel \ref{sub:beispiele_sturm_liouville_problem} sind die
-Koeffizientenfunktionen, die man braucht, schon aufgeliste, und zwar mit
+Koeffizientenfunktionen, die man braucht, schon aufgelistet:
 \begin{align*}
-	w(x) &= \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} \\
-	p(x) &= \sqrt{1-x^2} \\
+	w(x) &= \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}, \\
+	p(x) &= \sqrt{1-x^2}, \\
 	q(x) &= 0.
 \end{align*}
 Da die Sturm-Liouville-Gleichung
@@ -24,66 +25,65 @@ Da die Sturm-Liouville-Gleichung
 \end{equation}
 nun mit den Koeffizientenfunktionen aufgestellt werden kann, bleibt die Frage,
 ob es sich um ein reguläres oder singuläres Sturm-Liouville-Problem handelt.
-
-\subsubsection*{regulär oder singulär?}
-Für das reguläre Problem laut der
-Definition~\ref{sturmliouville:def:reguläres_sturm-liouville-problem} muss die funktion
-$p(x) = \sqrt{1-x^2}$, $p'(x) = -2x$, $q(x) = 0$ und
-$w(x) = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$ stetig und reell sein --- und sie sind es auch.
-Auf dem Intervall $(-1,1)$ sind die Tschebyscheff-Polynome erster Art mit Hilfe
-von Hyperbelfunktionen
-\begin{equation}
-	T_n(x)
-	=
-	\cos n (\arccos x)
-\end{equation}.
-Für $x>1$ und $x<-1$ sehen die Polynome wie folgt aus:
-\begin{equation}
-	T_n(x) = \left\{\begin{array}{ll} \cosh (n \arccos x), & x > 1\\
-		(-1)^n \cosh (n \arccos (-x)), & x<-1 \end{array}\right.
-\end{equation},
-jedoch ist die Orthogonalität nur auf dem Intervall $[ -1, 1]$ sichergestellt.
-Die nächste Bedingung beinhaltet, dass die Funktion $p(x)$ und $w(x)>0$ sein
-müssen.
-Die Funktion
-\begin{equation*}
-	p(x)^{-1} = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}
-\end{equation*}
-ist die gleiche wie $w(x)$ und erfüllt die Bedingung.
+Zunächst werden jedoch die Randbedingungen betrachtet.
 
 \subsubsection*{Randwertproblem}
 Für die Verifizierung der Randbedingungen benötigt man erneut $p(x)$.
-Da sich die Polynome nur auf dem Intervall $[ -1,1 ]$ orthogonal verhalten,
-sind $a = -1$ und $b = 1$ gesetzt.
-Beim einsetzen in die Randbedingung \eqref{sturmliouville:eq:randbedingungen},
+Die Randwerte setzt man $a = -1$ und $b = 1$.
+Beim Einsetzen in die Randbedingung \eqref{sturmliouville:eq:randbedingungen},
 erhält man
 \begin{equation}
-\begin{aligned}
-	k_a y(-1) + h_a y'(-1) &= 0\\
-	k_b y(-1) + h_b y'(-1) &= 0.
-\end{aligned} 
+	\begin{aligned}
+		k_a y(-1) + h_a y'(-1) &= 0\\
+		k_b y(-1) + h_b y'(-1) &= 0.
+	\end{aligned} 
 \end{equation}
 Die Funktion $y(x)$ und $y'(x)$ sind in diesem Fall die Tschebyscheff Polynome
 (siehe \ref{sub:definiton_der_tschebyscheff-Polynome}).
 Die Funktion $y(x)$ wird nun mit der Funktion $T_n(x)$ ersetzt und für die
-Verifizierung der Randbedingung wählt man $n=2$.
+Verifizierung der Randbedingung wählt man $n=0$.
 Somit erhält man
 \begin{equation}
 	\begin{aligned}
-	k_a T_2(-1) + h_a T_{2}'(-1) &= k_a = 0\\
-	k_b T_2(1) + h_b T_{2}'(1) &= k_b = 0.
+		k_a T_0(-1) + h_a T_{0}'(-1) &= k_a = 0\\
+		k_b T_0(1) + h_b T_{0}'(1) &= k_b = 0.
 	\end{aligned}
 \end{equation}
 Ähnlich wie beim Beispiel der Wärmeleitung in einem homogenen Stab kann man,
-damit die Bedingung $|k_i|^2 + |h_i|^2\ne 0$ erfüllt ist, können beliebige
+damit die Bedingung $|k_i|^2 + |h_i|^2\ne 0$ erfüllt ist, beliebige
 $h_a \ne 0$ und $h_b \ne 0$ gewählt werden.
-Somit ist erneut gezeigt, dass die Randbedingungen der Tschebyscheff-Polynome
-auf die Sturm-Liouville-Randbedingungen erfüllt und alle daraus resultierenden
-Lösungen orthogonal sind.
+Es wird also erneut gezeigt, dass die Randbedingungen $[-1,1]$,
+die Sturm-Liouville-Randbedingungen erfüllen.
+
+\subsubsection*{regulär oder singulär?}
+Für das reguläre Problem muss laut der
+Definition~\ref{sturmliouville:def:reguläres_sturm-liouville-problem} die funktion
+$p(x) = \sqrt{1-x^2}$, $p'(x) = -2x$, $q(x) = 0$ und
+$w(x) = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$ stetig und reell sein.
+Auf dem Intervall $(-1,1)$ sind die Tschebyscheff-Polynome erster Art
+\begin{equation}
+	T_n(x)
+	=
+	\cos n (\arccos x).
+\end{equation}
+Die nächste Bedingung, laut der Definition \ref{sturmliouville:def:reguläres_sturm-liouville-problem}, beinhaltet, dass die Funktion $p(x)$ und $w(x)>0$ sein
+müssen.
+Die Funktion
+\begin{equation*}
+	p(x)^{-1} = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}
+\end{equation*}
+ist die gleiche wie $w(x)$ und erfüllt die Bedingung.
+
+
 
 \begin{beispiel}
-	Die Gleichung \eqref{eq:skalar-sturm-liouville} mit
-	$y_m = T_1(x)$ und $y_n(x) = T_2(x)$ eingesetzt sowie $a=-1$ und $b = 1$
+	Die Gleichung 
+	\[
+		\int_{a}^{b} w(x) y_m y_n = 0
+	\]
+	
+	mit
+	$y_m(x) = T_1(x)$ und $y_n(x) = T_2(x)$ eingesetzt sowie $a=-1$ und $b = 1$
 	ergibt
 	\[
 	\int_{-1}^{1} w(x) x (2x^2-1) dx = 0.
-- 
cgit v1.2.1


From a2a2826f4def7a43570e521e9ad9b5b653f34456 Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: =?UTF-8?q?Erik=20L=C3=B6ffler?=
 <100943759+erik-loeffler@users.noreply.github.com>
Date: Thu, 25 Aug 2022 13:40:26 +0200
Subject: Recommiting, something went wrong last time.

---
 buch/papers/sturmliouville/tschebyscheff_beispiel.tex | 1 +
 1 file changed, 1 insertion(+)

(limited to 'buch/papers/sturmliouville/tschebyscheff_beispiel.tex')

diff --git a/buch/papers/sturmliouville/tschebyscheff_beispiel.tex b/buch/papers/sturmliouville/tschebyscheff_beispiel.tex
index 8f673a5..b247441 100644
--- a/buch/papers/sturmliouville/tschebyscheff_beispiel.tex
+++ b/buch/papers/sturmliouville/tschebyscheff_beispiel.tex
@@ -1,5 +1,6 @@
 %
 % tschebyscheff_beispiel.tex
+% Author: Réda Haddouche
 %
 % (c) 2020 Prof Dr Andreas Müller, Hochschule Rapperswil
 %
-- 
cgit v1.2.1

