From 3bdc9c20b9a83cf1cb7f4570d99d2495576ca30d Mon Sep 17 00:00:00 2001
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Date: Tue, 16 Aug 2022 16:21:59 +0200
Subject: Removed unnecessary equation indexing in Tschebyscheff example and
 corrected some errors.

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 .../sturmliouville/tschebyscheff_beispiel.tex      | 50 ++++++++--------------
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--- a/buch/papers/sturmliouville/tschebyscheff_beispiel.tex
+++ b/buch/papers/sturmliouville/tschebyscheff_beispiel.tex
@@ -6,12 +6,12 @@
 %
 
 \subsection{Tschebyscheff-Polynome\label{sub:tschebyscheff-polynome}}
-Im Kapitel \ref{sub:beispiele_sturm_liouville_problem} sind die Koeffizientenfunktionen die man braucht schon aufgeliste, und zwar mit
+Im Kapitel \ref{sub:beispiele_sturm_liouville_problem} sind die Koeffizientenfunktionen die man braucht schon aufgelistet, und zwar mit
 \begin{align*}
 	w(x) &= \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} \\
 	p(x) &= \sqrt{1-x^2} \\
-	q(x) &= 0
-\end{align*}.
+	q(x) &= 0.
+\end{align*}
 Da die Sturm-Liouville-Gleichung
 \begin{equation}
 	\label{eq:sturm-liouville-equation-tscheby}
@@ -20,14 +20,14 @@ Da die Sturm-Liouville-Gleichung
 nun mit den Koeffizientenfunktionen aufgestellt werden kann, bleibt die Frage, ob es sich um ein reguläres oder singuläres Sturm-Liouville-Problem handelt.
 Für das reguläre Problem laut der Definition \ref{def:reguläres_sturm-liouville-problem} muss die funktion $p(x) = \sqrt{1-x^2}$, $p'(x) = -2x$, $q(x) = 0$ und $w(x) = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$ stetig und reell sein - und sie sind es auch.
 Auf dem Intervall $(-1,1)$ sind die Tschebyscheff-Polynome erster Art mit Hilfe von Hyperbelfunktionen
-\begin{equation}
-	T_n(x) = \cos n (\arccos x)
-\end{equation}.
+\[
+	T_n(x) = \cos n (\arccos x).
+\]
 Für $x>1$ und $x<-1$ sehen die Polynome wie folgt aus:
-\begin{equation}
+\[
 	T_n(x) = \left\{\begin{array}{ll} \cosh (n \arccos x), & x > 1\\
-		(-1)^n \cosh (n \arccos (-x)), & x<-1 \end{array}\right.
-\end{equation},
+		(-1)^n \cosh (n \arccos (-x)), & x<-1 \end{array}\right.,
+\]
 jedoch ist die Orthogonalität nur auf dem Intervall $[ -1, 1]$ sichergestellt.
 Die nächste Bedingung beinhaltet, dass die Funktion $p(x)^{-1}$ und $w(x)>0$ sein müssen.
 Die Funktion
@@ -39,34 +39,22 @@ ist die gleiche wie $w(x)$.
 Für die Verifizierung der Randbedingungen benötigt man erneut $p(x)$.
 Da sich die Polynome nur auf dem Intervall $[ -1,1 ]$ orthogonal verhalten, sind $a = -1$ und $b = 1$ gesetzt.
 Beim einsetzen in die Randbedingung \ref{eq:randbedingungen}, erhält man
-\begin{equation}
+\[
 \begin{aligned}
-	k_a y(-1) + h_a y'(-1) &= 0
-	k_b y(-1) + h_b y'(-1) &= 0
+	k_a y(-1) + h_a y'(-1) &= 0 \\
+	k_b y(-1) + h_b y'(-1) &= 0.
 \end{aligned} 
-\end{equation}.
-Die Funktion $y(x)$ und $y'(x)$ sind in diesem Fall die Tschebyscheff Polynome (siehe \label{sub:definiton_der_tschebyscheff-Polynome}).
+\]
+Die Funktion $y(x)$ und $y'(x)$ sind in diesem Fall die Tschebyscheff Polynome (siehe \ref{sub:definiton_der_tschebyscheff-Polynome}).
 Es gibt zwei Arten von Tschebyscheff Polynome: die erste Art $T_n(x)$ und die zweite Art $U_n(x)$.
 Jedoch beachtet man in diesem Kapitel nur die Tschebyscheff Polynome erster Art (\ref{eq:tschebyscheff-polynome}).
 Die Funktion $y(x)$ wird nun mit der Funktion $T_n(x)$ ersetzt und für die Verifizierung der Randbedingung wählt man $n=2$.
 Somit erhält man
-\begin{equation}
+\[
 	\begin{aligned}
 	k_a T_2(-1) + h_a T_{2}'(-1) &= k_a = 0\\
-	k_b T_2(1) + h_b T_{2}'(1) &= k_b = 0
+	k_b T_2(1) + h_b T_{2}'(1) &= k_b = 0.
 \end{aligned}
-\end{equation}.
-Ähnlich wie beim Beispiel der Wärmeleitung in einem homogenen Stab kann man, damit die Bedingung $|k_i|^2 + |h_i|^2\ne 0$ erfüllt ist, können beliebige $h_a \ne 0$ und $h_b \ne 0$ gewählt werden.
-Somit ist erneut gezeigt, dass die Randbedingungen der Tschebyscheff-Polynome auf die Sturm-Liouville-Randbedingungen erfüllt und alle daraus resultierenden Lösungen orthogonal sind.
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+\]
+Ähnlich wie beim Beispiel der Wärmeleitung in einem homogenen Stab können, damit die Bedingung $|k_i|^2 + |h_i|^2\ne 0$ erfüllt ist, beliebige $h_a \ne 0$ und $h_b \ne 0$ gewählt werden.
+Somit ist erneut gezeigt, dass die Randbedingungen der Tschebyscheff-Polynome auch die Sturm-Liouville-Randbedingungen erfüllt und alle daraus resultierenden Lösungen orthogonal sind.
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cgit v1.2.1

