From e76aafb88c04a26d22417b65ba959cc899f00be1 Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: haddoucher <reda.haddouche@ost.ch>
Date: Fri, 19 Aug 2022 16:00:49 +0200
Subject: Einleitung

ein wenig korrigiert
---
 buch/papers/sturmliouville/tschebyscheff_beispiel.tex | 12 +++++-------
 1 file changed, 5 insertions(+), 7 deletions(-)

(limited to 'buch/papers/sturmliouville/tschebyscheff_beispiel.tex')

diff --git a/buch/papers/sturmliouville/tschebyscheff_beispiel.tex b/buch/papers/sturmliouville/tschebyscheff_beispiel.tex
index 3817dc0..c304632 100644
--- a/buch/papers/sturmliouville/tschebyscheff_beispiel.tex
+++ b/buch/papers/sturmliouville/tschebyscheff_beispiel.tex
@@ -41,29 +41,27 @@ ist die gleiche wie $w(x)$ und erfüllt die Bedingung.
 \subsubsection*{Randwertproblem}
 Für die Verifizierung der Randbedingungen benötigt man erneut $p(x)$.
 Da sich die Polynome nur auf dem Intervall $[ -1,1 ]$ orthogonal verhalten, sind $a = -1$ und $b = 1$ gesetzt.
-Beim einsetzen in die Randbedingung \ref{eq:randbedingungen}, erhält man
+Beim einsetzen in die Randbedingung \eqref{eq:randbedingungen}, erhält man
 \begin{equation}
 \begin{aligned}
-	k_a y(-1) + h_a y'(-1) &= 0
+	k_a y(-1) + h_a y'(-1) &= 0\\
 	k_b y(-1) + h_b y'(-1) &= 0.
 \end{aligned} 
 \end{equation}
-Die Funktion $y(x)$ und $y'(x)$ sind in diesem Fall die Tschebyscheff Polynome (siehe \label{sub:definiton_der_tschebyscheff-Polynome}).
-Es gibt zwei Arten von Tschebyscheff Polynome: die erste Art $T_n(x)$ und die zweite Art $U_n(x)$.
-Jedoch beachtet man in diesem Kapitel nur die Tschebyscheff Polynome erster Art (\ref{eq:tschebyscheff-polynome}).
+Die Funktion $y(x)$ und $y'(x)$ sind in diesem Fall die Tschebyscheff Polynome (siehe \ref{sub:definiton_der_tschebyscheff-Polynome}).
 Die Funktion $y(x)$ wird nun mit der Funktion $T_n(x)$ ersetzt und für die Verifizierung der Randbedingung wählt man $n=2$.
 Somit erhält man
 \begin{equation}
 	\begin{aligned}
 	k_a T_2(-1) + h_a T_{2}'(-1) &= k_a = 0\\
 	k_b T_2(1) + h_b T_{2}'(1) &= k_b = 0.
-\end{aligned}
+	\end{aligned}
 \end{equation}
 Ähnlich wie beim Beispiel der Wärmeleitung in einem homogenen Stab kann man, damit die Bedingung $|k_i|^2 + |h_i|^2\ne 0$ erfüllt ist, können beliebige $h_a \ne 0$ und $h_b \ne 0$ gewählt werden.
 Somit ist erneut gezeigt, dass die Randbedingungen der Tschebyscheff-Polynome auf die Sturm-Liouville-Randbedingungen erfüllt und alle daraus resultierenden Lösungen orthogonal sind.
 
 \begin{beispiel}
-	Die Gleichung \ref{eq:skalar-sturm-liouville} mit $y_m = T_1(x)$ und $y_n(x) = T_2(x)$ eingesetzt sowie $a=-1$ und $b = 1$ ergibt
+	Die Gleichung \eqref{eq:skalar-sturm-liouville} mit $y_m = T_1(x)$ und $y_n(x) = T_2(x)$ eingesetzt sowie $a=-1$ und $b = 1$ ergibt
 	\[
 	\int_{-1}^{1} w(x) x (2x^2-1) dx = 0.
 	\]
-- 
cgit v1.2.1


From 122c15094eb58f62ff8fac3e97d85dcdd5fcddc1 Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: =?UTF-8?q?Erik=20L=C3=B6ffler?=
 <100943759+erik-loeffler@users.noreply.github.com>
Date: Fri, 19 Aug 2022 16:59:11 +0200
Subject: Reformatted code to comply with guidelines.

---
 .../sturmliouville/tschebyscheff_beispiel.tex      | 61 +++++++++++++---------
 1 file changed, 35 insertions(+), 26 deletions(-)

(limited to 'buch/papers/sturmliouville/tschebyscheff_beispiel.tex')

diff --git a/buch/papers/sturmliouville/tschebyscheff_beispiel.tex b/buch/papers/sturmliouville/tschebyscheff_beispiel.tex
index c304632..cad71d7 100644
--- a/buch/papers/sturmliouville/tschebyscheff_beispiel.tex
+++ b/buch/papers/sturmliouville/tschebyscheff_beispiel.tex
@@ -4,9 +4,11 @@
 % (c) 2020 Prof Dr Andreas Müller, Hochschule Rapperswil
 %
 
-\subsection{Sind Tschebyscheff-Polynome orthogonal zueinander?\label{sub:tschebyscheff-polynome}}
+\subsection{Sind Tschebyscheff-Polynome orthogonal zueinander?
+\label{sub:tschebyscheff-polynome}}
 \subsubsection*{Definition der Koeffizientenfunktion}
-Im Kapitel \ref{sub:beispiele_sturm_liouville_problem} sind die Koeffizientenfunktionen, die man braucht, schon aufgeliste, und zwar mit
+Im Kapitel \ref{sub:beispiele_sturm_liouville_problem} sind die
+Koeffizientenfunktionen, die man braucht, schon aufgeliste, und zwar mit
 \begin{align*}
 	w(x) &= \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} \\
 	p(x) &= \sqrt{1-x^2} \\
@@ -15,15 +17,25 @@ Im Kapitel \ref{sub:beispiele_sturm_liouville_problem} sind die Koeffizientenfun
 Da die Sturm-Liouville-Gleichung
 \begin{equation}
 	\label{eq:sturm-liouville-equation-tscheby}
-	\frac{d}{dx} (\sqrt{1-x^2} \frac{dy}{dx}) + (0 + \lambda \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}) y = 0 
+	\frac{d}{dx} (\sqrt{1-x^2} \frac{dy}{dx}) +
+	(0 + \lambda \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}) y
+	=
+	0 
 \end{equation}
-nun mit den Koeffizientenfunktionen aufgestellt werden kann, bleibt die Frage, ob es sich um ein reguläres oder singuläres Sturm-Liouville-Problem handelt.
+nun mit den Koeffizientenfunktionen aufgestellt werden kann, bleibt die Frage,
+ob es sich um ein reguläres oder singuläres Sturm-Liouville-Problem handelt.
 
 \subsubsection*{regulär oder singulär?}
-Für das reguläre Problem laut der Definition \ref{def:reguläres_sturm-liouville-problem} muss die funktion $p(x) = \sqrt{1-x^2}$, $p'(x) = -2x$, $q(x) = 0$ und $w(x) = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$ stetig und reell sein --- und sie sind es auch.
-Auf dem Intervall $(-1,1)$ sind die Tschebyscheff-Polynome erster Art mit Hilfe von Hyperbelfunktionen
+Für das reguläre Problem laut der
+Definition~\ref{def:reguläres_sturm-liouville-problem} muss die funktion
+$p(x) = \sqrt{1-x^2}$, $p'(x) = -2x$, $q(x) = 0$ und
+$w(x) = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$ stetig und reell sein --- und sie sind es auch.
+Auf dem Intervall $(-1,1)$ sind die Tschebyscheff-Polynome erster Art mit Hilfe
+von Hyperbelfunktionen
 \begin{equation}
-	T_n(x) = \cos n (\arccos x)
+	T_n(x)
+	=
+	\cos n (\arccos x)
 \end{equation}.
 Für $x>1$ und $x<-1$ sehen die Polynome wie folgt aus:
 \begin{equation}
@@ -31,7 +43,8 @@ Für $x>1$ und $x<-1$ sehen die Polynome wie folgt aus:
 		(-1)^n \cosh (n \arccos (-x)), & x<-1 \end{array}\right.
 \end{equation},
 jedoch ist die Orthogonalität nur auf dem Intervall $[ -1, 1]$ sichergestellt.
-Die nächste Bedingung beinhaltet, dass die Funktion $p(x)$ und $w(x)>0$ sein müssen.
+Die nächste Bedingung beinhaltet, dass die Funktion $p(x)$ und $w(x)>0$ sein
+müssen.
 Die Funktion
 \begin{equation*}
 	p(x)^{-1} = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}
@@ -40,7 +53,8 @@ ist die gleiche wie $w(x)$ und erfüllt die Bedingung.
 
 \subsubsection*{Randwertproblem}
 Für die Verifizierung der Randbedingungen benötigt man erneut $p(x)$.
-Da sich die Polynome nur auf dem Intervall $[ -1,1 ]$ orthogonal verhalten, sind $a = -1$ und $b = 1$ gesetzt.
+Da sich die Polynome nur auf dem Intervall $[ -1,1 ]$ orthogonal verhalten,
+sind $a = -1$ und $b = 1$ gesetzt.
 Beim einsetzen in die Randbedingung \eqref{eq:randbedingungen}, erhält man
 \begin{equation}
 \begin{aligned}
@@ -48,8 +62,10 @@ Beim einsetzen in die Randbedingung \eqref{eq:randbedingungen}, erhält man
 	k_b y(-1) + h_b y'(-1) &= 0.
 \end{aligned} 
 \end{equation}
-Die Funktion $y(x)$ und $y'(x)$ sind in diesem Fall die Tschebyscheff Polynome (siehe \ref{sub:definiton_der_tschebyscheff-Polynome}).
-Die Funktion $y(x)$ wird nun mit der Funktion $T_n(x)$ ersetzt und für die Verifizierung der Randbedingung wählt man $n=2$.
+Die Funktion $y(x)$ und $y'(x)$ sind in diesem Fall die Tschebyscheff Polynome
+(siehe \ref{sub:definiton_der_tschebyscheff-Polynome}).
+Die Funktion $y(x)$ wird nun mit der Funktion $T_n(x)$ ersetzt und für die
+Verifizierung der Randbedingung wählt man $n=2$.
 Somit erhält man
 \begin{equation}
 	\begin{aligned}
@@ -57,24 +73,17 @@ Somit erhält man
 	k_b T_2(1) + h_b T_{2}'(1) &= k_b = 0.
 	\end{aligned}
 \end{equation}
-Ähnlich wie beim Beispiel der Wärmeleitung in einem homogenen Stab kann man, damit die Bedingung $|k_i|^2 + |h_i|^2\ne 0$ erfüllt ist, können beliebige $h_a \ne 0$ und $h_b \ne 0$ gewählt werden.
-Somit ist erneut gezeigt, dass die Randbedingungen der Tschebyscheff-Polynome auf die Sturm-Liouville-Randbedingungen erfüllt und alle daraus resultierenden Lösungen orthogonal sind.
+Ähnlich wie beim Beispiel der Wärmeleitung in einem homogenen Stab kann man,
+damit die Bedingung $|k_i|^2 + |h_i|^2\ne 0$ erfüllt ist, können beliebige
+$h_a \ne 0$ und $h_b \ne 0$ gewählt werden.
+Somit ist erneut gezeigt, dass die Randbedingungen der Tschebyscheff-Polynome
+auf die Sturm-Liouville-Randbedingungen erfüllt und alle daraus resultierenden
+Lösungen orthogonal sind.
 
 \begin{beispiel}
-	Die Gleichung \eqref{eq:skalar-sturm-liouville} mit $y_m = T_1(x)$ und $y_n(x) = T_2(x)$ eingesetzt sowie $a=-1$ und $b = 1$ ergibt
+	Die Gleichung \eqref{eq:skalar-sturm-liouville} mit $y_m = T_1(x)$ und
+	$y_n(x) = T_2(x)$ eingesetzt sowie $a=-1$ und $b = 1$ ergibt
 	\[
 	\int_{-1}^{1} w(x) x (2x^2-1) dx = 0.
 	\]
 \end{beispiel}
-
- 
-
-
-
-
-
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-
-- 
cgit v1.2.1


From 905073fc0febc0af8aa43e58868b98f4f33b98fa Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: =?UTF-8?q?Erik=20L=C3=B6ffler?=
 <100943759+erik-loeffler@users.noreply.github.com>
Date: Tue, 23 Aug 2022 15:46:42 +0200
Subject: Corrected all labels to comply with guidelines.

---
 buch/papers/sturmliouville/tschebyscheff_beispiel.tex | 16 +++++++++-------
 1 file changed, 9 insertions(+), 7 deletions(-)

(limited to 'buch/papers/sturmliouville/tschebyscheff_beispiel.tex')

diff --git a/buch/papers/sturmliouville/tschebyscheff_beispiel.tex b/buch/papers/sturmliouville/tschebyscheff_beispiel.tex
index cad71d7..18e6198 100644
--- a/buch/papers/sturmliouville/tschebyscheff_beispiel.tex
+++ b/buch/papers/sturmliouville/tschebyscheff_beispiel.tex
@@ -5,15 +5,15 @@
 %
 
 \subsection{Sind Tschebyscheff-Polynome orthogonal zueinander?
-\label{sub:tschebyscheff-polynome}}
+\label{sturmliouville:sub:tschebyscheff-polynome}}
 \subsubsection*{Definition der Koeffizientenfunktion}
 Im Kapitel \ref{sub:beispiele_sturm_liouville_problem} sind die
 Koeffizientenfunktionen, die man braucht, schon aufgeliste, und zwar mit
 \begin{align*}
 	w(x) &= \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} \\
 	p(x) &= \sqrt{1-x^2} \\
-	q(x) &= 0
-\end{align*}.
+	q(x) &= 0.
+\end{align*}
 Da die Sturm-Liouville-Gleichung
 \begin{equation}
 	\label{eq:sturm-liouville-equation-tscheby}
@@ -27,7 +27,7 @@ ob es sich um ein reguläres oder singuläres Sturm-Liouville-Problem handelt.
 
 \subsubsection*{regulär oder singulär?}
 Für das reguläre Problem laut der
-Definition~\ref{def:reguläres_sturm-liouville-problem} muss die funktion
+Definition~\ref{sturmliouville:def:reguläres_sturm-liouville-problem} muss die funktion
 $p(x) = \sqrt{1-x^2}$, $p'(x) = -2x$, $q(x) = 0$ und
 $w(x) = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$ stetig und reell sein --- und sie sind es auch.
 Auf dem Intervall $(-1,1)$ sind die Tschebyscheff-Polynome erster Art mit Hilfe
@@ -55,7 +55,8 @@ ist die gleiche wie $w(x)$ und erfüllt die Bedingung.
 Für die Verifizierung der Randbedingungen benötigt man erneut $p(x)$.
 Da sich die Polynome nur auf dem Intervall $[ -1,1 ]$ orthogonal verhalten,
 sind $a = -1$ und $b = 1$ gesetzt.
-Beim einsetzen in die Randbedingung \eqref{eq:randbedingungen}, erhält man
+Beim einsetzen in die Randbedingung \eqref{sturmliouville:eq:randbedingungen},
+erhält man
 \begin{equation}
 \begin{aligned}
 	k_a y(-1) + h_a y'(-1) &= 0\\
@@ -81,8 +82,9 @@ auf die Sturm-Liouville-Randbedingungen erfüllt und alle daraus resultierenden
 Lösungen orthogonal sind.
 
 \begin{beispiel}
-	Die Gleichung \eqref{eq:skalar-sturm-liouville} mit $y_m = T_1(x)$ und
-	$y_n(x) = T_2(x)$ eingesetzt sowie $a=-1$ und $b = 1$ ergibt
+	Die Gleichung \eqref{eq:skalar-sturm-liouville} mit
+	$y_m = T_1(x)$ und $y_n(x) = T_2(x)$ eingesetzt sowie $a=-1$ und $b = 1$
+	ergibt
 	\[
 	\int_{-1}^{1} w(x) x (2x^2-1) dx = 0.
 	\]
-- 
cgit v1.2.1


From a966f864bde5198499f4066d2c1c97d44e51cb02 Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: haddoucher <reda.haddouche@ost.ch>
Date: Wed, 24 Aug 2022 12:55:52 +0200
Subject: Korrekturen

Wurde einiges korrigiert. Heute abend wirds noch einmal durchgelesen.
---
 .../sturmliouville/tschebyscheff_beispiel.tex      | 92 +++++++++++-----------
 1 file changed, 46 insertions(+), 46 deletions(-)

(limited to 'buch/papers/sturmliouville/tschebyscheff_beispiel.tex')

diff --git a/buch/papers/sturmliouville/tschebyscheff_beispiel.tex b/buch/papers/sturmliouville/tschebyscheff_beispiel.tex
index 18e6198..8f673a5 100644
--- a/buch/papers/sturmliouville/tschebyscheff_beispiel.tex
+++ b/buch/papers/sturmliouville/tschebyscheff_beispiel.tex
@@ -4,14 +4,15 @@
 % (c) 2020 Prof Dr Andreas Müller, Hochschule Rapperswil
 %
 
-\subsection{Sind Tschebyscheff-Polynome orthogonal zueinander?
+\subsection{Tschebyscheff-Polynome
 \label{sturmliouville:sub:tschebyscheff-polynome}}
+\rhead{Tschebyscheff-Polynome}
 \subsubsection*{Definition der Koeffizientenfunktion}
 Im Kapitel \ref{sub:beispiele_sturm_liouville_problem} sind die
-Koeffizientenfunktionen, die man braucht, schon aufgeliste, und zwar mit
+Koeffizientenfunktionen, die man braucht, schon aufgelistet:
 \begin{align*}
-	w(x) &= \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} \\
-	p(x) &= \sqrt{1-x^2} \\
+	w(x) &= \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}, \\
+	p(x) &= \sqrt{1-x^2}, \\
 	q(x) &= 0.
 \end{align*}
 Da die Sturm-Liouville-Gleichung
@@ -24,66 +25,65 @@ Da die Sturm-Liouville-Gleichung
 \end{equation}
 nun mit den Koeffizientenfunktionen aufgestellt werden kann, bleibt die Frage,
 ob es sich um ein reguläres oder singuläres Sturm-Liouville-Problem handelt.
-
-\subsubsection*{regulär oder singulär?}
-Für das reguläre Problem laut der
-Definition~\ref{sturmliouville:def:reguläres_sturm-liouville-problem} muss die funktion
-$p(x) = \sqrt{1-x^2}$, $p'(x) = -2x$, $q(x) = 0$ und
-$w(x) = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$ stetig und reell sein --- und sie sind es auch.
-Auf dem Intervall $(-1,1)$ sind die Tschebyscheff-Polynome erster Art mit Hilfe
-von Hyperbelfunktionen
-\begin{equation}
-	T_n(x)
-	=
-	\cos n (\arccos x)
-\end{equation}.
-Für $x>1$ und $x<-1$ sehen die Polynome wie folgt aus:
-\begin{equation}
-	T_n(x) = \left\{\begin{array}{ll} \cosh (n \arccos x), & x > 1\\
-		(-1)^n \cosh (n \arccos (-x)), & x<-1 \end{array}\right.
-\end{equation},
-jedoch ist die Orthogonalität nur auf dem Intervall $[ -1, 1]$ sichergestellt.
-Die nächste Bedingung beinhaltet, dass die Funktion $p(x)$ und $w(x)>0$ sein
-müssen.
-Die Funktion
-\begin{equation*}
-	p(x)^{-1} = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}
-\end{equation*}
-ist die gleiche wie $w(x)$ und erfüllt die Bedingung.
+Zunächst werden jedoch die Randbedingungen betrachtet.
 
 \subsubsection*{Randwertproblem}
 Für die Verifizierung der Randbedingungen benötigt man erneut $p(x)$.
-Da sich die Polynome nur auf dem Intervall $[ -1,1 ]$ orthogonal verhalten,
-sind $a = -1$ und $b = 1$ gesetzt.
-Beim einsetzen in die Randbedingung \eqref{sturmliouville:eq:randbedingungen},
+Die Randwerte setzt man $a = -1$ und $b = 1$.
+Beim Einsetzen in die Randbedingung \eqref{sturmliouville:eq:randbedingungen},
 erhält man
 \begin{equation}
-\begin{aligned}
-	k_a y(-1) + h_a y'(-1) &= 0\\
-	k_b y(-1) + h_b y'(-1) &= 0.
-\end{aligned} 
+	\begin{aligned}
+		k_a y(-1) + h_a y'(-1) &= 0\\
+		k_b y(-1) + h_b y'(-1) &= 0.
+	\end{aligned} 
 \end{equation}
 Die Funktion $y(x)$ und $y'(x)$ sind in diesem Fall die Tschebyscheff Polynome
 (siehe \ref{sub:definiton_der_tschebyscheff-Polynome}).
 Die Funktion $y(x)$ wird nun mit der Funktion $T_n(x)$ ersetzt und für die
-Verifizierung der Randbedingung wählt man $n=2$.
+Verifizierung der Randbedingung wählt man $n=0$.
 Somit erhält man
 \begin{equation}
 	\begin{aligned}
-	k_a T_2(-1) + h_a T_{2}'(-1) &= k_a = 0\\
-	k_b T_2(1) + h_b T_{2}'(1) &= k_b = 0.
+		k_a T_0(-1) + h_a T_{0}'(-1) &= k_a = 0\\
+		k_b T_0(1) + h_b T_{0}'(1) &= k_b = 0.
 	\end{aligned}
 \end{equation}
 Ähnlich wie beim Beispiel der Wärmeleitung in einem homogenen Stab kann man,
-damit die Bedingung $|k_i|^2 + |h_i|^2\ne 0$ erfüllt ist, können beliebige
+damit die Bedingung $|k_i|^2 + |h_i|^2\ne 0$ erfüllt ist, beliebige
 $h_a \ne 0$ und $h_b \ne 0$ gewählt werden.
-Somit ist erneut gezeigt, dass die Randbedingungen der Tschebyscheff-Polynome
-auf die Sturm-Liouville-Randbedingungen erfüllt und alle daraus resultierenden
-Lösungen orthogonal sind.
+Es wird also erneut gezeigt, dass die Randbedingungen $[-1,1]$,
+die Sturm-Liouville-Randbedingungen erfüllen.
+
+\subsubsection*{regulär oder singulär?}
+Für das reguläre Problem muss laut der
+Definition~\ref{sturmliouville:def:reguläres_sturm-liouville-problem} die funktion
+$p(x) = \sqrt{1-x^2}$, $p'(x) = -2x$, $q(x) = 0$ und
+$w(x) = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$ stetig und reell sein.
+Auf dem Intervall $(-1,1)$ sind die Tschebyscheff-Polynome erster Art
+\begin{equation}
+	T_n(x)
+	=
+	\cos n (\arccos x).
+\end{equation}
+Die nächste Bedingung, laut der Definition \ref{sturmliouville:def:reguläres_sturm-liouville-problem}, beinhaltet, dass die Funktion $p(x)$ und $w(x)>0$ sein
+müssen.
+Die Funktion
+\begin{equation*}
+	p(x)^{-1} = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}
+\end{equation*}
+ist die gleiche wie $w(x)$ und erfüllt die Bedingung.
+
+
 
 \begin{beispiel}
-	Die Gleichung \eqref{eq:skalar-sturm-liouville} mit
-	$y_m = T_1(x)$ und $y_n(x) = T_2(x)$ eingesetzt sowie $a=-1$ und $b = 1$
+	Die Gleichung 
+	\[
+		\int_{a}^{b} w(x) y_m y_n = 0
+	\]
+	
+	mit
+	$y_m(x) = T_1(x)$ und $y_n(x) = T_2(x)$ eingesetzt sowie $a=-1$ und $b = 1$
 	ergibt
 	\[
 	\int_{-1}^{1} w(x) x (2x^2-1) dx = 0.
-- 
cgit v1.2.1


From a2a2826f4def7a43570e521e9ad9b5b653f34456 Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: =?UTF-8?q?Erik=20L=C3=B6ffler?=
 <100943759+erik-loeffler@users.noreply.github.com>
Date: Thu, 25 Aug 2022 13:40:26 +0200
Subject: Recommiting, something went wrong last time.

---
 buch/papers/sturmliouville/tschebyscheff_beispiel.tex | 1 +
 1 file changed, 1 insertion(+)

(limited to 'buch/papers/sturmliouville/tschebyscheff_beispiel.tex')

diff --git a/buch/papers/sturmliouville/tschebyscheff_beispiel.tex b/buch/papers/sturmliouville/tschebyscheff_beispiel.tex
index 8f673a5..b247441 100644
--- a/buch/papers/sturmliouville/tschebyscheff_beispiel.tex
+++ b/buch/papers/sturmliouville/tschebyscheff_beispiel.tex
@@ -1,5 +1,6 @@
 %
 % tschebyscheff_beispiel.tex
+% Author: Réda Haddouche
 %
 % (c) 2020 Prof Dr Andreas Müller, Hochschule Rapperswil
 %
-- 
cgit v1.2.1


From 4241483d86a2803e284f734af690d88c0d1f6dfe Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: haddoucher <reda.haddouche@ost.ch>
Date: Thu, 25 Aug 2022 16:59:37 +0200
Subject: korrigiert

Tschebyscheff-Polynome und Einleitung
---
 .../sturmliouville/tschebyscheff_beispiel.tex      | 44 ++++++++++++++--------
 1 file changed, 29 insertions(+), 15 deletions(-)

(limited to 'buch/papers/sturmliouville/tschebyscheff_beispiel.tex')

diff --git a/buch/papers/sturmliouville/tschebyscheff_beispiel.tex b/buch/papers/sturmliouville/tschebyscheff_beispiel.tex
index 8f673a5..dfc6798 100644
--- a/buch/papers/sturmliouville/tschebyscheff_beispiel.tex
+++ b/buch/papers/sturmliouville/tschebyscheff_beispiel.tex
@@ -7,6 +7,13 @@
 \subsection{Tschebyscheff-Polynome
 \label{sturmliouville:sub:tschebyscheff-polynome}}
 \rhead{Tschebyscheff-Polynome}
+In diesem Unterkapitel wird anhand der
+Tschebyscheff-Differentialgleichung~\eqref{buch:potenzen:tschebyscheff:dgl} gezeigt, dass die Tschebyscheff-Polynome orthogonal zueinander sind.
+Zu diesem Zweck werden die Koeffizientenfunktionen nochmals dargestellt, so dass
+überprüft werden kann, ob die Randbedingungen erfüllt werden können.
+Sobald feststeht, ob das Problem regulär oder singulär ist, zeigt eine
+kleine Rechnung, dass die Lösungen orthogonal sind.
+
 \subsubsection*{Definition der Koeffizientenfunktion}
 Im Kapitel \ref{sub:beispiele_sturm_liouville_problem} sind die
 Koeffizientenfunktionen, die man braucht, schon aufgelistet:
@@ -34,8 +41,8 @@ Beim Einsetzen in die Randbedingung \eqref{sturmliouville:eq:randbedingungen},
 erhält man
 \begin{equation}
 	\begin{aligned}
-		k_a y(-1) + h_a y'(-1) &= 0\\
-		k_b y(-1) + h_b y'(-1) &= 0.
+		k_a y(-1) + h_a p(-1) y'(-1) &= 0\\
+		k_b y(1) + h_b p(1) y'(-1) &= 0.
 	\end{aligned} 
 \end{equation}
 Die Funktion $y(x)$ und $y'(x)$ sind in diesem Fall die Tschebyscheff Polynome
@@ -45,17 +52,16 @@ Verifizierung der Randbedingung wählt man $n=0$.
 Somit erhält man
 \begin{equation}
 	\begin{aligned}
-		k_a T_0(-1) + h_a T_{0}'(-1) &= k_a = 0\\
-		k_b T_0(1) + h_b T_{0}'(1) &= k_b = 0.
+		k_a T_0(-1) + h_a p(-1) T_{0}'(-1) &= k_a = 0\\
+		k_b T_0(1) + h_b p(1) T_{0}'(1) &= k_b = 0.
 	\end{aligned}
 \end{equation}
-Ähnlich wie beim Beispiel der Wärmeleitung in einem homogenen Stab kann man,
+Ähnlich wie beim Beispiel der Wärmeleitung in einem homogenen Stab können,
 damit die Bedingung $|k_i|^2 + |h_i|^2\ne 0$ erfüllt ist, beliebige
 $h_a \ne 0$ und $h_b \ne 0$ gewählt werden.
-Es wird also erneut gezeigt, dass die Randbedingungen $[-1,1]$,
-die Sturm-Liouville-Randbedingungen erfüllen.
+Es wurde somit gezeigt, dass die Sturm-Liouville-Randbedingungen erfüllt sind.
 
-\subsubsection*{regulär oder singulär?}
+\subsubsection*{Handelt es sich um ein reguläres oder Singuläres Problem?}
 Für das reguläre Problem muss laut der
 Definition~\ref{sturmliouville:def:reguläres_sturm-liouville-problem} die funktion
 $p(x) = \sqrt{1-x^2}$, $p'(x) = -2x$, $q(x) = 0$ und
@@ -73,19 +79,27 @@ Die Funktion
 	p(x)^{-1} = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}
 \end{equation*}
 ist die gleiche wie $w(x)$ und erfüllt die Bedingung.
-
+Es zeigt sich also, dass $p(x)$, $p'(x)$, $q(x)$ und $w(x)$
+die Bedingungen erfüllen.
+Da auch die Randbedingungen erfüllt sind, handelt es sich um ein reguläres Sturm-Liouville-Problem.
 
 
 \begin{beispiel}
-	Die Gleichung 
+	In diesem Beispiel wird zuletzt die Orthogonalität der Lösungsfunktion
+	illustriert.
+	Dazu verwendet man das Skalarprodukt
 	\[
-		\int_{a}^{b} w(x) y_m y_n = 0
+		\int_{a}^{b} w(x) y_m y_n = 0.
 	\]
-	
-	mit
-	$y_m(x) = T_1(x)$ und $y_n(x) = T_2(x)$ eingesetzt sowie $a=-1$ und $b = 1$
+	Eigesetzt ergibt dies $y_m(x) = T_1(x)$ und $y_n(x) = T_2(x)$, sowie $a=-1$ und $b = 1$
 	ergibt
 	\[
-	\int_{-1}^{1} w(x) x (2x^2-1) dx = 0.
+	\begin{aligned}
+	\int_{-1}^{1} \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} x (2x^2-1) dx &=
+	\lbrack - \frac{\sqrt{1-x^2}(2x^2+1)}{3}\rbrack_{-1}^{1}\\
+	&= 0.
+	\end{aligned}
 	\]
+	Somit ist gezeigt, dass $T_1(x)$ und $T_2(x)$ orthogonal sind.
+	Analog kann Orthogonalität für alle $y_n(x)$ und $y_m(x)$ mit $n \ne m$ gezeigt werden.
 \end{beispiel}
-- 
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From a1a9823fa9396d39d77b11d0c77b62df09a3bac8 Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: =?UTF-8?q?Erik=20L=C3=B6ffler?=
 <100943759+erik-loeffler@users.noreply.github.com>
Date: Thu, 25 Aug 2022 21:38:04 +0200
Subject: Some corrections in intro and chebyshev example.

---
 buch/papers/sturmliouville/tschebyscheff_beispiel.tex | 13 +++++++------
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index 5ede99d..5fb3a0c 100644
--- a/buch/papers/sturmliouville/tschebyscheff_beispiel.tex
+++ b/buch/papers/sturmliouville/tschebyscheff_beispiel.tex
@@ -9,9 +9,10 @@
 \label{sturmliouville:sub:tschebyscheff-polynome}}
 \rhead{Tschebyscheff-Polynome}
 In diesem Unterkapitel wird anhand der
-Tschebyscheff-Differentialgleichung~\eqref{buch:potenzen:tschebyscheff:dgl} gezeigt, dass die Tschebyscheff-Polynome orthogonal zueinander sind.
+Tschebyscheff-Differentialgleichung~\eqref{buch:potenzen:tschebyscheff:dgl}
+gezeigt, dass die Tschebyscheff-Polynome orthogonal zueinander sind.
 Zu diesem Zweck werden die Koeffizientenfunktionen nochmals dargestellt, so dass
-überprüft werden kann, ob die Randbedingungen erfüllt werden können.
+überprüft werden kann, ob die Randbedingungen erfüllt werden.
 Sobald feststeht, ob das Problem regulär oder singulär ist, zeigt eine
 kleine Rechnung, dass die Lösungen orthogonal sind.
 
@@ -43,7 +44,7 @@ erhält man
 \begin{equation}
 	\begin{aligned}
 		k_a y(-1) + h_a p(-1) y'(-1) &= 0\\
-		k_b y(1) + h_b p(1) y'(-1) &= 0.
+		k_b y(1) + h_b p(1) y'(1) &= 0.
 	\end{aligned} 
 \end{equation}
 Die Funktion $y(x)$ und $y'(x)$ sind in diesem Fall die Tschebyscheff Polynome
@@ -62,7 +63,7 @@ damit die Bedingung $|k_i|^2 + |h_i|^2\ne 0$ erfüllt ist, beliebige
 $h_a \ne 0$ und $h_b \ne 0$ gewählt werden.
 Es wurde somit gezeigt, dass die Sturm-Liouville-Randbedingungen erfüllt sind.
 
-\subsubsection*{Handelt es sich um ein reguläres oder Singuläres Problem?}
+\subsubsection*{Handelt es sich um ein reguläres oder singuläres Problem?}
 Für das reguläre Problem muss laut der
 Definition~\ref{sturmliouville:def:reguläres_sturm-liouville-problem} die funktion
 $p(x) = \sqrt{1-x^2}$, $p'(x) = -2x$, $q(x) = 0$ und
@@ -92,8 +93,8 @@ Da auch die Randbedingungen erfüllt sind, handelt es sich um ein reguläres Stu
 	\[
 		\int_{a}^{b} w(x) y_m y_n = 0.
 	\]
-	Eigesetzt ergibt dies $y_m(x) = T_1(x)$ und $y_n(x) = T_2(x)$, sowie $a=-1$ und $b = 1$
-	ergibt
+	mit $y_m(x) = T_1(x)$ und $y_n(x) = T_2(x)$, sowie $a=-1$ und $b = 1$.
+	Eigesetzt ergibt dies
 	\[
 	\begin{aligned}
 	\int_{-1}^{1} \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} x (2x^2-1) dx &=
-- 
cgit v1.2.1


From 0b3bf5fb8563de4eb3d51e803718baf018e35c10 Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: haddoucher <reda.haddouche@ost.ch>
Date: Fri, 26 Aug 2022 10:50:47 +0200
Subject: Korrekturen

Wahrscheinlich die letzten
---
 buch/papers/sturmliouville/tschebyscheff_beispiel.tex | 16 ++++++++--------
 1 file changed, 8 insertions(+), 8 deletions(-)

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diff --git a/buch/papers/sturmliouville/tschebyscheff_beispiel.tex b/buch/papers/sturmliouville/tschebyscheff_beispiel.tex
index dfc6798..d5c2dc6 100644
--- a/buch/papers/sturmliouville/tschebyscheff_beispiel.tex
+++ b/buch/papers/sturmliouville/tschebyscheff_beispiel.tex
@@ -4,7 +4,7 @@
 % (c) 2020 Prof Dr Andreas Müller, Hochschule Rapperswil
 %
 
-\subsection{Tschebyscheff-Polynome
+\section{Tschebyscheff-Polynome
 \label{sturmliouville:sub:tschebyscheff-polynome}}
 \rhead{Tschebyscheff-Polynome}
 In diesem Unterkapitel wird anhand der
@@ -14,7 +14,7 @@ Zu diesem Zweck werden die Koeffizientenfunktionen nochmals dargestellt, so dass
 Sobald feststeht, ob das Problem regulär oder singulär ist, zeigt eine
 kleine Rechnung, dass die Lösungen orthogonal sind.
 
-\subsubsection*{Definition der Koeffizientenfunktion}
+\subsection*{Definition der Koeffizientenfunktion}
 Im Kapitel \ref{sub:beispiele_sturm_liouville_problem} sind die
 Koeffizientenfunktionen, die man braucht, schon aufgelistet:
 \begin{align*}
@@ -25,8 +25,8 @@ Koeffizientenfunktionen, die man braucht, schon aufgelistet:
 Da die Sturm-Liouville-Gleichung
 \begin{equation}
 	\label{eq:sturm-liouville-equation-tscheby}
-	\frac{d}{dx} (\sqrt{1-x^2} \frac{dy}{dx}) +
-	(0 + \lambda \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}) y
+	\frac{d}{dx} \biggl (\sqrt{1-x^2} \frac{dy}{dx}\biggr ) +
+	\biggl (0 + \lambda \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\biggr ) y
 	=
 	0 
 \end{equation}
@@ -34,7 +34,7 @@ nun mit den Koeffizientenfunktionen aufgestellt werden kann, bleibt die Frage,
 ob es sich um ein reguläres oder singuläres Sturm-Liouville-Problem handelt.
 Zunächst werden jedoch die Randbedingungen betrachtet.
 
-\subsubsection*{Randwertproblem}
+\subsection*{Randwertproblem}
 Für die Verifizierung der Randbedingungen benötigt man erneut $p(x)$.
 Die Randwerte setzt man $a = -1$ und $b = 1$.
 Beim Einsetzen in die Randbedingung \eqref{sturmliouville:eq:randbedingungen},
@@ -61,7 +61,7 @@ damit die Bedingung $|k_i|^2 + |h_i|^2\ne 0$ erfüllt ist, beliebige
 $h_a \ne 0$ und $h_b \ne 0$ gewählt werden.
 Es wurde somit gezeigt, dass die Sturm-Liouville-Randbedingungen erfüllt sind.
 
-\subsubsection*{Handelt es sich um ein reguläres oder Singuläres Problem?}
+\subsection*{Handelt es sich um ein reguläres oder Singuläres Problem?}
 Für das reguläre Problem muss laut der
 Definition~\ref{sturmliouville:def:reguläres_sturm-liouville-problem} die funktion
 $p(x) = \sqrt{1-x^2}$, $p'(x) = -2x$, $q(x) = 0$ und
@@ -89,14 +89,14 @@ Da auch die Randbedingungen erfüllt sind, handelt es sich um ein reguläres Stu
 	illustriert.
 	Dazu verwendet man das Skalarprodukt
 	\[
-		\int_{a}^{b} w(x) y_m y_n = 0.
+		\int_{a}^{b} w(x) y_m(x) y_n(x) = 0.
 	\]
 	Eigesetzt ergibt dies $y_m(x) = T_1(x)$ und $y_n(x) = T_2(x)$, sowie $a=-1$ und $b = 1$
 	ergibt
 	\[
 	\begin{aligned}
 	\int_{-1}^{1} \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} x (2x^2-1) dx &=
-	\lbrack - \frac{\sqrt{1-x^2}(2x^2+1)}{3}\rbrack_{-1}^{1}\\
+	\biggl [ - \frac{\sqrt{1-x^2}(2x^2+1)}{3} \biggr ]_{-1}^{1}\\
 	&= 0.
 	\end{aligned}
 	\]
-- 
cgit v1.2.1


From 0f9fe03b68dc81c69a2f926d2a6782fe933d70f6 Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: =?UTF-8?q?Erik=20L=C3=B6ffler?=
 <100943759+erik-loeffler@users.noreply.github.com>
Date: Fri, 26 Aug 2022 16:51:57 +0200
Subject: Final corrections.

---
 buch/papers/sturmliouville/tschebyscheff_beispiel.tex | 2 +-
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diff --git a/buch/papers/sturmliouville/tschebyscheff_beispiel.tex b/buch/papers/sturmliouville/tschebyscheff_beispiel.tex
index c509b96..5d13df6 100644
--- a/buch/papers/sturmliouville/tschebyscheff_beispiel.tex
+++ b/buch/papers/sturmliouville/tschebyscheff_beispiel.tex
@@ -63,7 +63,7 @@ damit die Bedingung $|k_i|^2 + |h_i|^2\ne 0$ erfüllt ist, beliebige
 $h_a \ne 0$ und $h_b \ne 0$ gewählt werden.
 Es wurde somit gezeigt, dass die Sturm-Liouville-Randbedingungen erfüllt sind.
 
-\subsection*{Handelt es sich um ein reguläres oder Singuläres Problem?}
+\subsection*{Handelt es sich um ein reguläres oder singuläres Problem?}
 Für das reguläre Problem muss laut der
 Definition~\ref{sturmliouville:def:reguläres_sturm-liouville-problem} die funktion
 $p(x) = \sqrt{1-x^2}$, $p'(x) = -2x$, $q(x) = 0$ und
-- 
cgit v1.2.1


From ce8786187659d6c5167872353d4c221a5c349839 Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: =?UTF-8?q?Erik=20L=C3=B6ffler?=
 <100943759+erik-loeffler@users.noreply.github.com>
Date: Fri, 26 Aug 2022 18:01:19 +0200
Subject: Changed one title.

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 buch/papers/sturmliouville/tschebyscheff_beispiel.tex | 2 +-
 1 file changed, 1 insertion(+), 1 deletion(-)

(limited to 'buch/papers/sturmliouville/tschebyscheff_beispiel.tex')

diff --git a/buch/papers/sturmliouville/tschebyscheff_beispiel.tex b/buch/papers/sturmliouville/tschebyscheff_beispiel.tex
index 5d13df6..341a358 100644
--- a/buch/papers/sturmliouville/tschebyscheff_beispiel.tex
+++ b/buch/papers/sturmliouville/tschebyscheff_beispiel.tex
@@ -5,7 +5,7 @@
 % (c) 2020 Prof Dr Andreas Müller, Hochschule Rapperswil
 %
 
-\section{Tschebyscheff-Polynome
+\section{Beispiel: Tschebyscheff-Polynome
 \label{sturmliouville:sub:tschebyscheff-polynome}}
 \rhead{Tschebyscheff-Polynome}
 In diesem Unterkapitel wird anhand der
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cgit v1.2.1

