From d8b0e6f27ac13c684bf829f4f73c11f4408945a5 Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: =?UTF-8?q?Erik=20L=C3=B6ffler?= <erik.loeffler@ost.ch>
Date: Thu, 11 Aug 2022 15:29:32 +0200
Subject: Added Tschebyscheff file.

---
 buch/papers/sturmliouville/tschebyscheff_beispiel.tex | 7 +++++++
 1 file changed, 7 insertions(+)
 create mode 100644 buch/papers/sturmliouville/tschebyscheff_beispiel.tex

(limited to 'buch/papers/sturmliouville/tschebyscheff_beispiel.tex')

diff --git a/buch/papers/sturmliouville/tschebyscheff_beispiel.tex b/buch/papers/sturmliouville/tschebyscheff_beispiel.tex
new file mode 100644
index 0000000..54f13d4
--- /dev/null
+++ b/buch/papers/sturmliouville/tschebyscheff_beispiel.tex
@@ -0,0 +1,7 @@
+%
+% tschebyscheff_beispiel.tex
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+% (c) 2020 Prof Dr Andreas Müller, Hochschule Rapperswil
+%
+
+\subsection{Tschebyscheff}
\ No newline at end of file
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cgit v1.2.1


From e27b521c00cdde53f0cbc0f0051881b5242adadc Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: haddoucher <reda.haddouche@ost.ch>
Date: Thu, 11 Aug 2022 18:47:14 +0200
Subject: Beispiel & einleitung

beispiel angefangen und einleitung korrigiert
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 .../sturmliouville/tschebyscheff_beispiel.tex      | 51 +++++++++++++++++++++-
 1 file changed, 50 insertions(+), 1 deletion(-)

(limited to 'buch/papers/sturmliouville/tschebyscheff_beispiel.tex')

diff --git a/buch/papers/sturmliouville/tschebyscheff_beispiel.tex b/buch/papers/sturmliouville/tschebyscheff_beispiel.tex
index 54f13d4..391841a 100644
--- a/buch/papers/sturmliouville/tschebyscheff_beispiel.tex
+++ b/buch/papers/sturmliouville/tschebyscheff_beispiel.tex
@@ -4,4 +4,53 @@
 % (c) 2020 Prof Dr Andreas Müller, Hochschule Rapperswil
 %
 
-\subsection{Tschebyscheff}
\ No newline at end of file
+\subsection{Tschebyscheff-Polynome\label{sub:tschebyscheff-polynome}}
+Im Kapitel \ref{sub:beispiele_sturm_liouville_problem} sind die Koeffizientenfunktionen die man braucht schon aufgeliste, und zwar mit
+\begin{align*}
+	w(x) &= \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} \\
+	p(x) &= \sqrt{1-x^2} \\
+	q(x) &= 0
+\end{align*}.
+Da die Sturm-Liouville-Gleichung
+\begin{equation}
+	\label{eq:sturm-liouville-equation}
+	\frac{d}{dx}\lbrack \sqrt{1-x^2} \frac{dy}{dx} \rbrack + \lbrack 0 + \lambda \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} \rbrack y = 0 
+\end{equation}
+nun mit den Koeffizientenfunktionen aufgestellt werden kann, bleibt die Frage, ob es sich um ein reguläres oder singuläres Sturm-Liouville-Problem handelt.
+Für das reguläre Problem laut der Definition \ref{def:reguläres_sturm-liouville-problem} muss die funktion $p(x) = \sqrt{1-x^2}$, $p'(x) = -2x$, $q(x) = 0$ und $w(x) = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$ stetig und reell sein - und sie sind es auch.
+Auf dem Intervall $(-1,1)$ sind die Tschebyscheff-Polynome erster Art mit Hilfe von Hyperbelfunktionen
+\begin{equation}
+	T_n(x) = \cos n (\arccos x)
+\end{equation}.
+Für $x>1$ und $x<-1$ sehen die Polynome wie folgt aus:
+\begin{equation}
+	T_n(x) = \left\{\begin{array}{ll} \cosh (n \arccos x), & x > 1\\
+		(-1)^n \cosh (n \arccos (-x)), & x<-1 \end{array}\right.
+\end{equation},
+jedoch ist die Orthogonalität nur auf dem Intervall $\[ -1, 1\]$ sichergestellt.
+Die nächste Bedingung beinhaltet, dass die Funktion $p(x)^-1$ und $w(x)>0$ sein müssen.
+Die Funktion
+\begin{equation*}
+	p(x)^-1 = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}
+\end{equation*}
+ist die gleiche wie $w(x)$.
+
+Für die Verifizierung der Randbedingungen benötigt man erneut $p(x)$.
+Da sich die Polynome nur auf dem Intervall $\[ -1,1 \]$ orthogonal verhalten, sind $a = -1$ und $b = 1$ gesetzt.
+Beim einsetzen in die Randbedingung \ref{eq:randbedingungen}, erhält man
+\begin{equation}
+\begin{aligned}
+	k_a y(-1) + h_a y'(-1) &= h_a 
+\end{aligned} 
+\end{equation}
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
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cgit v1.2.1


From 2f2665e1ee770f7813fe5406ba27a480cff2f541 Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: =?UTF-8?q?Erik=20L=C3=B6ffler?= <erik.loeffler@ost.ch>
Date: Mon, 15 Aug 2022 16:21:39 +0200
Subject: Corrected some error to make tschebyscheff example compile.

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 buch/papers/sturmliouville/tschebyscheff_beispiel.tex | 6 +++---
 1 file changed, 3 insertions(+), 3 deletions(-)

(limited to 'buch/papers/sturmliouville/tschebyscheff_beispiel.tex')

diff --git a/buch/papers/sturmliouville/tschebyscheff_beispiel.tex b/buch/papers/sturmliouville/tschebyscheff_beispiel.tex
index 391841a..8561479 100644
--- a/buch/papers/sturmliouville/tschebyscheff_beispiel.tex
+++ b/buch/papers/sturmliouville/tschebyscheff_beispiel.tex
@@ -13,7 +13,7 @@ Im Kapitel \ref{sub:beispiele_sturm_liouville_problem} sind die Koeffizientenfun
 \end{align*}.
 Da die Sturm-Liouville-Gleichung
 \begin{equation}
-	\label{eq:sturm-liouville-equation}
+	\label{eq:sturm-liouville-equation-tscheby}
 	\frac{d}{dx}\lbrack \sqrt{1-x^2} \frac{dy}{dx} \rbrack + \lbrack 0 + \lambda \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} \rbrack y = 0 
 \end{equation}
 nun mit den Koeffizientenfunktionen aufgestellt werden kann, bleibt die Frage, ob es sich um ein reguläres oder singuläres Sturm-Liouville-Problem handelt.
@@ -27,7 +27,7 @@ Für $x>1$ und $x<-1$ sehen die Polynome wie folgt aus:
 	T_n(x) = \left\{\begin{array}{ll} \cosh (n \arccos x), & x > 1\\
 		(-1)^n \cosh (n \arccos (-x)), & x<-1 \end{array}\right.
 \end{equation},
-jedoch ist die Orthogonalität nur auf dem Intervall $\[ -1, 1\]$ sichergestellt.
+jedoch ist die Orthogonalität nur auf dem Intervall $[ -1, 1]$ sichergestellt.
 Die nächste Bedingung beinhaltet, dass die Funktion $p(x)^-1$ und $w(x)>0$ sein müssen.
 Die Funktion
 \begin{equation*}
@@ -36,7 +36,7 @@ Die Funktion
 ist die gleiche wie $w(x)$.
 
 Für die Verifizierung der Randbedingungen benötigt man erneut $p(x)$.
-Da sich die Polynome nur auf dem Intervall $\[ -1,1 \]$ orthogonal verhalten, sind $a = -1$ und $b = 1$ gesetzt.
+Da sich die Polynome nur auf dem Intervall $[ -1,1 ]$ orthogonal verhalten, sind $a = -1$ und $b = 1$ gesetzt.
 Beim einsetzen in die Randbedingung \ref{eq:randbedingungen}, erhält man
 \begin{equation}
 \begin{aligned}
-- 
cgit v1.2.1


From f7c0dfbd20c97ae0e617aec796f2adc6d81369dc Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: =?UTF-8?q?Erik=20L=C3=B6ffler?= <erik.loeffler@ost.ch>
Date: Tue, 16 Aug 2022 14:20:30 +0200
Subject: Merged tschebyscheff section.

---
 .../sturmliouville/tschebyscheff_beispiel.tex      | 23 ++++++++++++++++++----
 1 file changed, 19 insertions(+), 4 deletions(-)

(limited to 'buch/papers/sturmliouville/tschebyscheff_beispiel.tex')

diff --git a/buch/papers/sturmliouville/tschebyscheff_beispiel.tex b/buch/papers/sturmliouville/tschebyscheff_beispiel.tex
index 8561479..a18684f 100644
--- a/buch/papers/sturmliouville/tschebyscheff_beispiel.tex
+++ b/buch/papers/sturmliouville/tschebyscheff_beispiel.tex
@@ -28,10 +28,10 @@ Für $x>1$ und $x<-1$ sehen die Polynome wie folgt aus:
 		(-1)^n \cosh (n \arccos (-x)), & x<-1 \end{array}\right.
 \end{equation},
 jedoch ist die Orthogonalität nur auf dem Intervall $[ -1, 1]$ sichergestellt.
-Die nächste Bedingung beinhaltet, dass die Funktion $p(x)^-1$ und $w(x)>0$ sein müssen.
+Die nächste Bedingung beinhaltet, dass die Funktion $p(x)^{-1}$ und $w(x)>0$ sein müssen.
 Die Funktion
 \begin{equation*}
-	p(x)^-1 = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}
+	p(x)^{-1} = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}
 \end{equation*}
 ist die gleiche wie $w(x)$.
 
@@ -40,10 +40,25 @@ Da sich die Polynome nur auf dem Intervall $[ -1,1 ]$ orthogonal verhalten, sind
 Beim einsetzen in die Randbedingung \ref{eq:randbedingungen}, erhält man
 \begin{equation}
 \begin{aligned}
-	k_a y(-1) + h_a y'(-1) &= h_a 
+	k_a y(-1) + h_a y'(-1) &= 0
+	k_b y(-1) + h_b y'(-1) &= 0
 \end{aligned} 
-\end{equation}
+\end{equation}.
+Die Funktion $y(x)$ und $y'(x)$ sind in diesem Fall die Tschebyscheff Polynome (siehe \label{sub:definiton_der_tschebyscheff-Polynome}).
+Es gibt zwei Arten von Tschebyscheff Polynome: die erste Art $T_n(x)$ und die zweite Art $U_n(x)$.
+Jedoch beachtet man in diesem Kapitel nur die Tschebyscheff Polynome erster Art (\ref{eq:tschebyscheff-polynome}).
+Die Funktion $y(x)$ wird nun mit der Funktion $T_n(x)$ ersetzt und für die Verifizierung der Randbedingung wählt man $n=2$.
+Somit erhält man
+\begin{equation}
+	\begin{aligned}
+	k_a T_2(-1) + h_a T_{2}'(-1) &= k_a = 0\\
+	k_b T_2(1) + h_b T_{2}'(1) &= k_b = 0
+\end{aligned}
+\end{equation}.
+Ähnlich wie beim Beispiel der Wärmeleitung in einem homogenen Stab kann man, damit die Bedingung $|k_i|^2 + |h_i|^2\ne 0$ erfüllt ist, können beliebige $h_a \ne 0$ und $h_b \ne 0$ gewählt werden.
+Somit ist erneut gezeigt, dass die Randbedingungen der Tschebyscheff-Polynome auf die Sturm-Liouville-Randbedingungen erfüllt und alle daraus resultierenden Lösungen orthogonal sind.
 
+ 
 
 
 
-- 
cgit v1.2.1


From b3611aa8b6f2c56c8940c18c582de0fd3dd205f2 Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: haddoucher <reda.haddouche@ost.ch>
Date: Thu, 18 Aug 2022 12:31:12 +0200
Subject: tschebyscheff kapitel

fertig geschrieben
---
 .../sturmliouville/tschebyscheff_beispiel.tex      | 31 +++++++++++++++-------
 1 file changed, 21 insertions(+), 10 deletions(-)

(limited to 'buch/papers/sturmliouville/tschebyscheff_beispiel.tex')

diff --git a/buch/papers/sturmliouville/tschebyscheff_beispiel.tex b/buch/papers/sturmliouville/tschebyscheff_beispiel.tex
index a18684f..3817dc0 100644
--- a/buch/papers/sturmliouville/tschebyscheff_beispiel.tex
+++ b/buch/papers/sturmliouville/tschebyscheff_beispiel.tex
@@ -4,8 +4,9 @@
 % (c) 2020 Prof Dr Andreas Müller, Hochschule Rapperswil
 %
 
-\subsection{Tschebyscheff-Polynome\label{sub:tschebyscheff-polynome}}
-Im Kapitel \ref{sub:beispiele_sturm_liouville_problem} sind die Koeffizientenfunktionen die man braucht schon aufgeliste, und zwar mit
+\subsection{Sind Tschebyscheff-Polynome orthogonal zueinander?\label{sub:tschebyscheff-polynome}}
+\subsubsection*{Definition der Koeffizientenfunktion}
+Im Kapitel \ref{sub:beispiele_sturm_liouville_problem} sind die Koeffizientenfunktionen, die man braucht, schon aufgeliste, und zwar mit
 \begin{align*}
 	w(x) &= \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} \\
 	p(x) &= \sqrt{1-x^2} \\
@@ -14,10 +15,12 @@ Im Kapitel \ref{sub:beispiele_sturm_liouville_problem} sind die Koeffizientenfun
 Da die Sturm-Liouville-Gleichung
 \begin{equation}
 	\label{eq:sturm-liouville-equation-tscheby}
-	\frac{d}{dx}\lbrack \sqrt{1-x^2} \frac{dy}{dx} \rbrack + \lbrack 0 + \lambda \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} \rbrack y = 0 
+	\frac{d}{dx} (\sqrt{1-x^2} \frac{dy}{dx}) + (0 + \lambda \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}) y = 0 
 \end{equation}
 nun mit den Koeffizientenfunktionen aufgestellt werden kann, bleibt die Frage, ob es sich um ein reguläres oder singuläres Sturm-Liouville-Problem handelt.
-Für das reguläre Problem laut der Definition \ref{def:reguläres_sturm-liouville-problem} muss die funktion $p(x) = \sqrt{1-x^2}$, $p'(x) = -2x$, $q(x) = 0$ und $w(x) = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$ stetig und reell sein - und sie sind es auch.
+
+\subsubsection*{regulär oder singulär?}
+Für das reguläre Problem laut der Definition \ref{def:reguläres_sturm-liouville-problem} muss die funktion $p(x) = \sqrt{1-x^2}$, $p'(x) = -2x$, $q(x) = 0$ und $w(x) = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$ stetig und reell sein --- und sie sind es auch.
 Auf dem Intervall $(-1,1)$ sind die Tschebyscheff-Polynome erster Art mit Hilfe von Hyperbelfunktionen
 \begin{equation}
 	T_n(x) = \cos n (\arccos x)
@@ -28,22 +31,23 @@ Für $x>1$ und $x<-1$ sehen die Polynome wie folgt aus:
 		(-1)^n \cosh (n \arccos (-x)), & x<-1 \end{array}\right.
 \end{equation},
 jedoch ist die Orthogonalität nur auf dem Intervall $[ -1, 1]$ sichergestellt.
-Die nächste Bedingung beinhaltet, dass die Funktion $p(x)^{-1}$ und $w(x)>0$ sein müssen.
+Die nächste Bedingung beinhaltet, dass die Funktion $p(x)$ und $w(x)>0$ sein müssen.
 Die Funktion
 \begin{equation*}
 	p(x)^{-1} = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}
 \end{equation*}
-ist die gleiche wie $w(x)$.
+ist die gleiche wie $w(x)$ und erfüllt die Bedingung.
 
+\subsubsection*{Randwertproblem}
 Für die Verifizierung der Randbedingungen benötigt man erneut $p(x)$.
 Da sich die Polynome nur auf dem Intervall $[ -1,1 ]$ orthogonal verhalten, sind $a = -1$ und $b = 1$ gesetzt.
 Beim einsetzen in die Randbedingung \ref{eq:randbedingungen}, erhält man
 \begin{equation}
 \begin{aligned}
 	k_a y(-1) + h_a y'(-1) &= 0
-	k_b y(-1) + h_b y'(-1) &= 0
+	k_b y(-1) + h_b y'(-1) &= 0.
 \end{aligned} 
-\end{equation}.
+\end{equation}
 Die Funktion $y(x)$ und $y'(x)$ sind in diesem Fall die Tschebyscheff Polynome (siehe \label{sub:definiton_der_tschebyscheff-Polynome}).
 Es gibt zwei Arten von Tschebyscheff Polynome: die erste Art $T_n(x)$ und die zweite Art $U_n(x)$.
 Jedoch beachtet man in diesem Kapitel nur die Tschebyscheff Polynome erster Art (\ref{eq:tschebyscheff-polynome}).
@@ -52,12 +56,19 @@ Somit erhält man
 \begin{equation}
 	\begin{aligned}
 	k_a T_2(-1) + h_a T_{2}'(-1) &= k_a = 0\\
-	k_b T_2(1) + h_b T_{2}'(1) &= k_b = 0
+	k_b T_2(1) + h_b T_{2}'(1) &= k_b = 0.
 \end{aligned}
-\end{equation}.
+\end{equation}
 Ähnlich wie beim Beispiel der Wärmeleitung in einem homogenen Stab kann man, damit die Bedingung $|k_i|^2 + |h_i|^2\ne 0$ erfüllt ist, können beliebige $h_a \ne 0$ und $h_b \ne 0$ gewählt werden.
 Somit ist erneut gezeigt, dass die Randbedingungen der Tschebyscheff-Polynome auf die Sturm-Liouville-Randbedingungen erfüllt und alle daraus resultierenden Lösungen orthogonal sind.
 
+\begin{beispiel}
+	Die Gleichung \ref{eq:skalar-sturm-liouville} mit $y_m = T_1(x)$ und $y_n(x) = T_2(x)$ eingesetzt sowie $a=-1$ und $b = 1$ ergibt
+	\[
+	\int_{-1}^{1} w(x) x (2x^2-1) dx = 0.
+	\]
+\end{beispiel}
+
  
 
 
-- 
cgit v1.2.1

