From e76aafb88c04a26d22417b65ba959cc899f00be1 Mon Sep 17 00:00:00 2001
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Date: Fri, 19 Aug 2022 16:00:49 +0200
Subject: Einleitung

ein wenig korrigiert
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@@ -41,29 +41,27 @@ ist die gleiche wie $w(x)$ und erfüllt die Bedingung.
 \subsubsection*{Randwertproblem}
 Für die Verifizierung der Randbedingungen benötigt man erneut $p(x)$.
 Da sich die Polynome nur auf dem Intervall $[ -1,1 ]$ orthogonal verhalten, sind $a = -1$ und $b = 1$ gesetzt.
-Beim einsetzen in die Randbedingung \ref{eq:randbedingungen}, erhält man
+Beim einsetzen in die Randbedingung \eqref{eq:randbedingungen}, erhält man
 \begin{equation}
 \begin{aligned}
-	k_a y(-1) + h_a y'(-1) &= 0
+	k_a y(-1) + h_a y'(-1) &= 0\\
 	k_b y(-1) + h_b y'(-1) &= 0.
 \end{aligned} 
 \end{equation}
-Die Funktion $y(x)$ und $y'(x)$ sind in diesem Fall die Tschebyscheff Polynome (siehe \label{sub:definiton_der_tschebyscheff-Polynome}).
-Es gibt zwei Arten von Tschebyscheff Polynome: die erste Art $T_n(x)$ und die zweite Art $U_n(x)$.
-Jedoch beachtet man in diesem Kapitel nur die Tschebyscheff Polynome erster Art (\ref{eq:tschebyscheff-polynome}).
+Die Funktion $y(x)$ und $y'(x)$ sind in diesem Fall die Tschebyscheff Polynome (siehe \ref{sub:definiton_der_tschebyscheff-Polynome}).
 Die Funktion $y(x)$ wird nun mit der Funktion $T_n(x)$ ersetzt und für die Verifizierung der Randbedingung wählt man $n=2$.
 Somit erhält man
 \begin{equation}
 	\begin{aligned}
 	k_a T_2(-1) + h_a T_{2}'(-1) &= k_a = 0\\
 	k_b T_2(1) + h_b T_{2}'(1) &= k_b = 0.
-\end{aligned}
+	\end{aligned}
 \end{equation}
 Ähnlich wie beim Beispiel der Wärmeleitung in einem homogenen Stab kann man, damit die Bedingung $|k_i|^2 + |h_i|^2\ne 0$ erfüllt ist, können beliebige $h_a \ne 0$ und $h_b \ne 0$ gewählt werden.
 Somit ist erneut gezeigt, dass die Randbedingungen der Tschebyscheff-Polynome auf die Sturm-Liouville-Randbedingungen erfüllt und alle daraus resultierenden Lösungen orthogonal sind.
 
 \begin{beispiel}
-	Die Gleichung \ref{eq:skalar-sturm-liouville} mit $y_m = T_1(x)$ und $y_n(x) = T_2(x)$ eingesetzt sowie $a=-1$ und $b = 1$ ergibt
+	Die Gleichung \eqref{eq:skalar-sturm-liouville} mit $y_m = T_1(x)$ und $y_n(x) = T_2(x)$ eingesetzt sowie $a=-1$ und $b = 1$ ergibt
 	\[
 	\int_{-1}^{1} w(x) x (2x^2-1) dx = 0.
 	\]
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