From e27b521c00cdde53f0cbc0f0051881b5242adadc Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: haddoucher <reda.haddouche@ost.ch>
Date: Thu, 11 Aug 2022 18:47:14 +0200
Subject: Beispiel & einleitung

beispiel angefangen und einleitung korrigiert
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 .../sturmliouville/tschebyscheff_beispiel.tex      | 51 +++++++++++++++++++++-
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 % (c) 2020 Prof Dr Andreas Müller, Hochschule Rapperswil
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-\subsection{Tschebyscheff}
\ No newline at end of file
+\subsection{Tschebyscheff-Polynome\label{sub:tschebyscheff-polynome}}
+Im Kapitel \ref{sub:beispiele_sturm_liouville_problem} sind die Koeffizientenfunktionen die man braucht schon aufgeliste, und zwar mit
+\begin{align*}
+	w(x) &= \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} \\
+	p(x) &= \sqrt{1-x^2} \\
+	q(x) &= 0
+\end{align*}.
+Da die Sturm-Liouville-Gleichung
+\begin{equation}
+	\label{eq:sturm-liouville-equation}
+	\frac{d}{dx}\lbrack \sqrt{1-x^2} \frac{dy}{dx} \rbrack + \lbrack 0 + \lambda \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} \rbrack y = 0 
+\end{equation}
+nun mit den Koeffizientenfunktionen aufgestellt werden kann, bleibt die Frage, ob es sich um ein reguläres oder singuläres Sturm-Liouville-Problem handelt.
+Für das reguläre Problem laut der Definition \ref{def:reguläres_sturm-liouville-problem} muss die funktion $p(x) = \sqrt{1-x^2}$, $p'(x) = -2x$, $q(x) = 0$ und $w(x) = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$ stetig und reell sein - und sie sind es auch.
+Auf dem Intervall $(-1,1)$ sind die Tschebyscheff-Polynome erster Art mit Hilfe von Hyperbelfunktionen
+\begin{equation}
+	T_n(x) = \cos n (\arccos x)
+\end{equation}.
+Für $x>1$ und $x<-1$ sehen die Polynome wie folgt aus:
+\begin{equation}
+	T_n(x) = \left\{\begin{array}{ll} \cosh (n \arccos x), & x > 1\\
+		(-1)^n \cosh (n \arccos (-x)), & x<-1 \end{array}\right.
+\end{equation},
+jedoch ist die Orthogonalität nur auf dem Intervall $\[ -1, 1\]$ sichergestellt.
+Die nächste Bedingung beinhaltet, dass die Funktion $p(x)^-1$ und $w(x)>0$ sein müssen.
+Die Funktion
+\begin{equation*}
+	p(x)^-1 = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}
+\end{equation*}
+ist die gleiche wie $w(x)$.
+
+Für die Verifizierung der Randbedingungen benötigt man erneut $p(x)$.
+Da sich die Polynome nur auf dem Intervall $\[ -1,1 \]$ orthogonal verhalten, sind $a = -1$ und $b = 1$ gesetzt.
+Beim einsetzen in die Randbedingung \ref{eq:randbedingungen}, erhält man
+\begin{equation}
+\begin{aligned}
+	k_a y(-1) + h_a y'(-1) &= h_a 
+\end{aligned} 
+\end{equation}
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