From e76aafb88c04a26d22417b65ba959cc899f00be1 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: haddoucher Date: Fri, 19 Aug 2022 16:00:49 +0200 Subject: Einleitung ein wenig korrigiert --- buch/papers/sturmliouville/tschebyscheff_beispiel.tex | 12 +++++------- 1 file changed, 5 insertions(+), 7 deletions(-) (limited to 'buch/papers/sturmliouville/tschebyscheff_beispiel.tex') diff --git a/buch/papers/sturmliouville/tschebyscheff_beispiel.tex b/buch/papers/sturmliouville/tschebyscheff_beispiel.tex index 3817dc0..c304632 100644 --- a/buch/papers/sturmliouville/tschebyscheff_beispiel.tex +++ b/buch/papers/sturmliouville/tschebyscheff_beispiel.tex @@ -41,29 +41,27 @@ ist die gleiche wie $w(x)$ und erfüllt die Bedingung. \subsubsection*{Randwertproblem} Für die Verifizierung der Randbedingungen benötigt man erneut $p(x)$. Da sich die Polynome nur auf dem Intervall $[ -1,1 ]$ orthogonal verhalten, sind $a = -1$ und $b = 1$ gesetzt. -Beim einsetzen in die Randbedingung \ref{eq:randbedingungen}, erhält man +Beim einsetzen in die Randbedingung \eqref{eq:randbedingungen}, erhält man \begin{equation} \begin{aligned} - k_a y(-1) + h_a y'(-1) &= 0 + k_a y(-1) + h_a y'(-1) &= 0\\ k_b y(-1) + h_b y'(-1) &= 0. \end{aligned} \end{equation} -Die Funktion $y(x)$ und $y'(x)$ sind in diesem Fall die Tschebyscheff Polynome (siehe \label{sub:definiton_der_tschebyscheff-Polynome}). -Es gibt zwei Arten von Tschebyscheff Polynome: die erste Art $T_n(x)$ und die zweite Art $U_n(x)$. -Jedoch beachtet man in diesem Kapitel nur die Tschebyscheff Polynome erster Art (\ref{eq:tschebyscheff-polynome}). +Die Funktion $y(x)$ und $y'(x)$ sind in diesem Fall die Tschebyscheff Polynome (siehe \ref{sub:definiton_der_tschebyscheff-Polynome}). Die Funktion $y(x)$ wird nun mit der Funktion $T_n(x)$ ersetzt und für die Verifizierung der Randbedingung wählt man $n=2$. Somit erhält man \begin{equation} \begin{aligned} k_a T_2(-1) + h_a T_{2}'(-1) &= k_a = 0\\ k_b T_2(1) + h_b T_{2}'(1) &= k_b = 0. -\end{aligned} + \end{aligned} \end{equation} Ähnlich wie beim Beispiel der Wärmeleitung in einem homogenen Stab kann man, damit die Bedingung $|k_i|^2 + |h_i|^2\ne 0$ erfüllt ist, können beliebige $h_a \ne 0$ und $h_b \ne 0$ gewählt werden. Somit ist erneut gezeigt, dass die Randbedingungen der Tschebyscheff-Polynome auf die Sturm-Liouville-Randbedingungen erfüllt und alle daraus resultierenden Lösungen orthogonal sind. \begin{beispiel} - Die Gleichung \ref{eq:skalar-sturm-liouville} mit $y_m = T_1(x)$ und $y_n(x) = T_2(x)$ eingesetzt sowie $a=-1$ und $b = 1$ ergibt + Die Gleichung \eqref{eq:skalar-sturm-liouville} mit $y_m = T_1(x)$ und $y_n(x) = T_2(x)$ eingesetzt sowie $a=-1$ und $b = 1$ ergibt \[ \int_{-1}^{1} w(x) x (2x^2-1) dx = 0. \] -- cgit v1.2.1 From 122c15094eb58f62ff8fac3e97d85dcdd5fcddc1 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: =?UTF-8?q?Erik=20L=C3=B6ffler?= <100943759+erik-loeffler@users.noreply.github.com> Date: Fri, 19 Aug 2022 16:59:11 +0200 Subject: Reformatted code to comply with guidelines. --- .../sturmliouville/tschebyscheff_beispiel.tex | 61 +++++++++++++--------- 1 file changed, 35 insertions(+), 26 deletions(-) (limited to 'buch/papers/sturmliouville/tschebyscheff_beispiel.tex') diff --git a/buch/papers/sturmliouville/tschebyscheff_beispiel.tex b/buch/papers/sturmliouville/tschebyscheff_beispiel.tex index c304632..cad71d7 100644 --- a/buch/papers/sturmliouville/tschebyscheff_beispiel.tex +++ b/buch/papers/sturmliouville/tschebyscheff_beispiel.tex @@ -4,9 +4,11 @@ % (c) 2020 Prof Dr Andreas Müller, Hochschule Rapperswil % -\subsection{Sind Tschebyscheff-Polynome orthogonal zueinander?\label{sub:tschebyscheff-polynome}} +\subsection{Sind Tschebyscheff-Polynome orthogonal zueinander? +\label{sub:tschebyscheff-polynome}} \subsubsection*{Definition der Koeffizientenfunktion} -Im Kapitel \ref{sub:beispiele_sturm_liouville_problem} sind die Koeffizientenfunktionen, die man braucht, schon aufgeliste, und zwar mit +Im Kapitel \ref{sub:beispiele_sturm_liouville_problem} sind die +Koeffizientenfunktionen, die man braucht, schon aufgeliste, und zwar mit \begin{align*} w(x) &= \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} \\ p(x) &= \sqrt{1-x^2} \\ @@ -15,15 +17,25 @@ Im Kapitel \ref{sub:beispiele_sturm_liouville_problem} sind die Koeffizientenfun Da die Sturm-Liouville-Gleichung \begin{equation} \label{eq:sturm-liouville-equation-tscheby} - \frac{d}{dx} (\sqrt{1-x^2} \frac{dy}{dx}) + (0 + \lambda \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}) y = 0 + \frac{d}{dx} (\sqrt{1-x^2} \frac{dy}{dx}) + + (0 + \lambda \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}) y + = + 0 \end{equation} -nun mit den Koeffizientenfunktionen aufgestellt werden kann, bleibt die Frage, ob es sich um ein reguläres oder singuläres Sturm-Liouville-Problem handelt. +nun mit den Koeffizientenfunktionen aufgestellt werden kann, bleibt die Frage, +ob es sich um ein reguläres oder singuläres Sturm-Liouville-Problem handelt. \subsubsection*{regulär oder singulär?} -Für das reguläre Problem laut der Definition \ref{def:reguläres_sturm-liouville-problem} muss die funktion $p(x) = \sqrt{1-x^2}$, $p'(x) = -2x$, $q(x) = 0$ und $w(x) = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$ stetig und reell sein --- und sie sind es auch. -Auf dem Intervall $(-1,1)$ sind die Tschebyscheff-Polynome erster Art mit Hilfe von Hyperbelfunktionen +Für das reguläre Problem laut der +Definition~\ref{def:reguläres_sturm-liouville-problem} muss die funktion +$p(x) = \sqrt{1-x^2}$, $p'(x) = -2x$, $q(x) = 0$ und +$w(x) = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$ stetig und reell sein --- und sie sind es auch. +Auf dem Intervall $(-1,1)$ sind die Tschebyscheff-Polynome erster Art mit Hilfe +von Hyperbelfunktionen \begin{equation} - T_n(x) = \cos n (\arccos x) + T_n(x) + = + \cos n (\arccos x) \end{equation}. Für $x>1$ und $x<-1$ sehen die Polynome wie folgt aus: \begin{equation} @@ -31,7 +43,8 @@ Für $x>1$ und $x<-1$ sehen die Polynome wie folgt aus: (-1)^n \cosh (n \arccos (-x)), & x<-1 \end{array}\right. \end{equation}, jedoch ist die Orthogonalität nur auf dem Intervall $[ -1, 1]$ sichergestellt. -Die nächste Bedingung beinhaltet, dass die Funktion $p(x)$ und $w(x)>0$ sein müssen. +Die nächste Bedingung beinhaltet, dass die Funktion $p(x)$ und $w(x)>0$ sein +müssen. Die Funktion \begin{equation*} p(x)^{-1} = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} @@ -40,7 +53,8 @@ ist die gleiche wie $w(x)$ und erfüllt die Bedingung. \subsubsection*{Randwertproblem} Für die Verifizierung der Randbedingungen benötigt man erneut $p(x)$. -Da sich die Polynome nur auf dem Intervall $[ -1,1 ]$ orthogonal verhalten, sind $a = -1$ und $b = 1$ gesetzt. +Da sich die Polynome nur auf dem Intervall $[ -1,1 ]$ orthogonal verhalten, +sind $a = -1$ und $b = 1$ gesetzt. Beim einsetzen in die Randbedingung \eqref{eq:randbedingungen}, erhält man \begin{equation} \begin{aligned} @@ -48,8 +62,10 @@ Beim einsetzen in die Randbedingung \eqref{eq:randbedingungen}, erhält man k_b y(-1) + h_b y'(-1) &= 0. \end{aligned} \end{equation} -Die Funktion $y(x)$ und $y'(x)$ sind in diesem Fall die Tschebyscheff Polynome (siehe \ref{sub:definiton_der_tschebyscheff-Polynome}). -Die Funktion $y(x)$ wird nun mit der Funktion $T_n(x)$ ersetzt und für die Verifizierung der Randbedingung wählt man $n=2$. +Die Funktion $y(x)$ und $y'(x)$ sind in diesem Fall die Tschebyscheff Polynome +(siehe \ref{sub:definiton_der_tschebyscheff-Polynome}). +Die Funktion $y(x)$ wird nun mit der Funktion $T_n(x)$ ersetzt und für die +Verifizierung der Randbedingung wählt man $n=2$. Somit erhält man \begin{equation} \begin{aligned} @@ -57,24 +73,17 @@ Somit erhält man k_b T_2(1) + h_b T_{2}'(1) &= k_b = 0. \end{aligned} \end{equation} -Ähnlich wie beim Beispiel der Wärmeleitung in einem homogenen Stab kann man, damit die Bedingung $|k_i|^2 + |h_i|^2\ne 0$ erfüllt ist, können beliebige $h_a \ne 0$ und $h_b \ne 0$ gewählt werden. -Somit ist erneut gezeigt, dass die Randbedingungen der Tschebyscheff-Polynome auf die Sturm-Liouville-Randbedingungen erfüllt und alle daraus resultierenden Lösungen orthogonal sind. +Ähnlich wie beim Beispiel der Wärmeleitung in einem homogenen Stab kann man, +damit die Bedingung $|k_i|^2 + |h_i|^2\ne 0$ erfüllt ist, können beliebige +$h_a \ne 0$ und $h_b \ne 0$ gewählt werden. +Somit ist erneut gezeigt, dass die Randbedingungen der Tschebyscheff-Polynome +auf die Sturm-Liouville-Randbedingungen erfüllt und alle daraus resultierenden +Lösungen orthogonal sind. \begin{beispiel} - Die Gleichung \eqref{eq:skalar-sturm-liouville} mit $y_m = T_1(x)$ und $y_n(x) = T_2(x)$ eingesetzt sowie $a=-1$ und $b = 1$ ergibt + Die Gleichung \eqref{eq:skalar-sturm-liouville} mit $y_m = T_1(x)$ und + $y_n(x) = T_2(x)$ eingesetzt sowie $a=-1$ und $b = 1$ ergibt \[ \int_{-1}^{1} w(x) x (2x^2-1) dx = 0. \] \end{beispiel} - - - - - - - - - - - - -- cgit v1.2.1 From 905073fc0febc0af8aa43e58868b98f4f33b98fa Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: =?UTF-8?q?Erik=20L=C3=B6ffler?= <100943759+erik-loeffler@users.noreply.github.com> Date: Tue, 23 Aug 2022 15:46:42 +0200 Subject: Corrected all labels to comply with guidelines. --- buch/papers/sturmliouville/tschebyscheff_beispiel.tex | 16 +++++++++------- 1 file changed, 9 insertions(+), 7 deletions(-) (limited to 'buch/papers/sturmliouville/tschebyscheff_beispiel.tex') diff --git a/buch/papers/sturmliouville/tschebyscheff_beispiel.tex b/buch/papers/sturmliouville/tschebyscheff_beispiel.tex index cad71d7..18e6198 100644 --- a/buch/papers/sturmliouville/tschebyscheff_beispiel.tex +++ b/buch/papers/sturmliouville/tschebyscheff_beispiel.tex @@ -5,15 +5,15 @@ % \subsection{Sind Tschebyscheff-Polynome orthogonal zueinander? -\label{sub:tschebyscheff-polynome}} +\label{sturmliouville:sub:tschebyscheff-polynome}} \subsubsection*{Definition der Koeffizientenfunktion} Im Kapitel \ref{sub:beispiele_sturm_liouville_problem} sind die Koeffizientenfunktionen, die man braucht, schon aufgeliste, und zwar mit \begin{align*} w(x) &= \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} \\ p(x) &= \sqrt{1-x^2} \\ - q(x) &= 0 -\end{align*}. + q(x) &= 0. +\end{align*} Da die Sturm-Liouville-Gleichung \begin{equation} \label{eq:sturm-liouville-equation-tscheby} @@ -27,7 +27,7 @@ ob es sich um ein reguläres oder singuläres Sturm-Liouville-Problem handelt. \subsubsection*{regulär oder singulär?} Für das reguläre Problem laut der -Definition~\ref{def:reguläres_sturm-liouville-problem} muss die funktion +Definition~\ref{sturmliouville:def:reguläres_sturm-liouville-problem} muss die funktion $p(x) = \sqrt{1-x^2}$, $p'(x) = -2x$, $q(x) = 0$ und $w(x) = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$ stetig und reell sein --- und sie sind es auch. Auf dem Intervall $(-1,1)$ sind die Tschebyscheff-Polynome erster Art mit Hilfe @@ -55,7 +55,8 @@ ist die gleiche wie $w(x)$ und erfüllt die Bedingung. Für die Verifizierung der Randbedingungen benötigt man erneut $p(x)$. Da sich die Polynome nur auf dem Intervall $[ -1,1 ]$ orthogonal verhalten, sind $a = -1$ und $b = 1$ gesetzt. -Beim einsetzen in die Randbedingung \eqref{eq:randbedingungen}, erhält man +Beim einsetzen in die Randbedingung \eqref{sturmliouville:eq:randbedingungen}, +erhält man \begin{equation} \begin{aligned} k_a y(-1) + h_a y'(-1) &= 0\\ @@ -81,8 +82,9 @@ auf die Sturm-Liouville-Randbedingungen erfüllt und alle daraus resultierenden Lösungen orthogonal sind. \begin{beispiel} - Die Gleichung \eqref{eq:skalar-sturm-liouville} mit $y_m = T_1(x)$ und - $y_n(x) = T_2(x)$ eingesetzt sowie $a=-1$ und $b = 1$ ergibt + Die Gleichung \eqref{eq:skalar-sturm-liouville} mit + $y_m = T_1(x)$ und $y_n(x) = T_2(x)$ eingesetzt sowie $a=-1$ und $b = 1$ + ergibt \[ \int_{-1}^{1} w(x) x (2x^2-1) dx = 0. \] -- cgit v1.2.1 From a966f864bde5198499f4066d2c1c97d44e51cb02 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: haddoucher Date: Wed, 24 Aug 2022 12:55:52 +0200 Subject: Korrekturen Wurde einiges korrigiert. Heute abend wirds noch einmal durchgelesen. --- .../sturmliouville/tschebyscheff_beispiel.tex | 92 +++++++++++----------- 1 file changed, 46 insertions(+), 46 deletions(-) (limited to 'buch/papers/sturmliouville/tschebyscheff_beispiel.tex') diff --git a/buch/papers/sturmliouville/tschebyscheff_beispiel.tex b/buch/papers/sturmliouville/tschebyscheff_beispiel.tex index 18e6198..8f673a5 100644 --- a/buch/papers/sturmliouville/tschebyscheff_beispiel.tex +++ b/buch/papers/sturmliouville/tschebyscheff_beispiel.tex @@ -4,14 +4,15 @@ % (c) 2020 Prof Dr Andreas Müller, Hochschule Rapperswil % -\subsection{Sind Tschebyscheff-Polynome orthogonal zueinander? +\subsection{Tschebyscheff-Polynome \label{sturmliouville:sub:tschebyscheff-polynome}} +\rhead{Tschebyscheff-Polynome} \subsubsection*{Definition der Koeffizientenfunktion} Im Kapitel \ref{sub:beispiele_sturm_liouville_problem} sind die -Koeffizientenfunktionen, die man braucht, schon aufgeliste, und zwar mit +Koeffizientenfunktionen, die man braucht, schon aufgelistet: \begin{align*} - w(x) &= \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} \\ - p(x) &= \sqrt{1-x^2} \\ + w(x) &= \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}, \\ + p(x) &= \sqrt{1-x^2}, \\ q(x) &= 0. \end{align*} Da die Sturm-Liouville-Gleichung @@ -24,66 +25,65 @@ Da die Sturm-Liouville-Gleichung \end{equation} nun mit den Koeffizientenfunktionen aufgestellt werden kann, bleibt die Frage, ob es sich um ein reguläres oder singuläres Sturm-Liouville-Problem handelt. - -\subsubsection*{regulär oder singulär?} -Für das reguläre Problem laut der -Definition~\ref{sturmliouville:def:reguläres_sturm-liouville-problem} muss die funktion -$p(x) = \sqrt{1-x^2}$, $p'(x) = -2x$, $q(x) = 0$ und -$w(x) = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$ stetig und reell sein --- und sie sind es auch. -Auf dem Intervall $(-1,1)$ sind die Tschebyscheff-Polynome erster Art mit Hilfe -von Hyperbelfunktionen -\begin{equation} - T_n(x) - = - \cos n (\arccos x) -\end{equation}. -Für $x>1$ und $x<-1$ sehen die Polynome wie folgt aus: -\begin{equation} - T_n(x) = \left\{\begin{array}{ll} \cosh (n \arccos x), & x > 1\\ - (-1)^n \cosh (n \arccos (-x)), & x<-1 \end{array}\right. -\end{equation}, -jedoch ist die Orthogonalität nur auf dem Intervall $[ -1, 1]$ sichergestellt. -Die nächste Bedingung beinhaltet, dass die Funktion $p(x)$ und $w(x)>0$ sein -müssen. -Die Funktion -\begin{equation*} - p(x)^{-1} = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} -\end{equation*} -ist die gleiche wie $w(x)$ und erfüllt die Bedingung. +Zunächst werden jedoch die Randbedingungen betrachtet. \subsubsection*{Randwertproblem} Für die Verifizierung der Randbedingungen benötigt man erneut $p(x)$. -Da sich die Polynome nur auf dem Intervall $[ -1,1 ]$ orthogonal verhalten, -sind $a = -1$ und $b = 1$ gesetzt. -Beim einsetzen in die Randbedingung \eqref{sturmliouville:eq:randbedingungen}, +Die Randwerte setzt man $a = -1$ und $b = 1$. +Beim Einsetzen in die Randbedingung \eqref{sturmliouville:eq:randbedingungen}, erhält man \begin{equation} -\begin{aligned} - k_a y(-1) + h_a y'(-1) &= 0\\ - k_b y(-1) + h_b y'(-1) &= 0. -\end{aligned} + \begin{aligned} + k_a y(-1) + h_a y'(-1) &= 0\\ + k_b y(-1) + h_b y'(-1) &= 0. + \end{aligned} \end{equation} Die Funktion $y(x)$ und $y'(x)$ sind in diesem Fall die Tschebyscheff Polynome (siehe \ref{sub:definiton_der_tschebyscheff-Polynome}). Die Funktion $y(x)$ wird nun mit der Funktion $T_n(x)$ ersetzt und für die -Verifizierung der Randbedingung wählt man $n=2$. +Verifizierung der Randbedingung wählt man $n=0$. Somit erhält man \begin{equation} \begin{aligned} - k_a T_2(-1) + h_a T_{2}'(-1) &= k_a = 0\\ - k_b T_2(1) + h_b T_{2}'(1) &= k_b = 0. + k_a T_0(-1) + h_a T_{0}'(-1) &= k_a = 0\\ + k_b T_0(1) + h_b T_{0}'(1) &= k_b = 0. \end{aligned} \end{equation} Ähnlich wie beim Beispiel der Wärmeleitung in einem homogenen Stab kann man, -damit die Bedingung $|k_i|^2 + |h_i|^2\ne 0$ erfüllt ist, können beliebige +damit die Bedingung $|k_i|^2 + |h_i|^2\ne 0$ erfüllt ist, beliebige $h_a \ne 0$ und $h_b \ne 0$ gewählt werden. -Somit ist erneut gezeigt, dass die Randbedingungen der Tschebyscheff-Polynome -auf die Sturm-Liouville-Randbedingungen erfüllt und alle daraus resultierenden -Lösungen orthogonal sind. +Es wird also erneut gezeigt, dass die Randbedingungen $[-1,1]$, +die Sturm-Liouville-Randbedingungen erfüllen. + +\subsubsection*{regulär oder singulär?} +Für das reguläre Problem muss laut der +Definition~\ref{sturmliouville:def:reguläres_sturm-liouville-problem} die funktion +$p(x) = \sqrt{1-x^2}$, $p'(x) = -2x$, $q(x) = 0$ und +$w(x) = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$ stetig und reell sein. +Auf dem Intervall $(-1,1)$ sind die Tschebyscheff-Polynome erster Art +\begin{equation} + T_n(x) + = + \cos n (\arccos x). +\end{equation} +Die nächste Bedingung, laut der Definition \ref{sturmliouville:def:reguläres_sturm-liouville-problem}, beinhaltet, dass die Funktion $p(x)$ und $w(x)>0$ sein +müssen. +Die Funktion +\begin{equation*} + p(x)^{-1} = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} +\end{equation*} +ist die gleiche wie $w(x)$ und erfüllt die Bedingung. + + \begin{beispiel} - Die Gleichung \eqref{eq:skalar-sturm-liouville} mit - $y_m = T_1(x)$ und $y_n(x) = T_2(x)$ eingesetzt sowie $a=-1$ und $b = 1$ + Die Gleichung + \[ + \int_{a}^{b} w(x) y_m y_n = 0 + \] + + mit + $y_m(x) = T_1(x)$ und $y_n(x) = T_2(x)$ eingesetzt sowie $a=-1$ und $b = 1$ ergibt \[ \int_{-1}^{1} w(x) x (2x^2-1) dx = 0. -- cgit v1.2.1 From a2a2826f4def7a43570e521e9ad9b5b653f34456 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: =?UTF-8?q?Erik=20L=C3=B6ffler?= <100943759+erik-loeffler@users.noreply.github.com> Date: Thu, 25 Aug 2022 13:40:26 +0200 Subject: Recommiting, something went wrong last time. --- buch/papers/sturmliouville/tschebyscheff_beispiel.tex | 1 + 1 file changed, 1 insertion(+) (limited to 'buch/papers/sturmliouville/tschebyscheff_beispiel.tex') diff --git a/buch/papers/sturmliouville/tschebyscheff_beispiel.tex b/buch/papers/sturmliouville/tschebyscheff_beispiel.tex index 8f673a5..b247441 100644 --- a/buch/papers/sturmliouville/tschebyscheff_beispiel.tex +++ b/buch/papers/sturmliouville/tschebyscheff_beispiel.tex @@ -1,5 +1,6 @@ % % tschebyscheff_beispiel.tex +% Author: Réda Haddouche % % (c) 2020 Prof Dr Andreas Müller, Hochschule Rapperswil % -- cgit v1.2.1 From 4241483d86a2803e284f734af690d88c0d1f6dfe Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: haddoucher Date: Thu, 25 Aug 2022 16:59:37 +0200 Subject: korrigiert Tschebyscheff-Polynome und Einleitung --- .../sturmliouville/tschebyscheff_beispiel.tex | 44 ++++++++++++++-------- 1 file changed, 29 insertions(+), 15 deletions(-) (limited to 'buch/papers/sturmliouville/tschebyscheff_beispiel.tex') diff --git a/buch/papers/sturmliouville/tschebyscheff_beispiel.tex b/buch/papers/sturmliouville/tschebyscheff_beispiel.tex index 8f673a5..dfc6798 100644 --- a/buch/papers/sturmliouville/tschebyscheff_beispiel.tex +++ b/buch/papers/sturmliouville/tschebyscheff_beispiel.tex @@ -7,6 +7,13 @@ \subsection{Tschebyscheff-Polynome \label{sturmliouville:sub:tschebyscheff-polynome}} \rhead{Tschebyscheff-Polynome} +In diesem Unterkapitel wird anhand der +Tschebyscheff-Differentialgleichung~\eqref{buch:potenzen:tschebyscheff:dgl} gezeigt, dass die Tschebyscheff-Polynome orthogonal zueinander sind. +Zu diesem Zweck werden die Koeffizientenfunktionen nochmals dargestellt, so dass +überprüft werden kann, ob die Randbedingungen erfüllt werden können. +Sobald feststeht, ob das Problem regulär oder singulär ist, zeigt eine +kleine Rechnung, dass die Lösungen orthogonal sind. + \subsubsection*{Definition der Koeffizientenfunktion} Im Kapitel \ref{sub:beispiele_sturm_liouville_problem} sind die Koeffizientenfunktionen, die man braucht, schon aufgelistet: @@ -34,8 +41,8 @@ Beim Einsetzen in die Randbedingung \eqref{sturmliouville:eq:randbedingungen}, erhält man \begin{equation} \begin{aligned} - k_a y(-1) + h_a y'(-1) &= 0\\ - k_b y(-1) + h_b y'(-1) &= 0. + k_a y(-1) + h_a p(-1) y'(-1) &= 0\\ + k_b y(1) + h_b p(1) y'(-1) &= 0. \end{aligned} \end{equation} Die Funktion $y(x)$ und $y'(x)$ sind in diesem Fall die Tschebyscheff Polynome @@ -45,17 +52,16 @@ Verifizierung der Randbedingung wählt man $n=0$. Somit erhält man \begin{equation} \begin{aligned} - k_a T_0(-1) + h_a T_{0}'(-1) &= k_a = 0\\ - k_b T_0(1) + h_b T_{0}'(1) &= k_b = 0. + k_a T_0(-1) + h_a p(-1) T_{0}'(-1) &= k_a = 0\\ + k_b T_0(1) + h_b p(1) T_{0}'(1) &= k_b = 0. \end{aligned} \end{equation} -Ähnlich wie beim Beispiel der Wärmeleitung in einem homogenen Stab kann man, +Ähnlich wie beim Beispiel der Wärmeleitung in einem homogenen Stab können, damit die Bedingung $|k_i|^2 + |h_i|^2\ne 0$ erfüllt ist, beliebige $h_a \ne 0$ und $h_b \ne 0$ gewählt werden. -Es wird also erneut gezeigt, dass die Randbedingungen $[-1,1]$, -die Sturm-Liouville-Randbedingungen erfüllen. +Es wurde somit gezeigt, dass die Sturm-Liouville-Randbedingungen erfüllt sind. -\subsubsection*{regulär oder singulär?} +\subsubsection*{Handelt es sich um ein reguläres oder Singuläres Problem?} Für das reguläre Problem muss laut der Definition~\ref{sturmliouville:def:reguläres_sturm-liouville-problem} die funktion $p(x) = \sqrt{1-x^2}$, $p'(x) = -2x$, $q(x) = 0$ und @@ -73,19 +79,27 @@ Die Funktion p(x)^{-1} = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} \end{equation*} ist die gleiche wie $w(x)$ und erfüllt die Bedingung. - +Es zeigt sich also, dass $p(x)$, $p'(x)$, $q(x)$ und $w(x)$ +die Bedingungen erfüllen. +Da auch die Randbedingungen erfüllt sind, handelt es sich um ein reguläres Sturm-Liouville-Problem. \begin{beispiel} - Die Gleichung + In diesem Beispiel wird zuletzt die Orthogonalität der Lösungsfunktion + illustriert. + Dazu verwendet man das Skalarprodukt \[ - \int_{a}^{b} w(x) y_m y_n = 0 + \int_{a}^{b} w(x) y_m y_n = 0. \] - - mit - $y_m(x) = T_1(x)$ und $y_n(x) = T_2(x)$ eingesetzt sowie $a=-1$ und $b = 1$ + Eigesetzt ergibt dies $y_m(x) = T_1(x)$ und $y_n(x) = T_2(x)$, sowie $a=-1$ und $b = 1$ ergibt \[ - \int_{-1}^{1} w(x) x (2x^2-1) dx = 0. + \begin{aligned} + \int_{-1}^{1} \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} x (2x^2-1) dx &= + \lbrack - \frac{\sqrt{1-x^2}(2x^2+1)}{3}\rbrack_{-1}^{1}\\ + &= 0. + \end{aligned} \] + Somit ist gezeigt, dass $T_1(x)$ und $T_2(x)$ orthogonal sind. + Analog kann Orthogonalität für alle $y_n(x)$ und $y_m(x)$ mit $n \ne m$ gezeigt werden. \end{beispiel} -- cgit v1.2.1 From a1a9823fa9396d39d77b11d0c77b62df09a3bac8 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: =?UTF-8?q?Erik=20L=C3=B6ffler?= <100943759+erik-loeffler@users.noreply.github.com> Date: Thu, 25 Aug 2022 21:38:04 +0200 Subject: Some corrections in intro and chebyshev example. --- buch/papers/sturmliouville/tschebyscheff_beispiel.tex | 13 +++++++------ 1 file changed, 7 insertions(+), 6 deletions(-) (limited to 'buch/papers/sturmliouville/tschebyscheff_beispiel.tex') diff --git a/buch/papers/sturmliouville/tschebyscheff_beispiel.tex b/buch/papers/sturmliouville/tschebyscheff_beispiel.tex index 5ede99d..5fb3a0c 100644 --- a/buch/papers/sturmliouville/tschebyscheff_beispiel.tex +++ b/buch/papers/sturmliouville/tschebyscheff_beispiel.tex @@ -9,9 +9,10 @@ \label{sturmliouville:sub:tschebyscheff-polynome}} \rhead{Tschebyscheff-Polynome} In diesem Unterkapitel wird anhand der -Tschebyscheff-Differentialgleichung~\eqref{buch:potenzen:tschebyscheff:dgl} gezeigt, dass die Tschebyscheff-Polynome orthogonal zueinander sind. +Tschebyscheff-Differentialgleichung~\eqref{buch:potenzen:tschebyscheff:dgl} +gezeigt, dass die Tschebyscheff-Polynome orthogonal zueinander sind. Zu diesem Zweck werden die Koeffizientenfunktionen nochmals dargestellt, so dass -überprüft werden kann, ob die Randbedingungen erfüllt werden können. +überprüft werden kann, ob die Randbedingungen erfüllt werden. Sobald feststeht, ob das Problem regulär oder singulär ist, zeigt eine kleine Rechnung, dass die Lösungen orthogonal sind. @@ -43,7 +44,7 @@ erhält man \begin{equation} \begin{aligned} k_a y(-1) + h_a p(-1) y'(-1) &= 0\\ - k_b y(1) + h_b p(1) y'(-1) &= 0. + k_b y(1) + h_b p(1) y'(1) &= 0. \end{aligned} \end{equation} Die Funktion $y(x)$ und $y'(x)$ sind in diesem Fall die Tschebyscheff Polynome @@ -62,7 +63,7 @@ damit die Bedingung $|k_i|^2 + |h_i|^2\ne 0$ erfüllt ist, beliebige $h_a \ne 0$ und $h_b \ne 0$ gewählt werden. Es wurde somit gezeigt, dass die Sturm-Liouville-Randbedingungen erfüllt sind. -\subsubsection*{Handelt es sich um ein reguläres oder Singuläres Problem?} +\subsubsection*{Handelt es sich um ein reguläres oder singuläres Problem?} Für das reguläre Problem muss laut der Definition~\ref{sturmliouville:def:reguläres_sturm-liouville-problem} die funktion $p(x) = \sqrt{1-x^2}$, $p'(x) = -2x$, $q(x) = 0$ und @@ -92,8 +93,8 @@ Da auch die Randbedingungen erfüllt sind, handelt es sich um ein reguläres Stu \[ \int_{a}^{b} w(x) y_m y_n = 0. \] - Eigesetzt ergibt dies $y_m(x) = T_1(x)$ und $y_n(x) = T_2(x)$, sowie $a=-1$ und $b = 1$ - ergibt + mit $y_m(x) = T_1(x)$ und $y_n(x) = T_2(x)$, sowie $a=-1$ und $b = 1$. + Eigesetzt ergibt dies \[ \begin{aligned} \int_{-1}^{1} \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} x (2x^2-1) dx &= -- cgit v1.2.1