From c97459b91cd980d3db65c3ca1944d8998ccf7006 Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: =?UTF-8?q?Erik=20L=C3=B6ffler?= <erik.loeffler@ost.ch>
Date: Wed, 27 Jul 2022 14:46:02 +0200
Subject: Added file for fourier example.

---
 buch/papers/sturmliouville/waermeleitung_beispiel.tex | 8 ++++++++
 1 file changed, 8 insertions(+)
 create mode 100644 buch/papers/sturmliouville/waermeleitung_beispiel.tex

(limited to 'buch/papers/sturmliouville/waermeleitung_beispiel.tex')

diff --git a/buch/papers/sturmliouville/waermeleitung_beispiel.tex b/buch/papers/sturmliouville/waermeleitung_beispiel.tex
new file mode 100644
index 0000000..6cfb50f
--- /dev/null
+++ b/buch/papers/sturmliouville/waermeleitung_beispiel.tex
@@ -0,0 +1,8 @@
+%
+% waermeleitung_beispiel.tex -- Beispiel Wärmeleitung in homogenem Stab. 
+%
+% (c) 2020 Prof Dr Andreas Müller, Hochschule Rapperswil
+%
+
+\subsubsection{Wärmeleitung in einem Homogenen Stab}
+
-- 
cgit v1.2.1


From 6b0cb2b62e6d5da19dffc90c49d11dea48f5cdbb Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: =?UTF-8?q?Erik=20L=C3=B6ffler?= <erik.loeffler@ost.ch>
Date: Wed, 27 Jul 2022 15:12:50 +0200
Subject: Added intro and differential equation to fourier example.

---
 buch/papers/sturmliouville/waermeleitung_beispiel.tex | 12 ++++++++++++
 1 file changed, 12 insertions(+)

(limited to 'buch/papers/sturmliouville/waermeleitung_beispiel.tex')

diff --git a/buch/papers/sturmliouville/waermeleitung_beispiel.tex b/buch/papers/sturmliouville/waermeleitung_beispiel.tex
index 6cfb50f..64bf974 100644
--- a/buch/papers/sturmliouville/waermeleitung_beispiel.tex
+++ b/buch/papers/sturmliouville/waermeleitung_beispiel.tex
@@ -6,3 +6,15 @@
 
 \subsubsection{Wärmeleitung in einem Homogenen Stab}
 
+In diesem Abschnitt betrachten wir das Problem der Wärmeleitung in einem
+homogenen Stab und wie das Sturm-Liouville-Problem bei der Beschreibung dieses
+physikalischen Phänomenes auftritt.
+
+Zunächst wird ein eindimensionaler homogener Stab der Länge $l$ und
+Wärmeleitkoeffizient $\kappa$. Somit ergibt sich für das Wärmeleitungsproblem
+die partielle Differentialgleichung 
+
+\[
+    \frac{\partial u}{\partial t} =
+    \kappa \frac{\partial^{2}u}{{\partial x}^{2}}.
+\]
\ No newline at end of file
-- 
cgit v1.2.1


From 3e57ab690350ad4ab447cdd0d263d87c414c96b5 Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: =?UTF-8?q?Erik=20L=C3=B6ffler?= <erik.loeffler@ost.ch>
Date: Wed, 27 Jul 2022 15:53:20 +0200
Subject: Added boundary condiutions for fourier example.

---
 .../sturmliouville/waermeleitung_beispiel.tex      | 54 ++++++++++++++++++++--
 1 file changed, 49 insertions(+), 5 deletions(-)

(limited to 'buch/papers/sturmliouville/waermeleitung_beispiel.tex')

diff --git a/buch/papers/sturmliouville/waermeleitung_beispiel.tex b/buch/papers/sturmliouville/waermeleitung_beispiel.tex
index 64bf974..243d0e1 100644
--- a/buch/papers/sturmliouville/waermeleitung_beispiel.tex
+++ b/buch/papers/sturmliouville/waermeleitung_beispiel.tex
@@ -1,10 +1,11 @@
 %
 % waermeleitung_beispiel.tex -- Beispiel Wärmeleitung in homogenem Stab. 
+%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Erster Entwurf %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
 %
 % (c) 2020 Prof Dr Andreas Müller, Hochschule Rapperswil
 %
 
-\subsubsection{Wärmeleitung in einem Homogenen Stab}
+\subsection{Wärmeleitung in einem Homogenen Stab}
 
 In diesem Abschnitt betrachten wir das Problem der Wärmeleitung in einem
 homogenen Stab und wie das Sturm-Liouville-Problem bei der Beschreibung dieses
@@ -12,9 +13,52 @@ physikalischen Phänomenes auftritt.
 
 Zunächst wird ein eindimensionaler homogener Stab der Länge $l$ und
 Wärmeleitkoeffizient $\kappa$. Somit ergibt sich für das Wärmeleitungsproblem
-die partielle Differentialgleichung 
-
+die partielle Differentialgleichung
 \[
     \frac{\partial u}{\partial t} =
-    \kappa \frac{\partial^{2}u}{{\partial x}^{2}}.
-\]
\ No newline at end of file
+    \kappa \frac{\partial^{2}u}{{\partial x}^{2}}
+\]
+wobei der Stab in diesem Fall auf der X-Achse im Intervall $[0,l]$ liegt.
+
+Da diese Differentialgleichung das Problem allgemein für einen homogenen
+Stab beschreibt, werden zusätzliche Bedingungen benötigt, um beispielsweise
+die Lösung für einen Stab zu finden, bei dem die Enden auf konstanter 
+Tempreatur gehalten werden.
+
+%%%%%%%%%%%%% Randbedingungen für Stab mit konstanten Endtemperaturen %%%%%%%%%
+
+\subsubsection{Stab mit Enden auf konstanter Temperatur}
+
+Die Enden des Stabes auf konstanter Temperatur zu halten bedeutet, dass die
+Lösungsfunktion $u(t,x)$ bei $x = 0$ und $x = l$ nur die vorgegebene
+Temperatur zurückgeben darf. Es folgen nun
+\[
+    u(t,0)
+    =
+    u(t,l)
+    =
+    0
+\]
+als Randbedingungen.
+
+%%%%%%%%%%%%% Randbedingungen für Stab mit isolierten Enden %%%%%%%%%%%%%%%%%%%
+
+\subsubsection{Stab mit isolierten Enden}
+
+Bei isolierten Enden des Stabes können belibige Temperaturen für $x = 0$ und
+$x = l$ auftreten. In diesem Fall nicht erlaubt ist es, dass Wärme vom Stab
+an die Umgebung oder von der Umgebung an den Stab abgegeben wird.
+
+Aus der Physik ist bekannt, dass Wärme immer von der höheren zur tieferen
+Temperatur fliesst. Um Wärmefluss zu unterdrücken, muss also dafür gesorgt
+werden, dass am Rand des Stabes keine Temperaturdifferenz existiert oder 
+indem die partielle Ableitung von $u(t,x)$ nach $x$ bei $x = 0$ und $x = l$
+verschwinden. Somit folgen
+\[
+    \frac{\partial}{\partial x} u(t, 0)
+    =
+    \frac{\partial}{\partial x} u(t, l)
+    =
+    0
+\]
+als Randbedingungen.
\ No newline at end of file
-- 
cgit v1.2.1


From d71e2db54a66ac9233757253b85eb678cc3e5f78 Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: =?UTF-8?q?Erik=20L=C3=B6ffler?= <erik.loeffler@ost.ch>
Date: Wed, 27 Jul 2022 16:19:37 +0200
Subject: Added separation for diff. eq. in fourier example.

---
 .../sturmliouville/waermeleitung_beispiel.tex      | 48 +++++++++++++++++++++-
 1 file changed, 46 insertions(+), 2 deletions(-)

(limited to 'buch/papers/sturmliouville/waermeleitung_beispiel.tex')

diff --git a/buch/papers/sturmliouville/waermeleitung_beispiel.tex b/buch/papers/sturmliouville/waermeleitung_beispiel.tex
index 243d0e1..cd7a620 100644
--- a/buch/papers/sturmliouville/waermeleitung_beispiel.tex
+++ b/buch/papers/sturmliouville/waermeleitung_beispiel.tex
@@ -52,7 +52,7 @@ an die Umgebung oder von der Umgebung an den Stab abgegeben wird.
 Aus der Physik ist bekannt, dass Wärme immer von der höheren zur tieferen
 Temperatur fliesst. Um Wärmefluss zu unterdrücken, muss also dafür gesorgt
 werden, dass am Rand des Stabes keine Temperaturdifferenz existiert oder 
-indem die partielle Ableitung von $u(t,x)$ nach $x$ bei $x = 0$ und $x = l$
+dass die partiellen Ableitungen von $u(t,x)$ nach $x$ bei $x = 0$ und $x = l$
 verschwinden. Somit folgen
 \[
     \frac{\partial}{\partial x} u(t, 0)
@@ -61,4 +61,48 @@ verschwinden. Somit folgen
     =
     0
 \]
-als Randbedingungen.
\ No newline at end of file
+als Randbedingungen.
+
+%%%%%%%%%%% Lösung der Differenzialgleichung %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
+
+\subsubsection{Lösung der Differenzialgleichung}
+
+% TODO: Referenz Separationsmethode
+% TODO: Formeln sauber in Text einbinden.
+
+Da die Lösungsfunktion von zwei Variablen abhängig ist, wird als Lösungsansatz
+die Separationsmethode verwendet.
+
+\[
+    u(t,x)
+    =
+    T(t)X(x)
+\]
+Dieser Ausdruck wird in die ursprüngliche Differenzialgleichung eingesetzt:
+\[
+    T^{\prime}(t)X(x)
+    =
+    \kappa T(t)X^{\prime \prime}(x)
+\]
+Nun können alle von $t$ abhängigen Ausdrücke auf die linke Seite, sowie alle
+von $x$ abhängigen Ausdrücke auf die rechte Seite gebracht werden und mittels
+der neuen Variablen $\mu$ gekoppelt werden:
+\[
+    \frac{T^{\prime}(t)}{\kappa T(t)}
+    =
+    \frac{X^{\prime \prime}(x)}{X(x)}
+    =
+    \mu
+\]
+Durch die Einführung von $\mu$ kann das Problem nun in zwei separate
+Differenzialgleichungen aufgeteilt werden:
+\[
+    T^{\prime}(t) - \kappa \mu T(t)
+    =
+    0
+\]
+\[
+    X^{\prime \prime}(x) - \mu X(x)
+    =
+    0
+\]
-- 
cgit v1.2.1


From 29fd344738894593ae434a271613815d1aa563ac Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: =?UTF-8?q?Erik=20L=C3=B6ffler?= <erik.loeffler@ost.ch>
Date: Thu, 28 Jul 2022 12:56:49 +0200
Subject: Added solutions for heat conduction.

---
 .../sturmliouville/waermeleitung_beispiel.tex      | 32 ++++++++++++++++++++++
 1 file changed, 32 insertions(+)

(limited to 'buch/papers/sturmliouville/waermeleitung_beispiel.tex')

diff --git a/buch/papers/sturmliouville/waermeleitung_beispiel.tex b/buch/papers/sturmliouville/waermeleitung_beispiel.tex
index cd7a620..a493749 100644
--- a/buch/papers/sturmliouville/waermeleitung_beispiel.tex
+++ b/buch/papers/sturmliouville/waermeleitung_beispiel.tex
@@ -106,3 +106,35 @@ Differenzialgleichungen aufgeteilt werden:
     =
     0
 \]
+
+% TODO: Rechenweg
+TODO: Rechenweg... Enden auf konstanter Temperatur:
+\[
+    u(t,x)
+    =
+    \sum_{n=1}^{\infty}a_{n}e^{-\frac{n^{2}\pi^{2}\kappa}{l^{2}}t}
+    \sin\left(\frac{n\pi}{l}x\right)
+\]
+\[
+    a_{n}
+    =
+    \frac{2}{l}\int_{0}^{l}u(0,x)sin\left(\frac{n\pi}{l}x\right) dx
+\]
+
+TODO: Rechenweg... Enden isoliert:
+\[
+    u(t,x)
+    =
+    a_{0} + \sum_{n=1}^{\infty}a_{n}e^{-\frac{n^{2}\pi^{2}\kappa}{l^{2}}t}
+    \cos\left(\frac{n\pi}{l}x\right)
+\]
+\[
+    a_{0}
+    =
+    \frac{1}{l}\int_{0}^{l}u(0,x) dx
+\]
+\[
+    a_{n}
+    =
+    \frac{2}{l}\int_{0}^{l}u(0,x)sin\left(\frac{n\pi}{l}x\right) dx
+\]
-- 
cgit v1.2.1


From 2fa5e32a5bbb88cb0f676ac080f0bef54623599e Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: =?UTF-8?q?Erik=20L=C3=B6ffler?= <erik.loeffler@ost.ch>
Date: Thu, 28 Jul 2022 16:22:07 +0200
Subject: Added solution for T(t) in fourier example.

---
 .../sturmliouville/waermeleitung_beispiel.tex      | 31 +++++++++++++++++++---
 1 file changed, 28 insertions(+), 3 deletions(-)

(limited to 'buch/papers/sturmliouville/waermeleitung_beispiel.tex')

diff --git a/buch/papers/sturmliouville/waermeleitung_beispiel.tex b/buch/papers/sturmliouville/waermeleitung_beispiel.tex
index a493749..b25fc89 100644
--- a/buch/papers/sturmliouville/waermeleitung_beispiel.tex
+++ b/buch/papers/sturmliouville/waermeleitung_beispiel.tex
@@ -71,19 +71,20 @@ als Randbedingungen.
 % TODO: Formeln sauber in Text einbinden.
 
 Da die Lösungsfunktion von zwei Variablen abhängig ist, wird als Lösungsansatz
-die Separationsmethode verwendet.
-
+die Separationsmethode verwendet. Dazu wird 
 \[
     u(t,x)
     =
     T(t)X(x)
 \]
-Dieser Ausdruck wird in die ursprüngliche Differenzialgleichung eingesetzt:
+in die ursprüngliche Differenzialgleichung eingesetzt. Daraus ergibt sich 
 \[
     T^{\prime}(t)X(x)
     =
     \kappa T(t)X^{\prime \prime}(x)
 \]
+als neue Form.
+
 Nun können alle von $t$ abhängigen Ausdrücke auf die linke Seite, sowie alle
 von $x$ abhängigen Ausdrücke auf die rechte Seite gebracht werden und mittels
 der neuen Variablen $\mu$ gekoppelt werden:
@@ -107,6 +108,30 @@ Differenzialgleichungen aufgeteilt werden:
     0
 \]
 
+Es ist an dieser Stelle zu bemerken, dass die Gleichung in $x$ in 
+Sturm-Liouville-Form ist. Erfüllen die Randbedingungen des Stab-Problems auch
+die Randbedingungen des Sturm-Liouville-Problems, kann bereits die Aussage
+getroffen werden, dass alle Lösungen für die Gleichung in $x$ orthogonal sein
+werden.
+
+Widmen wir uns zunächst der ersten Gleichung. Diese Lösen wir über das
+charakteristische Polynom
+\[
+    \lambda - \kappa \mu
+    =
+    0.
+\]
+Es ist direkt ersichtlich, dass $\lambda = \kappa \mu$ gelten muss, was zur
+Lösung
+\[
+    T(t)
+    =
+    e^{\kappa \mu t}
+\]
+führt.
+
+Etwas aufwändiger wird es, die zweite Gleichung zu lösen.
+
 % TODO: Rechenweg
 TODO: Rechenweg... Enden auf konstanter Temperatur:
 \[
-- 
cgit v1.2.1


From 6ec66a72b31ad7a47eb54d373d24f494318d35fb Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: =?UTF-8?q?Erik=20L=C3=B6ffler?= <erik.loeffler@ost.ch>
Date: Fri, 5 Aug 2022 12:05:26 +0200
Subject: Added partial solution to X equation.

---
 .../sturmliouville/waermeleitung_beispiel.tex      | 60 +++++++++++++++++++++-
 1 file changed, 59 insertions(+), 1 deletion(-)

(limited to 'buch/papers/sturmliouville/waermeleitung_beispiel.tex')

diff --git a/buch/papers/sturmliouville/waermeleitung_beispiel.tex b/buch/papers/sturmliouville/waermeleitung_beispiel.tex
index b25fc89..cc88f6a 100644
--- a/buch/papers/sturmliouville/waermeleitung_beispiel.tex
+++ b/buch/papers/sturmliouville/waermeleitung_beispiel.tex
@@ -130,7 +130,65 @@ Lösung
 \]
 führt.
 
-Etwas aufwändiger wird es, die zweite Gleichung zu lösen.
+Etwas aufwändiger wird es, die zweite Gleichung zu lösen. Aufgrund der Struktur
+der Gleichung
+\[
+    X^{\prime \prime}(x) - \mu X(x)
+    =
+    0
+\]
+wird ein trigonometrischer Ansatz gewählt. Die Lösungen für $X(x)$ sind also
+von der Form
+\[
+    X(x)
+    =
+    A \sin \left( \alpha x\right) + B \cos \left( \beta x\right).
+\]
+
+Dieser Ansatz wird nun solange differenziert, bis alle in Gleichung (TODO: ref)
+enthaltenen Ableitungen vorhanden sind. Man erhält also
+\[
+    X^{\prime}(x)
+    =
+    A \alpha \cos \left( \alpha x \right) -
+    B \beta \sin \left( \beta x \right)
+\]
+und
+\[
+    X^{\prime \prime}(x)
+    =
+    -A \alpha^{2} \sin \left( \alpha x \right) -
+    B \beta^{2} \cos \left( \beta x \right).
+\]
+
+Eingesetzt in Gleichung (TDOD: ref) ergibt dies
+\[
+    -A\alpha^{2}\sin(\alpha x) - B\beta^{2}\cos(\beta x) -
+    \mu\left(A\sin(\alpha x) + B\cos(\beta x)\right)
+    =
+    0
+\]
+und durch umformen somit
+\[
+    \mu A\sin(\alpha x) + \mu B\cos(\beta x)
+    =
+    A\alpha^{2}\sin(\alpha x) + B\beta^{2}\cos(\beta x).
+\]
+
+Durch Koeffizientenvergleich von
+\[
+    \mu A\sin(\alpha x)
+    =
+    A\alpha^{2}\sin(\alpha x)
+\]
+\[
+    \mu B\cos(\beta x)
+    =
+    B\beta^{2}\cos(\beta x)
+\]
+ist schnell ersichtlich, dass $ \mu = \alpha^{2} = \beta^{2} $ gelten muss für
+$ A \neq 0 $ und $ B \neq 0 $. Zur Berechnung von $ \mu $ bleiben also noch 
+$ \alpha $ und $ \beta $ zu bestimmen.
 
 % TODO: Rechenweg
 TODO: Rechenweg... Enden auf konstanter Temperatur:
-- 
cgit v1.2.1


From ebbf6e36246d36a2ec842b8c89a1f09a5dbec9de Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: =?UTF-8?q?Erik=20L=C3=B6ffler?= <erik.loeffler@ost.ch>
Date: Mon, 8 Aug 2022 10:27:50 +0200
Subject: Corrected sign error in coefficient comparison.

---
 buch/papers/sturmliouville/waermeleitung_beispiel.tex | 14 +++++++-------
 1 file changed, 7 insertions(+), 7 deletions(-)

(limited to 'buch/papers/sturmliouville/waermeleitung_beispiel.tex')

diff --git a/buch/papers/sturmliouville/waermeleitung_beispiel.tex b/buch/papers/sturmliouville/waermeleitung_beispiel.tex
index cc88f6a..7310186 100644
--- a/buch/papers/sturmliouville/waermeleitung_beispiel.tex
+++ b/buch/papers/sturmliouville/waermeleitung_beispiel.tex
@@ -170,23 +170,23 @@ Eingesetzt in Gleichung (TDOD: ref) ergibt dies
 \]
 und durch umformen somit
 \[
-    \mu A\sin(\alpha x) + \mu B\cos(\beta x)
+    -A\alpha^{2}\sin(\alpha x) - B\beta^{2}\cos(\beta x)
     =
-    A\alpha^{2}\sin(\alpha x) + B\beta^{2}\cos(\beta x).
+    \mu A\sin(\alpha x) + \mu B\cos(\beta x).
 \]
 
 Durch Koeffizientenvergleich von
 \[
-    \mu A\sin(\alpha x)
+    -A\alpha^{2}\sin(\alpha x)
     =
-    A\alpha^{2}\sin(\alpha x)
+    \mu A\sin(\alpha x)
 \]
 \[
-    \mu B\cos(\beta x)
+    -B\beta^{2}\cos(\beta x)
     =
-    B\beta^{2}\cos(\beta x)
+    \mu B\cos(\beta x)
 \]
-ist schnell ersichtlich, dass $ \mu = \alpha^{2} = \beta^{2} $ gelten muss für
+ist schnell ersichtlich, dass $ \mu = -\alpha^{2} = -\beta^{2} $ gelten muss für
 $ A \neq 0 $ und $ B \neq 0 $. Zur Berechnung von $ \mu $ bleiben also noch 
 $ \alpha $ und $ \beta $ zu bestimmen.
 
-- 
cgit v1.2.1


From 2b1eb4b5979f4e0e7f2eee7414a8e0b3d9eae402 Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: =?UTF-8?q?Erik=20L=C3=B6ffler?= <erik.loeffler@ost.ch>
Date: Mon, 8 Aug 2022 13:04:13 +0200
Subject: Changed equation syntax to match rest of the Sturm-Liouville chapter.

---
 .../sturmliouville/waermeleitung_beispiel.tex      | 106 ++++++++++-----------
 1 file changed, 50 insertions(+), 56 deletions(-)

(limited to 'buch/papers/sturmliouville/waermeleitung_beispiel.tex')

diff --git a/buch/papers/sturmliouville/waermeleitung_beispiel.tex b/buch/papers/sturmliouville/waermeleitung_beispiel.tex
index 7310186..0c9dd8e 100644
--- a/buch/papers/sturmliouville/waermeleitung_beispiel.tex
+++ b/buch/papers/sturmliouville/waermeleitung_beispiel.tex
@@ -1,6 +1,5 @@
 %
 % waermeleitung_beispiel.tex -- Beispiel Wärmeleitung in homogenem Stab. 
-%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Erster Entwurf %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
 %
 % (c) 2020 Prof Dr Andreas Müller, Hochschule Rapperswil
 %
@@ -14,10 +13,10 @@ physikalischen Phänomenes auftritt.
 Zunächst wird ein eindimensionaler homogener Stab der Länge $l$ und
 Wärmeleitkoeffizient $\kappa$. Somit ergibt sich für das Wärmeleitungsproblem
 die partielle Differentialgleichung
-\[
+\begin{equation}
     \frac{\partial u}{\partial t} =
     \kappa \frac{\partial^{2}u}{{\partial x}^{2}}
-\]
+\end{equation}
 wobei der Stab in diesem Fall auf der X-Achse im Intervall $[0,l]$ liegt.
 
 Da diese Differentialgleichung das Problem allgemein für einen homogenen
@@ -32,13 +31,13 @@ Tempreatur gehalten werden.
 Die Enden des Stabes auf konstanter Temperatur zu halten bedeutet, dass die
 Lösungsfunktion $u(t,x)$ bei $x = 0$ und $x = l$ nur die vorgegebene
 Temperatur zurückgeben darf. Es folgen nun
-\[
+\begin{equation}
     u(t,0)
     =
     u(t,l)
     =
     0
-\]
+\end{equation}
 als Randbedingungen.
 
 %%%%%%%%%%%%% Randbedingungen für Stab mit isolierten Enden %%%%%%%%%%%%%%%%%%%
@@ -54,13 +53,13 @@ Temperatur fliesst. Um Wärmefluss zu unterdrücken, muss also dafür gesorgt
 werden, dass am Rand des Stabes keine Temperaturdifferenz existiert oder 
 dass die partiellen Ableitungen von $u(t,x)$ nach $x$ bei $x = 0$ und $x = l$
 verschwinden. Somit folgen
-\[
+\begin{equation}
     \frac{\partial}{\partial x} u(t, 0)
     =
     \frac{\partial}{\partial x} u(t, l)
     =
     0
-\]
+\end{equation}
 als Randbedingungen.
 
 %%%%%%%%%%% Lösung der Differenzialgleichung %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
@@ -72,41 +71,40 @@ als Randbedingungen.
 
 Da die Lösungsfunktion von zwei Variablen abhängig ist, wird als Lösungsansatz
 die Separationsmethode verwendet. Dazu wird 
-\[
+\begin{equation}
     u(t,x)
     =
     T(t)X(x)
-\]
+\end{equation}
 in die ursprüngliche Differenzialgleichung eingesetzt. Daraus ergibt sich 
-\[
+\begin{equation}
     T^{\prime}(t)X(x)
     =
     \kappa T(t)X^{\prime \prime}(x)
-\]
+\end{equation}
 als neue Form.
 
 Nun können alle von $t$ abhängigen Ausdrücke auf die linke Seite, sowie alle
 von $x$ abhängigen Ausdrücke auf die rechte Seite gebracht werden und mittels
 der neuen Variablen $\mu$ gekoppelt werden:
-\[
+\begin{equation}
     \frac{T^{\prime}(t)}{\kappa T(t)}
     =
     \frac{X^{\prime \prime}(x)}{X(x)}
     =
     \mu
-\]
+\end{equation}
 Durch die Einführung von $\mu$ kann das Problem nun in zwei separate
 Differenzialgleichungen aufgeteilt werden:
-\[
+\begin{equation}
     T^{\prime}(t) - \kappa \mu T(t)
-    =
+    &=
     0
-\]
-\[
+    \\
     X^{\prime \prime}(x) - \mu X(x)
-    =
+    &=
     0
-\]
+\end{equation}
 
 Es ist an dieser Stelle zu bemerken, dass die Gleichung in $x$ in 
 Sturm-Liouville-Form ist. Erfüllen die Randbedingungen des Stab-Problems auch
@@ -116,108 +114,104 @@ werden.
 
 Widmen wir uns zunächst der ersten Gleichung. Diese Lösen wir über das
 charakteristische Polynom
-\[
+\begin{equation}
     \lambda - \kappa \mu
     =
     0.
-\]
+\end{equation}
 Es ist direkt ersichtlich, dass $\lambda = \kappa \mu$ gelten muss, was zur
 Lösung
-\[
+\begin{equation}
     T(t)
     =
     e^{\kappa \mu t}
-\]
+\end{equation}
 führt.
 
 Etwas aufwändiger wird es, die zweite Gleichung zu lösen. Aufgrund der Struktur
 der Gleichung
-\[
+\begin{equation}
     X^{\prime \prime}(x) - \mu X(x)
     =
     0
-\]
+\end{equation}
 wird ein trigonometrischer Ansatz gewählt. Die Lösungen für $X(x)$ sind also
 von der Form
-\[
+\begin{equation}
     X(x)
     =
     A \sin \left( \alpha x\right) + B \cos \left( \beta x\right).
-\]
+\end{equation}
 
 Dieser Ansatz wird nun solange differenziert, bis alle in Gleichung (TODO: ref)
 enthaltenen Ableitungen vorhanden sind. Man erhält also
-\[
+\begin{equation}
     X^{\prime}(x)
     =
     A \alpha \cos \left( \alpha x \right) -
     B \beta \sin \left( \beta x \right)
-\]
+\end{equation}
 und
-\[
+\begin{equation}
     X^{\prime \prime}(x)
     =
     -A \alpha^{2} \sin \left( \alpha x \right) -
     B \beta^{2} \cos \left( \beta x \right).
-\]
+\end{equation}
 
 Eingesetzt in Gleichung (TDOD: ref) ergibt dies
-\[
+\begin{equation}
     -A\alpha^{2}\sin(\alpha x) - B\beta^{2}\cos(\beta x) -
     \mu\left(A\sin(\alpha x) + B\cos(\beta x)\right)
     =
     0
-\]
+\end{equation}
 und durch umformen somit
-\[
+\begin{equation}
     -A\alpha^{2}\sin(\alpha x) - B\beta^{2}\cos(\beta x)
     =
     \mu A\sin(\alpha x) + \mu B\cos(\beta x).
-\]
+\end{equation}
 
 Durch Koeffizientenvergleich von
-\[
+\begin{equation}
     -A\alpha^{2}\sin(\alpha x)
-    =
+    &=
     \mu A\sin(\alpha x)
-\]
-\[
+    \\
     -B\beta^{2}\cos(\beta x)
-    =
+    &=
     \mu B\cos(\beta x)
-\]
+\end{equation}
 ist schnell ersichtlich, dass $ \mu = -\alpha^{2} = -\beta^{2} $ gelten muss für
 $ A \neq 0 $ und $ B \neq 0 $. Zur Berechnung von $ \mu $ bleiben also noch 
 $ \alpha $ und $ \beta $ zu bestimmen.
 
 % TODO: Rechenweg
 TODO: Rechenweg... Enden auf konstanter Temperatur:
-\[
+\begin{equation}
     u(t,x)
-    =
+    &=
     \sum_{n=1}^{\infty}a_{n}e^{-\frac{n^{2}\pi^{2}\kappa}{l^{2}}t}
     \sin\left(\frac{n\pi}{l}x\right)
-\]
-\[
+    \\
     a_{n}
-    =
+    &=
     \frac{2}{l}\int_{0}^{l}u(0,x)sin\left(\frac{n\pi}{l}x\right) dx
-\]
+\end{equation}
 
 TODO: Rechenweg... Enden isoliert:
-\[
+\begin{equation}
     u(t,x)
-    =
+    &=
     a_{0} + \sum_{n=1}^{\infty}a_{n}e^{-\frac{n^{2}\pi^{2}\kappa}{l^{2}}t}
     \cos\left(\frac{n\pi}{l}x\right)
-\]
-\[
+    \\
     a_{0}
-    =
+    &=
     \frac{1}{l}\int_{0}^{l}u(0,x) dx
-\]
-\[
+    \\
     a_{n}
-    =
+    &=
     \frac{2}{l}\int_{0}^{l}u(0,x)sin\left(\frac{n\pi}{l}x\right) dx
-\]
+\end{equation}
-- 
cgit v1.2.1


From 95ce389d41871e3e1a7dba350bf3dcdc1d67f80c Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: =?UTF-8?q?Erik=20L=C3=B6ffler?= <erik.loeffler@ost.ch>
Date: Mon, 8 Aug 2022 13:12:23 +0200
Subject: Fixed alignment issue in fourier example.

---
 buch/papers/sturmliouville/waermeleitung_beispiel.tex | 8 ++++++++
 1 file changed, 8 insertions(+)

(limited to 'buch/papers/sturmliouville/waermeleitung_beispiel.tex')

diff --git a/buch/papers/sturmliouville/waermeleitung_beispiel.tex b/buch/papers/sturmliouville/waermeleitung_beispiel.tex
index 0c9dd8e..27a7574 100644
--- a/buch/papers/sturmliouville/waermeleitung_beispiel.tex
+++ b/buch/papers/sturmliouville/waermeleitung_beispiel.tex
@@ -97,6 +97,7 @@ der neuen Variablen $\mu$ gekoppelt werden:
 Durch die Einführung von $\mu$ kann das Problem nun in zwei separate
 Differenzialgleichungen aufgeteilt werden:
 \begin{equation}
+\begin{aligned}
     T^{\prime}(t) - \kappa \mu T(t)
     &=
     0
@@ -104,6 +105,7 @@ Differenzialgleichungen aufgeteilt werden:
     X^{\prime \prime}(x) - \mu X(x)
     &=
     0
+\end{aligned}
 \end{equation}
 
 Es ist an dieser Stelle zu bemerken, dass die Gleichung in $x$ in 
@@ -175,6 +177,7 @@ und durch umformen somit
 
 Durch Koeffizientenvergleich von
 \begin{equation}
+\begin{aligned}
     -A\alpha^{2}\sin(\alpha x)
     &=
     \mu A\sin(\alpha x)
@@ -182,6 +185,7 @@ Durch Koeffizientenvergleich von
     -B\beta^{2}\cos(\beta x)
     &=
     \mu B\cos(\beta x)
+\end{aligned}
 \end{equation}
 ist schnell ersichtlich, dass $ \mu = -\alpha^{2} = -\beta^{2} $ gelten muss für
 $ A \neq 0 $ und $ B \neq 0 $. Zur Berechnung von $ \mu $ bleiben also noch 
@@ -190,6 +194,7 @@ $ \alpha $ und $ \beta $ zu bestimmen.
 % TODO: Rechenweg
 TODO: Rechenweg... Enden auf konstanter Temperatur:
 \begin{equation}
+\begin{aligned}
     u(t,x)
     &=
     \sum_{n=1}^{\infty}a_{n}e^{-\frac{n^{2}\pi^{2}\kappa}{l^{2}}t}
@@ -198,10 +203,12 @@ TODO: Rechenweg... Enden auf konstanter Temperatur:
     a_{n}
     &=
     \frac{2}{l}\int_{0}^{l}u(0,x)sin\left(\frac{n\pi}{l}x\right) dx
+\end{aligned}
 \end{equation}
 
 TODO: Rechenweg... Enden isoliert:
 \begin{equation}
+\begin{aligned}
     u(t,x)
     &=
     a_{0} + \sum_{n=1}^{\infty}a_{n}e^{-\frac{n^{2}\pi^{2}\kappa}{l^{2}}t}
@@ -214,4 +221,5 @@ TODO: Rechenweg... Enden isoliert:
     a_{n}
     &=
     \frac{2}{l}\int_{0}^{l}u(0,x)sin\left(\frac{n\pi}{l}x\right) dx
+\end{aligned}
 \end{equation}
-- 
cgit v1.2.1


From 2cb7c0466bdaaa3eff6757382a913b3c955a0751 Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: =?UTF-8?q?Erik=20L=C3=B6ffler?= <erik.loeffler@ost.ch>
Date: Mon, 8 Aug 2022 16:57:13 +0200
Subject: Reordered fourier example.

---
 .../sturmliouville/waermeleitung_beispiel.tex      | 160 ++++++++++++---------
 1 file changed, 90 insertions(+), 70 deletions(-)

(limited to 'buch/papers/sturmliouville/waermeleitung_beispiel.tex')

diff --git a/buch/papers/sturmliouville/waermeleitung_beispiel.tex b/buch/papers/sturmliouville/waermeleitung_beispiel.tex
index 27a7574..da25b36 100644
--- a/buch/papers/sturmliouville/waermeleitung_beispiel.tex
+++ b/buch/papers/sturmliouville/waermeleitung_beispiel.tex
@@ -11,9 +11,11 @@ homogenen Stab und wie das Sturm-Liouville-Problem bei der Beschreibung dieses
 physikalischen Phänomenes auftritt.
 
 Zunächst wird ein eindimensionaler homogener Stab der Länge $l$ und
-Wärmeleitkoeffizient $\kappa$. Somit ergibt sich für das Wärmeleitungsproblem
+Wärmeleitkoeffizient $\kappa$.
+Somit ergibt sich für das Wärmeleitungsproblem
 die partielle Differentialgleichung
 \begin{equation}
+    \label{eq:slp-example-fourier-heat-equation}
     \frac{\partial u}{\partial t} =
     \kappa \frac{\partial^{2}u}{{\partial x}^{2}}
 \end{equation}
@@ -30,7 +32,8 @@ Tempreatur gehalten werden.
 
 Die Enden des Stabes auf konstanter Temperatur zu halten bedeutet, dass die
 Lösungsfunktion $u(t,x)$ bei $x = 0$ und $x = l$ nur die vorgegebene
-Temperatur zurückgeben darf. Es folgen nun
+Temperatur zurückgeben darf.
+Es folgen nun
 \begin{equation}
     u(t,0)
     =
@@ -52,7 +55,8 @@ Aus der Physik ist bekannt, dass Wärme immer von der höheren zur tieferen
 Temperatur fliesst. Um Wärmefluss zu unterdrücken, muss also dafür gesorgt
 werden, dass am Rand des Stabes keine Temperaturdifferenz existiert oder 
 dass die partiellen Ableitungen von $u(t,x)$ nach $x$ bei $x = 0$ und $x = l$
-verschwinden. Somit folgen
+verschwinden.
+Somit folgen
 \begin{equation}
     \frac{\partial}{\partial x} u(t, 0)
     =
@@ -70,18 +74,20 @@ als Randbedingungen.
 % TODO: Formeln sauber in Text einbinden.
 
 Da die Lösungsfunktion von zwei Variablen abhängig ist, wird als Lösungsansatz
-die Separationsmethode verwendet. Dazu wird 
-\begin{equation}
+die Separationsmethode verwendet.
+Dazu wird 
+\[
     u(t,x)
     =
     T(t)X(x)
-\end{equation}
-in die ursprüngliche Differenzialgleichung eingesetzt. Daraus ergibt sich 
-\begin{equation}
+\]
+in die ursprüngliche Differenzialgleichung eingesetzt.
+Daraus ergibt sich 
+\[
     T^{\prime}(t)X(x)
     =
     \kappa T(t)X^{\prime \prime}(x)
-\end{equation}
+\]
 als neue Form.
 
 Nun können alle von $t$ abhängigen Ausdrücke auf die linke Seite, sowie alle
@@ -97,103 +103,117 @@ der neuen Variablen $\mu$ gekoppelt werden:
 Durch die Einführung von $\mu$ kann das Problem nun in zwei separate
 Differenzialgleichungen aufgeteilt werden:
 \begin{equation}
-\begin{aligned}
-    T^{\prime}(t) - \kappa \mu T(t)
-    &=
-    0
-    \\
+    \label{eq:slp-example-fourier-separated-x}
     X^{\prime \prime}(x) - \mu X(x)
-    &=
-    0
-\end{aligned}
-\end{equation}
-
-Es ist an dieser Stelle zu bemerken, dass die Gleichung in $x$ in 
-Sturm-Liouville-Form ist. Erfüllen die Randbedingungen des Stab-Problems auch
-die Randbedingungen des Sturm-Liouville-Problems, kann bereits die Aussage
-getroffen werden, dass alle Lösungen für die Gleichung in $x$ orthogonal sein
-werden.
-
-Widmen wir uns zunächst der ersten Gleichung. Diese Lösen wir über das
-charakteristische Polynom
-\begin{equation}
-    \lambda - \kappa \mu
     =
-    0.
+    0
 \end{equation}
-Es ist direkt ersichtlich, dass $\lambda = \kappa \mu$ gelten muss, was zur
-Lösung
 \begin{equation}
-    T(t)
+    \label{eq:slp-example-fourier-separated-t}
+    T^{\prime}(t) - \kappa \mu T(t)
     =
-    e^{\kappa \mu t}
+    0
 \end{equation}
-führt.
 
-Etwas aufwändiger wird es, die zweite Gleichung zu lösen. Aufgrund der Struktur
-der Gleichung
-\begin{equation}
+Es ist an dieser Stelle zu bemerken, dass die Gleichung in $x$ in 
+Sturm-Liouville-Form ist.
+Erfüllen die Randbedingungen des Stab-Problems auch die Randbedingungen des
+Sturm-Liouville-Problems, kann bereits die Aussage getroffen werden, dass alle
+Lösungen für die Gleichung in $x$ orthogonal sein werden.
+
+Widmen wir uns zunächst der ersten Gleichung.
+Aufgrund der Struktur der Gleichung
+\[
     X^{\prime \prime}(x) - \mu X(x)
     =
     0
-\end{equation}
-wird ein trigonometrischer Ansatz gewählt. Die Lösungen für $X(x)$ sind also
-von der Form
-\begin{equation}
+\]
+wird ein trigonometrischer Ansatz gewählt.
+Die Lösungen für $X(x)$ sind also von der Form
+\[
     X(x)
     =
     A \sin \left( \alpha x\right) + B \cos \left( \beta x\right).
-\end{equation}
+\]
 
-Dieser Ansatz wird nun solange differenziert, bis alle in Gleichung (TODO: ref)
-enthaltenen Ableitungen vorhanden sind. Man erhält also
-\begin{equation}
+Dieser Ansatz wird nun solange differenziert, bis alle in Gleichung 
+\eqref{eq:slp-example-fourier-separated-x} enthaltenen Ableitungen vorhanden
+sind.
+Man erhält also
+\[
     X^{\prime}(x)
     =
-    A \alpha \cos \left( \alpha x \right) -
-    B \beta \sin \left( \beta x \right)
-\end{equation}
+    \alpha A \cos \left( \alpha x \right) -
+    \beta B \sin \left( \beta x \right)
+\]
 und
-\begin{equation}
+\[
     X^{\prime \prime}(x)
     =
-    -A \alpha^{2} \sin \left( \alpha x \right) -
-    B \beta^{2} \cos \left( \beta x \right).
-\end{equation}
+    -\alpha^{2} A \sin \left( \alpha x \right) -
+    \beta^{2} B \cos \left( \beta x \right).
+\]
 
-Eingesetzt in Gleichung (TDOD: ref) ergibt dies
-\begin{equation}
-    -A\alpha^{2}\sin(\alpha x) - B\beta^{2}\cos(\beta x) -
+Eingesetzt in Gleichung \eqref{eq:slp-example-fourier-separated-x} ergibt dies
+\[
+    -\alpha^{2}A\sin(\alpha x) - \beta^{2}B\cos(\beta x) -
     \mu\left(A\sin(\alpha x) + B\cos(\beta x)\right)
     =
     0
-\end{equation}
+\]
 und durch umformen somit
-\begin{equation}
-    -A\alpha^{2}\sin(\alpha x) - B\beta^{2}\cos(\beta x)
+\[
+    -\alpha^{2}A\sin(\alpha x) - \beta^{2}B\cos(\beta x)
     =
     \mu A\sin(\alpha x) + \mu B\cos(\beta x).
-\end{equation}
+\]
 
 Durch Koeffizientenvergleich von
-\begin{equation}
+\[
 \begin{aligned}
-    -A\alpha^{2}\sin(\alpha x)
+    -\alpha^{2}A\sin(\alpha x)
     &=
     \mu A\sin(\alpha x)
     \\
-    -B\beta^{2}\cos(\beta x)
+    -\beta^{2}B\cos(\beta x)
     &=
     \mu B\cos(\beta x)
 \end{aligned}
-\end{equation}
+\]
 ist schnell ersichtlich, dass $ \mu = -\alpha^{2} = -\beta^{2} $ gelten muss für
-$ A \neq 0 $ und $ B \neq 0 $. Zur Berechnung von $ \mu $ bleiben also noch 
-$ \alpha $ und $ \beta $ zu bestimmen.
+$ A \neq 0 $ und $ B \neq 0 $.
+Zur Berechnung von $ \mu $ bleiben also noch  $ \alpha $ und $ \beta $ zu
+bestimmen.
+
+TODO: randbedingungen!!----
+
+Betrachten wir nun die zweite Gleichung 
+\eqref{eq:slp-example-fourier-separated-t}.
+Diese Lösen wir über das charakteristische Polynom
+\[
+    \lambda - \kappa \mu
+    =
+    0.
+\]
+Es ist direkt ersichtlich, dass $\lambda = \kappa \mu$ gelten muss, was zur
+Lösung
+\[
+    T(t)
+    =
+    e^{-\kappa \mu t}
+\]
+führt.
+Und mit mit dem Resultat von zuvor die Lösung
+\[
+    T(t)
+    =
+    e^{-\frac{n^{2}\pi^{2}\kappa}{l^{2}}t}
+\]
+ergibt.
 
 % TODO: Rechenweg
 TODO: Rechenweg... Enden auf konstanter Temperatur:
-\begin{equation}
+\[
 \begin{aligned}
     u(t,x)
     &=
@@ -204,10 +224,10 @@ TODO: Rechenweg... Enden auf konstanter Temperatur:
     &=
     \frac{2}{l}\int_{0}^{l}u(0,x)sin\left(\frac{n\pi}{l}x\right) dx
 \end{aligned}
-\end{equation}
+\]
 
 TODO: Rechenweg... Enden isoliert:
-\begin{equation}
+\[
 \begin{aligned}
     u(t,x)
     &=
@@ -222,4 +242,4 @@ TODO: Rechenweg... Enden isoliert:
     &=
     \frac{2}{l}\int_{0}^{l}u(0,x)sin\left(\frac{n\pi}{l}x\right) dx
 \end{aligned}
-\end{equation}
+\]
-- 
cgit v1.2.1


From 4fadfb233a3b7fdc3de486dd85d64fa62408b2a4 Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: =?UTF-8?q?Erik=20L=C3=B6ffler?= <erik.loeffler@ost.ch>
Date: Tue, 9 Aug 2022 18:34:54 +0200
Subject: Added some text, corrected a few errors and added two file extensions
 to gitignore.

---
 .../papers/sturmliouville/waermeleitung_beispiel.tex | 20 +++++++++++++++++---
 1 file changed, 17 insertions(+), 3 deletions(-)

(limited to 'buch/papers/sturmliouville/waermeleitung_beispiel.tex')

diff --git a/buch/papers/sturmliouville/waermeleitung_beispiel.tex b/buch/papers/sturmliouville/waermeleitung_beispiel.tex
index da25b36..4885694 100644
--- a/buch/papers/sturmliouville/waermeleitung_beispiel.tex
+++ b/buch/papers/sturmliouville/waermeleitung_beispiel.tex
@@ -35,6 +35,7 @@ Lösungsfunktion $u(t,x)$ bei $x = 0$ und $x = l$ nur die vorgegebene
 Temperatur zurückgeben darf.
 Es folgen nun
 \begin{equation}
+    \label{eq:slp-example-fourier-boundary-condition-ends-constant}
     u(t,0)
     =
     u(t,l)
@@ -58,6 +59,7 @@ dass die partiellen Ableitungen von $u(t,x)$ nach $x$ bei $x = 0$ und $x = l$
 verschwinden.
 Somit folgen
 \begin{equation}
+    \label{eq:slp-example-fourier-boundary-condition-ends-isolated}
     \frac{\partial}{\partial x} u(t, 0)
     =
     \frac{\partial}{\partial x} u(t, l)
@@ -120,6 +122,7 @@ Sturm-Liouville-Form ist.
 Erfüllen die Randbedingungen des Stab-Problems auch die Randbedingungen des
 Sturm-Liouville-Problems, kann bereits die Aussage getroffen werden, dass alle
 Lösungen für die Gleichung in $x$ orthogonal sein werden.
+Mehr dazu später.
 
 Widmen wir uns zunächst der ersten Gleichung.
 Aufgrund der Struktur der Gleichung
@@ -181,11 +184,22 @@ Durch Koeffizientenvergleich von
 \end{aligned}
 \]
 ist schnell ersichtlich, dass $ \mu = -\alpha^{2} = -\beta^{2} $ gelten muss für
-$ A \neq 0 $ und $ B \neq 0 $.
+$ A \neq 0 $ oder $ B \neq 0 $.
 Zur Berechnung von $ \mu $ bleiben also noch  $ \alpha $ und $ \beta $ zu
 bestimmen.
+Dazu werden die Randbedingungen
+\eqref{eq:slp-example-fourier-boundary-condition-ends-constant} und
+\eqref{eq:slp-example-fourier-boundary-condition-ends-isolated} benötigt.
+Zu bemerken ist, dass die Randbedingungen nur Anforderungen in $x$ stellen und
+somit direkt für $X(x)$ übernomen werden können.
 
-TODO: randbedingungen!!----
+Daraus ergibt sich für einen Stab mit Enden auf konstanter Temperatur
+
+\begin{equation}
+    \mu
+    =
+    -\frac{n^{2}\pi^{2}}{l^{2}}
+\end{equation}
 
 Betrachten wir nun die zweite Gleichung 
 \eqref{eq:slp-example-fourier-separated-t}.
@@ -203,7 +217,7 @@ Lösung
     e^{-\kappa \mu t}
 \]
 führt.
-Und mit mit dem Resultat von zuvor die Lösung
+Und mit dem Resultat (TODO) die Lösung
 \[
     T(t)
     =
-- 
cgit v1.2.1


From 67dc3b04c3926f0c7beb5cd6781cc58a4c38e667 Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: =?UTF-8?q?Erik=20L=C3=B6ffler?= <erik.loeffler@ost.ch>
Date: Tue, 9 Aug 2022 21:12:25 +0200
Subject: Added section to show  orthogonality with boundary conditions to
 fourier example.

---
 .../sturmliouville/waermeleitung_beispiel.tex      | 54 ++++++++++++++++++++--
 1 file changed, 50 insertions(+), 4 deletions(-)

(limited to 'buch/papers/sturmliouville/waermeleitung_beispiel.tex')

diff --git a/buch/papers/sturmliouville/waermeleitung_beispiel.tex b/buch/papers/sturmliouville/waermeleitung_beispiel.tex
index 4885694..92ecc49 100644
--- a/buch/papers/sturmliouville/waermeleitung_beispiel.tex
+++ b/buch/papers/sturmliouville/waermeleitung_beispiel.tex
@@ -122,7 +122,52 @@ Sturm-Liouville-Form ist.
 Erfüllen die Randbedingungen des Stab-Problems auch die Randbedingungen des
 Sturm-Liouville-Problems, kann bereits die Aussage getroffen werden, dass alle
 Lösungen für die Gleichung in $x$ orthogonal sein werden.
-Mehr dazu später.
+
+Damit die Lösungen von $X$ orthogonal sind, müssen also die Gleichungen
+\begin{equation}
+\begin{aligned}
+	\label{eq:slp-example-fourier-randbedingungen}
+	k_a y(a) + h_a p(a) y'(a) &= 0 \\
+	k_b y(b) + h_b p(b) y'(b) &= 0
+\end{aligned}
+\end{equation}
+erfüllt sein und es muss ausserdem
+\begin{equation}
+\begin{aligned}
+    \label{eq:slp-example-fourier-coefficient-constraints}
+    |k_a|^2 + |h_a|^2 &\neq 0\\
+    |k_b|^2 + |h_b|^2 &\neq 0\\
+\end{aligned}
+\end{equation}
+gelten.
+
+Um zu verifizieren, ob die Randbedingungen erfüllt sind, benötigen wir zunächst
+$p(x)$.
+Dazu wird die Gleichung \eqref{eq:slp-example-fourier-separated-x} mit der
+Sturm-Liouville-Form \eqref{eq:sturm-liouville-equation} verglichen, was zu
+$p(x) = 1$ führt.
+
+Werden nun $p(x)$ und die Randbedingungen
+\eqref{eq:slp-example-fourier-boundary-condition-ends-constant} in
+\eqref{eq:slp-example-fourier-randbedingungen} eigesetzt, erhält man
+\[
+\begin{aligned}
+	k_a y(0) + h_a y'(0) &= h_a y'(0) = 0 \\
+	k_b y(l) + h_b y'(l) &= h_b y'(l) = 0.
+\end{aligned}
+\]
+Damit die Gleichungen erfüllt sind, müssen $h_a = 0$ und $h_b = 0$ sein.
+Zusätzlich müssen aber die Bedingungen 
+\eqref{eq:slp-example-fourier-coefficient-constraints} erfüllt sein und
+da $y(0) = 0$ und $y(l) = 0$ sind, können belibige $k_a \neq 0$ und $k_b \neq 0$
+gewählt werden.
+
+Somit ist gezeigt, dass die Randbedingungen des Stab-Problems für Enden auf
+konstanter Temperatur auch die Sturm-Liouville-Randbedingungen erfüllen und
+alle daraus reultierenden Lösungen orthogonal sind.
+Analog dazu kann gezeit werden, dass die Randbedingungen für einen Stab mit
+isolierten Enden ebenfalls die Sturm-Liouville-Randbedingungen erfüllen und
+somit auch zu orthogonalen Lösungen führen.
 
 Widmen wir uns zunächst der ersten Gleichung.
 Aufgrund der Struktur der Gleichung
@@ -187,7 +232,7 @@ ist schnell ersichtlich, dass $ \mu = -\alpha^{2} = -\beta^{2} $ gelten muss fü
 $ A \neq 0 $ oder $ B \neq 0 $.
 Zur Berechnung von $ \mu $ bleiben also noch  $ \alpha $ und $ \beta $ zu
 bestimmen.
-Dazu werden die Randbedingungen
+Dazu werden nochmals die Randbedingungen
 \eqref{eq:slp-example-fourier-boundary-condition-ends-constant} und
 \eqref{eq:slp-example-fourier-boundary-condition-ends-isolated} benötigt.
 Zu bemerken ist, dass die Randbedingungen nur Anforderungen in $x$ stellen und
@@ -196,12 +241,13 @@ somit direkt für $X(x)$ übernomen werden können.
 Daraus ergibt sich für einen Stab mit Enden auf konstanter Temperatur
 
 \begin{equation}
+    \label{eq:slp-example-fourier-mu-solution}
     \mu
     =
     -\frac{n^{2}\pi^{2}}{l^{2}}
 \end{equation}
 
-Betrachten wir nun die zweite Gleichung 
+Betrachten wir nun die zweite Gleichung der Separation
 \eqref{eq:slp-example-fourier-separated-t}.
 Diese Lösen wir über das charakteristische Polynom
 \[
@@ -217,7 +263,7 @@ Lösung
     e^{-\kappa \mu t}
 \]
 führt.
-Und mit dem Resultat (TODO) die Lösung
+Und mit dem Resultat \eqref{eq:slp-example-fourier-mu-solution} die Lösung
 \[
     T(t)
     =
-- 
cgit v1.2.1


From 330038bafaaf6ed6462a3efdcf9869b6ecf645ce Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: =?UTF-8?q?Erik=20L=C3=B6ffler?= <erik.loeffler@ost.ch>
Date: Thu, 11 Aug 2022 14:34:39 +0200
Subject: Added mu calculation to both fourier examples.

---
 .../sturmliouville/waermeleitung_beispiel.tex      | 99 ++++++++++++++++++++--
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diff --git a/buch/papers/sturmliouville/waermeleitung_beispiel.tex b/buch/papers/sturmliouville/waermeleitung_beispiel.tex
index 92ecc49..89d158c 100644
--- a/buch/papers/sturmliouville/waermeleitung_beispiel.tex
+++ b/buch/papers/sturmliouville/waermeleitung_beispiel.tex
@@ -216,7 +216,7 @@ und durch umformen somit
     \mu A\sin(\alpha x) + \mu B\cos(\beta x).
 \]
 
-Durch Koeffizientenvergleich von
+Mittels Koeffizientenvergleich von
 \[
 \begin{aligned}
     -\alpha^{2}A\sin(\alpha x)
@@ -238,16 +238,105 @@ Dazu werden nochmals die Randbedingungen
 Zu bemerken ist, dass die Randbedingungen nur Anforderungen in $x$ stellen und
 somit direkt für $X(x)$ übernomen werden können.
 
-Daraus ergibt sich für einen Stab mit Enden auf konstanter Temperatur
+Da die Koeffizienten $A$ und $B$, sowie die Parameter $\alpha$ uns $\beta$ im
+allgemeninen ungleich $0$ sind, müssen die Randbedingungen durch die
+trigonometrischen Funktionen erfüllt werden.
 
+Es werden nun die Randbedingungen
+\eqref{eq:slp-example-fourier-boundary-condition-ends-constant} für einen Stab
+mit Enden auf konstanter Temperatur in die Gleichung 
+\eqref{eq:slp-example-fourier-separated-x} eingesetzt.
+Betrachten wir zunächst die Bedingung für $x = 0$.
+Dies fürht zu
+\[
+    X(0)
+    =
+    A \sin(0 \alpha) + B \cos(0 \beta)
+    =
+    0.
+\]
+Da $\cos(0) \neq 0$ ist, muss in diesem Fall $B = 0$ gelten.
+Für den ersten Summanden ist wegen $\sin(0) = 0$ die Randbedingung erfüllt.
+
+Wird nun die zweite Randbedingung für $x = l$ mit $B = 0$ eingesetzt, ergibt
+sich
+\[
+    X(l)
+    =
+    A \sin(\alpha l) + 0 \cos(\beta l)
+    =
+    A \sin(\alpha l)
+    = 0.
+\]
+
+$\alpha$ muss also so gewählt werden, dass $\sin(\alpha l) = 0$ gilt.
+Es gilt nun nach $\alpha$ aufzulösen:
+\[
+\begin{aligned}
+    \sin(\alpha l) &= 0 \\
+    \alpha l &= n \pi \qquad n \in \mathbb{N} \\
+    \alpha &= \frac{n \pi}{l} \qquad n \in \mathbb{N}
+\end{aligned}
+\]
+
+Es folgt nun wegen $\mu = -\alpha^{2}$, dass
+\begin{equation}
+    \mu_1 = -\alpha^{2} = -\frac{n^{2}\pi^{2}}{l^{2}}
+\end{equation}
+sein muss.
+Ausserdem ist zu bemerken, dass dies auch gleich $-\beta^{2}$ ist.
+Da aber $B = 0$ gilt und der Summand mit $\beta$ verschwindet, ist dies keine
+Verletzung der Randbedingungen.
+
+Durch alanoges Vorgehen kann nun auch das Problem mit isolierten Enden gelöst
+werden.
+Setzen wir nun die Randbedingungen
+\eqref{eq:slp-example-fourier-boundary-condition-ends-isolated} in $X^{\prime}$
+ein, beginnend für $x = 0$. Es ergibt sich
+\[
+    X^{\prime}(0)
+    =
+    \alpha A \cos(\alpha 0) - \beta B \sin(\beta 0)
+    = 0.
+\]
+In diesem Fall muss $A = 0$ gelten.
+Zusammen mit der Bedignung für $x = l$
+folgt nun
+\[
+    X^{\prime}(l)
+    =
+    \alpha A \cos(\alpha l) - \beta B \sin(\beta l)
+    =
+    -\beta B \sin(\beta l)
+    = 0.
+\]
+
+Wiedrum muss über die $\sin$-Funktion sicher gestellt werden, dass der Ausdruck
+den Randbedingungen entspricht. Es folgt nun
+\[
+\begin{aligned}
+    \sin(\beta l) &= 0 \\
+    \beta l &= n \pi \qquad n \in \mathbb{N} \\
+    \beta &= \frac{n \pi}{l} \qquad n \in \mathbb{N}
+\end{aligned}
+\]
+und somit
+\[
+    \mu_2 = -\alpha^{2} = -\frac{n^{2}\pi^{2}}{l^{2}}.
+\]
+
+Es ergibt sich also sowohl für einen Stab mit Enden auf konstanter Temperatur
+wie auch mit isolierten Enden
 \begin{equation}
     \label{eq:slp-example-fourier-mu-solution}
     \mu
     =
-    -\frac{n^{2}\pi^{2}}{l^{2}}
+    -\frac{n^{2}\pi^{2}}{l^{2}}.
 \end{equation}
 
-Betrachten wir nun die zweite Gleichung der Separation
+
+
+Betrachten wir zuletzt die zweite Gleichung der Separation
 \eqref{eq:slp-example-fourier-separated-t}.
 Diese Lösen wir über das charakteristische Polynom
 \[
@@ -263,7 +352,7 @@ Lösung
     e^{-\kappa \mu t}
 \]
 führt.
-Und mit dem Resultat \eqref{eq:slp-example-fourier-mu-solution} die Lösung
+Und mit dem Resultat \eqref{eq:slp-example-fourier-mu-solution}
 \[
     T(t)
     =
-- 
cgit v1.2.1


From cc1f753efdfe46d546b1769e2f61d9765380373d Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: =?UTF-8?q?Erik=20L=C3=B6ffler?= <erik.loeffler@ost.ch>
Date: Thu, 11 Aug 2022 14:47:19 +0200
Subject: Corrected some grammar.

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 buch/papers/sturmliouville/waermeleitung_beispiel.tex | 14 ++++++++------
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(limited to 'buch/papers/sturmliouville/waermeleitung_beispiel.tex')

diff --git a/buch/papers/sturmliouville/waermeleitung_beispiel.tex b/buch/papers/sturmliouville/waermeleitung_beispiel.tex
index 89d158c..1b267cb 100644
--- a/buch/papers/sturmliouville/waermeleitung_beispiel.tex
+++ b/buch/papers/sturmliouville/waermeleitung_beispiel.tex
@@ -270,7 +270,7 @@ sich
 \]
 
 $\alpha$ muss also so gewählt werden, dass $\sin(\alpha l) = 0$ gilt.
-Es gilt nun nach $\alpha$ aufzulösen:
+Es bleibt noch nach $\alpha$ aufzulösen:
 \[
 \begin{aligned}
     \sin(\alpha l) &= 0 \\
@@ -296,7 +296,7 @@ ein, beginnend für $x = 0$. Es ergibt sich
 \[
     X^{\prime}(0)
     =
-    \alpha A \cos(\alpha 0) - \beta B \sin(\beta 0)
+    \alpha A \cos(0 \alpha) - \beta B \sin(0 \beta)
     = 0.
 \]
 In diesem Fall muss $A = 0$ gelten.
@@ -305,14 +305,15 @@ folgt nun
 \[
     X^{\prime}(l)
     =
-    \alpha A \cos(\alpha l) - \beta B \sin(\beta l)
+    0 \alpha \cos(\alpha l) - \beta B \sin(\beta l)
     =
     -\beta B \sin(\beta l)
     = 0.
 \]
 
-Wiedrum muss über die $\sin$-Funktion sicher gestellt werden, dass der Ausdruck
-den Randbedingungen entspricht. Es folgt nun
+Wiedrum muss über die $ \sin $-Funktion sicher gestellt werden, dass der
+Ausdruck den Randbedingungen entspricht.
+Es folgt nun
 \[
 \begin{aligned}
     \sin(\beta l) &= 0 \\
@@ -322,7 +323,7 @@ den Randbedingungen entspricht. Es folgt nun
 \]
 und somit
 \[
-    \mu_2 = -\alpha^{2} = -\frac{n^{2}\pi^{2}}{l^{2}}.
+    \mu_2 = -\beta^{2} = -\frac{n^{2}\pi^{2}}{l^{2}}.
 \]
 
 Es ergibt sich also sowohl für einen Stab mit Enden auf konstanter Temperatur
@@ -334,6 +335,7 @@ wie auch mit isolierten Enden
     -\frac{n^{2}\pi^{2}}{l^{2}}.
 \end{equation}
 
+%%%% Koeffizienten a_n und b_n mittels skalarprodukt. %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
 
 
 Betrachten wir zuletzt die zweite Gleichung der Separation
-- 
cgit v1.2.1


From d8b0e6f27ac13c684bf829f4f73c11f4408945a5 Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: =?UTF-8?q?Erik=20L=C3=B6ffler?= <erik.loeffler@ost.ch>
Date: Thu, 11 Aug 2022 15:29:32 +0200
Subject: Added Tschebyscheff file.

---
 buch/papers/sturmliouville/waermeleitung_beispiel.tex | 15 +++++++++++++++
 1 file changed, 15 insertions(+)

(limited to 'buch/papers/sturmliouville/waermeleitung_beispiel.tex')

diff --git a/buch/papers/sturmliouville/waermeleitung_beispiel.tex b/buch/papers/sturmliouville/waermeleitung_beispiel.tex
index 1b267cb..14fca40 100644
--- a/buch/papers/sturmliouville/waermeleitung_beispiel.tex
+++ b/buch/papers/sturmliouville/waermeleitung_beispiel.tex
@@ -337,6 +337,21 @@ wie auch mit isolierten Enden
 
 %%%% Koeffizienten a_n und b_n mittels skalarprodukt. %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
 
+Bisher wurde über die Koeffizienten $A$ und $B$ noch nicht viel ausgesagt.
+Zunächst ist wegen vorhergehender Rechnung ersichtlich, dass es sich bei
+$A$ und $B$ nicht um einzelne Koeffizienten handelt.
+Stattdessen können die Koeffizienten für jedes $n \in \mathbb{N}$
+unterschiedlich sein.
+Schreiben wir also die Lösung $X(x)$ um zu
+\[
+    X(x)
+    =
+    a_n\sin\left(\frac{n\pi}{l}x\right)
+    +
+    b_n\cos\left(\frac{n\pi}{l}x\right)
+\]
+was für jedes $n$ wiederum eine Linearkombination aus orthogonalen Funktionen 
+ist. 
 
 Betrachten wir zuletzt die zweite Gleichung der Separation
 \eqref{eq:slp-example-fourier-separated-t}.
-- 
cgit v1.2.1