From 0f9fe03b68dc81c69a2f926d2a6782fe933d70f6 Mon Sep 17 00:00:00 2001
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Date: Fri, 26 Aug 2022 16:51:57 +0200
Subject: Final corrections.

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 buch/papers/sturmliouville/waermeleitung_beispiel.tex | 12 ++++++------
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@@ -139,8 +139,8 @@ An dieser Stelle wird nun gezeigt, dass die Gleichung in $x$ ein
 Sturm-Liouville-Problem ist.
 Dazu werden zunächst die Koeffizientenfunktionen $p(x)$, $q(x)$ und $w(x)$
 benötigt.
-Dafür wird die Gleichung~\eqref{sturmliouville:eq:example-fourier-separated-x}
-mit der
+Um diese zu erhalten, wird die 
+Gleichung~\eqref{sturmliouville:eq:example-fourier-separated-x} mit der
 Sturm-Liouville-Form~\eqref{sturmliouville:eq:sturm-liouville-equation}
 verglichen, was zu 
 \[
@@ -166,7 +166,7 @@ Es gilt also beispielsweise wegen
 \eqref{sturmliouville:eq:example-fourier-boundary-condition-ends-constant},
 dass $X(0) = X(l) = 0$.
 
-Damit die Lösungen von $X$ orthogonal sind, müssen also noch die Gleichungen
+Damit die Lösungen von $X$ orthogonal sind, müssen also die Gleichungen
 \begin{equation}
 \begin{aligned}
 	\label{sturmliouville:eq:example-fourier-randbedingungen}
@@ -287,7 +287,7 @@ und \eqref{sturmliouville:eq:example-fourier-boundary-condition-ends-isolated}
 benötigt.
 
 Da die Koeffizienten $A$ und $B$, sowie die Parameter $\alpha$ und $\beta$ im
-allgemeinen ungleich $0$ sind, müssen die Randbedingungen durch die
+Allgemeinen ungleich $0$ sind, müssen die Randbedingungen durch die
 trigonometrischen Funktionen erfüllt werden.
 
 \subsubsection{Einsetzen der 
@@ -425,7 +425,7 @@ gilt, endet man somit bei
     \sum_{n = 1}^{\infty} b_n\sin\left(\frac{n\pi}{l}x\right).
 \]
 Dies ist die allgemeine Fourierreihe, welche unsere Stab-Probleme löst.
-Wie zuvor bereits erwähnt, wissen wir dass sämtliche Lösungsfunktionen
+Wie zuvor bereits erwähnt, wissen wir, dass sämtliche Lösungsfunktionen
 orthogonal zueinander sind bezüglich des
 Skalarproduktes~\eqref{sturmliouville:eq:modified-dot-product}.
 Dieses vereinfacht sich noch etwas, da aus
@@ -706,7 +706,7 @@ was sich wie folgt nach $a_0$ auflösen lässt:
 \subsection{Lösung der Differentialgleichung in \texorpdfstring{$t$}{t}}
 Zuletzt wird die zweite Gleichung der 
 Separation~\eqref{sturmliouville:eq:example-fourier-separated-t} betrachtet.
-Dazu betrachtet man das charakteristische Polynom
+Dazu nimmt man das charakteristische Polynom
 \[
     \lambda - \kappa \mu
     =
-- 
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