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Date: Wed, 24 Aug 2022 11:40:46 +0200
Subject: First part of fourier example revised.

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 .../sturmliouville/waermeleitung_beispiel.tex      | 93 ++++++++++++++--------
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@@ -5,31 +5,31 @@
 % (c) 2020 Prof Dr Andreas Müller, Hochschule Rapperswil
 %
 
-\subsection{Fourierreihe als Lösung des Sturm-Liouville-Problems
-(Wärmeleitung)}
+\subsection{Wärmeleitung in homogenem Stab}
+\rhead{Wärmeleitung in homogenem Stab}
 
 In diesem Abschnitt wird das Problem der Wärmeleitung in einem homogenen Stab
 betrachtet und wie das Sturm-Liouville-Problem bei der Beschreibung dieses
 physikalischen Phänomenes auftritt.
 
-% TODO: u is dependent on 2 variables (t, x)
-% TODO: mention initial conditions u(0, x)
-
 Zunächst wird ein eindimensionaler homogener Stab der Länge $l$ und
-Wärmeleitkoeffizient $\kappa$ betrachtet.
-Es ergibt sich für das Wärmeleitungsproblem
-die partielle Differentialgleichung
+Wärmeleitkoeffizient $\kappa$ betrachtet dessen initiale Wärmeverteilung durch
+$u(t=0, x)$ gegeben ist.
+Es ergibt sich für das Wärmeleitungsproblem die partielle Differentialgleichung
 \begin{equation}
     \label{sturmliouville:eq:example-fourier-heat-equation}
-    \frac{\partial u}{\partial t} =
-    \kappa \frac{\partial^{2}u}{{\partial x}^{2}},
+    \frac{\partial u(t, x)}{\partial t} =
+    \kappa \frac{\partial^{2}u(t, x)}{{\partial x}^{2}},
 \end{equation}
 wobei der Stab in diesem Fall auf der $x$-Achse im Intervall $[0,l]$ liegt.
 
-Da diese Differentialgleichung das Problem allgemein für einen homogenen
-Stab beschreibt, werden zusätzliche Bedingungen benötigt, um beispielsweise
-die Lösung für einen Stab zu finden, bei dem die Enden auf konstanter 
-Tempreatur gehalten werden.
+Damit die Sturm-Liouville-Theorie auf das
+Problem~\eqref{sturmliouville:eq:example-fourier-heat-equation} angewendet
+werden kann, werden noch Randbedingungen benötigt, welche in Kürze
+vorgestellt werden.
+Aus physikalischer Sicht geben diese Randbedingungen vor, ob die Enden des
+Stabes thermisch isoliert sind oder ob sie auf konstanter Temperatur gehalten
+werden.
 
 %
 % Randbedingungen für Stab mit konstanten Endtemperaturen
@@ -56,8 +56,10 @@ als Randbedingungen.
 
 \subsubsection{Randbedingungen für Stab mit isolierten Enden}
 
-Bei isolierten Enden des Stabes können beliebige Temperaturen für $x = 0$ und
-$x = l$ auftreten. In diesem Fall ist es nicht erlaubt, dass Wärme vom Stab
+Bei isolierten Enden des Stabes können grundsätzlich beliebige Temperaturen für
+$x = 0$ und $x = l$ auftreten.
+Die einzige Einschränkung liefert die Anfangsbedingung $u(0, x)$.
+Im Fall des isolierten Stabes ist es nicht erlaubt, dass Wärme vom Stab
 an die Umgebung oder von der Umgebung an den Stab abgegeben wird.
 
 Aus der Physik ist bekannt, dass Wärme immer von der höheren zur tieferen
@@ -82,15 +84,16 @@ als Randbedingungen.
 
 \subsubsection{Lösung der Differenzialgleichung}
 
-Da die Lösungsfunktion von zwei Variablen abhängig ist, wird als Lösungsansatz
-die Separationsmethode verwendet.
+Da die Lösungsfunktion $u$ von zwei Variablen abhängig ist, wird die
+Gleichung~\eqref{sturmliouville:eq:example-fourier-heat-equation} zunächst
+mittels Separation in zwei gewöhnliche Differentialgleichungen überführt.
 Dazu wird 
 \[
     u(t,x)
     =
     T(t)X(x)
 \]
-in die partielle 
+in die partielle
 Differenzialgleichung~\eqref{sturmliouville:eq:example-fourier-heat-equation}
 eingesetzt.
 Daraus ergibt sich 
@@ -136,9 +139,12 @@ Erfüllen die Randbedingungen des Stab-Problems auch die Randbedingungen des
 Sturm-Liouville-Problems, kann bereits die Aussage getroffen werden, dass alle
 Lösungen für die Gleichung in $x$ orthogonal sein werden.
 
-Da die Bedingungen des Stab-Problem nur Anforderungen an $x$ stellen, können
-diese direkt für $X(x)$ übernomen werden. Es gilt also $X(0) = X(l) = 0$.
-Damit die Lösungen von $X$ orthogonal sind, müssen also die Gleichungen
+Da die Bedingungen des Stab-Problems nur Anforderungen an $x$ stellen, können
+diese direkt für $X(x)$ übernomen werden.
+Es gilt also beispielsweise wegen
+\eqref{sturmliouville:eq:example-fourier-boundary-condition-ends-constant},
+dass $X(0) = X(l) = 0$.
+Damit die Lösungen von $X$ orthogonal sind, müssen nun also die Gleichungen
 \begin{equation}
 \begin{aligned}
 	\label{sturmliouville:eq:example-fourier-randbedingungen}
@@ -156,18 +162,32 @@ erfüllt sein und es muss ausserdem
 \end{equation}
 gelten.
 
-Um zu verifizieren, ob die Randbedingungen erfüllt sind, wird zunächst
-$p(x)$
-benötigt.
+Um zu verifizieren, ob die Randbedingungen erfüllt sind, werden also die
+Koeffizientenfunktionen $p(x)$, $q(x)$ und $w(x)$ benötigt.
 Dazu wird die Gleichung~\eqref{sturmliouville:eq:example-fourier-separated-x}
 mit der
 Sturm-Liouville-Form~\eqref{sturmliouville:eq:sturm-liouville-equation}
-verglichen, was zu $p(x) = 1$ führt.
+verglichen, was zu 
+\[
+\begin{aligned} 
+    p(x) &= 1 \\
+    q(x) &= 0 \\
+    w(x) &= 1
+\end{aligned}
+\]
+führt.
+
+Diese können bereits auf die Bedingungen in
+Definition~\ref{sturmliouville:def:reguläres_sturm-liouville-problem} geprüft
+werden.
+Es ist schnell ersichtlich, dass die ersten drei Kriterien erfüllt sind.
+Werden nun auch noch die Randbedingungen erfüllt, handelt es sich also um ein
+reguläres Sturm-Liouville-Problem.
 
-Werden nun $p(x)$ und die 
+Es werden nun $p(x)$ und die 
 Randbedingungen~\eqref{sturmliouville:eq:example-fourier-boundary-condition-ends-constant}
-in \eqref{sturmliouville:eq:example-fourier-randbedingungen} eigesetzt, erhält
-man
+in \eqref{sturmliouville:eq:example-fourier-randbedingungen} eigesetzt und man
+erhält
 \[
 \begin{aligned}
 	k_a y(0) + h_a y'(0) &= h_a y'(0) = 0 \\
@@ -181,17 +201,20 @@ erfüllt sein und da $y(0) = 0$ und $y(l) = 0$ sind, können belibige $k_a \neq
 und $k_b \neq 0$ gewählt werden.
 
 Somit ist gezeigt, dass die Randbedingungen des Stab-Problems für Enden auf
-konstanter Temperatur auch die Sturm-Liouville-Randbedingungen erfüllen und
-alle daraus reultierenden Lösungen orthogonal sind.
+konstanter Temperatur auch die Sturm-Liouville-Randbedingungen erfüllen.
+Daraus folg zunächst, dass es sich um ein reguläres Sturm-Liouville-Problem
+handelt und weiter, dass alle daraus reultierenden Lösungen orthogonal sind.
 Analog dazu kann gezeit werden, dass die Randbedingungen für einen Stab mit
-isolierten Enden ebenfalls die Sturm-Liouville-Randbedingungen erfüllen und
+isolierten
+Enden~\eqref{sturmliouville:eq:example-fourier-boundary-condition-ends-isolated}
+ebenfalls die Sturm-Liouville-Randbedingungen erfüllen und
 somit auch zu orthogonalen Lösungen führen.
 
 %
 %   Lösung von X(x), Teil mu
 %
 
-\subsubsection{Lösund der Differentialgleichung in $x$}
+\subsubsection{Lösung der Differentialgleichung in $x$}
 Als erstes wird auf die
 Gleichung~\eqref{sturmliouville:eq:example-fourier-separated-x} eingegangen.
 Aufgrund der Struktur der Gleichung
@@ -316,7 +339,7 @@ Durch alanoges Vorgehen kann nun auch das Problem mit isolierten Enden gelöst
 werden.
 Setzt man nun die 
 Randbedingungen~\eqref{sturmliouville:eq:example-fourier-boundary-condition-ends-isolated}
-in $X^{\prime}$ ein, beginnend für $x = 0$. Es ergibt sich
+in $X^{\prime}$ ein, beginnend für $x = 0$, ergibt sich
 \[
     X^{\prime}(0)
     =
@@ -351,7 +374,7 @@ und somit
 \]
 
 Es ergibt sich also sowohl für einen Stab mit Enden auf konstanter Temperatur
-wie auch mit isolierten Enden
+wie auch für den Stab mit isolierten Enden
 \begin{equation}
     \label{sturmliouville:eq:example-fourier-mu-solution}
     \mu
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cgit v1.2.1

