From 2cb7c0466bdaaa3eff6757382a913b3c955a0751 Mon Sep 17 00:00:00 2001
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Date: Mon, 8 Aug 2022 16:57:13 +0200
Subject: Reordered fourier example.

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 .../sturmliouville/waermeleitung_beispiel.tex      | 160 ++++++++++++---------
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@@ -11,9 +11,11 @@ homogenen Stab und wie das Sturm-Liouville-Problem bei der Beschreibung dieses
 physikalischen Phänomenes auftritt.
 
 Zunächst wird ein eindimensionaler homogener Stab der Länge $l$ und
-Wärmeleitkoeffizient $\kappa$. Somit ergibt sich für das Wärmeleitungsproblem
+Wärmeleitkoeffizient $\kappa$.
+Somit ergibt sich für das Wärmeleitungsproblem
 die partielle Differentialgleichung
 \begin{equation}
+    \label{eq:slp-example-fourier-heat-equation}
     \frac{\partial u}{\partial t} =
     \kappa \frac{\partial^{2}u}{{\partial x}^{2}}
 \end{equation}
@@ -30,7 +32,8 @@ Tempreatur gehalten werden.
 
 Die Enden des Stabes auf konstanter Temperatur zu halten bedeutet, dass die
 Lösungsfunktion $u(t,x)$ bei $x = 0$ und $x = l$ nur die vorgegebene
-Temperatur zurückgeben darf. Es folgen nun
+Temperatur zurückgeben darf.
+Es folgen nun
 \begin{equation}
     u(t,0)
     =
@@ -52,7 +55,8 @@ Aus der Physik ist bekannt, dass Wärme immer von der höheren zur tieferen
 Temperatur fliesst. Um Wärmefluss zu unterdrücken, muss also dafür gesorgt
 werden, dass am Rand des Stabes keine Temperaturdifferenz existiert oder 
 dass die partiellen Ableitungen von $u(t,x)$ nach $x$ bei $x = 0$ und $x = l$
-verschwinden. Somit folgen
+verschwinden.
+Somit folgen
 \begin{equation}
     \frac{\partial}{\partial x} u(t, 0)
     =
@@ -70,18 +74,20 @@ als Randbedingungen.
 % TODO: Formeln sauber in Text einbinden.
 
 Da die Lösungsfunktion von zwei Variablen abhängig ist, wird als Lösungsansatz
-die Separationsmethode verwendet. Dazu wird 
-\begin{equation}
+die Separationsmethode verwendet.
+Dazu wird 
+\[
     u(t,x)
     =
     T(t)X(x)
-\end{equation}
-in die ursprüngliche Differenzialgleichung eingesetzt. Daraus ergibt sich 
-\begin{equation}
+\]
+in die ursprüngliche Differenzialgleichung eingesetzt.
+Daraus ergibt sich 
+\[
     T^{\prime}(t)X(x)
     =
     \kappa T(t)X^{\prime \prime}(x)
-\end{equation}
+\]
 als neue Form.
 
 Nun können alle von $t$ abhängigen Ausdrücke auf die linke Seite, sowie alle
@@ -97,103 +103,117 @@ der neuen Variablen $\mu$ gekoppelt werden:
 Durch die Einführung von $\mu$ kann das Problem nun in zwei separate
 Differenzialgleichungen aufgeteilt werden:
 \begin{equation}
-\begin{aligned}
-    T^{\prime}(t) - \kappa \mu T(t)
-    &=
-    0
-    \\
+    \label{eq:slp-example-fourier-separated-x}
     X^{\prime \prime}(x) - \mu X(x)
-    &=
-    0
-\end{aligned}
-\end{equation}
-
-Es ist an dieser Stelle zu bemerken, dass die Gleichung in $x$ in 
-Sturm-Liouville-Form ist. Erfüllen die Randbedingungen des Stab-Problems auch
-die Randbedingungen des Sturm-Liouville-Problems, kann bereits die Aussage
-getroffen werden, dass alle Lösungen für die Gleichung in $x$ orthogonal sein
-werden.
-
-Widmen wir uns zunächst der ersten Gleichung. Diese Lösen wir über das
-charakteristische Polynom
-\begin{equation}
-    \lambda - \kappa \mu
     =
-    0.
+    0
 \end{equation}
-Es ist direkt ersichtlich, dass $\lambda = \kappa \mu$ gelten muss, was zur
-Lösung
 \begin{equation}
-    T(t)
+    \label{eq:slp-example-fourier-separated-t}
+    T^{\prime}(t) - \kappa \mu T(t)
     =
-    e^{\kappa \mu t}
+    0
 \end{equation}
-führt.
 
-Etwas aufwändiger wird es, die zweite Gleichung zu lösen. Aufgrund der Struktur
-der Gleichung
-\begin{equation}
+Es ist an dieser Stelle zu bemerken, dass die Gleichung in $x$ in 
+Sturm-Liouville-Form ist.
+Erfüllen die Randbedingungen des Stab-Problems auch die Randbedingungen des
+Sturm-Liouville-Problems, kann bereits die Aussage getroffen werden, dass alle
+Lösungen für die Gleichung in $x$ orthogonal sein werden.
+
+Widmen wir uns zunächst der ersten Gleichung.
+Aufgrund der Struktur der Gleichung
+\[
     X^{\prime \prime}(x) - \mu X(x)
     =
     0
-\end{equation}
-wird ein trigonometrischer Ansatz gewählt. Die Lösungen für $X(x)$ sind also
-von der Form
-\begin{equation}
+\]
+wird ein trigonometrischer Ansatz gewählt.
+Die Lösungen für $X(x)$ sind also von der Form
+\[
     X(x)
     =
     A \sin \left( \alpha x\right) + B \cos \left( \beta x\right).
-\end{equation}
+\]
 
-Dieser Ansatz wird nun solange differenziert, bis alle in Gleichung (TODO: ref)
-enthaltenen Ableitungen vorhanden sind. Man erhält also
-\begin{equation}
+Dieser Ansatz wird nun solange differenziert, bis alle in Gleichung 
+\eqref{eq:slp-example-fourier-separated-x} enthaltenen Ableitungen vorhanden
+sind.
+Man erhält also
+\[
     X^{\prime}(x)
     =
-    A \alpha \cos \left( \alpha x \right) -
-    B \beta \sin \left( \beta x \right)
-\end{equation}
+    \alpha A \cos \left( \alpha x \right) -
+    \beta B \sin \left( \beta x \right)
+\]
 und
-\begin{equation}
+\[
     X^{\prime \prime}(x)
     =
-    -A \alpha^{2} \sin \left( \alpha x \right) -
-    B \beta^{2} \cos \left( \beta x \right).
-\end{equation}
+    -\alpha^{2} A \sin \left( \alpha x \right) -
+    \beta^{2} B \cos \left( \beta x \right).
+\]
 
-Eingesetzt in Gleichung (TDOD: ref) ergibt dies
-\begin{equation}
-    -A\alpha^{2}\sin(\alpha x) - B\beta^{2}\cos(\beta x) -
+Eingesetzt in Gleichung \eqref{eq:slp-example-fourier-separated-x} ergibt dies
+\[
+    -\alpha^{2}A\sin(\alpha x) - \beta^{2}B\cos(\beta x) -
     \mu\left(A\sin(\alpha x) + B\cos(\beta x)\right)
     =
     0
-\end{equation}
+\]
 und durch umformen somit
-\begin{equation}
-    -A\alpha^{2}\sin(\alpha x) - B\beta^{2}\cos(\beta x)
+\[
+    -\alpha^{2}A\sin(\alpha x) - \beta^{2}B\cos(\beta x)
     =
     \mu A\sin(\alpha x) + \mu B\cos(\beta x).
-\end{equation}
+\]
 
 Durch Koeffizientenvergleich von
-\begin{equation}
+\[
 \begin{aligned}
-    -A\alpha^{2}\sin(\alpha x)
+    -\alpha^{2}A\sin(\alpha x)
     &=
     \mu A\sin(\alpha x)
     \\
-    -B\beta^{2}\cos(\beta x)
+    -\beta^{2}B\cos(\beta x)
     &=
     \mu B\cos(\beta x)
 \end{aligned}
-\end{equation}
+\]
 ist schnell ersichtlich, dass $ \mu = -\alpha^{2} = -\beta^{2} $ gelten muss für
-$ A \neq 0 $ und $ B \neq 0 $. Zur Berechnung von $ \mu $ bleiben also noch 
-$ \alpha $ und $ \beta $ zu bestimmen.
+$ A \neq 0 $ und $ B \neq 0 $.
+Zur Berechnung von $ \mu $ bleiben also noch  $ \alpha $ und $ \beta $ zu
+bestimmen.
+
+TODO: randbedingungen!!----
+
+Betrachten wir nun die zweite Gleichung 
+\eqref{eq:slp-example-fourier-separated-t}.
+Diese Lösen wir über das charakteristische Polynom
+\[
+    \lambda - \kappa \mu
+    =
+    0.
+\]
+Es ist direkt ersichtlich, dass $\lambda = \kappa \mu$ gelten muss, was zur
+Lösung
+\[
+    T(t)
+    =
+    e^{-\kappa \mu t}
+\]
+führt.
+Und mit mit dem Resultat von zuvor die Lösung
+\[
+    T(t)
+    =
+    e^{-\frac{n^{2}\pi^{2}\kappa}{l^{2}}t}
+\]
+ergibt.
 
 % TODO: Rechenweg
 TODO: Rechenweg... Enden auf konstanter Temperatur:
-\begin{equation}
+\[
 \begin{aligned}
     u(t,x)
     &=
@@ -204,10 +224,10 @@ TODO: Rechenweg... Enden auf konstanter Temperatur:
     &=
     \frac{2}{l}\int_{0}^{l}u(0,x)sin\left(\frac{n\pi}{l}x\right) dx
 \end{aligned}
-\end{equation}
+\]
 
 TODO: Rechenweg... Enden isoliert:
-\begin{equation}
+\[
 \begin{aligned}
     u(t,x)
     &=
@@ -222,4 +242,4 @@ TODO: Rechenweg... Enden isoliert:
     &=
     \frac{2}{l}\int_{0}^{l}u(0,x)sin\left(\frac{n\pi}{l}x\right) dx
 \end{aligned}
-\end{equation}
+\]
-- 
cgit v1.2.1

