From 2fa5e32a5bbb88cb0f676ac080f0bef54623599e Mon Sep 17 00:00:00 2001
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Date: Thu, 28 Jul 2022 16:22:07 +0200
Subject: Added solution for T(t) in fourier example.

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 .../sturmliouville/waermeleitung_beispiel.tex      | 31 +++++++++++++++++++---
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index a493749..b25fc89 100644
--- a/buch/papers/sturmliouville/waermeleitung_beispiel.tex
+++ b/buch/papers/sturmliouville/waermeleitung_beispiel.tex
@@ -71,19 +71,20 @@ als Randbedingungen.
 % TODO: Formeln sauber in Text einbinden.
 
 Da die Lösungsfunktion von zwei Variablen abhängig ist, wird als Lösungsansatz
-die Separationsmethode verwendet.
-
+die Separationsmethode verwendet. Dazu wird 
 \[
     u(t,x)
     =
     T(t)X(x)
 \]
-Dieser Ausdruck wird in die ursprüngliche Differenzialgleichung eingesetzt:
+in die ursprüngliche Differenzialgleichung eingesetzt. Daraus ergibt sich 
 \[
     T^{\prime}(t)X(x)
     =
     \kappa T(t)X^{\prime \prime}(x)
 \]
+als neue Form.
+
 Nun können alle von $t$ abhängigen Ausdrücke auf die linke Seite, sowie alle
 von $x$ abhängigen Ausdrücke auf die rechte Seite gebracht werden und mittels
 der neuen Variablen $\mu$ gekoppelt werden:
@@ -107,6 +108,30 @@ Differenzialgleichungen aufgeteilt werden:
     0
 \]
 
+Es ist an dieser Stelle zu bemerken, dass die Gleichung in $x$ in 
+Sturm-Liouville-Form ist. Erfüllen die Randbedingungen des Stab-Problems auch
+die Randbedingungen des Sturm-Liouville-Problems, kann bereits die Aussage
+getroffen werden, dass alle Lösungen für die Gleichung in $x$ orthogonal sein
+werden.
+
+Widmen wir uns zunächst der ersten Gleichung. Diese Lösen wir über das
+charakteristische Polynom
+\[
+    \lambda - \kappa \mu
+    =
+    0.
+\]
+Es ist direkt ersichtlich, dass $\lambda = \kappa \mu$ gelten muss, was zur
+Lösung
+\[
+    T(t)
+    =
+    e^{\kappa \mu t}
+\]
+führt.
+
+Etwas aufwändiger wird es, die zweite Gleichung zu lösen.
+
 % TODO: Rechenweg
 TODO: Rechenweg... Enden auf konstanter Temperatur:
 \[
-- 
cgit v1.2.1

