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Date: Mon, 15 Aug 2022 15:45:11 +0200
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@@ -15,7 +15,7 @@ Wärmeleitkoeffizient $\kappa$ betrachtet.
 Es ergibt sich für das Wärmeleitungsproblem
 die partielle Differentialgleichung
 \begin{equation}
-    \label{eq:slp-example-fourier-heat-equation}
+    \label{sturmliouville:eq:example-fourier-heat-equation}
     \frac{\partial u}{\partial t} =
     \kappa \frac{\partial^{2}u}{{\partial x}^{2}}
 \end{equation}
@@ -36,7 +36,7 @@ Lösungsfunktion $u(t,x)$ bei $x = 0$ und $x = l$ nur die vorgegebene
 Temperatur zurückgeben darf. Diese wird einfachheitshalber als $0$ angenomen.
 Es folgen nun
 \begin{equation}
-    \label{eq:slp-example-fourier-boundary-condition-ends-constant}
+    \label{sturmliouville:eq:example-fourier-boundary-condition-ends-constant}
     u(t,0)
     =
     u(t,l)
@@ -62,7 +62,7 @@ dass die partiellen Ableitungen von $u(t,x)$ nach $x$ bei $x = 0$ und $x = l$
 verschwinden.
 Somit folgen
 \begin{equation}
-    \label{eq:slp-example-fourier-boundary-condition-ends-isolated}
+    \label{sturmliouville:eq:example-fourier-boundary-condition-ends-isolated}
     \frac{\partial}{\partial x} u(t, 0)
     =
     \frac{\partial}{\partial x} u(t, l)
@@ -85,8 +85,9 @@ Dazu wird
     =
     T(t)X(x)
 \]
-in die partielle Differenzialgleichung 
-\eqref{eq:slp-example-fourier-heat-equation} eingesetzt.
+in die partielle 
+Differenzialgleichung~\eqref{sturmliouville:eq:example-fourier-heat-equation}
+eingesetzt.
 Daraus ergibt sich 
 \[
     T^{\prime}(t)X(x)
@@ -108,13 +109,13 @@ der neuen Variablen $\mu$ gekoppelt werden:
 Durch die Einführung von $\mu$ kann das Problem nun in zwei separate
 Differenzialgleichungen aufgeteilt werden:
 \begin{equation}
-    \label{eq:slp-example-fourier-separated-x}
+    \label{sturmliouville:eq:example-fourier-separated-x}
     X^{\prime \prime}(x) - \mu X(x)
     =
     0
 \end{equation}
 \begin{equation}
-    \label{eq:slp-example-fourier-separated-t}
+    \label{sturmliouville:eq:example-fourier-separated-t}
     T^{\prime}(t) - \kappa \mu T(t)
     =
     0
@@ -135,7 +136,7 @@ diese direkt für $X(x)$ übernomen werden. Es gilt also $X(0) = X(l) = 0$.
 Damit die Lösungen von $X$ orthogonal sind, müssen also die Gleichungen
 \begin{equation}
 \begin{aligned}
-	\label{eq:slp-example-fourier-randbedingungen}
+	\label{sturmliouville:eq:example-fourier-randbedingungen}
 	k_a X(a) + h_a p(a) X'(a) &= 0 \\
 	k_b X(b) + h_b p(b) X'(b) &= 0
 \end{aligned}
@@ -143,7 +144,7 @@ Damit die Lösungen von $X$ orthogonal sind, müssen also die Gleichungen
 erfüllt sein und es muss ausserdem
 \begin{equation}
 \begin{aligned}
-    \label{eq:slp-example-fourier-coefficient-constraints}
+    \label{sturmliouville:eq:example-fourier-coefficient-constraints}
     |k_a|^2 + |h_a|^2 &\neq 0\\
     |k_b|^2 + |h_b|^2 &\neq 0\\
 \end{aligned}
@@ -153,13 +154,15 @@ gelten.
 Um zu verifizieren, ob die Randbedingungen erfüllt sind, wird zunächst
 $p(x)$
 benötigt.
-Dazu wird die Gleichung \eqref{eq:slp-example-fourier-separated-x} mit der
-Sturm-Liouville-Form \eqref{eq:sturm-liouville-equation} verglichen, was zu
+Dazu wird die Gleichung~\eqref{sturmliouville:eq:example-fourier-separated-x}
+mit der
+Sturm-Liouville-Form~\eqref{eq:sturm-liouville-equation} verglichen, was zu
 $p(x) = 1$ führt.
 
-Werden nun $p(x)$ und die Randbedingungen
-\eqref{eq:slp-example-fourier-boundary-condition-ends-constant} in
-\eqref{eq:slp-example-fourier-randbedingungen} eigesetzt, erhält man
+Werden nun $p(x)$ und die 
+Randbedingungen~\eqref{sturmliouville:eq:example-fourier-boundary-condition-ends-constant}
+in \eqref{sturmliouville:eq:example-fourier-randbedingungen} eigesetzt, erhält
+man
 \[
 \begin{aligned}
 	k_a y(0) + h_a y'(0) &= h_a y'(0) = 0 \\
@@ -167,10 +170,10 @@ Werden nun $p(x)$ und die Randbedingungen
 \end{aligned}
 \]
 Damit die Gleichungen erfüllt sind, müssen $h_a = 0$ und $h_b = 0$ sein.
-Zusätzlich müssen aber die Bedingungen 
-\eqref{eq:slp-example-fourier-coefficient-constraints} erfüllt sein und
-da $y(0) = 0$ und $y(l) = 0$ sind, können belibige $k_a \neq 0$ und $k_b \neq 0$
-gewählt werden.
+Zusätzlich müssen aber die 
+Bedingungen~\eqref{sturmliouville:eq:example-fourier-coefficient-constraints}
+erfüllt sein und da $y(0) = 0$ und $y(l) = 0$ sind, können belibige $k_a \neq 0$
+und $k_b \neq 0$ gewählt werden.
 
 Somit ist gezeigt, dass die Randbedingungen des Stab-Problems für Enden auf
 konstanter Temperatur auch die Sturm-Liouville-Randbedingungen erfüllen und
@@ -199,9 +202,9 @@ Die Lösungen für $X(x)$ sind also von der Form
     A \cos \left( \alpha x\right) + B \sin \left( \beta x\right).
 \]
 
-Dieser Ansatz wird nun solange differenziert, bis alle in Gleichung 
-\eqref{eq:slp-example-fourier-separated-x} enthaltenen Ableitungen vorhanden
-sind.
+Dieser Ansatz wird nun solange differenziert, bis alle in
+Gleichung~\eqref{sturmliouville:eq:example-fourier-separated-x} enthaltenen
+Ableitungen vorhanden sind.
 Man erhält also
 \[
     X^{\prime}(x)
@@ -217,7 +220,8 @@ und
     \beta^{2} B \sin \left( \beta x \right).
 \]
 
-Eingesetzt in Gleichung \eqref{eq:slp-example-fourier-separated-x} ergibt dies
+Eingesetzt in Gleichung~\eqref{sturmliouville:eq:example-fourier-separated-x}
+ergibt dies
 \[
     -\alpha^{2}A\cos(\alpha x) - \beta^{2}B\sin(\beta x) -
     \mu\left(A\cos(\alpha x) + B\sin(\beta x)\right)
@@ -247,18 +251,19 @@ ist schnell ersichtlich, dass $ \mu = -\alpha^{2} = -\beta^{2} $ gelten muss fü
 $ A \neq 0 $ oder $ B \neq 0 $.
 Zur Berechnung von $ \mu $ bleiben also noch  $ \alpha $ und $ \beta $ zu
 bestimmen.
-Dazu werden nochmals die Randbedingungen
-\eqref{eq:slp-example-fourier-boundary-condition-ends-constant} und
-\eqref{eq:slp-example-fourier-boundary-condition-ends-isolated} benötigt.
+Dazu werden nochmals die
+Randbedingungen~\eqref{sturmliouville:eq:example-fourier-boundary-condition-ends-constant} 
+und \eqref{sturmliouville:eq:example-fourier-boundary-condition-ends-isolated}
+benötigt.
 
 Da die Koeffizienten $A$ und $B$, sowie die Parameter $\alpha$ uns $\beta$ im
 allgemeninen ungleich $0$ sind, müssen die Randbedingungen durch die
 trigonometrischen Funktionen erfüllt werden.
 
-Es werden nun die Randbedingungen
-\eqref{eq:slp-example-fourier-boundary-condition-ends-constant} für einen Stab
-mit Enden auf konstanter Temperatur in die Gleichung 
-\eqref{eq:slp-example-fourier-separated-x} eingesetzt.
+Es werden nun die 
+Randbedingungen~\eqref{sturmliouville:eq:example-fourier-boundary-condition-ends-constant}
+für einen Stab mit Enden auf konstanter Temperatur in die
+Gleichung~\eqref{sturmliouville:eq:example-fourier-separated-x} eingesetzt.
 Betrachten wir zunächst die Bedingung für $x = 0$.
 Dies fürht zu
 \[
@@ -303,9 +308,9 @@ Verletzung der Randbedingungen.
 
 Durch alanoges Vorgehen kann nun auch das Problem mit isolierten Enden gelöst
 werden.
-Setzt man nun die Randbedingungen
-\eqref{eq:slp-example-fourier-boundary-condition-ends-isolated} in $X^{\prime}$
-ein, beginnend für $x = 0$. Es ergibt sich
+Setzt man nun die 
+Randbedingungen~\eqref{sturmliouville:eq:example-fourier-boundary-condition-ends-isolated}
+in $X^{\prime}$ ein, beginnend für $x = 0$. Es ergibt sich
 \[
     X^{\prime}(0)
     =
@@ -324,7 +329,7 @@ folgt nun
     = 0.
 \]
 
-Wiedrum muss über die $ \sin $-Funktion sicher gestellt werden, dass der
+Wiedrum muss über die $\sin$-Funktion sicher gestellt werden, dass der
 Ausdruck den Randbedingungen entspricht.
 Es folgt nun
 \[
@@ -342,7 +347,7 @@ und somit
 Es ergibt sich also sowohl für einen Stab mit Enden auf konstanter Temperatur
 wie auch mit isolierten Enden
 \begin{equation}
-    \label{eq:slp-example-fourier-mu-solution}
+    \label{sturmliouville:eq:example-fourier-mu-solution}
     \mu
     =
     -\frac{n^{2}\pi^{2}}{l^{2}}.
@@ -368,12 +373,12 @@ Die Lösung $X(x)$ wird nun umgeschrieben zu
     \sum_{n = 1}^{\infty} b_n\sin\left(\frac{n\pi}{l}x\right).
 \]
 
-Um eine eindeutige Lösung für $ X(x) $ zu erhalten werden noch weitere
+Um eine eindeutige Lösung für $X(x)$ zu erhalten werden noch weitere
 Bedingungen benötigt.
 Diese sind die Startbedingungen oder $u(0, x) = X(x)$ für $t = 0$.
 Es gilt also nun die Gleichung
 \begin{equation}
-    \label{eq:slp-example-fourier-initial-conditions}
+    \label{sturmliouville:eq:example-fourier-initial-conditions}
     u(0, x)
     =
     a_0
@@ -388,7 +393,7 @@ gehört, von der wir wissen, dass sie orthogonal zu allen anderen
 trigonometrischen Funktionen der Lösung ist, kann direkt das Skalarprodukt
 verwendet werden um die Koeffizienten $a_n$ und $b_n$ zu bestimmen.
 Es wird also die Tatsache ausgenutzt, dass die Gleichheit in
-\eqref{eq:slp-example-fourier-initial-conditions} nach Anwendung des
+\eqref{sturmliouville:eq:example-fourier-initial-conditions} nach Anwendung des
 Skalarproduktes immernoch gelten muss und dass das Skalaprodukt mit einer
 Basisfunktion sämtliche Summanden auf der rechten Seite auslöscht.
 
@@ -396,7 +401,7 @@ Zur Berechnung von $a_m$ mit $ m \in \mathbb{N} $ wird beidseitig das
 Skalarprodukt mit der Basisfunktion $ \cos\left(\frac{m \pi}{l}x\right)$
 gebildet:
 \begin{equation}
-    \label{eq:slp-dot-product-cosine}
+    \label{sturmliouville:eq:dot-product-cosine}
     \langle u(0, x), \cos\left(\frac{m \pi}{l}x\right) \rangle
     =
     \langle a_0
@@ -409,13 +414,13 @@ gebildet:
 
 Bevor diese Form in die Integralform umgeschrieben werden kann, muss überlegt
 sein, welche Integralgrenzen zu verwenden sind.
-In diesem Fall haben die $ \sin $ und $ \cos $ Terme beispielsweise keine ganze
-Periode im Intervall $ x \in [0, l] $ für ungerade $ n $ und $ m $.
+In diesem Fall haben die $\sin$ und $\cos$ Terme beispielsweise keine ganze
+Periode im Intervall $x \in [0, l]$ für ungerade $n$ und $m$.
 Um die Skalarprodukte aber korrekt zu berechnen, muss über ein ganzzahliges
 Vielfaches der Periode der triginimetrischen Funktionen integriert werden.
 Dazu werden die Integralgrenzen $-l$ und $l$ verwendet und es werden ausserdem
-neue Funktionen $ \hat{u}_c(0, x) $ für die Berechnung mit Cosinus und
-$ \hat{u}_s(0, x) $ für die Berechnung mit Sinus angenomen, welche $ u(0, t) $
+neue Funktionen $\hat{u}_c(0, x)$ für die Berechnung mit Cosinus und
+$\hat{u}_s(0, x)$ für die Berechnung mit Sinus angenomen, welche $u(0, t)$
 gerade, respektive ungerade auf $[-l, l]$ fortsetzen:
 \[
 \begin{aligned}
@@ -451,7 +456,8 @@ skalliert wurde, also gilt nun
 \end{aligned}
 \]
 
-Zunächst wird nun das Skalaprodukt \eqref{eq:slp-dot-product-cosine} berechnet:
+Zunächst wird nun das Skalaprodukt~\eqref{sturmliouville:eq:dot-product-cosine}
+berechnet:
 \[
 \begin{aligned}
     \int_{-l}^{l}\hat{u}_c(0, x)\cos\left(\frac{m \pi}{l}x\right)dx
@@ -545,11 +551,11 @@ gilt.
 
 Etwas anders ist es allerdings bei $a_0$.
 Wie der Name bereits suggeriert, handelt es sich hierbei um den Koeffizienten
-zur Basisfunktion $ \cos\left(\frac{0 \pi}{l}x\right) $ beziehungsweise der
+zur Basisfunktion $\cos\left(\frac{0 \pi}{l}x\right)$ beziehungsweise der
 konstanten Funktion $1$.
-Um einen Ausdruck für $ a_0 $ zu erhalten, wird wiederum auf beiden Seiten
-der Gleichung \eqref{eq:slp-example-fourier-initial-conditions} das
-Skalarprodukt mit der konstanten Basisfunktion $ 1 $ gebildet:
+Um einen Ausdruck für $a_0$ zu erhalten, wird wiederum auf beiden Seiten
+der Gleichung~\eqref{sturmliouville:eq:example-fourier-initial-conditions} das
+Skalarprodukt mit der konstanten Basisfunktion $1$ gebildet:
 \[
 \begin{aligned}
     \int_{-l}^{l}\hat{u}_c(0, x)dx
@@ -606,8 +612,8 @@ Es bleibt also noch
 %
 
 \subsubsection{Lösund der Differentialgleichung in t}
-Zuletzt wird die zweite Gleichung der Separation
-\eqref{eq:slp-example-fourier-separated-t} betrachtet.
+Zuletzt wird die zweite Gleichung der 
+Separation~\eqref{sturmliouville:eq:example-fourier-separated-t} betrachtet.
 Diese wird über das charakteristische Polynom
 \[
     \lambda - \kappa \mu
@@ -623,8 +629,7 @@ Lösung
     =
     e^{-\kappa \mu t}
 \]
-führt.
-Und mit dem Resultat \eqref{eq:slp-example-fourier-mu-solution}
+führt und mit dem Resultat~\eqref{sturmliouville:eq:example-fourier-mu-solution}
 \[
     T(t)
     =
-- 
cgit v1.2.1

