From d71e2db54a66ac9233757253b85eb678cc3e5f78 Mon Sep 17 00:00:00 2001
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Date: Wed, 27 Jul 2022 16:19:37 +0200
Subject: Added separation for diff. eq. in fourier example.

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 .../sturmliouville/waermeleitung_beispiel.tex      | 48 +++++++++++++++++++++-
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index 243d0e1..cd7a620 100644
--- a/buch/papers/sturmliouville/waermeleitung_beispiel.tex
+++ b/buch/papers/sturmliouville/waermeleitung_beispiel.tex
@@ -52,7 +52,7 @@ an die Umgebung oder von der Umgebung an den Stab abgegeben wird.
 Aus der Physik ist bekannt, dass Wärme immer von der höheren zur tieferen
 Temperatur fliesst. Um Wärmefluss zu unterdrücken, muss also dafür gesorgt
 werden, dass am Rand des Stabes keine Temperaturdifferenz existiert oder 
-indem die partielle Ableitung von $u(t,x)$ nach $x$ bei $x = 0$ und $x = l$
+dass die partiellen Ableitungen von $u(t,x)$ nach $x$ bei $x = 0$ und $x = l$
 verschwinden. Somit folgen
 \[
     \frac{\partial}{\partial x} u(t, 0)
@@ -61,4 +61,48 @@ verschwinden. Somit folgen
     =
     0
 \]
-als Randbedingungen.
\ No newline at end of file
+als Randbedingungen.
+
+%%%%%%%%%%% Lösung der Differenzialgleichung %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
+
+\subsubsection{Lösung der Differenzialgleichung}
+
+% TODO: Referenz Separationsmethode
+% TODO: Formeln sauber in Text einbinden.
+
+Da die Lösungsfunktion von zwei Variablen abhängig ist, wird als Lösungsansatz
+die Separationsmethode verwendet.
+
+\[
+    u(t,x)
+    =
+    T(t)X(x)
+\]
+Dieser Ausdruck wird in die ursprüngliche Differenzialgleichung eingesetzt:
+\[
+    T^{\prime}(t)X(x)
+    =
+    \kappa T(t)X^{\prime \prime}(x)
+\]
+Nun können alle von $t$ abhängigen Ausdrücke auf die linke Seite, sowie alle
+von $x$ abhängigen Ausdrücke auf die rechte Seite gebracht werden und mittels
+der neuen Variablen $\mu$ gekoppelt werden:
+\[
+    \frac{T^{\prime}(t)}{\kappa T(t)}
+    =
+    \frac{X^{\prime \prime}(x)}{X(x)}
+    =
+    \mu
+\]
+Durch die Einführung von $\mu$ kann das Problem nun in zwei separate
+Differenzialgleichungen aufgeteilt werden:
+\[
+    T^{\prime}(t) - \kappa \mu T(t)
+    =
+    0
+\]
+\[
+    X^{\prime \prime}(x) - \mu X(x)
+    =
+    0
+\]
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cgit v1.2.1

