From d80e30b37d3b51fc4d47229fb3e88610fbc7a476 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: haddoucher Date: Mon, 22 Aug 2022 14:43:20 +0200 Subject: neuste Version --- .../sturmliouville/waermeleitung_beispiel.tex | 50 ++++++++++++++-------- 1 file changed, 33 insertions(+), 17 deletions(-) (limited to 'buch/papers/sturmliouville/waermeleitung_beispiel.tex') diff --git a/buch/papers/sturmliouville/waermeleitung_beispiel.tex b/buch/papers/sturmliouville/waermeleitung_beispiel.tex index b22d5f5..4992150 100644 --- a/buch/papers/sturmliouville/waermeleitung_beispiel.tex +++ b/buch/papers/sturmliouville/waermeleitung_beispiel.tex @@ -1,15 +1,20 @@ % -% waermeleitung_beispiel.tex -- Beispiel Wärmeleitung in homogenem Stab. +% waermeleitung_beispiel.tex -- Beispiel Wärmeleitung in homogenem Stab. +% Author: Erik Löffler % % (c) 2020 Prof Dr Andreas Müller, Hochschule Rapperswil % -\subsection{Wärmeleitung in einem Homogenen Stab} +\subsection{Fourierreihe als Lösung des Sturm-Liouville-Problems +(Wärmeleitung)} In diesem Abschnitt wird das Problem der Wärmeleitung in einem homogenen Stab betrachtet und wie das Sturm-Liouville-Problem bei der Beschreibung dieses physikalischen Phänomenes auftritt. +% TODO: u is dependent on 2 variables (t, x) +% TODO: mention initial conditions u(0, x) + Zunächst wird ein eindimensionaler homogener Stab der Länge $l$ und Wärmeleitkoeffizient $\kappa$ betrachtet. Es ergibt sich für das Wärmeleitungsproblem @@ -17,9 +22,9 @@ die partielle Differentialgleichung \begin{equation} \label{sturmliouville:eq:example-fourier-heat-equation} \frac{\partial u}{\partial t} = - \kappa \frac{\partial^{2}u}{{\partial x}^{2}} + \kappa \frac{\partial^{2}u}{{\partial x}^{2}}, \end{equation} -wobei der Stab in diesem Fall auf der X-Achse im Intervall $[0,l]$ liegt. +wobei der Stab in diesem Fall auf der $x$-Achse im Intervall $[0,l]$ liegt. Da diese Differentialgleichung das Problem allgemein für einen homogenen Stab beschreibt, werden zusätzliche Bedingungen benötigt, um beispielsweise @@ -34,7 +39,7 @@ Tempreatur gehalten werden. Die Enden des Stabes auf konstanter Temperatur zu halten bedeutet, dass die Lösungsfunktion $u(t,x)$ bei $x = 0$ und $x = l$ nur die vorgegebene Temperatur zurückgeben darf. Diese wird einfachheitshalber als $0$ angenomen. -Es folgen nun +Es folgt nun \begin{equation} \label{sturmliouville:eq:example-fourier-boundary-condition-ends-constant} u(t,0) @@ -51,7 +56,7 @@ als Randbedingungen. \subsubsection{Randbedingungen für Stab mit isolierten Enden} -Bei isolierten Enden des Stabes können belibige Temperaturen für $x = 0$ und +Bei isolierten Enden des Stabes können beliebige Temperaturen für $x = 0$ und $x = l$ auftreten. In diesem Fall ist es nicht erlaubt, dass Wärme vom Stab an die Umgebung oder von der Umgebung an den Stab abgegeben wird. @@ -186,8 +191,9 @@ somit auch zu orthogonalen Lösungen führen. % Lösung von X(x), Teil mu % -\subsubsection{Lösund der Differentialgleichung in x} -Als erstes wird auf die erste erste Gleichung eingegangen. +\subsubsection{Lösund der Differentialgleichung in $x$} +Als erstes wird auf die +Gleichung~\eqref{sturmliouville:eq:example-fourier-separated-x} eingegangen. Aufgrund der Struktur der Gleichung \[ X^{\prime \prime}(x) - \mu X(x) @@ -353,6 +359,14 @@ wie auch mit isolierten Enden -\frac{n^{2}\pi^{2}}{l^{2}}. \end{equation} +% TODO: infinite base vectors and fourier series +\subsubsection{TODO: Auf Anzahl Lösungen und Fourierreihe eingehen} + +% TODO: check ease of reading +\subsubsection{Berechnung der Koeffizienten} + +% TODO: move explanation A/B -> a_n/b_n to fourier subsection + % % Lösung von X(x), Teil: Koeffizienten a_n und b_n mittels skalarprodukt. % @@ -417,7 +431,7 @@ sein, welche Integralgrenzen zu verwenden sind. In diesem Fall haben die $\sin$ und $\cos$ Terme beispielsweise keine ganze Periode im Intervall $x \in [0, l]$ für ungerade $n$ und $m$. Um die Skalarprodukte aber korrekt zu berechnen, muss über ein ganzzahliges -Vielfaches der Periode der triginimetrischen Funktionen integriert werden. +Vielfaches der Periode der trigonometrischen Funktionen integriert werden. Dazu werden die Integralgrenzen $-l$ und $l$ verwendet und es werden ausserdem neue Funktionen $\hat{u}_c(0, x)$ für die Berechnung mit Cosinus und $\hat{u}_s(0, x)$ für die Berechnung mit Sinus angenomen, welche $u(0, t)$ @@ -471,7 +485,7 @@ berechnet: \\ 2\int_{0}^{l}u(0, x)\cos\left(\frac{m \pi}{l}x\right)dx =& - a_0 \int_{-l}^{l}cos\left(\frac{m \pi}{l}x\right) dx + a_0 \int_{-l}^{l}\cos\left(\frac{m \pi}{l}x\right) dx + \sum_{n = 1}^{\infty}\left[a_n\int_{-l}^{l}\cos\left(\frac{n\pi}{l}x\right) \cos\left(\frac{m \pi}{l}x\right)dx\right] @@ -485,9 +499,9 @@ berechnet: Betrachtet man nun die Summanden auf der rechten Seite stellt man fest, dass nahezu alle Terme verschwinden, denn \[ - \int_{-l}^{l}cos\left(\frac{m \pi}{l}x\right) dx + \int_{-l}^{l}\cos\left(\frac{m \pi}{l}x\right) dx = - 0 + 0, \] da hier über ein ganzzahliges Vielfaches der Periode integriert wird, \[ @@ -526,10 +540,10 @@ mit $u = \frac{m \pi}{l}x$ substituiert wird: \frac{\sin\left(2u\right)}{4}\right]_{u=-m\pi}^{m\pi} \\ &= - a_m\frac{l}{m\pi}\left(\frac{m\pi}{2} + + a_m\frac{l}{m\pi}\biggl(\frac{m\pi}{2} + \underbrace{\frac{\sin\left(2m\pi\right)}{4}}_{\displaystyle = 0} - \frac{-m\pi}{2} - - \underbrace{\frac{\sin\left(-2m\pi\right)}{4}}_{\displaystyle = 0}\right) + \underbrace{\frac{\sin\left(-2m\pi\right)}{4}}_{\displaystyle = 0}\biggr) \\ &= a_m l @@ -611,7 +625,7 @@ Es bleibt also noch % Lösung von T(t) % -\subsubsection{Lösund der Differentialgleichung in t} +\subsubsection{Lösung der Differentialgleichung in $t$} Zuletzt wird die zweite Gleichung der Separation~\eqref{sturmliouville:eq:example-fourier-separated-t} betrachtet. Diese wird über das charakteristische Polynom @@ -627,7 +641,7 @@ Lösung \[ T(t) = - e^{-\kappa \mu t} + e^{\kappa \mu t} \] führt und mit dem Resultat~\eqref{sturmliouville:eq:example-fourier-mu-solution} \[ @@ -637,9 +651,11 @@ führt und mit dem Resultat~\eqref{sturmliouville:eq:example-fourier-mu-solution \] ergibt. -Dieses Resultat kann nun mit allen vorhergehenden Resultaten zudammengesetzt +Dieses Resultat kann nun mit allen vorhergehenden Resultaten zusammengesetzt werden um die vollständige Lösung für das Stab-Problem zu erhalten. +% TODO: elaborate + \subsubsection{Lösung für einen Stab mit Enden auf konstanter Temperatur} \[ \begin{aligned} -- cgit v1.2.1