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Date: Mon, 22 Aug 2022 14:43:20 +0200
Subject: neuste Version

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 .../sturmliouville/waermeleitung_beispiel.tex      | 50 ++++++++++++++--------
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--- a/buch/papers/sturmliouville/waermeleitung_beispiel.tex
+++ b/buch/papers/sturmliouville/waermeleitung_beispiel.tex
@@ -1,15 +1,20 @@
 %
-% waermeleitung_beispiel.tex -- Beispiel Wärmeleitung in homogenem Stab. 
+% waermeleitung_beispiel.tex -- Beispiel Wärmeleitung in homogenem Stab.
+% Author: Erik Löffler
 %
 % (c) 2020 Prof Dr Andreas Müller, Hochschule Rapperswil
 %
 
-\subsection{Wärmeleitung in einem Homogenen Stab}
+\subsection{Fourierreihe als Lösung des Sturm-Liouville-Problems
+(Wärmeleitung)}
 
 In diesem Abschnitt wird das Problem der Wärmeleitung in einem homogenen Stab
 betrachtet und wie das Sturm-Liouville-Problem bei der Beschreibung dieses
 physikalischen Phänomenes auftritt.
 
+% TODO: u is dependent on 2 variables (t, x)
+% TODO: mention initial conditions u(0, x)
+
 Zunächst wird ein eindimensionaler homogener Stab der Länge $l$ und
 Wärmeleitkoeffizient $\kappa$ betrachtet.
 Es ergibt sich für das Wärmeleitungsproblem
@@ -17,9 +22,9 @@ die partielle Differentialgleichung
 \begin{equation}
     \label{sturmliouville:eq:example-fourier-heat-equation}
     \frac{\partial u}{\partial t} =
-    \kappa \frac{\partial^{2}u}{{\partial x}^{2}}
+    \kappa \frac{\partial^{2}u}{{\partial x}^{2}},
 \end{equation}
-wobei der Stab in diesem Fall auf der X-Achse im Intervall $[0,l]$ liegt.
+wobei der Stab in diesem Fall auf der $x$-Achse im Intervall $[0,l]$ liegt.
 
 Da diese Differentialgleichung das Problem allgemein für einen homogenen
 Stab beschreibt, werden zusätzliche Bedingungen benötigt, um beispielsweise
@@ -34,7 +39,7 @@ Tempreatur gehalten werden.
 Die Enden des Stabes auf konstanter Temperatur zu halten bedeutet, dass die
 Lösungsfunktion $u(t,x)$ bei $x = 0$ und $x = l$ nur die vorgegebene
 Temperatur zurückgeben darf. Diese wird einfachheitshalber als $0$ angenomen.
-Es folgen nun
+Es folgt nun
 \begin{equation}
     \label{sturmliouville:eq:example-fourier-boundary-condition-ends-constant}
     u(t,0)
@@ -51,7 +56,7 @@ als Randbedingungen.
 
 \subsubsection{Randbedingungen für Stab mit isolierten Enden}
 
-Bei isolierten Enden des Stabes können belibige Temperaturen für $x = 0$ und
+Bei isolierten Enden des Stabes können beliebige Temperaturen für $x = 0$ und
 $x = l$ auftreten. In diesem Fall ist es nicht erlaubt, dass Wärme vom Stab
 an die Umgebung oder von der Umgebung an den Stab abgegeben wird.
 
@@ -186,8 +191,9 @@ somit auch zu orthogonalen Lösungen führen.
 %   Lösung von X(x), Teil mu
 %
 
-\subsubsection{Lösund der Differentialgleichung in x}
-Als erstes wird auf die erste erste Gleichung eingegangen.
+\subsubsection{Lösund der Differentialgleichung in $x$}
+Als erstes wird auf die
+Gleichung~\eqref{sturmliouville:eq:example-fourier-separated-x} eingegangen.
 Aufgrund der Struktur der Gleichung
 \[
     X^{\prime \prime}(x) - \mu X(x)
@@ -353,6 +359,14 @@ wie auch mit isolierten Enden
     -\frac{n^{2}\pi^{2}}{l^{2}}.
 \end{equation}
 
+% TODO: infinite base vectors and fourier series
+\subsubsection{TODO: Auf Anzahl Lösungen und Fourierreihe eingehen}
+
+% TODO: check ease of reading
+\subsubsection{Berechnung der Koeffizienten}
+
+% TODO: move explanation A/B -> a_n/b_n to fourier subsection
+
 %
 % Lösung von X(x), Teil: Koeffizienten a_n und b_n mittels skalarprodukt.
 %
@@ -417,7 +431,7 @@ sein, welche Integralgrenzen zu verwenden sind.
 In diesem Fall haben die $\sin$ und $\cos$ Terme beispielsweise keine ganze
 Periode im Intervall $x \in [0, l]$ für ungerade $n$ und $m$.
 Um die Skalarprodukte aber korrekt zu berechnen, muss über ein ganzzahliges
-Vielfaches der Periode der triginimetrischen Funktionen integriert werden.
+Vielfaches der Periode der trigonometrischen Funktionen integriert werden.
 Dazu werden die Integralgrenzen $-l$ und $l$ verwendet und es werden ausserdem
 neue Funktionen $\hat{u}_c(0, x)$ für die Berechnung mit Cosinus und
 $\hat{u}_s(0, x)$ für die Berechnung mit Sinus angenomen, welche $u(0, t)$
@@ -471,7 +485,7 @@ berechnet:
     \\
     2\int_{0}^{l}u(0, x)\cos\left(\frac{m \pi}{l}x\right)dx
     =&
-    a_0 \int_{-l}^{l}cos\left(\frac{m \pi}{l}x\right) dx
+    a_0 \int_{-l}^{l}\cos\left(\frac{m \pi}{l}x\right) dx
     +
     \sum_{n = 1}^{\infty}\left[a_n\int_{-l}^{l}\cos\left(\frac{n\pi}{l}x\right)
         \cos\left(\frac{m \pi}{l}x\right)dx\right]
@@ -485,9 +499,9 @@ berechnet:
 Betrachtet man nun die Summanden auf der rechten Seite stellt man fest, dass
 nahezu alle Terme verschwinden, denn
 \[
-    \int_{-l}^{l}cos\left(\frac{m \pi}{l}x\right) dx
+    \int_{-l}^{l}\cos\left(\frac{m \pi}{l}x\right) dx
     =
-    0
+    0,
 \]
 da hier über ein ganzzahliges Vielfaches der Periode integriert wird,
 \[
@@ -526,10 +540,10 @@ mit $u = \frac{m \pi}{l}x$ substituiert wird:
     \frac{\sin\left(2u\right)}{4}\right]_{u=-m\pi}^{m\pi}
     \\
     &=
-    a_m\frac{l}{m\pi}\left(\frac{m\pi}{2} + 
+    a_m\frac{l}{m\pi}\biggl(\frac{m\pi}{2} + 
     \underbrace{\frac{\sin\left(2m\pi\right)}{4}}_{\displaystyle = 0} - 
     \frac{-m\pi}{2} -
-    \underbrace{\frac{\sin\left(-2m\pi\right)}{4}}_{\displaystyle = 0}\right)
+    \underbrace{\frac{\sin\left(-2m\pi\right)}{4}}_{\displaystyle = 0}\biggr)
     \\
     &=
     a_m l
@@ -611,7 +625,7 @@ Es bleibt also noch
 % Lösung von T(t) 
 %
 
-\subsubsection{Lösund der Differentialgleichung in t}
+\subsubsection{Lösung der Differentialgleichung in $t$}
 Zuletzt wird die zweite Gleichung der 
 Separation~\eqref{sturmliouville:eq:example-fourier-separated-t} betrachtet.
 Diese wird über das charakteristische Polynom
@@ -627,7 +641,7 @@ Lösung
 \[
     T(t)
     =
-    e^{-\kappa \mu t}
+    e^{\kappa \mu t}
 \]
 führt und mit dem Resultat~\eqref{sturmliouville:eq:example-fourier-mu-solution}
 \[
@@ -637,9 +651,11 @@ führt und mit dem Resultat~\eqref{sturmliouville:eq:example-fourier-mu-solution
 \]
 ergibt.
 
-Dieses Resultat kann nun mit allen vorhergehenden Resultaten zudammengesetzt
+Dieses Resultat kann nun mit allen vorhergehenden Resultaten zusammengesetzt
 werden um die vollständige Lösung für das Stab-Problem zu erhalten.
 
+% TODO: elaborate
+
 \subsubsection{Lösung für einen Stab mit Enden auf konstanter Temperatur}
 \[
 \begin{aligned}
-- 
cgit v1.2.1

