From c2d2d48156ab7cfb0d69541e58f54c3a55b2daf9 Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: =?UTF-8?q?Erik=20L=C3=B6ffler?= <erik.loeffler@ost.ch>
Date: Thu, 11 Aug 2022 19:23:32 +0200
Subject: Added start to coefficient calculation.

---
 .../sturmliouville/waermeleitung_beispiel.tex      | 75 ++++++++++++++++++++--
 1 file changed, 71 insertions(+), 4 deletions(-)

(limited to 'buch/papers/sturmliouville/waermeleitung_beispiel.tex')

diff --git a/buch/papers/sturmliouville/waermeleitung_beispiel.tex b/buch/papers/sturmliouville/waermeleitung_beispiel.tex
index 14fca40..58569e9 100644
--- a/buch/papers/sturmliouville/waermeleitung_beispiel.tex
+++ b/buch/papers/sturmliouville/waermeleitung_beispiel.tex
@@ -346,12 +346,79 @@ Schreiben wir also die Lösung $X(x)$ um zu
 \[
     X(x)
     =
-    a_n\sin\left(\frac{n\pi}{l}x\right)
+    a_0
     +
-    b_n\cos\left(\frac{n\pi}{l}x\right)
+    \sum_{n = 1}^{\infty} a_n\sin\left(\frac{n\pi}{l}x\right)
+    +
+    \sum_{n = 1}^{\infty} b_n\cos\left(\frac{n\pi}{l}x\right).
+\]
+
+Um eine eindeutige Lösung für $ X(x) $ zu erhalten werden noch weitere
+Bedingungen benötigt.
+Diese sind die Startbedingungen oder $u(0, x) = X(x)$ für $t = 0$.
+Es gilt also nun die Gleichung
+\begin{equation}
+    \label{eq:slp-example-fourier-initial-conditions}
+    u(0, x)
+    =
+    a_0
+    +
+    \sum_{n = 1}^{\infty} a_n\sin\left(\frac{n\pi}{l}x\right)
+    +
+    \sum_{n = 1}^{\infty} b_n\cos\left(\frac{n\pi}{l}x\right)
+\end{equation}
+nach allen $a_n$ und $b_n$ aufzulösen.
+Da aber $a_n$ und $b_n$ jeweils als Faktor zu einer trigonometrischen Funktion
+gehört, von der wir wissen, dass sie orthogonal zu allen anderen
+trigonometrischen Funktionen der Lösung ist, kann direkt das Skalarprodukt
+verwendet werden um die Koeffizienten $a_n$ und $b_n$ zu bestimmen.
+Es wird also die Tatsache ausgenutzt, dass die Gleichheit in
+\eqref{eq:slp-example-fourier-initial-conditions} nach Anwendung des
+Skalarproduktes immernoch gelten muss und dass das Skalaprodukt mit einer
+Basisfunktion sämtliche Summanden auf der rechten Seite auslöscht.
+
+Zur Berechnung von $a_m$ mit $ m \in \mathbb{N} $ wird beidseitig das
+Skalarprodukt mit der Basisfunktion $ sin\left(\frac{m \pi}{l}x\right)$
+gebildet:
+\[
+    \langle u(0, x), sin\left(\frac{m \pi}{l}x\right) \rangle
+    =
+    \langle a_0
+    +
+    \sum_{n = 1}^{\infty} a_n\sin\left(\frac{n\pi}{l}x\right)
+    +
+    \sum_{n = 1}^{\infty} b_n\cos\left(\frac{n\pi}{l}x\right),
+    sin\left(\frac{m \pi}{l}x\right)\rangle
+\]
+
+Bevor diese Form in die Integralform umgeschrieben werden kann, muss überlegt
+sein, welche Integralgrenzen zu verwenden sind.
+In diesem Fall haben die $ \sin $ und $ \cos $ Terme beispielsweise keine ganze
+Periode im Intervall $ x \in [0, l] $ für ungerade $ n $ und $ m $.
+Um die 
+
+\[
+\begin{aligned}
+    \int_{-l}^{l}\hat{u}(0, x)sin\left(\frac{m \pi}{l}x\right)dx
+    =&
+    \int_{-l}^{l} \left[a_0
+    +
+    \sum_{n = 1}^{\infty} a_n\sin\left(\frac{n\pi}{l}x\right)
+    +
+    \sum_{n = 1}^{\infty} b_n\cos\left(\frac{n\pi}{l}x\right)\right]
+    sin\left(\frac{m \pi}{l}x\right) dx
+    \\
+    =&
+    a_0 \int_{-l}^{l}sin\left(\frac{m \pi}{l}x\right) dx
+    +
+    \sum_{n = 1}^{\infty}\left[a_n\int_{-l}^{l}\sin\left(\frac{n\pi}{l}x\right)
+        sin\left(\frac{m \pi}{l}x\right)dx\right]
+    \\
+    &+
+    \sum_{n = 1}^{\infty}\left[b_n\int_{-l}^{l} \cos\left(\frac{n\pi}{l}x\right)
+        sin\left(\frac{m \pi}{l}x\right)dx\right]
+\end{aligned}
 \]
-was für jedes $n$ wiederum eine Linearkombination aus orthogonalen Funktionen 
-ist. 
 
 Betrachten wir zuletzt die zweite Gleichung der Separation
 \eqref{eq:slp-example-fourier-separated-t}.
-- 
cgit v1.2.1


From fc17a8247db60871ce49b23f1bbbb9b5523d8473 Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: =?UTF-8?q?Erik=20L=C3=B6ffler?= <erik.loeffler@ost.ch>
Date: Thu, 11 Aug 2022 20:05:16 +0200
Subject: Corrected Coefficient names.

---
 .../sturmliouville/waermeleitung_beispiel.tex      | 104 ++++++++++-----------
 1 file changed, 52 insertions(+), 52 deletions(-)

(limited to 'buch/papers/sturmliouville/waermeleitung_beispiel.tex')

diff --git a/buch/papers/sturmliouville/waermeleitung_beispiel.tex b/buch/papers/sturmliouville/waermeleitung_beispiel.tex
index 58569e9..fb5f331 100644
--- a/buch/papers/sturmliouville/waermeleitung_beispiel.tex
+++ b/buch/papers/sturmliouville/waermeleitung_beispiel.tex
@@ -181,7 +181,7 @@ Die Lösungen für $X(x)$ sind also von der Form
 \[
     X(x)
     =
-    A \sin \left( \alpha x\right) + B \cos \left( \beta x\right).
+    A \cos \left( \alpha x\right) + B \sin \left( \beta x\right).
 \]
 
 Dieser Ansatz wird nun solange differenziert, bis alle in Gleichung 
@@ -191,41 +191,41 @@ Man erhält also
 \[
     X^{\prime}(x)
     =
-    \alpha A \cos \left( \alpha x \right) -
-    \beta B \sin \left( \beta x \right)
+    - \alpha A \sin \left( \alpha x \right) +
+    \beta B \cos \left( \beta x \right)
 \]
 und
 \[
     X^{\prime \prime}(x)
     =
-    -\alpha^{2} A \sin \left( \alpha x \right) -
-    \beta^{2} B \cos \left( \beta x \right).
+    -\alpha^{2} A \cos \left( \alpha x \right) -
+    \beta^{2} B \sin \left( \beta x \right).
 \]
 
 Eingesetzt in Gleichung \eqref{eq:slp-example-fourier-separated-x} ergibt dies
 \[
-    -\alpha^{2}A\sin(\alpha x) - \beta^{2}B\cos(\beta x) -
-    \mu\left(A\sin(\alpha x) + B\cos(\beta x)\right)
+    -\alpha^{2}A\cos(\alpha x) - \beta^{2}B\sin(\beta x) -
+    \mu\left(A\cos(\alpha x) + B\sin(\beta x)\right)
     =
     0
 \]
 und durch umformen somit
 \[
-    -\alpha^{2}A\sin(\alpha x) - \beta^{2}B\cos(\beta x)
+    -\alpha^{2}A\cos(\alpha x) - \beta^{2}B\sin(\beta x)
     =
-    \mu A\sin(\alpha x) + \mu B\cos(\beta x).
+    \mu A\cos(\alpha x) + \mu B\sin(\beta x).
 \]
 
 Mittels Koeffizientenvergleich von
 \[
 \begin{aligned}
-    -\alpha^{2}A\sin(\alpha x)
+    -\alpha^{2}A\cos(\alpha x)
     &=
-    \mu A\sin(\alpha x)
+    \mu A\cos(\alpha x)
     \\
-    -\beta^{2}B\cos(\beta x)
+    -\beta^{2}B\sin(\beta x)
     &=
-    \mu B\cos(\beta x)
+    \mu B\sin(\beta x)
 \end{aligned}
 \]
 ist schnell ersichtlich, dass $ \mu = -\alpha^{2} = -\beta^{2} $ gelten muss für
@@ -251,41 +251,41 @@ Dies fürht zu
 \[
     X(0)
     =
-    A \sin(0 \alpha) + B \cos(0 \beta)
+    A \cos(0 \alpha) + B \sin(0 \beta)
     =
     0.
 \]
-Da $\cos(0) \neq 0$ ist, muss in diesem Fall $B = 0$ gelten.
-Für den ersten Summanden ist wegen $\sin(0) = 0$ die Randbedingung erfüllt.
+Da $\cos(0) \neq 0$ ist, muss in diesem Fall $A = 0$ gelten.
+Für den zweiten Summanden ist wegen $\sin(0) = 0$ die Randbedingung erfüllt.
 
-Wird nun die zweite Randbedingung für $x = l$ mit $B = 0$ eingesetzt, ergibt
+Wird nun die zweite Randbedingung für $x = l$ mit $A = 0$ eingesetzt, ergibt
 sich
 \[
     X(l)
     =
-    A \sin(\alpha l) + 0 \cos(\beta l)
+    0 \cos(\alpha l) + B \sin(\beta l)
     =
-    A \sin(\alpha l)
+    B \sin(\beta l)
     = 0.
 \]
 
-$\alpha$ muss also so gewählt werden, dass $\sin(\alpha l) = 0$ gilt.
-Es bleibt noch nach $\alpha$ aufzulösen:
+$\beta$ muss also so gewählt werden, dass $\sin(\beta l) = 0$ gilt.
+Es bleibt noch nach $\beta$ aufzulösen:
 \[
 \begin{aligned}
-    \sin(\alpha l) &= 0 \\
-    \alpha l &= n \pi \qquad n \in \mathbb{N} \\
-    \alpha &= \frac{n \pi}{l} \qquad n \in \mathbb{N}
+    \sin(\beta l) &= 0 \\
+    \beta l &= n \pi \qquad n \in \mathbb{N} \\
+    \beta &= \frac{n \pi}{l} \qquad n \in \mathbb{N}
 \end{aligned}
 \]
 
-Es folgt nun wegen $\mu = -\alpha^{2}$, dass
+Es folgt nun wegen $\mu = -\beta^{2}$, dass
 \begin{equation}
-    \mu_1 = -\alpha^{2} = -\frac{n^{2}\pi^{2}}{l^{2}}
+    \mu_1 = -\beta^{2} = -\frac{n^{2}\pi^{2}}{l^{2}}
 \end{equation}
 sein muss.
-Ausserdem ist zu bemerken, dass dies auch gleich $-\beta^{2}$ ist.
-Da aber $B = 0$ gilt und der Summand mit $\beta$ verschwindet, ist dies keine
+Ausserdem ist zu bemerken, dass dies auch gleich $-\alpha^{2}$ ist.
+Da aber $A = 0$ gilt und der Summand mit $\alpha$ verschwindet, ist dies keine
 Verletzung der Randbedingungen.
 
 Durch alanoges Vorgehen kann nun auch das Problem mit isolierten Enden gelöst
@@ -296,18 +296,18 @@ ein, beginnend für $x = 0$. Es ergibt sich
 \[
     X^{\prime}(0)
     =
-    \alpha A \cos(0 \alpha) - \beta B \sin(0 \beta)
+    -\alpha A \sin(0 \alpha) + \beta B \cos(0 \beta)
     = 0.
 \]
-In diesem Fall muss $A = 0$ gelten.
+In diesem Fall muss $B = 0$ gelten.
 Zusammen mit der Bedignung für $x = l$
 folgt nun
 \[
     X^{\prime}(l)
     =
-    0 \alpha \cos(\alpha l) - \beta B \sin(\beta l)
+    - \alpha A \sin(\alpha l) + 0 \beta \cos(\beta l)
     =
-    -\beta B \sin(\beta l)
+    - \alpha A \sin(\alpha l)
     = 0.
 \]
 
@@ -316,14 +316,14 @@ Ausdruck den Randbedingungen entspricht.
 Es folgt nun
 \[
 \begin{aligned}
-    \sin(\beta l) &= 0 \\
-    \beta l &= n \pi \qquad n \in \mathbb{N} \\
-    \beta &= \frac{n \pi}{l} \qquad n \in \mathbb{N}
+    \sin(\alpha l) &= 0 \\
+    \alpha l &= n \pi \qquad n \in \mathbb{N} \\
+    \alpha &= \frac{n \pi}{l} \qquad n \in \mathbb{N}
 \end{aligned}
 \]
 und somit
 \[
-    \mu_2 = -\beta^{2} = -\frac{n^{2}\pi^{2}}{l^{2}}.
+    \mu_2 = -\alpha^{2} = -\frac{n^{2}\pi^{2}}{l^{2}}.
 \]
 
 Es ergibt sich also sowohl für einen Stab mit Enden auf konstanter Temperatur
@@ -348,9 +348,9 @@ Schreiben wir also die Lösung $X(x)$ um zu
     =
     a_0
     +
-    \sum_{n = 1}^{\infty} a_n\sin\left(\frac{n\pi}{l}x\right)
+    \sum_{n = 1}^{\infty} a_n\cos\left(\frac{n\pi}{l}x\right)
     +
-    \sum_{n = 1}^{\infty} b_n\cos\left(\frac{n\pi}{l}x\right).
+    \sum_{n = 1}^{\infty} b_n\sin\left(\frac{n\pi}{l}x\right).
 \]
 
 Um eine eindeutige Lösung für $ X(x) $ zu erhalten werden noch weitere
@@ -363,9 +363,9 @@ Es gilt also nun die Gleichung
     =
     a_0
     +
-    \sum_{n = 1}^{\infty} a_n\sin\left(\frac{n\pi}{l}x\right)
+    \sum_{n = 1}^{\infty} a_n\cos\left(\frac{n\pi}{l}x\right)
     +
-    \sum_{n = 1}^{\infty} b_n\cos\left(\frac{n\pi}{l}x\right)
+    \sum_{n = 1}^{\infty} b_n\sin\left(\frac{n\pi}{l}x\right)
 \end{equation}
 nach allen $a_n$ und $b_n$ aufzulösen.
 Da aber $a_n$ und $b_n$ jeweils als Faktor zu einer trigonometrischen Funktion
@@ -378,17 +378,17 @@ Skalarproduktes immernoch gelten muss und dass das Skalaprodukt mit einer
 Basisfunktion sämtliche Summanden auf der rechten Seite auslöscht.
 
 Zur Berechnung von $a_m$ mit $ m \in \mathbb{N} $ wird beidseitig das
-Skalarprodukt mit der Basisfunktion $ sin\left(\frac{m \pi}{l}x\right)$
+Skalarprodukt mit der Basisfunktion $ \cos\left(\frac{m \pi}{l}x\right)$
 gebildet:
 \[
-    \langle u(0, x), sin\left(\frac{m \pi}{l}x\right) \rangle
+    \langle u(0, x), \cos\left(\frac{m \pi}{l}x\right) \rangle
     =
     \langle a_0
     +
     \sum_{n = 1}^{\infty} a_n\sin\left(\frac{n\pi}{l}x\right)
     +
     \sum_{n = 1}^{\infty} b_n\cos\left(\frac{n\pi}{l}x\right),
-    sin\left(\frac{m \pi}{l}x\right)\rangle
+    \cos\left(\frac{m \pi}{l}x\right)\rangle
 \]
 
 Bevor diese Form in die Integralform umgeschrieben werden kann, muss überlegt
@@ -399,24 +399,24 @@ Um die
 
 \[
 \begin{aligned}
-    \int_{-l}^{l}\hat{u}(0, x)sin\left(\frac{m \pi}{l}x\right)dx
+    \int_{-l}^{l}\hat{u}(0, x)\cos\left(\frac{m \pi}{l}x\right)dx
     =&
     \int_{-l}^{l} \left[a_0
     +
-    \sum_{n = 1}^{\infty} a_n\sin\left(\frac{n\pi}{l}x\right)
+    \sum_{n = 1}^{\infty} a_n\cos\left(\frac{n\pi}{l}x\right)
     +
-    \sum_{n = 1}^{\infty} b_n\cos\left(\frac{n\pi}{l}x\right)\right]
-    sin\left(\frac{m \pi}{l}x\right) dx
+    \sum_{n = 1}^{\infty} b_n\sin\left(\frac{n\pi}{l}x\right)\right]
+    \cos\left(\frac{m \pi}{l}x\right) dx
     \\
     =&
-    a_0 \int_{-l}^{l}sin\left(\frac{m \pi}{l}x\right) dx
+    a_0 \int_{-l}^{l}cos\left(\frac{m \pi}{l}x\right) dx
     +
-    \sum_{n = 1}^{\infty}\left[a_n\int_{-l}^{l}\sin\left(\frac{n\pi}{l}x\right)
-        sin\left(\frac{m \pi}{l}x\right)dx\right]
+    \sum_{n = 1}^{\infty}\left[a_n\int_{-l}^{l}\cos\left(\frac{n\pi}{l}x\right)
+        \cos\left(\frac{m \pi}{l}x\right)dx\right]
     \\
     &+
-    \sum_{n = 1}^{\infty}\left[b_n\int_{-l}^{l} \cos\left(\frac{n\pi}{l}x\right)
-        sin\left(\frac{m \pi}{l}x\right)dx\right]
+    \sum_{n = 1}^{\infty}\left[b_n\int_{-l}^{l} \sin\left(\frac{n\pi}{l}x\right)
+        \cos\left(\frac{m \pi}{l}x\right)dx\right]
 \end{aligned}
 \]
 
-- 
cgit v1.2.1


From 37861bde4183d5134147df65dc06236d6878b36b Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: =?UTF-8?q?Erik=20L=C3=B6ffler?= <erik.loeffler@ost.ch>
Date: Thu, 11 Aug 2022 21:19:44 +0200
Subject: Added periodically continued function u-hat.

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 .../sturmliouville/waermeleitung_beispiel.tex      | 23 +++++++++++++++++-----
 1 file changed, 18 insertions(+), 5 deletions(-)

(limited to 'buch/papers/sturmliouville/waermeleitung_beispiel.tex')

diff --git a/buch/papers/sturmliouville/waermeleitung_beispiel.tex b/buch/papers/sturmliouville/waermeleitung_beispiel.tex
index fb5f331..fa96eff 100644
--- a/buch/papers/sturmliouville/waermeleitung_beispiel.tex
+++ b/buch/papers/sturmliouville/waermeleitung_beispiel.tex
@@ -385,9 +385,9 @@ gebildet:
     =
     \langle a_0
     +
-    \sum_{n = 1}^{\infty} a_n\sin\left(\frac{n\pi}{l}x\right)
+    \sum_{n = 1}^{\infty} a_n\cos\left(\frac{n\pi}{l}x\right)
     +
-    \sum_{n = 1}^{\infty} b_n\cos\left(\frac{n\pi}{l}x\right),
+    \sum_{n = 1}^{\infty} b_n\sin\left(\frac{n\pi}{l}x\right),
     \cos\left(\frac{m \pi}{l}x\right)\rangle
 \]
 
@@ -395,8 +395,21 @@ Bevor diese Form in die Integralform umgeschrieben werden kann, muss überlegt
 sein, welche Integralgrenzen zu verwenden sind.
 In diesem Fall haben die $ \sin $ und $ \cos $ Terme beispielsweise keine ganze
 Periode im Intervall $ x \in [0, l] $ für ungerade $ n $ und $ m $.
-Um die 
-
+Um die skalarprodukte aber korrekt zu berechnen, muss über die ganze Periode
+integriert werden.
+Dazu werden die Integralgrenzen $-l$ und $l$ verwendet und es wird ausserdem
+eine neue Funktion
+\[
+    \hat{u}(0, x)
+    =
+    \begin{cases}
+        u(0, x + l) & -l \leq x < 0
+        \\
+        u(0, x) & 0 \leq x \leq l
+    \end{cases}
+\]
+angenomen, welche $u(0, x)$ auf dem Intervall $[-l, l]$ periodisch fortsetzt.
+Es kann nun das Skalarodukt geschrieben werden als
 \[
 \begin{aligned}
     \int_{-l}^{l}\hat{u}(0, x)\cos\left(\frac{m \pi}{l}x\right)dx
@@ -416,7 +429,7 @@ Um die
     \\
     &+
     \sum_{n = 1}^{\infty}\left[b_n\int_{-l}^{l} \sin\left(\frac{n\pi}{l}x\right)
-        \cos\left(\frac{m \pi}{l}x\right)dx\right]
+        \cos\left(\frac{m \pi}{l}x\right)dx\right].
 \end{aligned}
 \]
 
-- 
cgit v1.2.1


From 6887191ba574292b6a9009867c0e16e66831ca17 Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: =?UTF-8?q?Erik=20L=C3=B6ffler?= <erik.loeffler@ost.ch>
Date: Thu, 11 Aug 2022 22:01:25 +0200
Subject: Added titles to specific solutions.

---
 buch/papers/sturmliouville/waermeleitung_beispiel.tex | 13 ++++++-------
 1 file changed, 6 insertions(+), 7 deletions(-)

(limited to 'buch/papers/sturmliouville/waermeleitung_beispiel.tex')

diff --git a/buch/papers/sturmliouville/waermeleitung_beispiel.tex b/buch/papers/sturmliouville/waermeleitung_beispiel.tex
index fa96eff..1bfdaef 100644
--- a/buch/papers/sturmliouville/waermeleitung_beispiel.tex
+++ b/buch/papers/sturmliouville/waermeleitung_beispiel.tex
@@ -409,7 +409,7 @@ eine neue Funktion
     \end{cases}
 \]
 angenomen, welche $u(0, x)$ auf dem Intervall $[-l, l]$ periodisch fortsetzt.
-Es kann nun das Skalarodukt geschrieben werden als
+Das Skalarodukt kann nun geschrieben werden als
 \[
 \begin{aligned}
     \int_{-l}^{l}\hat{u}(0, x)\cos\left(\frac{m \pi}{l}x\right)dx
@@ -428,7 +428,7 @@ Es kann nun das Skalarodukt geschrieben werden als
         \cos\left(\frac{m \pi}{l}x\right)dx\right]
     \\
     &+
-    \sum_{n = 1}^{\infty}\left[b_n\int_{-l}^{l} \sin\left(\frac{n\pi}{l}x\right)
+    \sum_{n = 1}^{\infty}\left[b_n\int_{-l}^{l}\sin\left(\frac{n\pi}{l}x\right)
         \cos\left(\frac{m \pi}{l}x\right)dx\right].
 \end{aligned}
 \]
@@ -457,22 +457,21 @@ Und mit dem Resultat \eqref{eq:slp-example-fourier-mu-solution}
 \]
 ergibt.
 
-% TODO: Rechenweg
-TODO: Rechenweg... Enden auf konstanter Temperatur:
+\subsubsection{Lösung für einen Stab mit Enden auf konstanter Temperatur}
 \[
 \begin{aligned}
     u(t,x)
     &=
-    \sum_{n=1}^{\infty}a_{n}e^{-\frac{n^{2}\pi^{2}\kappa}{l^{2}}t}
+    \sum_{n=1}^{\infty}b_{n}e^{-\frac{n^{2}\pi^{2}\kappa}{l^{2}}t}
     \sin\left(\frac{n\pi}{l}x\right)
     \\
-    a_{n}
+    b_{n}
     &=
     \frac{2}{l}\int_{0}^{l}u(0,x)sin\left(\frac{n\pi}{l}x\right) dx
 \end{aligned}
 \]
 
-TODO: Rechenweg... Enden isoliert:
+\subsubsection{Lösung für einen Stab mit isolierten Enden}
 \[
 \begin{aligned}
     u(t,x)
-- 
cgit v1.2.1


From 964db187eaf5512601a04c6326094d6a1975d941 Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: =?UTF-8?q?Erik=20L=C3=B6ffler?= <erik.loeffler@ost.ch>
Date: Thu, 11 Aug 2022 22:11:59 +0200
Subject: Rewrote everything in passive form.

---
 .../sturmliouville/waermeleitung_beispiel.tex      | 25 ++++++++++++----------
 1 file changed, 14 insertions(+), 11 deletions(-)

(limited to 'buch/papers/sturmliouville/waermeleitung_beispiel.tex')

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index 1bfdaef..868f241 100644
--- a/buch/papers/sturmliouville/waermeleitung_beispiel.tex
+++ b/buch/papers/sturmliouville/waermeleitung_beispiel.tex
@@ -6,8 +6,8 @@
 
 \subsection{Wärmeleitung in einem Homogenen Stab}
 
-In diesem Abschnitt betrachten wir das Problem der Wärmeleitung in einem
-homogenen Stab und wie das Sturm-Liouville-Problem bei der Beschreibung dieses
+In diesem Abschnitt wird das Problem der Wärmeleitung in einem homogenen Stab
+betrachtet und wie das Sturm-Liouville-Problem bei der Beschreibung dieses
 physikalischen Phänomenes auftritt.
 
 Zunächst wird ein eindimensionaler homogener Stab der Länge $l$ und
@@ -141,8 +141,9 @@ erfüllt sein und es muss ausserdem
 \end{equation}
 gelten.
 
-Um zu verifizieren, ob die Randbedingungen erfüllt sind, benötigen wir zunächst
-$p(x)$.
+Um zu verifizieren, ob die Randbedingungen erfüllt sind, wird zunächst
+$p(x)$
+benötigt.
 Dazu wird die Gleichung \eqref{eq:slp-example-fourier-separated-x} mit der
 Sturm-Liouville-Form \eqref{eq:sturm-liouville-equation} verglichen, was zu
 $p(x) = 1$ führt.
@@ -169,7 +170,7 @@ Analog dazu kann gezeit werden, dass die Randbedingungen für einen Stab mit
 isolierten Enden ebenfalls die Sturm-Liouville-Randbedingungen erfüllen und
 somit auch zu orthogonalen Lösungen führen.
 
-Widmen wir uns zunächst der ersten Gleichung.
+Als erstes wird auf die erste erste Gleichung eingegangen.
 Aufgrund der Struktur der Gleichung
 \[
     X^{\prime \prime}(x) - \mu X(x)
@@ -290,7 +291,7 @@ Verletzung der Randbedingungen.
 
 Durch alanoges Vorgehen kann nun auch das Problem mit isolierten Enden gelöst
 werden.
-Setzen wir nun die Randbedingungen
+Setzt man nun die Randbedingungen
 \eqref{eq:slp-example-fourier-boundary-condition-ends-isolated} in $X^{\prime}$
 ein, beginnend für $x = 0$. Es ergibt sich
 \[
@@ -342,7 +343,7 @@ Zunächst ist wegen vorhergehender Rechnung ersichtlich, dass es sich bei
 $A$ und $B$ nicht um einzelne Koeffizienten handelt.
 Stattdessen können die Koeffizienten für jedes $n \in \mathbb{N}$
 unterschiedlich sein.
-Schreiben wir also die Lösung $X(x)$ um zu
+Die Lösung $X(x)$ wird nun umgeschrieben zu
 \[
     X(x)
     =
@@ -433,14 +434,16 @@ Das Skalarodukt kann nun geschrieben werden als
 \end{aligned}
 \]
 
-Betrachten wir zuletzt die zweite Gleichung der Separation
-\eqref{eq:slp-example-fourier-separated-t}.
-Diese Lösen wir über das charakteristische Polynom
+Zuletzt wird die zweite Gleichung der Separation
+\eqref{eq:slp-example-fourier-separated-t} betrachtet.
+Diese wird über das charakteristische Polynom
 \[
     \lambda - \kappa \mu
     =
-    0.
+    0
 \]
+gelöst.
+
 Es ist direkt ersichtlich, dass $\lambda = \kappa \mu$ gelten muss, was zur
 Lösung
 \[
-- 
cgit v1.2.1


From ff04ad95214c0ecdf8343fa8cd0aaa74dda45715 Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: =?UTF-8?q?Erik=20L=C3=B6ffler?= <erik.loeffler@ost.ch>
Date: Fri, 12 Aug 2022 14:22:03 +0200
Subject: Corrected error with continuation of u hat.

---
 .../sturmliouville/waermeleitung_beispiel.tex      | 52 +++++++++++++++++-----
 1 file changed, 40 insertions(+), 12 deletions(-)

(limited to 'buch/papers/sturmliouville/waermeleitung_beispiel.tex')

diff --git a/buch/papers/sturmliouville/waermeleitung_beispiel.tex b/buch/papers/sturmliouville/waermeleitung_beispiel.tex
index 868f241..cfa7386 100644
--- a/buch/papers/sturmliouville/waermeleitung_beispiel.tex
+++ b/buch/papers/sturmliouville/waermeleitung_beispiel.tex
@@ -381,7 +381,8 @@ Basisfunktion sämtliche Summanden auf der rechten Seite auslöscht.
 Zur Berechnung von $a_m$ mit $ m \in \mathbb{N} $ wird beidseitig das
 Skalarprodukt mit der Basisfunktion $ \cos\left(\frac{m \pi}{l}x\right)$
 gebildet:
-\[
+\begin{equation}
+    \label{eq:slp-dot-product-cosine}
     \langle u(0, x), \cos\left(\frac{m \pi}{l}x\right) \rangle
     =
     \langle a_0
@@ -390,30 +391,56 @@ gebildet:
     +
     \sum_{n = 1}^{\infty} b_n\sin\left(\frac{n\pi}{l}x\right),
     \cos\left(\frac{m \pi}{l}x\right)\rangle
-\]
+\end{equation}
 
 Bevor diese Form in die Integralform umgeschrieben werden kann, muss überlegt
 sein, welche Integralgrenzen zu verwenden sind.
 In diesem Fall haben die $ \sin $ und $ \cos $ Terme beispielsweise keine ganze
 Periode im Intervall $ x \in [0, l] $ für ungerade $ n $ und $ m $.
-Um die skalarprodukte aber korrekt zu berechnen, muss über die ganze Periode
-integriert werden.
-Dazu werden die Integralgrenzen $-l$ und $l$ verwendet und es wird ausserdem
-eine neue Funktion
+Um die Skalarprodukte aber korrekt zu berechnen, muss über ein ganzzahliges
+Vielfaches der Periode der triginimetrischen Funktionen integriert werden.
+Dazu werden die Integralgrenzen $-l$ und $l$ verwendet und es werden ausserdem
+neue Funktionen $ \hat{u}_c(0, x) $ für die Berechnung mit Cosinus und
+$ \hat{u}_s(0, x) $ für die Berechnung mit Sinus angenomen, welche $ u(0, t) $
+gerade, respektive ungerade auf $[-l, l]$ fortsetzen:
 \[
-    \hat{u}(0, x)
-    =
+\begin{aligned}
+    \hat{u}_c(0, x)
+    &=
     \begin{cases}
-        u(0, x + l) & -l \leq x < 0
+        u(0, -x) & -l \leq x < 0
         \\
         u(0, x) & 0 \leq x \leq l
     \end{cases}
+    \\
+    \hat{u}_s(0, x)
+    &=
+    \begin{cases}
+        -u(0, -x) & -l \leq x < 0
+        \\
+        u(0, x) & 0 \leq x \leq l
+    \end{cases}.
+\end{aligned}
 \]
-angenomen, welche $u(0, x)$ auf dem Intervall $[-l, l]$ periodisch fortsetzt.
-Das Skalarodukt kann nun geschrieben werden als
+
+Die Konsequenz davon ist, dass nun das Resultat der Integrale um den Faktor zwei
+skalliert wurde, also gilt nun
+\[
+\begin{aligned}
+    \int_{-l}^{l}\hat{u}_c(0, x)\cos\left(\frac{m \pi}{l}x\right)dx
+    &=
+    2\int_{0}^{l}u(0, x)\cos\left(\frac{m \pi}{l}x\right)dx
+    \\
+    \int_{-l}^{l}\hat{u}_s(0, x)\sin\left(\frac{m \pi}{l}x\right)dx
+    &=
+    2\int_{0}^{l}u(0, x)\sin\left(\frac{m \pi}{l}x\right)dx.
+\end{aligned}
+\]
+
+Zunächst wird nun das Skalaprodukt \eqref{eq:slp-dot-product-cosine} berechnet:
 \[
 \begin{aligned}
-    \int_{-l}^{l}\hat{u}(0, x)\cos\left(\frac{m \pi}{l}x\right)dx
+    \int_{-l}^{l}\hat{u}_c(0, x)\cos\left(\frac{m \pi}{l}x\right)dx
     =&
     \int_{-l}^{l} \left[a_0
     +
@@ -422,6 +449,7 @@ Das Skalarodukt kann nun geschrieben werden als
     \sum_{n = 1}^{\infty} b_n\sin\left(\frac{n\pi}{l}x\right)\right]
     \cos\left(\frac{m \pi}{l}x\right) dx
     \\
+    2\int_{0}^{l}u(0, x)\cos\left(\frac{m \pi}{l}x\right)dx
     =&
     a_0 \int_{-l}^{l}cos\left(\frac{m \pi}{l}x\right) dx
     +
-- 
cgit v1.2.1


From d9c6ead18aae68a14ce72b893d9c671156a1d6b3 Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: =?UTF-8?q?Erik=20L=C3=B6ffler?= <erik.loeffler@ost.ch>
Date: Fri, 12 Aug 2022 18:03:55 +0200
Subject: Full calculation for a_m explained.

---
 .../sturmliouville/waermeleitung_beispiel.tex      | 58 ++++++++++++++++++++++
 1 file changed, 58 insertions(+)

(limited to 'buch/papers/sturmliouville/waermeleitung_beispiel.tex')

diff --git a/buch/papers/sturmliouville/waermeleitung_beispiel.tex b/buch/papers/sturmliouville/waermeleitung_beispiel.tex
index cfa7386..5c246f2 100644
--- a/buch/papers/sturmliouville/waermeleitung_beispiel.tex
+++ b/buch/papers/sturmliouville/waermeleitung_beispiel.tex
@@ -462,6 +462,64 @@ Zunächst wird nun das Skalaprodukt \eqref{eq:slp-dot-product-cosine} berechnet:
 \end{aligned}
 \]
 
+Betrachtet man nun die Summanden auf der rechten Seite stellt man fest, dass
+nahezu alle Terme verschinden, denn
+\[
+    \int_{-l}^{l}cos\left(\frac{m \pi}{l}x\right) dx
+    =
+    0
+\]
+da hier über ein ganzzahliges Vielfaches der Periode integriert wird,
+\[
+    \int_{-l}^{l}\cos\left(\frac{n\pi}{l}x\right)
+    \cos\left(\frac{m \pi}{l}x\right)dx
+    =
+    0
+\]
+für $m\neq n$, da Cosinus-Funktionen mit verschiedenen Kreisfrequenzen
+orthogonal zueinander stehen und
+\[
+    \int_{-l}^{l}\sin\left(\frac{n\pi}{l}x\right)
+        \cos\left(\frac{m \pi}{l}x\right)dx
+    =
+    0
+\]
+da Sinus- und Cosinus-Funktionen ebenfalls orthogonal zueinander sin.
+
+Es bleibt also lediglich der Summand für $a_m$ stehen, was die Gleichung zu
+\[
+    2\int_{0}^{l}u(0, x)\cos\left(\frac{m \pi}{l}x\right)dx
+    =
+    a_m\int_{-l}^{l}\cos^2\left(\frac{m\pi}{l}x\right)dx
+\]
+vereinfacht. Im nächsten Schritt wird nun das Integral auf der rechten Seite
+berechnet und dann nach $a_m$ aufgelöst. Am einnfachsten geht dies, wenn zuerst
+mit $u = \frac{m \pi}{l}x$ substituiert wird:
+\[
+    \begin{aligned}
+    2\int_{0}^{l}u(0, x)\cos\left(\frac{m \pi}{l}x\right)dx
+    &=
+    a_m\frac{l}{m\pi}\int_{-m\pi}^{m\pi}\cos^2\left(u\right)du
+    \\
+    &=
+    a_m\frac{l}{m\pi}\left[\frac{u}{2} + 
+    \frac{\sin\left(2u\right)}{4}\right]_{u=-m\pi}^{m\pi}
+    \\
+    &=
+    a_m\frac{l}{m\pi}\left(\frac{m\pi}{2} + 
+    \underbrace{\frac{\sin\left(2m\pi\right)}{4}}_{\displaystyle = 0} - 
+    \frac{-m\pi}{2} -
+    \underbrace{\frac{\sin\left(-2m\pi\right)}{4}}_{\displaystyle = 0}\right)
+    \\
+    &=
+    a_m l
+    \\
+    a_m
+    &=
+    \frac{2}{l} \int_{0}^{l}u(0, x)\cos\left(\frac{m \pi}{l}x\right)dx
+    \end{aligned}
+\]
+
 Zuletzt wird die zweite Gleichung der Separation
 \eqref{eq:slp-example-fourier-separated-t} betrachtet.
 Diese wird über das charakteristische Polynom
-- 
cgit v1.2.1


From b1f2ce6c7f7b277558e7fd18cedae9a0a06aefde Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: =?UTF-8?q?Erik=20L=C3=B6ffler?= <erik.loeffler@ost.ch>
Date: Sat, 13 Aug 2022 12:33:04 +0200
Subject: Finished first draft of fourier example.

---
 .../sturmliouville/waermeleitung_beispiel.tex      | 74 +++++++++++++++++++++-
 1 file changed, 73 insertions(+), 1 deletion(-)

(limited to 'buch/papers/sturmliouville/waermeleitung_beispiel.tex')

diff --git a/buch/papers/sturmliouville/waermeleitung_beispiel.tex b/buch/papers/sturmliouville/waermeleitung_beispiel.tex
index 5c246f2..5bd5ce2 100644
--- a/buch/papers/sturmliouville/waermeleitung_beispiel.tex
+++ b/buch/papers/sturmliouville/waermeleitung_beispiel.tex
@@ -170,6 +170,7 @@ Analog dazu kann gezeit werden, dass die Randbedingungen für einen Stab mit
 isolierten Enden ebenfalls die Sturm-Liouville-Randbedingungen erfüllen und
 somit auch zu orthogonalen Lösungen führen.
 
+\subsubsection{Lösund der Differentialgleichung in x}
 Als erstes wird auf die erste erste Gleichung eingegangen.
 Aufgrund der Struktur der Gleichung
 \[
@@ -463,7 +464,7 @@ Zunächst wird nun das Skalaprodukt \eqref{eq:slp-dot-product-cosine} berechnet:
 \]
 
 Betrachtet man nun die Summanden auf der rechten Seite stellt man fest, dass
-nahezu alle Terme verschinden, denn
+nahezu alle Terme verschwinden, denn
 \[
     \int_{-l}^{l}cos\left(\frac{m \pi}{l}x\right) dx
     =
@@ -520,6 +521,74 @@ mit $u = \frac{m \pi}{l}x$ substituiert wird:
     \end{aligned}
 \]
 
+Analog dazu kann durch das Bilden des Skalarproduktes mit 
+$ \sin\left(\frac{m \pi}{l}x\right) $ gezeigt werden, dass
+\[
+    b_m
+    =
+    \frac{2}{l} \int_{0}^{l}u(0, x)\sin\left(\frac{m \pi}{l}x\right)dx
+\]
+gilt.
+
+Etwas anders ist es allerdings bei $a_0$.
+Wie der Name bereits suggeriert, handelt es sich hierbei um den Koeffizienten
+zur Basisfunktion $ \cos\left(\frac{0 \pi}{l}x\right) $ beziehungsweise der
+konstanten Funktion $1$.
+Um einen Ausdruck für $ a_0 $ zu erhalten, wird wiederum auf beiden Seiten
+der Gleichung \eqref{eq:slp-example-fourier-initial-conditions} das
+Skalarprodukt mit der konstanten Basisfunktion $ 1 $ gebildet:
+\[
+\begin{aligned}
+    \int_{-l}^{l}\hat{u}_c(0, x)dx
+    &=
+    \int_{-l}^{l} a_0
+    +
+    \sum_{n = 1}^{\infty} a_n\cos\left(\frac{n\pi}{l}x\right)
+    +
+    \sum_{n = 1}^{\infty} b_n\sin\left(\frac{n\pi}{l}x\right)dx
+    \\
+    2\int_{0}^{l}u(0, x)dx
+    &=
+    a_0 \int_{-l}^{l}dx
+    +
+    \sum_{n = 1}^{\infty}\left[a_n\int_{-l}^{l}\cos\left(\frac{n\pi}{l}x\right)
+        dx\right] +
+    \sum_{n = 1}^{\infty}\left[b_n\int_{-l}^{l}\sin\left(\frac{n\pi}{l}x\right)
+        dx\right].
+\end{aligned}
+\]
+
+Hier fallen nun alle Terme, die $\sin$ oder $\cos$ beinhalten weg, da jeweils
+über ein Vielfaches der Periode integriert wird.
+Es bleibt also noch
+\[
+    2\int_{0}^{l}u(0, x)dx
+    =
+    a_0 \int_{-l}^{l}dx
+\]
+, was sich wie folgt nach $a_0$ auflösen lässt:
+\[
+\begin{aligned}
+    2\int_{0}^{l}u(0, x)dx
+    &=
+    a_0 \int_{-l}^{l}dx
+    \\
+    &=
+    a_0 \left[x\right]_{x=-l}^{l}
+    \\
+    &=
+    a_0(l - (-l))
+    \\
+    &=
+    a_0 \cdot 2l
+    \\
+    a_0
+    &=
+    \frac{1}{l} \int_{0}^{l}u(0, x)dx
+\end{aligned}
+\]
+
+\subsubsection{Lösund der Differentialgleichung in t}
 Zuletzt wird die zweite Gleichung der Separation
 \eqref{eq:slp-example-fourier-separated-t} betrachtet.
 Diese wird über das charakteristische Polynom
@@ -546,6 +615,9 @@ Und mit dem Resultat \eqref{eq:slp-example-fourier-mu-solution}
 \]
 ergibt.
 
+Dieses Resultat kann nun mit allen vorhergehenden Resultaten zudammengesetzt
+werden um die vollständige Lösung für das Stab-Problem zu erhalten.
+
 \subsubsection{Lösung für einen Stab mit Enden auf konstanter Temperatur}
 \[
 \begin{aligned}
-- 
cgit v1.2.1


From 1b634d9be2a8536dbc55b3ac3b60efda6a5a16c8 Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: =?UTF-8?q?Erik=20L=C3=B6ffler?= <erik.loeffler@ost.ch>
Date: Mon, 15 Aug 2022 09:46:33 +0200
Subject: Corrected some errors.

---
 .../sturmliouville/waermeleitung_beispiel.tex      | 45 +++++++++++-----------
 1 file changed, 23 insertions(+), 22 deletions(-)

(limited to 'buch/papers/sturmliouville/waermeleitung_beispiel.tex')

diff --git a/buch/papers/sturmliouville/waermeleitung_beispiel.tex b/buch/papers/sturmliouville/waermeleitung_beispiel.tex
index 5bd5ce2..5d178c2 100644
--- a/buch/papers/sturmliouville/waermeleitung_beispiel.tex
+++ b/buch/papers/sturmliouville/waermeleitung_beispiel.tex
@@ -11,8 +11,8 @@ betrachtet und wie das Sturm-Liouville-Problem bei der Beschreibung dieses
 physikalischen Phänomenes auftritt.
 
 Zunächst wird ein eindimensionaler homogener Stab der Länge $l$ und
-Wärmeleitkoeffizient $\kappa$.
-Somit ergibt sich für das Wärmeleitungsproblem
+Wärmeleitkoeffizient $\kappa$ betrachtet.
+Es ergibt sich für das Wärmeleitungsproblem
 die partielle Differentialgleichung
 \begin{equation}
     \label{eq:slp-example-fourier-heat-equation}
@@ -26,13 +26,14 @@ Stab beschreibt, werden zusätzliche Bedingungen benötigt, um beispielsweise
 die Lösung für einen Stab zu finden, bei dem die Enden auf konstanter 
 Tempreatur gehalten werden.
 
-%%%%%%%%%%%%% Randbedingungen für Stab mit konstanten Endtemperaturen %%%%%%%%%
-
-\subsubsection{Stab mit Enden auf konstanter Temperatur}
+%
+% Randbedingungen für Stab mit konstanten Endtemperaturen
+%
+\subsubsection{Randbedingungen für Stab mit Enden auf konstanter Temperatur}
 
 Die Enden des Stabes auf konstanter Temperatur zu halten bedeutet, dass die
 Lösungsfunktion $u(t,x)$ bei $x = 0$ und $x = l$ nur die vorgegebene
-Temperatur zurückgeben darf.
+Temperatur zurückgeben darf. Diese wird einfachheitshalber als $0$ angenomen.
 Es folgen nun
 \begin{equation}
     \label{eq:slp-example-fourier-boundary-condition-ends-constant}
@@ -44,12 +45,14 @@ Es folgen nun
 \end{equation}
 als Randbedingungen.
 
-%%%%%%%%%%%%% Randbedingungen für Stab mit isolierten Enden %%%%%%%%%%%%%%%%%%%
+%
+% Randbedingungen für Stab mit isolierten Enden
+%
 
-\subsubsection{Stab mit isolierten Enden}
+\subsubsection{Randbedingungen für Stab mit isolierten Enden}
 
 Bei isolierten Enden des Stabes können belibige Temperaturen für $x = 0$ und
-$x = l$ auftreten. In diesem Fall nicht erlaubt ist es, dass Wärme vom Stab
+$x = l$ auftreten. In diesem Fall ist es nicht erlaubt, dass Wärme vom Stab
 an die Umgebung oder von der Umgebung an den Stab abgegeben wird.
 
 Aus der Physik ist bekannt, dass Wärme immer von der höheren zur tieferen
@@ -72,9 +75,6 @@ als Randbedingungen.
 
 \subsubsection{Lösung der Differenzialgleichung}
 
-% TODO: Referenz Separationsmethode
-% TODO: Formeln sauber in Text einbinden.
-
 Da die Lösungsfunktion von zwei Variablen abhängig ist, wird als Lösungsansatz
 die Separationsmethode verwendet.
 Dazu wird 
@@ -83,7 +83,8 @@ Dazu wird
     =
     T(t)X(x)
 \]
-in die ursprüngliche Differenzialgleichung eingesetzt.
+in die partielle Differenzialgleichung 
+\eqref{eq:slp-example-fourier-heat-equation} eingesetzt.
 Daraus ergibt sich 
 \[
     T^{\prime}(t)X(x)
@@ -95,13 +96,13 @@ als neue Form.
 Nun können alle von $t$ abhängigen Ausdrücke auf die linke Seite, sowie alle
 von $x$ abhängigen Ausdrücke auf die rechte Seite gebracht werden und mittels
 der neuen Variablen $\mu$ gekoppelt werden:
-\begin{equation}
+\[
     \frac{T^{\prime}(t)}{\kappa T(t)}
     =
     \frac{X^{\prime \prime}(x)}{X(x)}
     =
     \mu
-\end{equation}
+\]
 Durch die Einführung von $\mu$ kann das Problem nun in zwei separate
 Differenzialgleichungen aufgeteilt werden:
 \begin{equation}
@@ -123,12 +124,14 @@ Erfüllen die Randbedingungen des Stab-Problems auch die Randbedingungen des
 Sturm-Liouville-Problems, kann bereits die Aussage getroffen werden, dass alle
 Lösungen für die Gleichung in $x$ orthogonal sein werden.
 
+Da die Bedingungen des Stab-Problem nur Anforderungen an $x$ stellen, können
+diese direkt für $X(x)$ übernomen werden. Es gilt also $X(0) = X(l) = 0$.
 Damit die Lösungen von $X$ orthogonal sind, müssen also die Gleichungen
 \begin{equation}
 \begin{aligned}
 	\label{eq:slp-example-fourier-randbedingungen}
-	k_a y(a) + h_a p(a) y'(a) &= 0 \\
-	k_b y(b) + h_b p(b) y'(b) &= 0
+	k_a X(a) + h_a p(a) X'(a) &= 0 \\
+	k_b X(b) + h_b p(b) X'(b) &= 0
 \end{aligned}
 \end{equation}
 erfüllt sein und es muss ausserdem
@@ -237,8 +240,6 @@ bestimmen.
 Dazu werden nochmals die Randbedingungen
 \eqref{eq:slp-example-fourier-boundary-condition-ends-constant} und
 \eqref{eq:slp-example-fourier-boundary-condition-ends-isolated} benötigt.
-Zu bemerken ist, dass die Randbedingungen nur Anforderungen in $x$ stellen und
-somit direkt für $X(x)$ übernomen werden können.
 
 Da die Koeffizienten $A$ und $B$, sowie die Parameter $\alpha$ uns $\beta$ im
 allgemeninen ungleich $0$ sind, müssen die Randbedingungen durch die
@@ -282,9 +283,9 @@ Es bleibt noch nach $\beta$ aufzulösen:
 \]
 
 Es folgt nun wegen $\mu = -\beta^{2}$, dass
-\begin{equation}
+\[
     \mu_1 = -\beta^{2} = -\frac{n^{2}\pi^{2}}{l^{2}}
-\end{equation}
+\]
 sein muss.
 Ausserdem ist zu bemerken, dass dies auch gleich $-\alpha^{2}$ ist.
 Da aber $A = 0$ gilt und der Summand mit $\alpha$ verschwindet, ist dies keine
@@ -485,7 +486,7 @@ orthogonal zueinander stehen und
     =
     0
 \]
-da Sinus- und Cosinus-Funktionen ebenfalls orthogonal zueinander sin.
+da Sinus- und Cosinus-Funktionen ebenfalls orthogonal zueinander sind.
 
 Es bleibt also lediglich der Summand für $a_m$ stehen, was die Gleichung zu
 \[
-- 
cgit v1.2.1


From d80f928a8c5248d4fb92d04ed81cdaeec61bc10a Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: =?UTF-8?q?Erik=20L=C3=B6ffler?= <erik.loeffler@ost.ch>
Date: Mon, 15 Aug 2022 09:51:21 +0200
Subject: Added comments to source.

---
 .../papers/sturmliouville/waermeleitung_beispiel.tex | 20 ++++++++++++++++++--
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--- a/buch/papers/sturmliouville/waermeleitung_beispiel.tex
+++ b/buch/papers/sturmliouville/waermeleitung_beispiel.tex
@@ -71,7 +71,9 @@ Somit folgen
 \end{equation}
 als Randbedingungen.
 
-%%%%%%%%%%% Lösung der Differenzialgleichung %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
+%
+% Lösung der Differenzialgleichung mittels Separation
+%
 
 \subsubsection{Lösung der Differenzialgleichung}
 
@@ -118,6 +120,10 @@ Differenzialgleichungen aufgeteilt werden:
     0
 \end{equation}
 
+%
+% Überprüfung Orthogonalität der Lösungen
+%
+
 Es ist an dieser Stelle zu bemerken, dass die Gleichung in $x$ in 
 Sturm-Liouville-Form ist.
 Erfüllen die Randbedingungen des Stab-Problems auch die Randbedingungen des
@@ -173,6 +179,10 @@ Analog dazu kann gezeit werden, dass die Randbedingungen für einen Stab mit
 isolierten Enden ebenfalls die Sturm-Liouville-Randbedingungen erfüllen und
 somit auch zu orthogonalen Lösungen führen.
 
+%
+%   Lösung von X(x), Teil mu
+%
+
 \subsubsection{Lösund der Differentialgleichung in x}
 Als erstes wird auf die erste erste Gleichung eingegangen.
 Aufgrund der Struktur der Gleichung
@@ -338,7 +348,9 @@ wie auch mit isolierten Enden
     -\frac{n^{2}\pi^{2}}{l^{2}}.
 \end{equation}
 
-%%%% Koeffizienten a_n und b_n mittels skalarprodukt. %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
+%
+% Lösung von X(x), Teil: Koeffizienten a_n und b_n mittels skalarprodukt.
+%
 
 Bisher wurde über die Koeffizienten $A$ und $B$ noch nicht viel ausgesagt.
 Zunächst ist wegen vorhergehender Rechnung ersichtlich, dass es sich bei
@@ -589,6 +601,10 @@ Es bleibt also noch
 \end{aligned}
 \]
 
+%
+% Lösung von T(t)
+%
+
 \subsubsection{Lösund der Differentialgleichung in t}
 Zuletzt wird die zweite Gleichung der Separation
 \eqref{eq:slp-example-fourier-separated-t} betrachtet.
-- 
cgit v1.2.1


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From: =?UTF-8?q?Erik=20L=C3=B6ffler?= <erik.loeffler@ost.ch>
Date: Mon, 15 Aug 2022 10:03:42 +0200
Subject: Updated upstrem.

---
 buch/papers/sturmliouville/waermeleitung_beispiel.tex | 2 +-
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index 14c0d9a..b466d15 100644
--- a/buch/papers/sturmliouville/waermeleitung_beispiel.tex
+++ b/buch/papers/sturmliouville/waermeleitung_beispiel.tex
@@ -602,7 +602,7 @@ Es bleibt also noch
 \]
 
 %
-% Lösung von T(t)
+% Lösung von T(t) 
 %
 
 \subsubsection{Lösund der Differentialgleichung in t}
-- 
cgit v1.2.1


From 53cc7f1baf28448cb6196ba6ddf305e1b1403e7d Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: =?UTF-8?q?Erik=20L=C3=B6ffler?= <erik.loeffler@ost.ch>
Date: Mon, 15 Aug 2022 15:45:11 +0200
Subject: Changed reference to conform with convetion.

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diff --git a/buch/papers/sturmliouville/waermeleitung_beispiel.tex b/buch/papers/sturmliouville/waermeleitung_beispiel.tex
index b466d15..b22d5f5 100644
--- a/buch/papers/sturmliouville/waermeleitung_beispiel.tex
+++ b/buch/papers/sturmliouville/waermeleitung_beispiel.tex
@@ -15,7 +15,7 @@ Wärmeleitkoeffizient $\kappa$ betrachtet.
 Es ergibt sich für das Wärmeleitungsproblem
 die partielle Differentialgleichung
 \begin{equation}
-    \label{eq:slp-example-fourier-heat-equation}
+    \label{sturmliouville:eq:example-fourier-heat-equation}
     \frac{\partial u}{\partial t} =
     \kappa \frac{\partial^{2}u}{{\partial x}^{2}}
 \end{equation}
@@ -36,7 +36,7 @@ Lösungsfunktion $u(t,x)$ bei $x = 0$ und $x = l$ nur die vorgegebene
 Temperatur zurückgeben darf. Diese wird einfachheitshalber als $0$ angenomen.
 Es folgen nun
 \begin{equation}
-    \label{eq:slp-example-fourier-boundary-condition-ends-constant}
+    \label{sturmliouville:eq:example-fourier-boundary-condition-ends-constant}
     u(t,0)
     =
     u(t,l)
@@ -62,7 +62,7 @@ dass die partiellen Ableitungen von $u(t,x)$ nach $x$ bei $x = 0$ und $x = l$
 verschwinden.
 Somit folgen
 \begin{equation}
-    \label{eq:slp-example-fourier-boundary-condition-ends-isolated}
+    \label{sturmliouville:eq:example-fourier-boundary-condition-ends-isolated}
     \frac{\partial}{\partial x} u(t, 0)
     =
     \frac{\partial}{\partial x} u(t, l)
@@ -85,8 +85,9 @@ Dazu wird
     =
     T(t)X(x)
 \]
-in die partielle Differenzialgleichung 
-\eqref{eq:slp-example-fourier-heat-equation} eingesetzt.
+in die partielle 
+Differenzialgleichung~\eqref{sturmliouville:eq:example-fourier-heat-equation}
+eingesetzt.
 Daraus ergibt sich 
 \[
     T^{\prime}(t)X(x)
@@ -108,13 +109,13 @@ der neuen Variablen $\mu$ gekoppelt werden:
 Durch die Einführung von $\mu$ kann das Problem nun in zwei separate
 Differenzialgleichungen aufgeteilt werden:
 \begin{equation}
-    \label{eq:slp-example-fourier-separated-x}
+    \label{sturmliouville:eq:example-fourier-separated-x}
     X^{\prime \prime}(x) - \mu X(x)
     =
     0
 \end{equation}
 \begin{equation}
-    \label{eq:slp-example-fourier-separated-t}
+    \label{sturmliouville:eq:example-fourier-separated-t}
     T^{\prime}(t) - \kappa \mu T(t)
     =
     0
@@ -135,7 +136,7 @@ diese direkt für $X(x)$ übernomen werden. Es gilt also $X(0) = X(l) = 0$.
 Damit die Lösungen von $X$ orthogonal sind, müssen also die Gleichungen
 \begin{equation}
 \begin{aligned}
-	\label{eq:slp-example-fourier-randbedingungen}
+	\label{sturmliouville:eq:example-fourier-randbedingungen}
 	k_a X(a) + h_a p(a) X'(a) &= 0 \\
 	k_b X(b) + h_b p(b) X'(b) &= 0
 \end{aligned}
@@ -143,7 +144,7 @@ Damit die Lösungen von $X$ orthogonal sind, müssen also die Gleichungen
 erfüllt sein und es muss ausserdem
 \begin{equation}
 \begin{aligned}
-    \label{eq:slp-example-fourier-coefficient-constraints}
+    \label{sturmliouville:eq:example-fourier-coefficient-constraints}
     |k_a|^2 + |h_a|^2 &\neq 0\\
     |k_b|^2 + |h_b|^2 &\neq 0\\
 \end{aligned}
@@ -153,13 +154,15 @@ gelten.
 Um zu verifizieren, ob die Randbedingungen erfüllt sind, wird zunächst
 $p(x)$
 benötigt.
-Dazu wird die Gleichung \eqref{eq:slp-example-fourier-separated-x} mit der
-Sturm-Liouville-Form \eqref{eq:sturm-liouville-equation} verglichen, was zu
+Dazu wird die Gleichung~\eqref{sturmliouville:eq:example-fourier-separated-x}
+mit der
+Sturm-Liouville-Form~\eqref{eq:sturm-liouville-equation} verglichen, was zu
 $p(x) = 1$ führt.
 
-Werden nun $p(x)$ und die Randbedingungen
-\eqref{eq:slp-example-fourier-boundary-condition-ends-constant} in
-\eqref{eq:slp-example-fourier-randbedingungen} eigesetzt, erhält man
+Werden nun $p(x)$ und die 
+Randbedingungen~\eqref{sturmliouville:eq:example-fourier-boundary-condition-ends-constant}
+in \eqref{sturmliouville:eq:example-fourier-randbedingungen} eigesetzt, erhält
+man
 \[
 \begin{aligned}
 	k_a y(0) + h_a y'(0) &= h_a y'(0) = 0 \\
@@ -167,10 +170,10 @@ Werden nun $p(x)$ und die Randbedingungen
 \end{aligned}
 \]
 Damit die Gleichungen erfüllt sind, müssen $h_a = 0$ und $h_b = 0$ sein.
-Zusätzlich müssen aber die Bedingungen 
-\eqref{eq:slp-example-fourier-coefficient-constraints} erfüllt sein und
-da $y(0) = 0$ und $y(l) = 0$ sind, können belibige $k_a \neq 0$ und $k_b \neq 0$
-gewählt werden.
+Zusätzlich müssen aber die 
+Bedingungen~\eqref{sturmliouville:eq:example-fourier-coefficient-constraints}
+erfüllt sein und da $y(0) = 0$ und $y(l) = 0$ sind, können belibige $k_a \neq 0$
+und $k_b \neq 0$ gewählt werden.
 
 Somit ist gezeigt, dass die Randbedingungen des Stab-Problems für Enden auf
 konstanter Temperatur auch die Sturm-Liouville-Randbedingungen erfüllen und
@@ -199,9 +202,9 @@ Die Lösungen für $X(x)$ sind also von der Form
     A \cos \left( \alpha x\right) + B \sin \left( \beta x\right).
 \]
 
-Dieser Ansatz wird nun solange differenziert, bis alle in Gleichung 
-\eqref{eq:slp-example-fourier-separated-x} enthaltenen Ableitungen vorhanden
-sind.
+Dieser Ansatz wird nun solange differenziert, bis alle in
+Gleichung~\eqref{sturmliouville:eq:example-fourier-separated-x} enthaltenen
+Ableitungen vorhanden sind.
 Man erhält also
 \[
     X^{\prime}(x)
@@ -217,7 +220,8 @@ und
     \beta^{2} B \sin \left( \beta x \right).
 \]
 
-Eingesetzt in Gleichung \eqref{eq:slp-example-fourier-separated-x} ergibt dies
+Eingesetzt in Gleichung~\eqref{sturmliouville:eq:example-fourier-separated-x}
+ergibt dies
 \[
     -\alpha^{2}A\cos(\alpha x) - \beta^{2}B\sin(\beta x) -
     \mu\left(A\cos(\alpha x) + B\sin(\beta x)\right)
@@ -247,18 +251,19 @@ ist schnell ersichtlich, dass $ \mu = -\alpha^{2} = -\beta^{2} $ gelten muss fü
 $ A \neq 0 $ oder $ B \neq 0 $.
 Zur Berechnung von $ \mu $ bleiben also noch  $ \alpha $ und $ \beta $ zu
 bestimmen.
-Dazu werden nochmals die Randbedingungen
-\eqref{eq:slp-example-fourier-boundary-condition-ends-constant} und
-\eqref{eq:slp-example-fourier-boundary-condition-ends-isolated} benötigt.
+Dazu werden nochmals die
+Randbedingungen~\eqref{sturmliouville:eq:example-fourier-boundary-condition-ends-constant} 
+und \eqref{sturmliouville:eq:example-fourier-boundary-condition-ends-isolated}
+benötigt.
 
 Da die Koeffizienten $A$ und $B$, sowie die Parameter $\alpha$ uns $\beta$ im
 allgemeninen ungleich $0$ sind, müssen die Randbedingungen durch die
 trigonometrischen Funktionen erfüllt werden.
 
-Es werden nun die Randbedingungen
-\eqref{eq:slp-example-fourier-boundary-condition-ends-constant} für einen Stab
-mit Enden auf konstanter Temperatur in die Gleichung 
-\eqref{eq:slp-example-fourier-separated-x} eingesetzt.
+Es werden nun die 
+Randbedingungen~\eqref{sturmliouville:eq:example-fourier-boundary-condition-ends-constant}
+für einen Stab mit Enden auf konstanter Temperatur in die
+Gleichung~\eqref{sturmliouville:eq:example-fourier-separated-x} eingesetzt.
 Betrachten wir zunächst die Bedingung für $x = 0$.
 Dies fürht zu
 \[
@@ -303,9 +308,9 @@ Verletzung der Randbedingungen.
 
 Durch alanoges Vorgehen kann nun auch das Problem mit isolierten Enden gelöst
 werden.
-Setzt man nun die Randbedingungen
-\eqref{eq:slp-example-fourier-boundary-condition-ends-isolated} in $X^{\prime}$
-ein, beginnend für $x = 0$. Es ergibt sich
+Setzt man nun die 
+Randbedingungen~\eqref{sturmliouville:eq:example-fourier-boundary-condition-ends-isolated}
+in $X^{\prime}$ ein, beginnend für $x = 0$. Es ergibt sich
 \[
     X^{\prime}(0)
     =
@@ -324,7 +329,7 @@ folgt nun
     = 0.
 \]
 
-Wiedrum muss über die $ \sin $-Funktion sicher gestellt werden, dass der
+Wiedrum muss über die $\sin$-Funktion sicher gestellt werden, dass der
 Ausdruck den Randbedingungen entspricht.
 Es folgt nun
 \[
@@ -342,7 +347,7 @@ und somit
 Es ergibt sich also sowohl für einen Stab mit Enden auf konstanter Temperatur
 wie auch mit isolierten Enden
 \begin{equation}
-    \label{eq:slp-example-fourier-mu-solution}
+    \label{sturmliouville:eq:example-fourier-mu-solution}
     \mu
     =
     -\frac{n^{2}\pi^{2}}{l^{2}}.
@@ -368,12 +373,12 @@ Die Lösung $X(x)$ wird nun umgeschrieben zu
     \sum_{n = 1}^{\infty} b_n\sin\left(\frac{n\pi}{l}x\right).
 \]
 
-Um eine eindeutige Lösung für $ X(x) $ zu erhalten werden noch weitere
+Um eine eindeutige Lösung für $X(x)$ zu erhalten werden noch weitere
 Bedingungen benötigt.
 Diese sind die Startbedingungen oder $u(0, x) = X(x)$ für $t = 0$.
 Es gilt also nun die Gleichung
 \begin{equation}
-    \label{eq:slp-example-fourier-initial-conditions}
+    \label{sturmliouville:eq:example-fourier-initial-conditions}
     u(0, x)
     =
     a_0
@@ -388,7 +393,7 @@ gehört, von der wir wissen, dass sie orthogonal zu allen anderen
 trigonometrischen Funktionen der Lösung ist, kann direkt das Skalarprodukt
 verwendet werden um die Koeffizienten $a_n$ und $b_n$ zu bestimmen.
 Es wird also die Tatsache ausgenutzt, dass die Gleichheit in
-\eqref{eq:slp-example-fourier-initial-conditions} nach Anwendung des
+\eqref{sturmliouville:eq:example-fourier-initial-conditions} nach Anwendung des
 Skalarproduktes immernoch gelten muss und dass das Skalaprodukt mit einer
 Basisfunktion sämtliche Summanden auf der rechten Seite auslöscht.
 
@@ -396,7 +401,7 @@ Zur Berechnung von $a_m$ mit $ m \in \mathbb{N} $ wird beidseitig das
 Skalarprodukt mit der Basisfunktion $ \cos\left(\frac{m \pi}{l}x\right)$
 gebildet:
 \begin{equation}
-    \label{eq:slp-dot-product-cosine}
+    \label{sturmliouville:eq:dot-product-cosine}
     \langle u(0, x), \cos\left(\frac{m \pi}{l}x\right) \rangle
     =
     \langle a_0
@@ -409,13 +414,13 @@ gebildet:
 
 Bevor diese Form in die Integralform umgeschrieben werden kann, muss überlegt
 sein, welche Integralgrenzen zu verwenden sind.
-In diesem Fall haben die $ \sin $ und $ \cos $ Terme beispielsweise keine ganze
-Periode im Intervall $ x \in [0, l] $ für ungerade $ n $ und $ m $.
+In diesem Fall haben die $\sin$ und $\cos$ Terme beispielsweise keine ganze
+Periode im Intervall $x \in [0, l]$ für ungerade $n$ und $m$.
 Um die Skalarprodukte aber korrekt zu berechnen, muss über ein ganzzahliges
 Vielfaches der Periode der triginimetrischen Funktionen integriert werden.
 Dazu werden die Integralgrenzen $-l$ und $l$ verwendet und es werden ausserdem
-neue Funktionen $ \hat{u}_c(0, x) $ für die Berechnung mit Cosinus und
-$ \hat{u}_s(0, x) $ für die Berechnung mit Sinus angenomen, welche $ u(0, t) $
+neue Funktionen $\hat{u}_c(0, x)$ für die Berechnung mit Cosinus und
+$\hat{u}_s(0, x)$ für die Berechnung mit Sinus angenomen, welche $u(0, t)$
 gerade, respektive ungerade auf $[-l, l]$ fortsetzen:
 \[
 \begin{aligned}
@@ -451,7 +456,8 @@ skalliert wurde, also gilt nun
 \end{aligned}
 \]
 
-Zunächst wird nun das Skalaprodukt \eqref{eq:slp-dot-product-cosine} berechnet:
+Zunächst wird nun das Skalaprodukt~\eqref{sturmliouville:eq:dot-product-cosine}
+berechnet:
 \[
 \begin{aligned}
     \int_{-l}^{l}\hat{u}_c(0, x)\cos\left(\frac{m \pi}{l}x\right)dx
@@ -545,11 +551,11 @@ gilt.
 
 Etwas anders ist es allerdings bei $a_0$.
 Wie der Name bereits suggeriert, handelt es sich hierbei um den Koeffizienten
-zur Basisfunktion $ \cos\left(\frac{0 \pi}{l}x\right) $ beziehungsweise der
+zur Basisfunktion $\cos\left(\frac{0 \pi}{l}x\right)$ beziehungsweise der
 konstanten Funktion $1$.
-Um einen Ausdruck für $ a_0 $ zu erhalten, wird wiederum auf beiden Seiten
-der Gleichung \eqref{eq:slp-example-fourier-initial-conditions} das
-Skalarprodukt mit der konstanten Basisfunktion $ 1 $ gebildet:
+Um einen Ausdruck für $a_0$ zu erhalten, wird wiederum auf beiden Seiten
+der Gleichung~\eqref{sturmliouville:eq:example-fourier-initial-conditions} das
+Skalarprodukt mit der konstanten Basisfunktion $1$ gebildet:
 \[
 \begin{aligned}
     \int_{-l}^{l}\hat{u}_c(0, x)dx
@@ -606,8 +612,8 @@ Es bleibt also noch
 %
 
 \subsubsection{Lösund der Differentialgleichung in t}
-Zuletzt wird die zweite Gleichung der Separation
-\eqref{eq:slp-example-fourier-separated-t} betrachtet.
+Zuletzt wird die zweite Gleichung der 
+Separation~\eqref{sturmliouville:eq:example-fourier-separated-t} betrachtet.
 Diese wird über das charakteristische Polynom
 \[
     \lambda - \kappa \mu
@@ -623,8 +629,7 @@ Lösung
     =
     e^{-\kappa \mu t}
 \]
-führt.
-Und mit dem Resultat \eqref{eq:slp-example-fourier-mu-solution}
+führt und mit dem Resultat~\eqref{sturmliouville:eq:example-fourier-mu-solution}
 \[
     T(t)
     =
-- 
cgit v1.2.1

