From fc17a8247db60871ce49b23f1bbbb9b5523d8473 Mon Sep 17 00:00:00 2001
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Date: Thu, 11 Aug 2022 20:05:16 +0200
Subject: Corrected Coefficient names.

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 .../sturmliouville/waermeleitung_beispiel.tex      | 104 ++++++++++-----------
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@@ -181,7 +181,7 @@ Die Lösungen für $X(x)$ sind also von der Form
 \[
     X(x)
     =
-    A \sin \left( \alpha x\right) + B \cos \left( \beta x\right).
+    A \cos \left( \alpha x\right) + B \sin \left( \beta x\right).
 \]
 
 Dieser Ansatz wird nun solange differenziert, bis alle in Gleichung 
@@ -191,41 +191,41 @@ Man erhält also
 \[
     X^{\prime}(x)
     =
-    \alpha A \cos \left( \alpha x \right) -
-    \beta B \sin \left( \beta x \right)
+    - \alpha A \sin \left( \alpha x \right) +
+    \beta B \cos \left( \beta x \right)
 \]
 und
 \[
     X^{\prime \prime}(x)
     =
-    -\alpha^{2} A \sin \left( \alpha x \right) -
-    \beta^{2} B \cos \left( \beta x \right).
+    -\alpha^{2} A \cos \left( \alpha x \right) -
+    \beta^{2} B \sin \left( \beta x \right).
 \]
 
 Eingesetzt in Gleichung \eqref{eq:slp-example-fourier-separated-x} ergibt dies
 \[
-    -\alpha^{2}A\sin(\alpha x) - \beta^{2}B\cos(\beta x) -
-    \mu\left(A\sin(\alpha x) + B\cos(\beta x)\right)
+    -\alpha^{2}A\cos(\alpha x) - \beta^{2}B\sin(\beta x) -
+    \mu\left(A\cos(\alpha x) + B\sin(\beta x)\right)
     =
     0
 \]
 und durch umformen somit
 \[
-    -\alpha^{2}A\sin(\alpha x) - \beta^{2}B\cos(\beta x)
+    -\alpha^{2}A\cos(\alpha x) - \beta^{2}B\sin(\beta x)
     =
-    \mu A\sin(\alpha x) + \mu B\cos(\beta x).
+    \mu A\cos(\alpha x) + \mu B\sin(\beta x).
 \]
 
 Mittels Koeffizientenvergleich von
 \[
 \begin{aligned}
-    -\alpha^{2}A\sin(\alpha x)
+    -\alpha^{2}A\cos(\alpha x)
     &=
-    \mu A\sin(\alpha x)
+    \mu A\cos(\alpha x)
     \\
-    -\beta^{2}B\cos(\beta x)
+    -\beta^{2}B\sin(\beta x)
     &=
-    \mu B\cos(\beta x)
+    \mu B\sin(\beta x)
 \end{aligned}
 \]
 ist schnell ersichtlich, dass $ \mu = -\alpha^{2} = -\beta^{2} $ gelten muss für
@@ -251,41 +251,41 @@ Dies fürht zu
 \[
     X(0)
     =
-    A \sin(0 \alpha) + B \cos(0 \beta)
+    A \cos(0 \alpha) + B \sin(0 \beta)
     =
     0.
 \]
-Da $\cos(0) \neq 0$ ist, muss in diesem Fall $B = 0$ gelten.
-Für den ersten Summanden ist wegen $\sin(0) = 0$ die Randbedingung erfüllt.
+Da $\cos(0) \neq 0$ ist, muss in diesem Fall $A = 0$ gelten.
+Für den zweiten Summanden ist wegen $\sin(0) = 0$ die Randbedingung erfüllt.
 
-Wird nun die zweite Randbedingung für $x = l$ mit $B = 0$ eingesetzt, ergibt
+Wird nun die zweite Randbedingung für $x = l$ mit $A = 0$ eingesetzt, ergibt
 sich
 \[
     X(l)
     =
-    A \sin(\alpha l) + 0 \cos(\beta l)
+    0 \cos(\alpha l) + B \sin(\beta l)
     =
-    A \sin(\alpha l)
+    B \sin(\beta l)
     = 0.
 \]
 
-$\alpha$ muss also so gewählt werden, dass $\sin(\alpha l) = 0$ gilt.
-Es bleibt noch nach $\alpha$ aufzulösen:
+$\beta$ muss also so gewählt werden, dass $\sin(\beta l) = 0$ gilt.
+Es bleibt noch nach $\beta$ aufzulösen:
 \[
 \begin{aligned}
-    \sin(\alpha l) &= 0 \\
-    \alpha l &= n \pi \qquad n \in \mathbb{N} \\
-    \alpha &= \frac{n \pi}{l} \qquad n \in \mathbb{N}
+    \sin(\beta l) &= 0 \\
+    \beta l &= n \pi \qquad n \in \mathbb{N} \\
+    \beta &= \frac{n \pi}{l} \qquad n \in \mathbb{N}
 \end{aligned}
 \]
 
-Es folgt nun wegen $\mu = -\alpha^{2}$, dass
+Es folgt nun wegen $\mu = -\beta^{2}$, dass
 \begin{equation}
-    \mu_1 = -\alpha^{2} = -\frac{n^{2}\pi^{2}}{l^{2}}
+    \mu_1 = -\beta^{2} = -\frac{n^{2}\pi^{2}}{l^{2}}
 \end{equation}
 sein muss.
-Ausserdem ist zu bemerken, dass dies auch gleich $-\beta^{2}$ ist.
-Da aber $B = 0$ gilt und der Summand mit $\beta$ verschwindet, ist dies keine
+Ausserdem ist zu bemerken, dass dies auch gleich $-\alpha^{2}$ ist.
+Da aber $A = 0$ gilt und der Summand mit $\alpha$ verschwindet, ist dies keine
 Verletzung der Randbedingungen.
 
 Durch alanoges Vorgehen kann nun auch das Problem mit isolierten Enden gelöst
@@ -296,18 +296,18 @@ ein, beginnend für $x = 0$. Es ergibt sich
 \[
     X^{\prime}(0)
     =
-    \alpha A \cos(0 \alpha) - \beta B \sin(0 \beta)
+    -\alpha A \sin(0 \alpha) + \beta B \cos(0 \beta)
     = 0.
 \]
-In diesem Fall muss $A = 0$ gelten.
+In diesem Fall muss $B = 0$ gelten.
 Zusammen mit der Bedignung für $x = l$
 folgt nun
 \[
     X^{\prime}(l)
     =
-    0 \alpha \cos(\alpha l) - \beta B \sin(\beta l)
+    - \alpha A \sin(\alpha l) + 0 \beta \cos(\beta l)
     =
-    -\beta B \sin(\beta l)
+    - \alpha A \sin(\alpha l)
     = 0.
 \]
 
@@ -316,14 +316,14 @@ Ausdruck den Randbedingungen entspricht.
 Es folgt nun
 \[
 \begin{aligned}
-    \sin(\beta l) &= 0 \\
-    \beta l &= n \pi \qquad n \in \mathbb{N} \\
-    \beta &= \frac{n \pi}{l} \qquad n \in \mathbb{N}
+    \sin(\alpha l) &= 0 \\
+    \alpha l &= n \pi \qquad n \in \mathbb{N} \\
+    \alpha &= \frac{n \pi}{l} \qquad n \in \mathbb{N}
 \end{aligned}
 \]
 und somit
 \[
-    \mu_2 = -\beta^{2} = -\frac{n^{2}\pi^{2}}{l^{2}}.
+    \mu_2 = -\alpha^{2} = -\frac{n^{2}\pi^{2}}{l^{2}}.
 \]
 
 Es ergibt sich also sowohl für einen Stab mit Enden auf konstanter Temperatur
@@ -348,9 +348,9 @@ Schreiben wir also die Lösung $X(x)$ um zu
     =
     a_0
     +
-    \sum_{n = 1}^{\infty} a_n\sin\left(\frac{n\pi}{l}x\right)
+    \sum_{n = 1}^{\infty} a_n\cos\left(\frac{n\pi}{l}x\right)
     +
-    \sum_{n = 1}^{\infty} b_n\cos\left(\frac{n\pi}{l}x\right).
+    \sum_{n = 1}^{\infty} b_n\sin\left(\frac{n\pi}{l}x\right).
 \]
 
 Um eine eindeutige Lösung für $ X(x) $ zu erhalten werden noch weitere
@@ -363,9 +363,9 @@ Es gilt also nun die Gleichung
     =
     a_0
     +
-    \sum_{n = 1}^{\infty} a_n\sin\left(\frac{n\pi}{l}x\right)
+    \sum_{n = 1}^{\infty} a_n\cos\left(\frac{n\pi}{l}x\right)
     +
-    \sum_{n = 1}^{\infty} b_n\cos\left(\frac{n\pi}{l}x\right)
+    \sum_{n = 1}^{\infty} b_n\sin\left(\frac{n\pi}{l}x\right)
 \end{equation}
 nach allen $a_n$ und $b_n$ aufzulösen.
 Da aber $a_n$ und $b_n$ jeweils als Faktor zu einer trigonometrischen Funktion
@@ -378,17 +378,17 @@ Skalarproduktes immernoch gelten muss und dass das Skalaprodukt mit einer
 Basisfunktion sämtliche Summanden auf der rechten Seite auslöscht.
 
 Zur Berechnung von $a_m$ mit $ m \in \mathbb{N} $ wird beidseitig das
-Skalarprodukt mit der Basisfunktion $ sin\left(\frac{m \pi}{l}x\right)$
+Skalarprodukt mit der Basisfunktion $ \cos\left(\frac{m \pi}{l}x\right)$
 gebildet:
 \[
-    \langle u(0, x), sin\left(\frac{m \pi}{l}x\right) \rangle
+    \langle u(0, x), \cos\left(\frac{m \pi}{l}x\right) \rangle
     =
     \langle a_0
     +
     \sum_{n = 1}^{\infty} a_n\sin\left(\frac{n\pi}{l}x\right)
     +
     \sum_{n = 1}^{\infty} b_n\cos\left(\frac{n\pi}{l}x\right),
-    sin\left(\frac{m \pi}{l}x\right)\rangle
+    \cos\left(\frac{m \pi}{l}x\right)\rangle
 \]
 
 Bevor diese Form in die Integralform umgeschrieben werden kann, muss überlegt
@@ -399,24 +399,24 @@ Um die
 
 \[
 \begin{aligned}
-    \int_{-l}^{l}\hat{u}(0, x)sin\left(\frac{m \pi}{l}x\right)dx
+    \int_{-l}^{l}\hat{u}(0, x)\cos\left(\frac{m \pi}{l}x\right)dx
     =&
     \int_{-l}^{l} \left[a_0
     +
-    \sum_{n = 1}^{\infty} a_n\sin\left(\frac{n\pi}{l}x\right)
+    \sum_{n = 1}^{\infty} a_n\cos\left(\frac{n\pi}{l}x\right)
     +
-    \sum_{n = 1}^{\infty} b_n\cos\left(\frac{n\pi}{l}x\right)\right]
-    sin\left(\frac{m \pi}{l}x\right) dx
+    \sum_{n = 1}^{\infty} b_n\sin\left(\frac{n\pi}{l}x\right)\right]
+    \cos\left(\frac{m \pi}{l}x\right) dx
     \\
     =&
-    a_0 \int_{-l}^{l}sin\left(\frac{m \pi}{l}x\right) dx
+    a_0 \int_{-l}^{l}cos\left(\frac{m \pi}{l}x\right) dx
     +
-    \sum_{n = 1}^{\infty}\left[a_n\int_{-l}^{l}\sin\left(\frac{n\pi}{l}x\right)
-        sin\left(\frac{m \pi}{l}x\right)dx\right]
+    \sum_{n = 1}^{\infty}\left[a_n\int_{-l}^{l}\cos\left(\frac{n\pi}{l}x\right)
+        \cos\left(\frac{m \pi}{l}x\right)dx\right]
     \\
     &+
-    \sum_{n = 1}^{\infty}\left[b_n\int_{-l}^{l} \cos\left(\frac{n\pi}{l}x\right)
-        sin\left(\frac{m \pi}{l}x\right)dx\right]
+    \sum_{n = 1}^{\infty}\left[b_n\int_{-l}^{l} \sin\left(\frac{n\pi}{l}x\right)
+        \cos\left(\frac{m \pi}{l}x\right)dx\right]
 \end{aligned}
 \]
 
-- 
cgit v1.2.1

