From a1a9823fa9396d39d77b11d0c77b62df09a3bac8 Mon Sep 17 00:00:00 2001
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 <100943759+erik-loeffler@users.noreply.github.com>
Date: Thu, 25 Aug 2022 21:38:04 +0200
Subject: Some corrections in intro and chebyshev example.

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 buch/papers/sturmliouville/einleitung.tex          | 26 +++++++---------------
 .../sturmliouville/tschebyscheff_beispiel.tex      | 13 ++++++-----
 2 files changed, 15 insertions(+), 24 deletions(-)

(limited to 'buch/papers/sturmliouville')

diff --git a/buch/papers/sturmliouville/einleitung.tex b/buch/papers/sturmliouville/einleitung.tex
index b2d01f0..2299c3c 100644
--- a/buch/papers/sturmliouville/einleitung.tex
+++ b/buch/papers/sturmliouville/einleitung.tex
@@ -5,16 +5,6 @@
 % (c) 2020 Prof Dr Andreas Müller, Hochschule Rapperswil
 %
 
-% TODO:
-% order:
-%   1. State goal of showing examples in intro
-%   2. Show Sturm-Liouville form
-%   3. Explain boundary conditions as necessary in regards to examples
-%      (make singular property brief)
-%
-% Remove Eigenvaluedecomposition -> is discussed in properties of solutions
-% Check for readability 
-
 \section{Was ist das Sturm-Liouville-Problem\label{sturmliouville:section:teil0}}
 \rhead{Was ist das Sturm-Liouville-Problem}
 Das Sturm-Liouville-Problem wurde benannt nach dem schweizerisch-französischen
@@ -22,10 +12,9 @@ Mathematiker und Physiker Jacques Charles Fran\c{c}ois Sturm und dem
 französischen Mathematiker Joseph Liouville.
 Gemeinsam haben sie in der mathematischen Physik die Sturm-Liouville-Theorie
 entwickelt.
-Dieses gilt für die Lösung von gewöhnlichen Differentialgleichungen oder
-partielle Differentialgleichung.
-Wenn es sich um eine partielle
-Differentialgleichung handelt, kann man sie mittels Separation in
+Diese gilt für die Lösung von gewöhnlichen Differentialgleichungen.
+Handelt es sich um eine partielle
+Differentialgleichung, kann man sie mittels Separation in
 mehrere gewöhnliche Differentialgleichungen umwandeln.
 
 \begin{definition}
@@ -42,8 +31,9 @@ als
 	=
 	0 
 \end{equation}
-geschrieben werden kann, dann wird die Gleichung \eqref{sturmliouville:eq:sturm-liouville-equation} als Sturm-Liouville-Gleichung
-bezeichnet.
+geschrieben werden kann, dann wird die
+Gleichung~\eqref{sturmliouville:eq:sturm-liouville-equation} als 
+Sturm-Liouville-Gleichung bezeichnet.
 \end{definition}
 Alle homogenen linearen gewöhnlichen Differentialgleichungen 2. Ordnung können
 in die Form der Gleichung \eqref{sturmliouville:eq:sturm-liouville-equation} 
@@ -102,8 +92,8 @@ Bedingungen beachtet werden.
 		$|k_i|^2 + |h_i|^2\ne 0$ mit $i=a,b$.
 	\end{itemize}
 \end{definition}
-Wird eine oder mehrere dieser Bedingungen nicht erfüllt, so handelt es sich um ein singuläres
-Sturm-Liouville-Problem.
+Wird eine oder mehrere dieser Bedingungen nicht erfüllt, so handelt es sich um
+ein singuläres Sturm-Liouville-Problem.
 
 \begin{beispiel}
 	Das Randwertproblem
diff --git a/buch/papers/sturmliouville/tschebyscheff_beispiel.tex b/buch/papers/sturmliouville/tschebyscheff_beispiel.tex
index 5ede99d..5fb3a0c 100644
--- a/buch/papers/sturmliouville/tschebyscheff_beispiel.tex
+++ b/buch/papers/sturmliouville/tschebyscheff_beispiel.tex
@@ -9,9 +9,10 @@
 \label{sturmliouville:sub:tschebyscheff-polynome}}
 \rhead{Tschebyscheff-Polynome}
 In diesem Unterkapitel wird anhand der
-Tschebyscheff-Differentialgleichung~\eqref{buch:potenzen:tschebyscheff:dgl} gezeigt, dass die Tschebyscheff-Polynome orthogonal zueinander sind.
+Tschebyscheff-Differentialgleichung~\eqref{buch:potenzen:tschebyscheff:dgl}
+gezeigt, dass die Tschebyscheff-Polynome orthogonal zueinander sind.
 Zu diesem Zweck werden die Koeffizientenfunktionen nochmals dargestellt, so dass
-überprüft werden kann, ob die Randbedingungen erfüllt werden können.
+überprüft werden kann, ob die Randbedingungen erfüllt werden.
 Sobald feststeht, ob das Problem regulär oder singulär ist, zeigt eine
 kleine Rechnung, dass die Lösungen orthogonal sind.
 
@@ -43,7 +44,7 @@ erhält man
 \begin{equation}
 	\begin{aligned}
 		k_a y(-1) + h_a p(-1) y'(-1) &= 0\\
-		k_b y(1) + h_b p(1) y'(-1) &= 0.
+		k_b y(1) + h_b p(1) y'(1) &= 0.
 	\end{aligned} 
 \end{equation}
 Die Funktion $y(x)$ und $y'(x)$ sind in diesem Fall die Tschebyscheff Polynome
@@ -62,7 +63,7 @@ damit die Bedingung $|k_i|^2 + |h_i|^2\ne 0$ erfüllt ist, beliebige
 $h_a \ne 0$ und $h_b \ne 0$ gewählt werden.
 Es wurde somit gezeigt, dass die Sturm-Liouville-Randbedingungen erfüllt sind.
 
-\subsubsection*{Handelt es sich um ein reguläres oder Singuläres Problem?}
+\subsubsection*{Handelt es sich um ein reguläres oder singuläres Problem?}
 Für das reguläre Problem muss laut der
 Definition~\ref{sturmliouville:def:reguläres_sturm-liouville-problem} die funktion
 $p(x) = \sqrt{1-x^2}$, $p'(x) = -2x$, $q(x) = 0$ und
@@ -92,8 +93,8 @@ Da auch die Randbedingungen erfüllt sind, handelt es sich um ein reguläres Stu
 	\[
 		\int_{a}^{b} w(x) y_m y_n = 0.
 	\]
-	Eigesetzt ergibt dies $y_m(x) = T_1(x)$ und $y_n(x) = T_2(x)$, sowie $a=-1$ und $b = 1$
-	ergibt
+	mit $y_m(x) = T_1(x)$ und $y_n(x) = T_2(x)$, sowie $a=-1$ und $b = 1$.
+	Eigesetzt ergibt dies
 	\[
 	\begin{aligned}
 	\int_{-1}^{1} \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} x (2x^2-1) dx &=
-- 
cgit v1.2.1