From b974a188da38b2ce84423718df982561630f8448 Mon Sep 17 00:00:00 2001
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 <100943759+erik-loeffler@users.noreply.github.com>
Date: Fri, 26 Aug 2022 14:27:04 +0200
Subject: Reordered small section in fourier example to make more sense.

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 .../sturmliouville/waermeleitung_beispiel.tex      | 62 ++++++++++++----------
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index c01a164..f346fa2 100644
--- a/buch/papers/sturmliouville/waermeleitung_beispiel.tex
+++ b/buch/papers/sturmliouville/waermeleitung_beispiel.tex
@@ -131,14 +131,33 @@ Differenzialgleichungen aufgeteilt werden:
 \end{equation}
 
 %
-% Überprüfung Orthogonalität der Lösungen
+% Überprüfung SLP, dann Orthogonalität der Lösungen
 %
 
-Es ist an dieser Stelle zu bemerken, dass die Gleichung in $x$ in 
-Sturm-Liouville-Form ist.
-Erfüllen die Randbedingungen des Stab-Problems auch die Randbedingungen des
-Sturm-Liouville-Problems, kann bereits die Aussage gemacht werden, dass alle
-Lösungen für die Gleichung in $x$ orthogonal sein werden.
+An dieser Stelle wird nun gezeigt, dass die Gleichung in $x$ ein
+Sturm-Liouville-Problem ist.
+Dazu werden zunächst die Koeffizientenfunktionen $p(x)$, $q(x)$ und $w(x)$
+benötigt.
+Dafür wird die Gleichung~\eqref{sturmliouville:eq:example-fourier-separated-x}
+mit der
+Sturm-Liouville-Form~\eqref{sturmliouville:eq:sturm-liouville-equation}
+verglichen, was zu 
+\[
+\begin{aligned} 
+    p(x) &= 1 \\
+    q(x) &= 0 \\
+    w(x) &= 1
+\end{aligned}
+\]
+führt.
+
+Diese können bereits auf die Bedingungen in
+Definition~\ref{sturmliouville:def:reguläres_sturm-liouville-problem} geprüft
+werden.
+Es ist schnell ersichtlich, dass die ersten drei Kriterien erfüllt sind.
+Werden nun auch noch die Randbedingungen erfüllt, handelt es sich also um ein
+reguläres Sturm-Liouville-Problem und es kann bereits die Aussage gemacht
+werden, dass alle Lösungen für die Gleichung in $x$ orthogonal sein werden.
 
 Da die Bedingungen des Stab-Problems nur Anforderungen an $x$ stellen, können
 diese direkt für $X(x)$ übernomen werden.
@@ -146,7 +165,7 @@ Es gilt also beispielsweise wegen
 \eqref{sturmliouville:eq:example-fourier-boundary-condition-ends-constant},
 dass $X(0) = X(l) = 0$.
 
-Damit die Lösungen von $X$ orthogonal sind, müssen nun also die Gleichungen
+Damit die Lösungen von $X$ orthogonal sind, müssen also noch die Gleichungen
 \begin{equation}
 \begin{aligned}
 	\label{sturmliouville:eq:example-fourier-randbedingungen}
@@ -164,28 +183,6 @@ erfüllt sein und es muss ausserdem
 \end{equation}
 gelten.
 
-Um zu verifizieren, dass die Randbedingungen erfüllt sind, werden also die
-Koeffizientenfunktionen $p(x)$, $q(x)$ und $w(x)$ benötigt.
-Dazu wird die Gleichung~\eqref{sturmliouville:eq:example-fourier-separated-x}
-mit der
-Sturm-Liouville-Form~\eqref{sturmliouville:eq:sturm-liouville-equation}
-verglichen, was zu 
-\[
-\begin{aligned} 
-    p(x) &= 1 \\
-    q(x) &= 0 \\
-    w(x) &= 1
-\end{aligned}
-\]
-führt.
-
-Diese können bereits auf die Bedingungen in
-Definition~\ref{sturmliouville:def:reguläres_sturm-liouville-problem} geprüft
-werden.
-Es ist schnell ersichtlich, dass die ersten drei Kriterien erfüllt sind.
-Werden nun auch noch die Randbedingungen erfüllt, handelt es sich also um ein
-reguläres Sturm-Liouville-Problem.
-
 Es werden nun $p(x)$ und die 
 Randbedingungen~\eqref{sturmliouville:eq:example-fourier-boundary-condition-ends-constant}
 des Stab-Problems in \eqref{sturmliouville:eq:example-fourier-randbedingungen}
@@ -204,6 +201,7 @@ und $k_b \neq 0$ gewählt werden.
 
 Somit ist gezeigt, dass die Randbedingungen des Stab-Problems für Enden auf
 konstanter Temperatur auch die Sturm-Liouville-Randbedingungen erfüllen.
+
 Daraus folg zunächst, dass es sich um ein reguläres Sturm-Liouville-Problem
 handelt und weiter, dass alle daraus resultierenden Lösungen orthogonal sind.
 Analog dazu kann gezeit werden, dass die Randbedingungen für einen Stab mit
@@ -291,6 +289,9 @@ Da die Koeffizienten $A$ und $B$, sowie die Parameter $\alpha$ und $\beta$ im
 allgemeinen ungleich $0$ sind, müssen die Randbedingungen durch die
 trigonometrischen Funktionen erfüllt werden.
 
+\subsubsection{Einsetzen der 
+Randbedingungen~\eqref{sturmliouville:eq:example-fourier-boundary-condition-ends-constant}}
+
 Es werden nun die 
 Randbedingungen~\eqref{sturmliouville:eq:example-fourier-boundary-condition-ends-constant}
 für einen Stab mit Enden auf konstanter Temperatur in die
@@ -337,6 +338,9 @@ Ausserdem ist zu bemerken, dass dies auch gleich $-\alpha^{2}$ ist.
 Da aber $A = 0$ gilt und der Summand mit $\alpha$ verschwindet, ist dies keine
 Verletzung der Randbedingungen.
 
+\subsubsection{Einsetzen der 
+Randbedingungen~\eqref{sturmliouville:eq:example-fourier-boundary-condition-ends-isolated}}
+
 Durch analoges Vorgehen kann nun auch das Problem mit isolierten Enden gelöst
 werden.
 Setzt man die 
-- 
cgit v1.2.1