From 022616988c2a0ad10d83133a330e4194f4d7d4a3 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: =?UTF-8?q?Erik=20L=C3=B6ffler?= Date: Tue, 26 Jul 2022 13:04:26 +0200 Subject: Changed Authors of Sturm-Liouville chapter. --- buch/papers/sturmliouville/main.tex | 2 +- 1 file changed, 1 insertion(+), 1 deletion(-) (limited to 'buch/papers/sturmliouville') diff --git a/buch/papers/sturmliouville/main.tex b/buch/papers/sturmliouville/main.tex index a7d2857..f1a500e 100644 --- a/buch/papers/sturmliouville/main.tex +++ b/buch/papers/sturmliouville/main.tex @@ -6,7 +6,7 @@ \chapter{Thema\label{chapter:sturmliouville}} \lhead{Thema} \begin{refsection} -\chapterauthor{Hans Muster} +\chapterauthor{Réda Haddouche und Erik Löffler} Ein paar Hinweise für die korrekte Formatierung des Textes \begin{itemize} -- cgit v1.2.1 From 1073ef257d9f511a1d5b6c733401390933c7566a Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: haddoucher Date: Tue, 26 Jul 2022 13:12:42 +0200 Subject: change title --- buch/papers/sturmliouville/main.tex | 2 +- 1 file changed, 1 insertion(+), 1 deletion(-) (limited to 'buch/papers/sturmliouville') diff --git a/buch/papers/sturmliouville/main.tex b/buch/papers/sturmliouville/main.tex index f1a500e..9b04219 100644 --- a/buch/papers/sturmliouville/main.tex +++ b/buch/papers/sturmliouville/main.tex @@ -3,7 +3,7 @@ % % (c) 2020 Hochschule Rapperswil % -\chapter{Thema\label{chapter:sturmliouville}} +\chapter{Sturm-Liouville-Problem\label{chapter:sturmliouville}} \lhead{Thema} \begin{refsection} \chapterauthor{Réda Haddouche und Erik Löffler} -- cgit v1.2.1 From 8d3f5416af1f8a5ce30db4eb275be3cdae67c8eb Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: haddoucher Date: Tue, 26 Jul 2022 13:53:12 +0200 Subject: makefile makefile --- buch/papers/sturmliouville/Makefile | 34 +++++++++++++++++++-- buch/papers/sturmliouville/einleitung.tex | 22 +++++++++++++ buch/papers/sturmliouville/main.tex | 2 +- buch/papers/sturmliouville/standalone.tex | 31 +++++++++++++++++++ .../sturmliouville/standalone/standalone.pdf | Bin 0 -> 77574 bytes buch/papers/sturmliouville/teil0.tex | 22 ------------- 6 files changed, 85 insertions(+), 26 deletions(-) create mode 100644 buch/papers/sturmliouville/einleitung.tex create mode 100644 buch/papers/sturmliouville/standalone.tex create mode 100644 buch/papers/sturmliouville/standalone/standalone.pdf delete mode 100644 buch/papers/sturmliouville/teil0.tex (limited to 'buch/papers/sturmliouville') diff --git a/buch/papers/sturmliouville/Makefile b/buch/papers/sturmliouville/Makefile index da902e7..70de9fc 100644 --- a/buch/papers/sturmliouville/Makefile +++ b/buch/papers/sturmliouville/Makefile @@ -1,9 +1,37 @@ # -# Makefile -- make file for the paper sturmliouville +# Makefile -- make file for the paper fm # # (c) 2020 Prof Dr Andreas Mueller # -images: - @echo "no images to be created in sturmliouville" +SOURCES := \ + einleitung.tex\ + teil1.tex \ + teil2.tex \ + teil3.tex \ + main.tex +#TIKZFIGURES := \ + tikz/atoms-grid-still.tex \ + +#FIGURES := $(patsubst tikz/%.tex, figures/%.pdf, $(TIKZFIGURES)) + +#.PHONY: images +#images: $(FIGURES) + +#figures/%.pdf: tikz/%.tex +# mkdir -p figures +# pdflatex --output-directory=figures $< + +.PHONY: standalone +standalone: standalone.tex $(SOURCES) #$(FIGURES) + mkdir -p standalone + cd ../..; \ + pdflatex \ + --halt-on-error \ + --shell-escape \ + --output-directory=papers/sturmliouville/standalone \ + papers/sturmliouville/standalone.tex; + cd standalone; \ + bibtex standalone; \ + makeindex standalone; \ No newline at end of file diff --git a/buch/papers/sturmliouville/einleitung.tex b/buch/papers/sturmliouville/einleitung.tex new file mode 100644 index 0000000..ffcb8f3 --- /dev/null +++ b/buch/papers/sturmliouville/einleitung.tex @@ -0,0 +1,22 @@ +% +% einleitung.tex -- Beispiel-File für die Einleitung +% +% (c) 2020 Prof Dr Andreas Müller, Hochschule Rapperswil +% +\section{Teil 0\label{sturmliouville:section:teil0}} +\rhead{Teil 0} +Lorem ipsum dolor sit amet, consetetur sadipscing elitr, sed diam +nonumy eirmod tempor invidunt ut labore et dolore magna aliquyam +erat, sed diam voluptua \cite{sturmliouville:bibtex}. +At vero eos et accusam et justo duo dolores et ea rebum. +Stet clita kasd gubergren, no sea takimata sanctus est Lorem ipsum +dolor sit amet. + +Lorem ipsum dolor sit amet, consetetur sadipscing elitr, sed diam +nonumy eirmod tempor invidunt ut labore et dolore magna aliquyam +erat, sed diam voluptua. +At vero eos et accusam et justo duo dolores et ea rebum. Stet clita +kasd gubergren, no sea takimata sanctus est Lorem ipsum dolor sit +amet. + + diff --git a/buch/papers/sturmliouville/main.tex b/buch/papers/sturmliouville/main.tex index 9b04219..2a779db 100644 --- a/buch/papers/sturmliouville/main.tex +++ b/buch/papers/sturmliouville/main.tex @@ -27,7 +27,7 @@ Bilden Sie auch für Formeln kurze Zeilen, einerseits der besseren Übersicht wegen, aber auch um GIT die Arbeit zu erleichtern. \end{itemize} -\input{papers/sturmliouville/teil0.tex} +\input{papers/sturmliouville/einleitung.tex} \input{papers/sturmliouville/teil1.tex} \input{papers/sturmliouville/teil2.tex} \input{papers/sturmliouville/teil3.tex} diff --git a/buch/papers/sturmliouville/standalone.tex b/buch/papers/sturmliouville/standalone.tex new file mode 100644 index 0000000..cd0e8dc --- /dev/null +++ b/buch/papers/sturmliouville/standalone.tex @@ -0,0 +1,31 @@ +\documentclass{book} + +\def\IncludeBookCover{0} +\input{common/packages.tex} + +% additional packages used by the individual papers, add a line for +% each paper +\input{papers/common/addpackages.tex} + +% workaround for biblatex bug +\makeatletter +\def\blx@maxline{77} +\makeatother +\addbibresource{chapters/references.bib} + +% Bibresources for each article +\input{papers/common/addbibresources.tex} + +% make sure the last index starts on an odd page +\AtEndDocument{\clearpage\ifodd\value{page}\else\null\clearpage\fi} +\makeindex + +%\pgfplotsset{compat=1.12} +\setlength{\headheight}{15pt} % fix headheight warning +\DeclareGraphicsRule{*}{mps}{*}{} + +\begin{document} + \input{common/macros.tex} + \def\chapterauthor#1{{\large #1}\bigskip\bigskip} + \input{papers/sturmliouville/main.tex} +\end{document} diff --git a/buch/papers/sturmliouville/standalone/standalone.pdf b/buch/papers/sturmliouville/standalone/standalone.pdf new file mode 100644 index 0000000..1b5acdb Binary files /dev/null and b/buch/papers/sturmliouville/standalone/standalone.pdf differ diff --git a/buch/papers/sturmliouville/teil0.tex b/buch/papers/sturmliouville/teil0.tex deleted file mode 100644 index ffcb8f3..0000000 --- a/buch/papers/sturmliouville/teil0.tex +++ /dev/null @@ -1,22 +0,0 @@ -% -% einleitung.tex -- Beispiel-File für die Einleitung -% -% (c) 2020 Prof Dr Andreas Müller, Hochschule Rapperswil -% -\section{Teil 0\label{sturmliouville:section:teil0}} -\rhead{Teil 0} -Lorem ipsum dolor sit amet, consetetur sadipscing elitr, sed diam -nonumy eirmod tempor invidunt ut labore et dolore magna aliquyam -erat, sed diam voluptua \cite{sturmliouville:bibtex}. -At vero eos et accusam et justo duo dolores et ea rebum. -Stet clita kasd gubergren, no sea takimata sanctus est Lorem ipsum -dolor sit amet. - -Lorem ipsum dolor sit amet, consetetur sadipscing elitr, sed diam -nonumy eirmod tempor invidunt ut labore et dolore magna aliquyam -erat, sed diam voluptua. -At vero eos et accusam et justo duo dolores et ea rebum. Stet clita -kasd gubergren, no sea takimata sanctus est Lorem ipsum dolor sit -amet. - - -- cgit v1.2.1 From 08931fd248fc0c14173b5ee9bb34e545d7d4bf03 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: haddoucher Date: Tue, 26 Jul 2022 15:05:25 +0200 Subject: struktur verbessert --- buch/papers/sturmliouville/Makefile | 1 + buch/papers/sturmliouville/beispiele.tex | 40 +++++++++++++++ buch/papers/sturmliouville/eigenschaften.tex | 55 +++++++++++++++++++++ buch/papers/sturmliouville/einleitung.tex | 2 +- buch/papers/sturmliouville/main.tex | 8 +-- ...2008_Chapter_Sturm-Liouville-ProblemeUndSpe.pdf | Bin 0 -> 548591 bytes buch/papers/sturmliouville/teil1.tex | 55 --------------------- buch/papers/sturmliouville/teil2.tex | 40 --------------- buch/papers/sturmliouville/teil3.tex | 40 --------------- 9 files changed, 102 insertions(+), 139 deletions(-) create mode 100644 buch/papers/sturmliouville/beispiele.tex create mode 100644 buch/papers/sturmliouville/eigenschaften.tex create mode 100644 buch/papers/sturmliouville/papers/sturmliouville/2008_Chapter_Sturm-Liouville-ProblemeUndSpe.pdf delete mode 100644 buch/papers/sturmliouville/teil1.tex delete mode 100644 buch/papers/sturmliouville/teil2.tex delete mode 100644 buch/papers/sturmliouville/teil3.tex (limited to 'buch/papers/sturmliouville') diff --git a/buch/papers/sturmliouville/Makefile b/buch/papers/sturmliouville/Makefile index 70de9fc..23214a2 100644 --- a/buch/papers/sturmliouville/Makefile +++ b/buch/papers/sturmliouville/Makefile @@ -31,6 +31,7 @@ standalone: standalone.tex $(SOURCES) #$(FIGURES) --halt-on-error \ --shell-escape \ --output-directory=papers/sturmliouville/standalone \ + --extra-mem-top=10000000 \ papers/sturmliouville/standalone.tex; cd standalone; \ bibtex standalone; \ diff --git a/buch/papers/sturmliouville/beispiele.tex b/buch/papers/sturmliouville/beispiele.tex new file mode 100644 index 0000000..7fc3d2c --- /dev/null +++ b/buch/papers/sturmliouville/beispiele.tex @@ -0,0 +1,40 @@ +% +% teil2.tex -- Beispiel-File für teil2 +% +% (c) 2020 Prof Dr Andreas Müller, Hochschule Rapperswil +% +\section{Teil 2 +\label{sturmliouville:section:teil2}} +\rhead{Teil 2} +Sed ut perspiciatis unde omnis iste natus error sit voluptatem +accusantium doloremque laudantium, totam rem aperiam, eaque ipsa +quae ab illo inventore veritatis et quasi architecto beatae vitae +dicta sunt explicabo. Nemo enim ipsam voluptatem quia voluptas sit +aspernatur aut odit aut fugit, sed quia consequuntur magni dolores +eos qui ratione voluptatem sequi nesciunt. Neque porro quisquam +est, qui dolorem ipsum quia dolor sit amet, consectetur, adipisci +velit, sed quia non numquam eius modi tempora incidunt ut labore +et dolore magnam aliquam quaerat voluptatem. Ut enim ad minima +veniam, quis nostrum exercitationem ullam corporis suscipit laboriosam, +nisi ut aliquid ex ea commodi consequatur? Quis autem vel eum iure +reprehenderit qui in ea voluptate velit esse quam nihil molestiae +consequatur, vel illum qui dolorem eum fugiat quo voluptas nulla +pariatur? + +\subsection{De finibus bonorum et malorum +\label{sturmliouville:subsection:bonorum}} +At vero eos et accusamus et iusto odio dignissimos ducimus qui +blanditiis praesentium voluptatum deleniti atque corrupti quos +dolores et quas molestias excepturi sint occaecati cupiditate non +provident, similique sunt in culpa qui officia deserunt mollitia +animi, id est laborum et dolorum fuga. Et harum quidem rerum facilis +est et expedita distinctio. Nam libero tempore, cum soluta nobis +est eligendi optio cumque nihil impedit quo minus id quod maxime +placeat facere possimus, omnis voluptas assumenda est, omnis dolor +repellendus. Temporibus autem quibusdam et aut officiis debitis aut +rerum necessitatibus saepe eveniet ut et voluptates repudiandae +sint et molestiae non recusandae. Itaque earum rerum hic tenetur a +sapiente delectus, ut aut reiciendis voluptatibus maiores alias +consequatur aut perferendis doloribus asperiores repellat. + + diff --git a/buch/papers/sturmliouville/eigenschaften.tex b/buch/papers/sturmliouville/eigenschaften.tex new file mode 100644 index 0000000..c23c1d6 --- /dev/null +++ b/buch/papers/sturmliouville/eigenschaften.tex @@ -0,0 +1,55 @@ +% +% teil1.tex -- Beispiel-File für das Paper +% +% (c) 2020 Prof Dr Andreas Müller, Hochschule Rapperswil +% +\section{Teil 1 +\label{sturmliouville:section:teil1}} +\rhead{Problemstellung} +Sed ut perspiciatis unde omnis iste natus error sit voluptatem +accusantium doloremque laudantium, totam rem aperiam, eaque ipsa +quae ab illo inventore veritatis et quasi architecto beatae vitae +dicta sunt explicabo. +Nemo enim ipsam voluptatem quia voluptas sit aspernatur aut odit +aut fugit, sed quia consequuntur magni dolores eos qui ratione +voluptatem sequi nesciunt +\begin{equation} +\int_a^b x^2\, dx += +\left[ \frac13 x^3 \right]_a^b += +\frac{b^3-a^3}3. +\label{sturmliouville:equation1} +\end{equation} +Neque porro quisquam est, qui dolorem ipsum quia dolor sit amet, +consectetur, adipisci velit, sed quia non numquam eius modi tempora +incidunt ut labore et dolore magnam aliquam quaerat voluptatem. + +Ut enim ad minima veniam, quis nostrum exercitationem ullam corporis +suscipit laboriosam, nisi ut aliquid ex ea commodi consequatur? +Quis autem vel eum iure reprehenderit qui in ea voluptate velit +esse quam nihil molestiae consequatur, vel illum qui dolorem eum +fugiat quo voluptas nulla pariatur? + +\subsection{De finibus bonorum et malorum +\label{sturmliouville:subsection:finibus}} +At vero eos et accusamus et iusto odio dignissimos ducimus qui +blanditiis praesentium voluptatum deleniti atque corrupti quos +dolores et quas molestias excepturi sint occaecati cupiditate non +provident, similique sunt in culpa qui officia deserunt mollitia +animi, id est laborum et dolorum fuga \eqref{000tempmlate:equation1}. + +Et harum quidem rerum facilis est et expedita distinctio +\ref{sturmliouville:section:loesung}. +Nam libero tempore, cum soluta nobis est eligendi optio cumque nihil +impedit quo minus id quod maxime placeat facere possimus, omnis +voluptas assumenda est, omnis dolor repellendus +\ref{sturmliouville:section:folgerung}. +Temporibus autem quibusdam et aut officiis debitis aut rerum +necessitatibus saepe eveniet ut et voluptates repudiandae sint et +molestiae non recusandae. +Itaque earum rerum hic tenetur a sapiente delectus, ut aut reiciendis +voluptatibus maiores alias consequatur aut perferendis doloribus +asperiores repellat. + + diff --git a/buch/papers/sturmliouville/einleitung.tex b/buch/papers/sturmliouville/einleitung.tex index ffcb8f3..073ba6e 100644 --- a/buch/papers/sturmliouville/einleitung.tex +++ b/buch/papers/sturmliouville/einleitung.tex @@ -3,7 +3,7 @@ % % (c) 2020 Prof Dr Andreas Müller, Hochschule Rapperswil % -\section{Teil 0\label{sturmliouville:section:teil0}} +\section{Was ist Sturm-Liouville-Problem\label{sturmliouville:section:wa}} \rhead{Teil 0} Lorem ipsum dolor sit amet, consetetur sadipscing elitr, sed diam nonumy eirmod tempor invidunt ut labore et dolore magna aliquyam diff --git a/buch/papers/sturmliouville/main.tex b/buch/papers/sturmliouville/main.tex index 2a779db..0dd3ca5 100644 --- a/buch/papers/sturmliouville/main.tex +++ b/buch/papers/sturmliouville/main.tex @@ -28,9 +28,11 @@ Bilden Sie auch für Formeln kurze Zeilen, einerseits der besseren \end{itemize} \input{papers/sturmliouville/einleitung.tex} -\input{papers/sturmliouville/teil1.tex} -\input{papers/sturmliouville/teil2.tex} -\input{papers/sturmliouville/teil3.tex} +%einleitung "was ist das sturm-liouville-problem" +ng\input{papers/sturmliouville/eigenschaften.tex} +%Eigenschaften von Lösungen eines solchen Problems +\input{papers/sturmliouville/beispiele.tex} +%Beispiele sind: Wärmeleitung in einem Stab, Tschebyscheff-Polynome \printbibliography[heading=subbibliography] \end{refsection} diff --git a/buch/papers/sturmliouville/papers/sturmliouville/2008_Chapter_Sturm-Liouville-ProblemeUndSpe.pdf b/buch/papers/sturmliouville/papers/sturmliouville/2008_Chapter_Sturm-Liouville-ProblemeUndSpe.pdf new file mode 100644 index 0000000..2237e55 Binary files /dev/null and b/buch/papers/sturmliouville/papers/sturmliouville/2008_Chapter_Sturm-Liouville-ProblemeUndSpe.pdf differ diff --git a/buch/papers/sturmliouville/teil1.tex b/buch/papers/sturmliouville/teil1.tex deleted file mode 100644 index c23c1d6..0000000 --- a/buch/papers/sturmliouville/teil1.tex +++ /dev/null @@ -1,55 +0,0 @@ -% -% teil1.tex -- Beispiel-File für das Paper -% -% (c) 2020 Prof Dr Andreas Müller, Hochschule Rapperswil -% -\section{Teil 1 -\label{sturmliouville:section:teil1}} -\rhead{Problemstellung} -Sed ut perspiciatis unde omnis iste natus error sit voluptatem -accusantium doloremque laudantium, totam rem aperiam, eaque ipsa -quae ab illo inventore veritatis et quasi architecto beatae vitae -dicta sunt explicabo. -Nemo enim ipsam voluptatem quia voluptas sit aspernatur aut odit -aut fugit, sed quia consequuntur magni dolores eos qui ratione -voluptatem sequi nesciunt -\begin{equation} -\int_a^b x^2\, dx -= -\left[ \frac13 x^3 \right]_a^b -= -\frac{b^3-a^3}3. -\label{sturmliouville:equation1} -\end{equation} -Neque porro quisquam est, qui dolorem ipsum quia dolor sit amet, -consectetur, adipisci velit, sed quia non numquam eius modi tempora -incidunt ut labore et dolore magnam aliquam quaerat voluptatem. - -Ut enim ad minima veniam, quis nostrum exercitationem ullam corporis -suscipit laboriosam, nisi ut aliquid ex ea commodi consequatur? -Quis autem vel eum iure reprehenderit qui in ea voluptate velit -esse quam nihil molestiae consequatur, vel illum qui dolorem eum -fugiat quo voluptas nulla pariatur? - -\subsection{De finibus bonorum et malorum -\label{sturmliouville:subsection:finibus}} -At vero eos et accusamus et iusto odio dignissimos ducimus qui -blanditiis praesentium voluptatum deleniti atque corrupti quos -dolores et quas molestias excepturi sint occaecati cupiditate non -provident, similique sunt in culpa qui officia deserunt mollitia -animi, id est laborum et dolorum fuga \eqref{000tempmlate:equation1}. - -Et harum quidem rerum facilis est et expedita distinctio -\ref{sturmliouville:section:loesung}. -Nam libero tempore, cum soluta nobis est eligendi optio cumque nihil -impedit quo minus id quod maxime placeat facere possimus, omnis -voluptas assumenda est, omnis dolor repellendus -\ref{sturmliouville:section:folgerung}. -Temporibus autem quibusdam et aut officiis debitis aut rerum -necessitatibus saepe eveniet ut et voluptates repudiandae sint et -molestiae non recusandae. -Itaque earum rerum hic tenetur a sapiente delectus, ut aut reiciendis -voluptatibus maiores alias consequatur aut perferendis doloribus -asperiores repellat. - - diff --git a/buch/papers/sturmliouville/teil2.tex b/buch/papers/sturmliouville/teil2.tex deleted file mode 100644 index 7fc3d2c..0000000 --- a/buch/papers/sturmliouville/teil2.tex +++ /dev/null @@ -1,40 +0,0 @@ -% -% teil2.tex -- Beispiel-File für teil2 -% -% (c) 2020 Prof Dr Andreas Müller, Hochschule Rapperswil -% -\section{Teil 2 -\label{sturmliouville:section:teil2}} -\rhead{Teil 2} -Sed ut perspiciatis unde omnis iste natus error sit voluptatem -accusantium doloremque laudantium, totam rem aperiam, eaque ipsa -quae ab illo inventore veritatis et quasi architecto beatae vitae -dicta sunt explicabo. Nemo enim ipsam voluptatem quia voluptas sit -aspernatur aut odit aut fugit, sed quia consequuntur magni dolores -eos qui ratione voluptatem sequi nesciunt. Neque porro quisquam -est, qui dolorem ipsum quia dolor sit amet, consectetur, adipisci -velit, sed quia non numquam eius modi tempora incidunt ut labore -et dolore magnam aliquam quaerat voluptatem. Ut enim ad minima -veniam, quis nostrum exercitationem ullam corporis suscipit laboriosam, -nisi ut aliquid ex ea commodi consequatur? Quis autem vel eum iure -reprehenderit qui in ea voluptate velit esse quam nihil molestiae -consequatur, vel illum qui dolorem eum fugiat quo voluptas nulla -pariatur? - -\subsection{De finibus bonorum et malorum -\label{sturmliouville:subsection:bonorum}} -At vero eos et accusamus et iusto odio dignissimos ducimus qui -blanditiis praesentium voluptatum deleniti atque corrupti quos -dolores et quas molestias excepturi sint occaecati cupiditate non -provident, similique sunt in culpa qui officia deserunt mollitia -animi, id est laborum et dolorum fuga. Et harum quidem rerum facilis -est et expedita distinctio. Nam libero tempore, cum soluta nobis -est eligendi optio cumque nihil impedit quo minus id quod maxime -placeat facere possimus, omnis voluptas assumenda est, omnis dolor -repellendus. Temporibus autem quibusdam et aut officiis debitis aut -rerum necessitatibus saepe eveniet ut et voluptates repudiandae -sint et molestiae non recusandae. Itaque earum rerum hic tenetur a -sapiente delectus, ut aut reiciendis voluptatibus maiores alias -consequatur aut perferendis doloribus asperiores repellat. - - diff --git a/buch/papers/sturmliouville/teil3.tex b/buch/papers/sturmliouville/teil3.tex deleted file mode 100644 index 3aa1b40..0000000 --- a/buch/papers/sturmliouville/teil3.tex +++ /dev/null @@ -1,40 +0,0 @@ -% -% teil3.tex -- Beispiel-File für Teil 3 -% -% (c) 2020 Prof Dr Andreas Müller, Hochschule Rapperswil -% -\section{Teil 3 -\label{sturmliouville:section:teil3}} -\rhead{Teil 3} -Sed ut perspiciatis unde omnis iste natus error sit voluptatem -accusantium doloremque laudantium, totam rem aperiam, eaque ipsa -quae ab illo inventore veritatis et quasi architecto beatae vitae -dicta sunt explicabo. Nemo enim ipsam voluptatem quia voluptas sit -aspernatur aut odit aut fugit, sed quia consequuntur magni dolores -eos qui ratione voluptatem sequi nesciunt. Neque porro quisquam -est, qui dolorem ipsum quia dolor sit amet, consectetur, adipisci -velit, sed quia non numquam eius modi tempora incidunt ut labore -et dolore magnam aliquam quaerat voluptatem. Ut enim ad minima -veniam, quis nostrum exercitationem ullam corporis suscipit laboriosam, -nisi ut aliquid ex ea commodi consequatur? Quis autem vel eum iure -reprehenderit qui in ea voluptate velit esse quam nihil molestiae -consequatur, vel illum qui dolorem eum fugiat quo voluptas nulla -pariatur? - -\subsection{De finibus bonorum et malorum -\label{sturmliouville:subsection:malorum}} -At vero eos et accusamus et iusto odio dignissimos ducimus qui -blanditiis praesentium voluptatum deleniti atque corrupti quos -dolores et quas molestias excepturi sint occaecati cupiditate non -provident, similique sunt in culpa qui officia deserunt mollitia -animi, id est laborum et dolorum fuga. Et harum quidem rerum facilis -est et expedita distinctio. Nam libero tempore, cum soluta nobis -est eligendi optio cumque nihil impedit quo minus id quod maxime -placeat facere possimus, omnis voluptas assumenda est, omnis dolor -repellendus. Temporibus autem quibusdam et aut officiis debitis aut -rerum necessitatibus saepe eveniet ut et voluptates repudiandae -sint et molestiae non recusandae. Itaque earum rerum hic tenetur a -sapiente delectus, ut aut reiciendis voluptatibus maiores alias -consequatur aut perferendis doloribus asperiores repellat. - - -- cgit v1.2.1 From 12b32e8ba83f426f96364327e013517f3356723a Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: =?UTF-8?q?Erik=20L=C3=B6ffler?= Date: Tue, 26 Jul 2022 15:12:58 +0200 Subject: added .gitignore to sturm liouville folder --- buch/papers/sturmliouville/.gitignore | 1 + 1 file changed, 1 insertion(+) create mode 100644 buch/papers/sturmliouville/.gitignore (limited to 'buch/papers/sturmliouville') diff --git a/buch/papers/sturmliouville/.gitignore b/buch/papers/sturmliouville/.gitignore new file mode 100644 index 0000000..f08278d --- /dev/null +++ b/buch/papers/sturmliouville/.gitignore @@ -0,0 +1 @@ +*.pdf \ No newline at end of file -- cgit v1.2.1 From 355193f2047a9c34e6a96281c73ed04cc8287c1e Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: haddoucher Date: Tue, 26 Jul 2022 15:36:01 +0200 Subject: =?UTF-8?q?=C3=A4nderungen?= MIME-Version: 1.0 Content-Type: text/plain; charset=UTF-8 Content-Transfer-Encoding: 8bit --- buch/papers/sturmliouville/beispiele.tex | 35 +-------------- buch/papers/sturmliouville/eigenschaften.tex | 49 +-------------------- buch/papers/sturmliouville/einleitung.tex | 17 +------ buch/papers/sturmliouville/main.tex | 19 +------- ...2008_Chapter_Sturm-Liouville-ProblemeUndSpe.pdf | Bin 548591 -> 0 bytes 5 files changed, 7 insertions(+), 113 deletions(-) delete mode 100644 buch/papers/sturmliouville/papers/sturmliouville/2008_Chapter_Sturm-Liouville-ProblemeUndSpe.pdf (limited to 'buch/papers/sturmliouville') diff --git a/buch/papers/sturmliouville/beispiele.tex b/buch/papers/sturmliouville/beispiele.tex index 7fc3d2c..d5ec3f9 100644 --- a/buch/papers/sturmliouville/beispiele.tex +++ b/buch/papers/sturmliouville/beispiele.tex @@ -3,38 +3,7 @@ % % (c) 2020 Prof Dr Andreas Müller, Hochschule Rapperswil % -\section{Teil 2 +\section{Beispiele \label{sturmliouville:section:teil2}} -\rhead{Teil 2} -Sed ut perspiciatis unde omnis iste natus error sit voluptatem -accusantium doloremque laudantium, totam rem aperiam, eaque ipsa -quae ab illo inventore veritatis et quasi architecto beatae vitae -dicta sunt explicabo. Nemo enim ipsam voluptatem quia voluptas sit -aspernatur aut odit aut fugit, sed quia consequuntur magni dolores -eos qui ratione voluptatem sequi nesciunt. Neque porro quisquam -est, qui dolorem ipsum quia dolor sit amet, consectetur, adipisci -velit, sed quia non numquam eius modi tempora incidunt ut labore -et dolore magnam aliquam quaerat voluptatem. Ut enim ad minima -veniam, quis nostrum exercitationem ullam corporis suscipit laboriosam, -nisi ut aliquid ex ea commodi consequatur? Quis autem vel eum iure -reprehenderit qui in ea voluptate velit esse quam nihil molestiae -consequatur, vel illum qui dolorem eum fugiat quo voluptas nulla -pariatur? - -\subsection{De finibus bonorum et malorum -\label{sturmliouville:subsection:bonorum}} -At vero eos et accusamus et iusto odio dignissimos ducimus qui -blanditiis praesentium voluptatum deleniti atque corrupti quos -dolores et quas molestias excepturi sint occaecati cupiditate non -provident, similique sunt in culpa qui officia deserunt mollitia -animi, id est laborum et dolorum fuga. Et harum quidem rerum facilis -est et expedita distinctio. Nam libero tempore, cum soluta nobis -est eligendi optio cumque nihil impedit quo minus id quod maxime -placeat facere possimus, omnis voluptas assumenda est, omnis dolor -repellendus. Temporibus autem quibusdam et aut officiis debitis aut -rerum necessitatibus saepe eveniet ut et voluptates repudiandae -sint et molestiae non recusandae. Itaque earum rerum hic tenetur a -sapiente delectus, ut aut reiciendis voluptatibus maiores alias -consequatur aut perferendis doloribus asperiores repellat. - +\rhead{Beispiele} diff --git a/buch/papers/sturmliouville/eigenschaften.tex b/buch/papers/sturmliouville/eigenschaften.tex index c23c1d6..6d37612 100644 --- a/buch/papers/sturmliouville/eigenschaften.tex +++ b/buch/papers/sturmliouville/eigenschaften.tex @@ -3,53 +3,8 @@ % % (c) 2020 Prof Dr Andreas Müller, Hochschule Rapperswil % -\section{Teil 1 +\section{Eigenschaften von Lösungen \label{sturmliouville:section:teil1}} -\rhead{Problemstellung} -Sed ut perspiciatis unde omnis iste natus error sit voluptatem -accusantium doloremque laudantium, totam rem aperiam, eaque ipsa -quae ab illo inventore veritatis et quasi architecto beatae vitae -dicta sunt explicabo. -Nemo enim ipsam voluptatem quia voluptas sit aspernatur aut odit -aut fugit, sed quia consequuntur magni dolores eos qui ratione -voluptatem sequi nesciunt -\begin{equation} -\int_a^b x^2\, dx -= -\left[ \frac13 x^3 \right]_a^b -= -\frac{b^3-a^3}3. -\label{sturmliouville:equation1} -\end{equation} -Neque porro quisquam est, qui dolorem ipsum quia dolor sit amet, -consectetur, adipisci velit, sed quia non numquam eius modi tempora -incidunt ut labore et dolore magnam aliquam quaerat voluptatem. - -Ut enim ad minima veniam, quis nostrum exercitationem ullam corporis -suscipit laboriosam, nisi ut aliquid ex ea commodi consequatur? -Quis autem vel eum iure reprehenderit qui in ea voluptate velit -esse quam nihil molestiae consequatur, vel illum qui dolorem eum -fugiat quo voluptas nulla pariatur? - -\subsection{De finibus bonorum et malorum -\label{sturmliouville:subsection:finibus}} -At vero eos et accusamus et iusto odio dignissimos ducimus qui -blanditiis praesentium voluptatum deleniti atque corrupti quos -dolores et quas molestias excepturi sint occaecati cupiditate non -provident, similique sunt in culpa qui officia deserunt mollitia -animi, id est laborum et dolorum fuga \eqref{000tempmlate:equation1}. - -Et harum quidem rerum facilis est et expedita distinctio -\ref{sturmliouville:section:loesung}. -Nam libero tempore, cum soluta nobis est eligendi optio cumque nihil -impedit quo minus id quod maxime placeat facere possimus, omnis -voluptas assumenda est, omnis dolor repellendus -\ref{sturmliouville:section:folgerung}. -Temporibus autem quibusdam et aut officiis debitis aut rerum -necessitatibus saepe eveniet ut et voluptates repudiandae sint et -molestiae non recusandae. -Itaque earum rerum hic tenetur a sapiente delectus, ut aut reiciendis -voluptatibus maiores alias consequatur aut perferendis doloribus -asperiores repellat. +\rhead{Eigenschaften von Lösungen} diff --git a/buch/papers/sturmliouville/einleitung.tex b/buch/papers/sturmliouville/einleitung.tex index 073ba6e..384a642 100644 --- a/buch/papers/sturmliouville/einleitung.tex +++ b/buch/papers/sturmliouville/einleitung.tex @@ -3,20 +3,7 @@ % % (c) 2020 Prof Dr Andreas Müller, Hochschule Rapperswil % -\section{Was ist Sturm-Liouville-Problem\label{sturmliouville:section:wa}} -\rhead{Teil 0} -Lorem ipsum dolor sit amet, consetetur sadipscing elitr, sed diam -nonumy eirmod tempor invidunt ut labore et dolore magna aliquyam -erat, sed diam voluptua \cite{sturmliouville:bibtex}. -At vero eos et accusam et justo duo dolores et ea rebum. -Stet clita kasd gubergren, no sea takimata sanctus est Lorem ipsum -dolor sit amet. - -Lorem ipsum dolor sit amet, consetetur sadipscing elitr, sed diam -nonumy eirmod tempor invidunt ut labore et dolore magna aliquyam -erat, sed diam voluptua. -At vero eos et accusam et justo duo dolores et ea rebum. Stet clita -kasd gubergren, no sea takimata sanctus est Lorem ipsum dolor sit -amet. +\section{Was ist Sturm-Liouville-Problem\label{sturmliouville:section:teil0}} +\rhead{Einleitung} diff --git a/buch/papers/sturmliouville/main.tex b/buch/papers/sturmliouville/main.tex index 0dd3ca5..dfd2c38 100644 --- a/buch/papers/sturmliouville/main.tex +++ b/buch/papers/sturmliouville/main.tex @@ -8,24 +8,7 @@ \begin{refsection} \chapterauthor{Réda Haddouche und Erik Löffler} -Ein paar Hinweise für die korrekte Formatierung des Textes -\begin{itemize} -\item -Absätze werden gebildet, indem man eine Leerzeile einfügt. -Die Verwendung von \verb+\\+ ist nur in Tabellen und Arrays gestattet. -\item -Die explizite Platzierung von Bildern ist nicht erlaubt, entsprechende -Optionen werden gelöscht. -Verwenden Sie Labels und Verweise, um auf Bilder hinzuweisen. -\item -Beginnen Sie jeden Satz auf einer neuen Zeile. -Damit ermöglichen Sie dem Versionsverwaltungssysteme, Änderungen -in verschiedenen Sätzen von verschiedenen Autoren ohne Konflikt -anzuwenden. -\item -Bilden Sie auch für Formeln kurze Zeilen, einerseits der besseren -Übersicht wegen, aber auch um GIT die Arbeit zu erleichtern. -\end{itemize} + \input{papers/sturmliouville/einleitung.tex} %einleitung "was ist das sturm-liouville-problem" diff --git a/buch/papers/sturmliouville/papers/sturmliouville/2008_Chapter_Sturm-Liouville-ProblemeUndSpe.pdf b/buch/papers/sturmliouville/papers/sturmliouville/2008_Chapter_Sturm-Liouville-ProblemeUndSpe.pdf deleted file mode 100644 index 2237e55..0000000 Binary files a/buch/papers/sturmliouville/papers/sturmliouville/2008_Chapter_Sturm-Liouville-ProblemeUndSpe.pdf and /dev/null differ -- cgit v1.2.1 From 188c4356ae2e9431ce68b2f6332256da915b6ce9 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: haddoucher Date: Tue, 26 Jul 2022 15:37:27 +0200 Subject: Delete standalone.pdf --- buch/papers/sturmliouville/standalone/standalone.pdf | Bin 77574 -> 0 bytes 1 file changed, 0 insertions(+), 0 deletions(-) delete mode 100644 buch/papers/sturmliouville/standalone/standalone.pdf (limited to 'buch/papers/sturmliouville') diff --git a/buch/papers/sturmliouville/standalone/standalone.pdf b/buch/papers/sturmliouville/standalone/standalone.pdf deleted file mode 100644 index 1b5acdb..0000000 Binary files a/buch/papers/sturmliouville/standalone/standalone.pdf and /dev/null differ -- cgit v1.2.1 From b781675d44f18b172ebdd24c8c011f75d1d30e6c Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: =?UTF-8?q?Erik=20L=C3=B6ffler?= Date: Tue, 26 Jul 2022 15:40:05 +0200 Subject: Added missing new line in .gitignore file. --- buch/papers/sturmliouville/.gitignore | 2 +- 1 file changed, 1 insertion(+), 1 deletion(-) (limited to 'buch/papers/sturmliouville') diff --git a/buch/papers/sturmliouville/.gitignore b/buch/papers/sturmliouville/.gitignore index f08278d..a136337 100644 --- a/buch/papers/sturmliouville/.gitignore +++ b/buch/papers/sturmliouville/.gitignore @@ -1 +1 @@ -*.pdf \ No newline at end of file +*.pdf -- cgit v1.2.1 From 26ed6c0f968b723821c92606a1c5aa53fa274754 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: haddoucher Date: Tue, 26 Jul 2022 15:44:27 +0200 Subject: Update Makefile --- buch/papers/sturmliouville/Makefile | 5 ++--- 1 file changed, 2 insertions(+), 3 deletions(-) (limited to 'buch/papers/sturmliouville') diff --git a/buch/papers/sturmliouville/Makefile b/buch/papers/sturmliouville/Makefile index 23214a2..8d3e0af 100644 --- a/buch/papers/sturmliouville/Makefile +++ b/buch/papers/sturmliouville/Makefile @@ -6,9 +6,8 @@ SOURCES := \ einleitung.tex\ - teil1.tex \ - teil2.tex \ - teil3.tex \ + eigenschaften.tex \ + beispiele.tex \ main.tex #TIKZFIGURES := \ -- cgit v1.2.1 From 796f2b607d90c7d2aed4ac38b39830bb2a93cfea Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: =?UTF-8?q?Erik=20L=C3=B6ffler?= Date: Tue, 26 Jul 2022 16:04:10 +0200 Subject: Added comments on what to work on. --- buch/papers/sturmliouville/beispiele.tex | 2 +- buch/papers/sturmliouville/eigenschaften.tex | 3 +-- 2 files changed, 2 insertions(+), 3 deletions(-) (limited to 'buch/papers/sturmliouville') diff --git a/buch/papers/sturmliouville/beispiele.tex b/buch/papers/sturmliouville/beispiele.tex index d5ec3f9..49703c9 100644 --- a/buch/papers/sturmliouville/beispiele.tex +++ b/buch/papers/sturmliouville/beispiele.tex @@ -6,4 +6,4 @@ \section{Beispiele \label{sturmliouville:section:teil2}} \rhead{Beispiele} - +% Fourier: Erik work diff --git a/buch/papers/sturmliouville/eigenschaften.tex b/buch/papers/sturmliouville/eigenschaften.tex index 6d37612..a397dcc 100644 --- a/buch/papers/sturmliouville/eigenschaften.tex +++ b/buch/papers/sturmliouville/eigenschaften.tex @@ -6,5 +6,4 @@ \section{Eigenschaften von Lösungen \label{sturmliouville:section:teil1}} \rhead{Eigenschaften von Lösungen} - - +% Erik work -- cgit v1.2.1 From 250488bcb7e08beeb0d2a8b8b50c917aa12fd2a4 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: =?UTF-8?q?Erik=20L=C3=B6ffler?= Date: Wed, 27 Jul 2022 14:08:52 +0200 Subject: Added comment to main.tex pointing to buch.tex in order to compile from sturmlouville folder directly. --- buch/papers/sturmliouville/main.tex | 1 + 1 file changed, 1 insertion(+) (limited to 'buch/papers/sturmliouville') diff --git a/buch/papers/sturmliouville/main.tex b/buch/papers/sturmliouville/main.tex index dfd2c38..4956664 100644 --- a/buch/papers/sturmliouville/main.tex +++ b/buch/papers/sturmliouville/main.tex @@ -1,3 +1,4 @@ +% !TeX root = ../../buch.tex % % main.tex -- Paper zum Thema % -- cgit v1.2.1 From c97459b91cd980d3db65c3ca1944d8998ccf7006 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: =?UTF-8?q?Erik=20L=C3=B6ffler?= Date: Wed, 27 Jul 2022 14:46:02 +0200 Subject: Added file for fourier example. --- buch/papers/sturmliouville/waermeleitung_beispiel.tex | 8 ++++++++ 1 file changed, 8 insertions(+) create mode 100644 buch/papers/sturmliouville/waermeleitung_beispiel.tex (limited to 'buch/papers/sturmliouville') diff --git a/buch/papers/sturmliouville/waermeleitung_beispiel.tex b/buch/papers/sturmliouville/waermeleitung_beispiel.tex new file mode 100644 index 0000000..6cfb50f --- /dev/null +++ b/buch/papers/sturmliouville/waermeleitung_beispiel.tex @@ -0,0 +1,8 @@ +% +% waermeleitung_beispiel.tex -- Beispiel Wärmeleitung in homogenem Stab. +% +% (c) 2020 Prof Dr Andreas Müller, Hochschule Rapperswil +% + +\subsubsection{Wärmeleitung in einem Homogenen Stab} + -- cgit v1.2.1 From d9bbd9cc6541847425f1fced501b5865e2ba282e Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: =?UTF-8?q?Erik=20L=C3=B6ffler?= Date: Wed, 27 Jul 2022 14:48:48 +0200 Subject: Adjusted labels and included new file. --- buch/papers/sturmliouville/beispiele.tex | 4 +++- buch/papers/sturmliouville/eigenschaften.tex | 2 +- buch/papers/sturmliouville/main.tex | 4 +--- 3 files changed, 5 insertions(+), 5 deletions(-) (limited to 'buch/papers/sturmliouville') diff --git a/buch/papers/sturmliouville/beispiele.tex b/buch/papers/sturmliouville/beispiele.tex index 49703c9..b23593e 100644 --- a/buch/papers/sturmliouville/beispiele.tex +++ b/buch/papers/sturmliouville/beispiele.tex @@ -4,6 +4,8 @@ % (c) 2020 Prof Dr Andreas Müller, Hochschule Rapperswil % \section{Beispiele -\label{sturmliouville:section:teil2}} +\label{sturmliouville:section:examples}} \rhead{Beispiele} + % Fourier: Erik work +\input{papers/sturmliouville/waermeleitung_beispiel.tex} \ No newline at end of file diff --git a/buch/papers/sturmliouville/eigenschaften.tex b/buch/papers/sturmliouville/eigenschaften.tex index a397dcc..9f20070 100644 --- a/buch/papers/sturmliouville/eigenschaften.tex +++ b/buch/papers/sturmliouville/eigenschaften.tex @@ -4,6 +4,6 @@ % (c) 2020 Prof Dr Andreas Müller, Hochschule Rapperswil % \section{Eigenschaften von Lösungen -\label{sturmliouville:section:teil1}} +\label{sturmliouville:section:solution-properties}} \rhead{Eigenschaften von Lösungen} % Erik work diff --git a/buch/papers/sturmliouville/main.tex b/buch/papers/sturmliouville/main.tex index 4956664..d21b013 100644 --- a/buch/papers/sturmliouville/main.tex +++ b/buch/papers/sturmliouville/main.tex @@ -9,11 +9,9 @@ \begin{refsection} \chapterauthor{Réda Haddouche und Erik Löffler} - - \input{papers/sturmliouville/einleitung.tex} %einleitung "was ist das sturm-liouville-problem" -ng\input{papers/sturmliouville/eigenschaften.tex} +\input{papers/sturmliouville/eigenschaften.tex} %Eigenschaften von Lösungen eines solchen Problems \input{papers/sturmliouville/beispiele.tex} %Beispiele sind: Wärmeleitung in einem Stab, Tschebyscheff-Polynome -- cgit v1.2.1 From 6b0cb2b62e6d5da19dffc90c49d11dea48f5cdbb Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: =?UTF-8?q?Erik=20L=C3=B6ffler?= Date: Wed, 27 Jul 2022 15:12:50 +0200 Subject: Added intro and differential equation to fourier example. --- buch/papers/sturmliouville/main.tex | 2 +- buch/papers/sturmliouville/waermeleitung_beispiel.tex | 12 ++++++++++++ 2 files changed, 13 insertions(+), 1 deletion(-) (limited to 'buch/papers/sturmliouville') diff --git a/buch/papers/sturmliouville/main.tex b/buch/papers/sturmliouville/main.tex index d21b013..4b5b8af 100644 --- a/buch/papers/sturmliouville/main.tex +++ b/buch/papers/sturmliouville/main.tex @@ -5,7 +5,7 @@ % (c) 2020 Hochschule Rapperswil % \chapter{Sturm-Liouville-Problem\label{chapter:sturmliouville}} -\lhead{Thema} +\lhead{Sturm-Liouville-Problem} \begin{refsection} \chapterauthor{Réda Haddouche und Erik Löffler} diff --git a/buch/papers/sturmliouville/waermeleitung_beispiel.tex b/buch/papers/sturmliouville/waermeleitung_beispiel.tex index 6cfb50f..64bf974 100644 --- a/buch/papers/sturmliouville/waermeleitung_beispiel.tex +++ b/buch/papers/sturmliouville/waermeleitung_beispiel.tex @@ -6,3 +6,15 @@ \subsubsection{Wärmeleitung in einem Homogenen Stab} +In diesem Abschnitt betrachten wir das Problem der Wärmeleitung in einem +homogenen Stab und wie das Sturm-Liouville-Problem bei der Beschreibung dieses +physikalischen Phänomenes auftritt. + +Zunächst wird ein eindimensionaler homogener Stab der Länge $l$ und +Wärmeleitkoeffizient $\kappa$. Somit ergibt sich für das Wärmeleitungsproblem +die partielle Differentialgleichung + +\[ + \frac{\partial u}{\partial t} = + \kappa \frac{\partial^{2}u}{{\partial x}^{2}}. +\] \ No newline at end of file -- cgit v1.2.1 From 3e57ab690350ad4ab447cdd0d263d87c414c96b5 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: =?UTF-8?q?Erik=20L=C3=B6ffler?= Date: Wed, 27 Jul 2022 15:53:20 +0200 Subject: Added boundary condiutions for fourier example. --- .../sturmliouville/waermeleitung_beispiel.tex | 54 ++++++++++++++++++++-- 1 file changed, 49 insertions(+), 5 deletions(-) (limited to 'buch/papers/sturmliouville') diff --git a/buch/papers/sturmliouville/waermeleitung_beispiel.tex b/buch/papers/sturmliouville/waermeleitung_beispiel.tex index 64bf974..243d0e1 100644 --- a/buch/papers/sturmliouville/waermeleitung_beispiel.tex +++ b/buch/papers/sturmliouville/waermeleitung_beispiel.tex @@ -1,10 +1,11 @@ % % waermeleitung_beispiel.tex -- Beispiel Wärmeleitung in homogenem Stab. +%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Erster Entwurf %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% % % (c) 2020 Prof Dr Andreas Müller, Hochschule Rapperswil % -\subsubsection{Wärmeleitung in einem Homogenen Stab} +\subsection{Wärmeleitung in einem Homogenen Stab} In diesem Abschnitt betrachten wir das Problem der Wärmeleitung in einem homogenen Stab und wie das Sturm-Liouville-Problem bei der Beschreibung dieses @@ -12,9 +13,52 @@ physikalischen Phänomenes auftritt. Zunächst wird ein eindimensionaler homogener Stab der Länge $l$ und Wärmeleitkoeffizient $\kappa$. Somit ergibt sich für das Wärmeleitungsproblem -die partielle Differentialgleichung - +die partielle Differentialgleichung \[ \frac{\partial u}{\partial t} = - \kappa \frac{\partial^{2}u}{{\partial x}^{2}}. -\] \ No newline at end of file + \kappa \frac{\partial^{2}u}{{\partial x}^{2}} +\] +wobei der Stab in diesem Fall auf der X-Achse im Intervall $[0,l]$ liegt. + +Da diese Differentialgleichung das Problem allgemein für einen homogenen +Stab beschreibt, werden zusätzliche Bedingungen benötigt, um beispielsweise +die Lösung für einen Stab zu finden, bei dem die Enden auf konstanter +Tempreatur gehalten werden. + +%%%%%%%%%%%%% Randbedingungen für Stab mit konstanten Endtemperaturen %%%%%%%%% + +\subsubsection{Stab mit Enden auf konstanter Temperatur} + +Die Enden des Stabes auf konstanter Temperatur zu halten bedeutet, dass die +Lösungsfunktion $u(t,x)$ bei $x = 0$ und $x = l$ nur die vorgegebene +Temperatur zurückgeben darf. Es folgen nun +\[ + u(t,0) + = + u(t,l) + = + 0 +\] +als Randbedingungen. + +%%%%%%%%%%%%% Randbedingungen für Stab mit isolierten Enden %%%%%%%%%%%%%%%%%%% + +\subsubsection{Stab mit isolierten Enden} + +Bei isolierten Enden des Stabes können belibige Temperaturen für $x = 0$ und +$x = l$ auftreten. In diesem Fall nicht erlaubt ist es, dass Wärme vom Stab +an die Umgebung oder von der Umgebung an den Stab abgegeben wird. + +Aus der Physik ist bekannt, dass Wärme immer von der höheren zur tieferen +Temperatur fliesst. Um Wärmefluss zu unterdrücken, muss also dafür gesorgt +werden, dass am Rand des Stabes keine Temperaturdifferenz existiert oder +indem die partielle Ableitung von $u(t,x)$ nach $x$ bei $x = 0$ und $x = l$ +verschwinden. Somit folgen +\[ + \frac{\partial}{\partial x} u(t, 0) + = + \frac{\partial}{\partial x} u(t, l) + = + 0 +\] +als Randbedingungen. \ No newline at end of file -- cgit v1.2.1 From d71e2db54a66ac9233757253b85eb678cc3e5f78 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: =?UTF-8?q?Erik=20L=C3=B6ffler?= Date: Wed, 27 Jul 2022 16:19:37 +0200 Subject: Added separation for diff. eq. in fourier example. --- .../sturmliouville/waermeleitung_beispiel.tex | 48 +++++++++++++++++++++- 1 file changed, 46 insertions(+), 2 deletions(-) (limited to 'buch/papers/sturmliouville') diff --git a/buch/papers/sturmliouville/waermeleitung_beispiel.tex b/buch/papers/sturmliouville/waermeleitung_beispiel.tex index 243d0e1..cd7a620 100644 --- a/buch/papers/sturmliouville/waermeleitung_beispiel.tex +++ b/buch/papers/sturmliouville/waermeleitung_beispiel.tex @@ -52,7 +52,7 @@ an die Umgebung oder von der Umgebung an den Stab abgegeben wird. Aus der Physik ist bekannt, dass Wärme immer von der höheren zur tieferen Temperatur fliesst. Um Wärmefluss zu unterdrücken, muss also dafür gesorgt werden, dass am Rand des Stabes keine Temperaturdifferenz existiert oder -indem die partielle Ableitung von $u(t,x)$ nach $x$ bei $x = 0$ und $x = l$ +dass die partiellen Ableitungen von $u(t,x)$ nach $x$ bei $x = 0$ und $x = l$ verschwinden. Somit folgen \[ \frac{\partial}{\partial x} u(t, 0) @@ -61,4 +61,48 @@ verschwinden. Somit folgen = 0 \] -als Randbedingungen. \ No newline at end of file +als Randbedingungen. + +%%%%%%%%%%% Lösung der Differenzialgleichung %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% + +\subsubsection{Lösung der Differenzialgleichung} + +% TODO: Referenz Separationsmethode +% TODO: Formeln sauber in Text einbinden. + +Da die Lösungsfunktion von zwei Variablen abhängig ist, wird als Lösungsansatz +die Separationsmethode verwendet. + +\[ + u(t,x) + = + T(t)X(x) +\] +Dieser Ausdruck wird in die ursprüngliche Differenzialgleichung eingesetzt: +\[ + T^{\prime}(t)X(x) + = + \kappa T(t)X^{\prime \prime}(x) +\] +Nun können alle von $t$ abhängigen Ausdrücke auf die linke Seite, sowie alle +von $x$ abhängigen Ausdrücke auf die rechte Seite gebracht werden und mittels +der neuen Variablen $\mu$ gekoppelt werden: +\[ + \frac{T^{\prime}(t)}{\kappa T(t)} + = + \frac{X^{\prime \prime}(x)}{X(x)} + = + \mu +\] +Durch die Einführung von $\mu$ kann das Problem nun in zwei separate +Differenzialgleichungen aufgeteilt werden: +\[ + T^{\prime}(t) - \kappa \mu T(t) + = + 0 +\] +\[ + X^{\prime \prime}(x) - \mu X(x) + = + 0 +\] -- cgit v1.2.1 From 29fd344738894593ae434a271613815d1aa563ac Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: =?UTF-8?q?Erik=20L=C3=B6ffler?= Date: Thu, 28 Jul 2022 12:56:49 +0200 Subject: Added solutions for heat conduction. --- .../sturmliouville/waermeleitung_beispiel.tex | 32 ++++++++++++++++++++++ 1 file changed, 32 insertions(+) (limited to 'buch/papers/sturmliouville') diff --git a/buch/papers/sturmliouville/waermeleitung_beispiel.tex b/buch/papers/sturmliouville/waermeleitung_beispiel.tex index cd7a620..a493749 100644 --- a/buch/papers/sturmliouville/waermeleitung_beispiel.tex +++ b/buch/papers/sturmliouville/waermeleitung_beispiel.tex @@ -106,3 +106,35 @@ Differenzialgleichungen aufgeteilt werden: = 0 \] + +% TODO: Rechenweg +TODO: Rechenweg... Enden auf konstanter Temperatur: +\[ + u(t,x) + = + \sum_{n=1}^{\infty}a_{n}e^{-\frac{n^{2}\pi^{2}\kappa}{l^{2}}t} + \sin\left(\frac{n\pi}{l}x\right) +\] +\[ + a_{n} + = + \frac{2}{l}\int_{0}^{l}u(0,x)sin\left(\frac{n\pi}{l}x\right) dx +\] + +TODO: Rechenweg... Enden isoliert: +\[ + u(t,x) + = + a_{0} + \sum_{n=1}^{\infty}a_{n}e^{-\frac{n^{2}\pi^{2}\kappa}{l^{2}}t} + \cos\left(\frac{n\pi}{l}x\right) +\] +\[ + a_{0} + = + \frac{1}{l}\int_{0}^{l}u(0,x) dx +\] +\[ + a_{n} + = + \frac{2}{l}\int_{0}^{l}u(0,x)sin\left(\frac{n\pi}{l}x\right) dx +\] -- cgit v1.2.1 From 2fa5e32a5bbb88cb0f676ac080f0bef54623599e Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: =?UTF-8?q?Erik=20L=C3=B6ffler?= Date: Thu, 28 Jul 2022 16:22:07 +0200 Subject: Added solution for T(t) in fourier example. --- .../sturmliouville/waermeleitung_beispiel.tex | 31 +++++++++++++++++++--- 1 file changed, 28 insertions(+), 3 deletions(-) (limited to 'buch/papers/sturmliouville') diff --git a/buch/papers/sturmliouville/waermeleitung_beispiel.tex b/buch/papers/sturmliouville/waermeleitung_beispiel.tex index a493749..b25fc89 100644 --- a/buch/papers/sturmliouville/waermeleitung_beispiel.tex +++ b/buch/papers/sturmliouville/waermeleitung_beispiel.tex @@ -71,19 +71,20 @@ als Randbedingungen. % TODO: Formeln sauber in Text einbinden. Da die Lösungsfunktion von zwei Variablen abhängig ist, wird als Lösungsansatz -die Separationsmethode verwendet. - +die Separationsmethode verwendet. Dazu wird \[ u(t,x) = T(t)X(x) \] -Dieser Ausdruck wird in die ursprüngliche Differenzialgleichung eingesetzt: +in die ursprüngliche Differenzialgleichung eingesetzt. Daraus ergibt sich \[ T^{\prime}(t)X(x) = \kappa T(t)X^{\prime \prime}(x) \] +als neue Form. + Nun können alle von $t$ abhängigen Ausdrücke auf die linke Seite, sowie alle von $x$ abhängigen Ausdrücke auf die rechte Seite gebracht werden und mittels der neuen Variablen $\mu$ gekoppelt werden: @@ -107,6 +108,30 @@ Differenzialgleichungen aufgeteilt werden: 0 \] +Es ist an dieser Stelle zu bemerken, dass die Gleichung in $x$ in +Sturm-Liouville-Form ist. Erfüllen die Randbedingungen des Stab-Problems auch +die Randbedingungen des Sturm-Liouville-Problems, kann bereits die Aussage +getroffen werden, dass alle Lösungen für die Gleichung in $x$ orthogonal sein +werden. + +Widmen wir uns zunächst der ersten Gleichung. Diese Lösen wir über das +charakteristische Polynom +\[ + \lambda - \kappa \mu + = + 0. +\] +Es ist direkt ersichtlich, dass $\lambda = \kappa \mu$ gelten muss, was zur +Lösung +\[ + T(t) + = + e^{\kappa \mu t} +\] +führt. + +Etwas aufwändiger wird es, die zweite Gleichung zu lösen. + % TODO: Rechenweg TODO: Rechenweg... Enden auf konstanter Temperatur: \[ -- cgit v1.2.1 From 02ad63db71adf381e21c0230c502c3ead7e11ecc Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: haddoucher Date: Fri, 29 Jul 2022 16:49:36 +0200 Subject: erste Variante Einleitung Kapitel "Was ist das Sturm-Liouville-Problem" --- buch/papers/sturmliouville/einleitung.tex | 58 ++++++++++++++++++++++++++++++- buch/papers/sturmliouville/main.tex | 1 + 2 files changed, 58 insertions(+), 1 deletion(-) (limited to 'buch/papers/sturmliouville') diff --git a/buch/papers/sturmliouville/einleitung.tex b/buch/papers/sturmliouville/einleitung.tex index 384a642..ec37a3f 100644 --- a/buch/papers/sturmliouville/einleitung.tex +++ b/buch/papers/sturmliouville/einleitung.tex @@ -3,7 +3,63 @@ % % (c) 2020 Prof Dr Andreas Müller, Hochschule Rapperswil % -\section{Was ist Sturm-Liouville-Problem\label{sturmliouville:section:teil0}} +\section{Was ist das Sturm-Liouville-Problem\label{sturmliouville:section:teil0}} \rhead{Einleitung} +Das Sturm-Liouville-Problem wurde benannt nach dem schweizerisch-französischer Mathematiker und Physiker Jacques Charles Fran\c{c}ois Sturm und dem französischer Mathematiker Joseph Liouville. +Gemeinsam haben sie in der mathematischen Physik die Sturm-Liouville-Theorie entwickelt und gilt für die Lösung von gewohnlichen Differentialgleichungen, jedoch verwendet man die Theorie öfters bei der Lösung von partiellen Differentialgleichungen. +Normalerweise betrachtet man für das Strum-Liouville-Problem eine gewöhnliche Differentialgleichung 2. Ordnung, und wenn es sich um eine partielle Differentialgleichung handelt, kann man sie mit Hilfe einiger Methoden in mehrere gewöhnliche Differentialgleichungen umwandeln, wie z. B. den Separationsansatz, die partielle Differentialgleichung mit mehreren Variablen. +Angenommen man hat die lineare homogene Differentialgleichung + +\begin{equation} + \frac{d^2y}{dx^2} + a(x)\frac{dy}{dx} + b(x)y = 0 +\end{equation} + +und schreibt die Gleichung um in: + +\begin{equation} + \label{eq:sturm-liouville-equation} + \frac{d}{dx}\lbrack p(x) \frac{dy}{dx} \rbrack + \lbrack q(x) + \lambda w(x) \rbrack y = 0 +\end{equation}, + +diese Gleichung wird dann Sturm-liouville-Gleichung bezeichnet. +Alle homogene 2.Ordnung lineare gewöhnliche Differentialgleichungen können in die Form der Gleichung \ref{eq:sturm-liouville-equation} umgeformt werden. +Die Sturm-Liouville-Theorie besagt, dass, wenn man die Sturm-Liouville-Gleichung mit den homogenen Randbedingungen + +\begin{equation} +\begin{aligned} + \label{ali:randbedingungen} + k_a y(a) + h_a p(a) y'(a) &= 0 \\ + k_b y(b) + h_b p(b) y'(b) &= 0 +\end{aligned} +\end{equation} + +kombiniert, wie schon im Kapitel \ref{sub:differentailgleichung} erwähnt, auf dem Intervall (a,b), dann bekommt man das klassische Sturm-Liouville-Problem. +Lösungen die nicht Null sind, werden nicht betrachtet und diese zwei Gleichungen (\ref{eq:sturm-liouville-equation} und \ref{ali:randbedingungen}) kombiniert, nennt man Eigenfunktionen. +Wenn bei der Sturm-Liouville-Gleichung \ref{eq:sturm-liouville-equation} alles konstant bleibt, aber der Wert von $\lambda$ sich ändert, erhält man eine andere Eigenfunktion, weil man eine andere gewöhnliche Differentialgleichung löst; +der Parameter $\lambda$ wird als Eigenwert bezeichnet. +Es ist genau das gleiche Prinzip wie bei den Matrizen, andere Eigenwerte ergeben andere Eigenvektoren. +Es besteht eine Korrespondenz zwischen den Eigenwerten und den Eigenvektoren. +Das gleiche gilt auch beim Sturm-Liouville-Problem, und zwar + +\begin{equation} + \lambda \overset{Korrespondenz}\leftrightarrow y +\end{equation}. + +Die Theorie besagt, wenn $y_m$, $y_n$ Eigenfuktionen des Sturm-Liouville-Problems sind, die verschiedene Eigenwerte $\lambda_m$, $\lambda_n$ ($\lambda_m \neq \lambda_n$) entsprechen, so sind $y_m$, $y_n$ orthogonal zu y - +dies gilt für das Intervall (a,b). +Somit ergibt die Gleichung + +\begin{equation} + \int_{a}^{b} w(x)y_m y_n = 0 +\end{equation}. + +Die Funktionen $p(x)$, $q(x)$ und $w(x)$ werden als Koeffizientenfunktionen mit ihren freien Variablen $x$ bezeichnet. Die Funktion $w(x)$ (manchmal auch $r(x)$ genannt) wird als Gewichtsfunktion oder Dichtefunktion bezeichnet. + + + + + + + diff --git a/buch/papers/sturmliouville/main.tex b/buch/papers/sturmliouville/main.tex index dfd2c38..4c25843 100644 --- a/buch/papers/sturmliouville/main.tex +++ b/buch/papers/sturmliouville/main.tex @@ -10,6 +10,7 @@ + \input{papers/sturmliouville/einleitung.tex} %einleitung "was ist das sturm-liouville-problem" ng\input{papers/sturmliouville/eigenschaften.tex} -- cgit v1.2.1 From de76ac03caa4e7a09a99fe1271fb6a22a809ade2 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: haddoucher Date: Tue, 2 Aug 2022 17:38:32 +0200 Subject: Was ist das Sturm-Liouville-Problem erste Version --- buch/papers/sturmliouville/einleitung.tex | 48 ++++++++++++++++++++++++++++--- 1 file changed, 44 insertions(+), 4 deletions(-) (limited to 'buch/papers/sturmliouville') diff --git a/buch/papers/sturmliouville/einleitung.tex b/buch/papers/sturmliouville/einleitung.tex index ec37a3f..7d39cf4 100644 --- a/buch/papers/sturmliouville/einleitung.tex +++ b/buch/papers/sturmliouville/einleitung.tex @@ -23,17 +23,30 @@ und schreibt die Gleichung um in: diese Gleichung wird dann Sturm-liouville-Gleichung bezeichnet. Alle homogene 2.Ordnung lineare gewöhnliche Differentialgleichungen können in die Form der Gleichung \ref{eq:sturm-liouville-equation} umgeformt werden. -Die Sturm-Liouville-Theorie besagt, dass, wenn man die Sturm-Liouville-Gleichung mit den homogenen Randbedingungen +Die Sturm-Liouville-Theorie besagt, dass, wenn man die Sturm-Liouville-Gleichung mit den homogenen Randbedingungen des dritten Typs\footnote{Die Randbedingung des dritten Typs, oder Robin-Randbedingungen (benannt nach dem französischen mathematischen Analytiker und angewandten Mathematiker Victor Gustave Robin), wird genannt, wenn sie einer gewöhnlichen oder partiellen Differentialgleichung auferlegt wird, so sind die Spezifikationen einer Linearkombination der Werte einer Funktion sowie die Werte ihrer Ableitung am Rande des Bereichs} \begin{equation} \begin{aligned} - \label{ali:randbedingungen} + \label{eq:randbedingungen} k_a y(a) + h_a p(a) y'(a) &= 0 \\ k_b y(b) + h_b p(b) y'(b) &= 0 \end{aligned} \end{equation} - + kombiniert, wie schon im Kapitel \ref{sub:differentailgleichung} erwähnt, auf dem Intervall (a,b), dann bekommt man das klassische Sturm-Liouville-Problem. +Wenn von der Funktion $y(x)$ die Werte $x$ des jeweiligen Randes des Definitionsbereiches anzunehmen sind,also + +\begin{equation} + y(a) = y(b) = 0 +\end{equation} + +, so spricht man von einer Dirichlet-Randbedingung, und von einer Neumann-Randbedingung spricht man, wenn + +\begin{equation} + y'(a) = y'(b) = 0 +\end{equation} + +ergibt - die Existenz und Eindeutigkeit der Lösung kann mit den zwei Randbedingungen sichergestellt werden Lösungen die nicht Null sind, werden nicht betrachtet und diese zwei Gleichungen (\ref{eq:sturm-liouville-equation} und \ref{ali:randbedingungen}) kombiniert, nennt man Eigenfunktionen. Wenn bei der Sturm-Liouville-Gleichung \ref{eq:sturm-liouville-equation} alles konstant bleibt, aber der Wert von $\lambda$ sich ändert, erhält man eine andere Eigenfunktion, weil man eine andere gewöhnliche Differentialgleichung löst; der Parameter $\lambda$ wird als Eigenwert bezeichnet. @@ -53,10 +66,37 @@ Somit ergibt die Gleichung \int_{a}^{b} w(x)y_m y_n = 0 \end{equation}. -Die Funktionen $p(x)$, $q(x)$ und $w(x)$ werden als Koeffizientenfunktionen mit ihren freien Variablen $x$ bezeichnet. Die Funktion $w(x)$ (manchmal auch $r(x)$ genannt) wird als Gewichtsfunktion oder Dichtefunktion bezeichnet. +Die Funktionen $p(x)$, $q(x)$ und $w(x)$ werden als Koeffizientenfunktionen mit ihren freien Variablen $x$ bezeichnet. +Die Funktion $w(x)$ (manchmal auch $r(x)$ genannt) wird als Gewichtsfunktion oder Dichtefunktion bezeichnet. +Es gibt zwei verschiedene Sturm-Liouville-Probleme: das reguläre Sturm-Liouville-Problem und das singuläre Sturm-Liouville-Problem. +Die Funktionen für das reguläre und das singuläre Sturm-Liouville-Problem sind nicht dieselben. + +\subsection{Das reguläre Sturm-Liouville-Problem\label{sub:reguläre_sturm_liouville_problem}} +Damit es sich um ein reguläres Sturm-Liouville-Problem handelt, müssen einige Bedingungen beachtet werden. + +\begin{itemize} + \item Die Funktionen $p(x), p'(x), q(x)$ und $w(x)$ müssen stetig und reell sein. + \item sowie müssen in einem Endlichen Intervall $[ \ a,b] \ $ integrierbar sein. + \item $p(x)^{-1}$ und $w(x)$ sind $>0$. + \item Es gelten die Randbedingungen \ref{eq:randbedingungen}, wobei $|k_i|^2 + |h_i|^2\ne 0$ mit $i=a,b$. +\end{itemize} + +Bei einem regulären Sturm-Liouville-Problem geht es darum, ohne genaue Kenntnis der Eigenfunktionen diese dennoch beschreiben zu können. + +\subsection{Das singuläre Sturm-Liouville-Problem\label{sub:singuläre_sturm_liouville_problem}} +Von einem singulären Sturm-Liouville-Problem spricht man, wenn die oben genannten Bedingungen nicht erfüllt sind, d.h: +\begin{itemize} + \item wenn sein Definitionsbereich auf dem Intervall $[ \ a,b] \ $ unbeschränkt ist oder + \item wenn die Koeffizienten an den Randpunkten Singularitäten haben. +\end{itemize} +Allerdings kann nur eine der Bedingungen nicht erfüllt sein, so dass es sich bereits um ein singuläres Sturm-Liouville-Problem handelt. +Verwendet man das reguläre Sturm-Liouville-Problem, obwohl eine oder beide Bedingungen nicht erfüllt sind, dann ist es schwierig zu sagen, ob die Lösung fundierte Ergebnisse hat. +Es ist schwierig, bestehende Kriterien anzuwenden, da die Formulierungen z.B. in der Lösungsfunktion liegen. +Das Spektrum besteht im singulärem Problem nicht mehr nur aus Eigenwerte, sondern kann auch einen stetigen Anteil enthalten. +Ähnlich wie bei der Fourier-Reihe gegenüber der Fourier-Transformation gibt es immer noch eine zugehörige Eigenfunktionsentwicklung, und zwar die Integraltransformation sowie gibt es weiterhin eine verallgemeinerte Eigenfunktionen. -- cgit v1.2.1 From 796815b4b22a3cae2db58125be8045a72fe30471 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: haddoucher Date: Tue, 2 Aug 2022 21:17:50 +0200 Subject: Update einleitung.tex Korrektur der Einleitung --- buch/papers/sturmliouville/einleitung.tex | 84 ++++++++++++++++++++----------- 1 file changed, 54 insertions(+), 30 deletions(-) (limited to 'buch/papers/sturmliouville') diff --git a/buch/papers/sturmliouville/einleitung.tex b/buch/papers/sturmliouville/einleitung.tex index 7d39cf4..44c3192 100644 --- a/buch/papers/sturmliouville/einleitung.tex +++ b/buch/papers/sturmliouville/einleitung.tex @@ -8,23 +8,23 @@ Das Sturm-Liouville-Problem wurde benannt nach dem schweizerisch-französischer Mathematiker und Physiker Jacques Charles Fran\c{c}ois Sturm und dem französischer Mathematiker Joseph Liouville. Gemeinsam haben sie in der mathematischen Physik die Sturm-Liouville-Theorie entwickelt und gilt für die Lösung von gewohnlichen Differentialgleichungen, jedoch verwendet man die Theorie öfters bei der Lösung von partiellen Differentialgleichungen. Normalerweise betrachtet man für das Strum-Liouville-Problem eine gewöhnliche Differentialgleichung 2. Ordnung, und wenn es sich um eine partielle Differentialgleichung handelt, kann man sie mit Hilfe einiger Methoden in mehrere gewöhnliche Differentialgleichungen umwandeln, wie z. B. den Separationsansatz, die partielle Differentialgleichung mit mehreren Variablen. -Angenommen man hat die lineare homogene Differentialgleichung +\begin{definition} + \index{Sturm-Liouville-Gleichung} +Angenommen man hat die lineare homogene Differentialgleichung \begin{equation} \frac{d^2y}{dx^2} + a(x)\frac{dy}{dx} + b(x)y = 0 \end{equation} - und schreibt die Gleichung um in: - \begin{equation} \label{eq:sturm-liouville-equation} \frac{d}{dx}\lbrack p(x) \frac{dy}{dx} \rbrack + \lbrack q(x) + \lambda w(x) \rbrack y = 0 -\end{equation}, +\end{equation} +, diese Gleichung wird dann Sturm-liouville-Gleichung bezeichnet. +\end{definition} -diese Gleichung wird dann Sturm-liouville-Gleichung bezeichnet. Alle homogene 2.Ordnung lineare gewöhnliche Differentialgleichungen können in die Form der Gleichung \ref{eq:sturm-liouville-equation} umgeformt werden. Die Sturm-Liouville-Theorie besagt, dass, wenn man die Sturm-Liouville-Gleichung mit den homogenen Randbedingungen des dritten Typs\footnote{Die Randbedingung des dritten Typs, oder Robin-Randbedingungen (benannt nach dem französischen mathematischen Analytiker und angewandten Mathematiker Victor Gustave Robin), wird genannt, wenn sie einer gewöhnlichen oder partiellen Differentialgleichung auferlegt wird, so sind die Spezifikationen einer Linearkombination der Werte einer Funktion sowie die Werte ihrer Ableitung am Rande des Bereichs} - \begin{equation} \begin{aligned} \label{eq:randbedingungen} @@ -32,28 +32,22 @@ Die Sturm-Liouville-Theorie besagt, dass, wenn man die Sturm-Liouville-Gleichung k_b y(b) + h_b p(b) y'(b) &= 0 \end{aligned} \end{equation} - kombiniert, wie schon im Kapitel \ref{sub:differentailgleichung} erwähnt, auf dem Intervall (a,b), dann bekommt man das klassische Sturm-Liouville-Problem. -Wenn von der Funktion $y(x)$ die Werte $x$ des jeweiligen Randes des Definitionsbereiches anzunehmen sind,also - +Wenn von der Funktion $y(x)$ die Werte $x$ des jeweiligen Randes des Definitionsbereiches anzunehmen sind, also \begin{equation} y(a) = y(b) = 0 \end{equation} - , so spricht man von einer Dirichlet-Randbedingung, und von einer Neumann-Randbedingung spricht man, wenn - \begin{equation} y'(a) = y'(b) = 0 \end{equation} - -ergibt - die Existenz und Eindeutigkeit der Lösung kann mit den zwei Randbedingungen sichergestellt werden -Lösungen die nicht Null sind, werden nicht betrachtet und diese zwei Gleichungen (\ref{eq:sturm-liouville-equation} und \ref{ali:randbedingungen}) kombiniert, nennt man Eigenfunktionen. +ergibt - die Existenz und Eindeutigkeit der Lösung kann mit den zwei Randbedingungen sichergestellt werden. +Lösungen die nicht Null sind, werden nicht betrachtet und diese zwei Gleichungen (\ref{eq:sturm-liouville-equation} und \ref{eq:randbedingungen}) kombiniert, nennt man Eigenfunktionen. Wenn bei der Sturm-Liouville-Gleichung \ref{eq:sturm-liouville-equation} alles konstant bleibt, aber der Wert von $\lambda$ sich ändert, erhält man eine andere Eigenfunktion, weil man eine andere gewöhnliche Differentialgleichung löst; der Parameter $\lambda$ wird als Eigenwert bezeichnet. Es ist genau das gleiche Prinzip wie bei den Matrizen, andere Eigenwerte ergeben andere Eigenvektoren. Es besteht eine Korrespondenz zwischen den Eigenwerten und den Eigenvektoren. Das gleiche gilt auch beim Sturm-Liouville-Problem, und zwar - \begin{equation} \lambda \overset{Korrespondenz}\leftrightarrow y \end{equation}. @@ -61,7 +55,6 @@ Das gleiche gilt auch beim Sturm-Liouville-Problem, und zwar Die Theorie besagt, wenn $y_m$, $y_n$ Eigenfuktionen des Sturm-Liouville-Problems sind, die verschiedene Eigenwerte $\lambda_m$, $\lambda_n$ ($\lambda_m \neq \lambda_n$) entsprechen, so sind $y_m$, $y_n$ orthogonal zu y - dies gilt für das Intervall (a,b). Somit ergibt die Gleichung - \begin{equation} \int_{a}^{b} w(x)y_m y_n = 0 \end{equation}. @@ -71,28 +64,60 @@ Die Funktion $w(x)$ (manchmal auch $r(x)$ genannt) wird als Gewichtsfunktion ode Es gibt zwei verschiedene Sturm-Liouville-Probleme: das reguläre Sturm-Liouville-Problem und das singuläre Sturm-Liouville-Problem. Die Funktionen für das reguläre und das singuläre Sturm-Liouville-Problem sind nicht dieselben. +% +%Kapitel mit "Das reguläre Sturm-Liouville-Problem" +% + \subsection{Das reguläre Sturm-Liouville-Problem\label{sub:reguläre_sturm_liouville_problem}} Damit es sich um ein reguläres Sturm-Liouville-Problem handelt, müssen einige Bedingungen beachtet werden. +\begin{definition} + \index{regläres Sturm-Liouville-Problem} + Die Bedingungen für ein reguläres Sturm-Liouville-Problem sind: + \begin{itemize} + \item Die Funktionen $p(x), p'(x), q(x)$ und $w(x)$ müssen stetig und reell sein. + \item sowie müssen in einem Endlichen Intervall $[ \ a,b] \ $ integrierbar sein. + \item $p(x)^{-1}$ und $w(x)$ sind $>0$. + \item Es gelten die Randbedingungen \ref{eq:randbedingungen}, wobei $|k_i|^2 + |h_i|^2\ne 0$ mit $i=a,b$. + \end{itemize} +\end{definition} +Bei einem regulären Sturm-Liouville-Problem geht es darum, ohne genaue Kenntnis der Eigenfunktionen diese dennoch beschreiben zu können. -\begin{itemize} - \item Die Funktionen $p(x), p'(x), q(x)$ und $w(x)$ müssen stetig und reell sein. - \item sowie müssen in einem Endlichen Intervall $[ \ a,b] \ $ integrierbar sein. - \item $p(x)^{-1}$ und $w(x)$ sind $>0$. - \item Es gelten die Randbedingungen \ref{eq:randbedingungen}, wobei $|k_i|^2 + |h_i|^2\ne 0$ mit $i=a,b$. -\end{itemize} -Bei einem regulären Sturm-Liouville-Problem geht es darum, ohne genaue Kenntnis der Eigenfunktionen diese dennoch beschreiben zu können. +% +%Kapitel mit "Das singuläre Sturm-Liouville-Problem" +% \subsection{Das singuläre Sturm-Liouville-Problem\label{sub:singuläre_sturm_liouville_problem}} -Von einem singulären Sturm-Liouville-Problem spricht man, wenn die oben genannten Bedingungen nicht erfüllt sind, d.h: +Von einem singulären Sturm-Liouville-Problem spricht man, wenn die Bedingungen des regulärem Problem nicht erfüllt sind. +\begin{definition} + \index{singuläres Sturm-Liouville-Problem} +Es handelt sich um ein singuläres Sturm-Liouville-Problem, wenn: + \begin{itemize} + \item wenn sein Definitionsbereich auf dem Intervall $[ \ a,b] \ $ unbeschränkt ist oder + \item wenn die Koeffizienten an den Randpunkten Singularitäten haben. + \end{itemize} +\end{definition} +Allerdings kann nur eine der Bedingungen nicht erfüllt sein, so dass es sich bereits um ein singuläres Sturm-Liouville-Problem handelt. -\begin{itemize} - \item wenn sein Definitionsbereich auf dem Intervall $[ \ a,b] \ $ unbeschränkt ist oder - \item wenn die Koeffizienten an den Randpunkten Singularitäten haben. -\end{itemize} +\begin{beispiel} + Das Randwertproblem + \begin{equation} + \begin{aligned} + x^2y'' + xy' + (\lambda^2x^2 - m^2)y &= 0, 0 Date: Fri, 5 Aug 2022 11:27:41 +0200 Subject: Resolved issue in main.tex --- buch/papers/sturmliouville/main.tex | 1 - 1 file changed, 1 deletion(-) (limited to 'buch/papers/sturmliouville') diff --git a/buch/papers/sturmliouville/main.tex b/buch/papers/sturmliouville/main.tex index 559a448..4b5b8af 100644 --- a/buch/papers/sturmliouville/main.tex +++ b/buch/papers/sturmliouville/main.tex @@ -9,7 +9,6 @@ \begin{refsection} \chapterauthor{Réda Haddouche und Erik Löffler} -<<<<<<< HEAD \input{papers/sturmliouville/einleitung.tex} %einleitung "was ist das sturm-liouville-problem" \input{papers/sturmliouville/eigenschaften.tex} -- cgit v1.2.1 From 6ec66a72b31ad7a47eb54d373d24f494318d35fb Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: =?UTF-8?q?Erik=20L=C3=B6ffler?= Date: Fri, 5 Aug 2022 12:05:26 +0200 Subject: Added partial solution to X equation. --- .../sturmliouville/waermeleitung_beispiel.tex | 60 +++++++++++++++++++++- 1 file changed, 59 insertions(+), 1 deletion(-) (limited to 'buch/papers/sturmliouville') diff --git a/buch/papers/sturmliouville/waermeleitung_beispiel.tex b/buch/papers/sturmliouville/waermeleitung_beispiel.tex index b25fc89..cc88f6a 100644 --- a/buch/papers/sturmliouville/waermeleitung_beispiel.tex +++ b/buch/papers/sturmliouville/waermeleitung_beispiel.tex @@ -130,7 +130,65 @@ Lösung \] führt. -Etwas aufwändiger wird es, die zweite Gleichung zu lösen. +Etwas aufwändiger wird es, die zweite Gleichung zu lösen. Aufgrund der Struktur +der Gleichung +\[ + X^{\prime \prime}(x) - \mu X(x) + = + 0 +\] +wird ein trigonometrischer Ansatz gewählt. Die Lösungen für $X(x)$ sind also +von der Form +\[ + X(x) + = + A \sin \left( \alpha x\right) + B \cos \left( \beta x\right). +\] + +Dieser Ansatz wird nun solange differenziert, bis alle in Gleichung (TODO: ref) +enthaltenen Ableitungen vorhanden sind. Man erhält also +\[ + X^{\prime}(x) + = + A \alpha \cos \left( \alpha x \right) - + B \beta \sin \left( \beta x \right) +\] +und +\[ + X^{\prime \prime}(x) + = + -A \alpha^{2} \sin \left( \alpha x \right) - + B \beta^{2} \cos \left( \beta x \right). +\] + +Eingesetzt in Gleichung (TDOD: ref) ergibt dies +\[ + -A\alpha^{2}\sin(\alpha x) - B\beta^{2}\cos(\beta x) - + \mu\left(A\sin(\alpha x) + B\cos(\beta x)\right) + = + 0 +\] +und durch umformen somit +\[ + \mu A\sin(\alpha x) + \mu B\cos(\beta x) + = + A\alpha^{2}\sin(\alpha x) + B\beta^{2}\cos(\beta x). +\] + +Durch Koeffizientenvergleich von +\[ + \mu A\sin(\alpha x) + = + A\alpha^{2}\sin(\alpha x) +\] +\[ + \mu B\cos(\beta x) + = + B\beta^{2}\cos(\beta x) +\] +ist schnell ersichtlich, dass $ \mu = \alpha^{2} = \beta^{2} $ gelten muss für +$ A \neq 0 $ und $ B \neq 0 $. Zur Berechnung von $ \mu $ bleiben also noch +$ \alpha $ und $ \beta $ zu bestimmen. % TODO: Rechenweg TODO: Rechenweg... Enden auf konstanter Temperatur: -- cgit v1.2.1 From ebbf6e36246d36a2ec842b8c89a1f09a5dbec9de Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: =?UTF-8?q?Erik=20L=C3=B6ffler?= Date: Mon, 8 Aug 2022 10:27:50 +0200 Subject: Corrected sign error in coefficient comparison. --- buch/papers/sturmliouville/waermeleitung_beispiel.tex | 14 +++++++------- 1 file changed, 7 insertions(+), 7 deletions(-) (limited to 'buch/papers/sturmliouville') diff --git a/buch/papers/sturmliouville/waermeleitung_beispiel.tex b/buch/papers/sturmliouville/waermeleitung_beispiel.tex index cc88f6a..7310186 100644 --- a/buch/papers/sturmliouville/waermeleitung_beispiel.tex +++ b/buch/papers/sturmliouville/waermeleitung_beispiel.tex @@ -170,23 +170,23 @@ Eingesetzt in Gleichung (TDOD: ref) ergibt dies \] und durch umformen somit \[ - \mu A\sin(\alpha x) + \mu B\cos(\beta x) + -A\alpha^{2}\sin(\alpha x) - B\beta^{2}\cos(\beta x) = - A\alpha^{2}\sin(\alpha x) + B\beta^{2}\cos(\beta x). + \mu A\sin(\alpha x) + \mu B\cos(\beta x). \] Durch Koeffizientenvergleich von \[ - \mu A\sin(\alpha x) + -A\alpha^{2}\sin(\alpha x) = - A\alpha^{2}\sin(\alpha x) + \mu A\sin(\alpha x) \] \[ - \mu B\cos(\beta x) + -B\beta^{2}\cos(\beta x) = - B\beta^{2}\cos(\beta x) + \mu B\cos(\beta x) \] -ist schnell ersichtlich, dass $ \mu = \alpha^{2} = \beta^{2} $ gelten muss für +ist schnell ersichtlich, dass $ \mu = -\alpha^{2} = -\beta^{2} $ gelten muss für $ A \neq 0 $ und $ B \neq 0 $. Zur Berechnung von $ \mu $ bleiben also noch $ \alpha $ und $ \beta $ zu bestimmen. -- cgit v1.2.1 From 2b1eb4b5979f4e0e7f2eee7414a8e0b3d9eae402 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: =?UTF-8?q?Erik=20L=C3=B6ffler?= Date: Mon, 8 Aug 2022 13:04:13 +0200 Subject: Changed equation syntax to match rest of the Sturm-Liouville chapter. --- .../sturmliouville/waermeleitung_beispiel.tex | 106 ++++++++++----------- 1 file changed, 50 insertions(+), 56 deletions(-) (limited to 'buch/papers/sturmliouville') diff --git a/buch/papers/sturmliouville/waermeleitung_beispiel.tex b/buch/papers/sturmliouville/waermeleitung_beispiel.tex index 7310186..0c9dd8e 100644 --- a/buch/papers/sturmliouville/waermeleitung_beispiel.tex +++ b/buch/papers/sturmliouville/waermeleitung_beispiel.tex @@ -1,6 +1,5 @@ % % waermeleitung_beispiel.tex -- Beispiel Wärmeleitung in homogenem Stab. -%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Erster Entwurf %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% % % (c) 2020 Prof Dr Andreas Müller, Hochschule Rapperswil % @@ -14,10 +13,10 @@ physikalischen Phänomenes auftritt. Zunächst wird ein eindimensionaler homogener Stab der Länge $l$ und Wärmeleitkoeffizient $\kappa$. Somit ergibt sich für das Wärmeleitungsproblem die partielle Differentialgleichung -\[ +\begin{equation} \frac{\partial u}{\partial t} = \kappa \frac{\partial^{2}u}{{\partial x}^{2}} -\] +\end{equation} wobei der Stab in diesem Fall auf der X-Achse im Intervall $[0,l]$ liegt. Da diese Differentialgleichung das Problem allgemein für einen homogenen @@ -32,13 +31,13 @@ Tempreatur gehalten werden. Die Enden des Stabes auf konstanter Temperatur zu halten bedeutet, dass die Lösungsfunktion $u(t,x)$ bei $x = 0$ und $x = l$ nur die vorgegebene Temperatur zurückgeben darf. Es folgen nun -\[ +\begin{equation} u(t,0) = u(t,l) = 0 -\] +\end{equation} als Randbedingungen. %%%%%%%%%%%%% Randbedingungen für Stab mit isolierten Enden %%%%%%%%%%%%%%%%%%% @@ -54,13 +53,13 @@ Temperatur fliesst. Um Wärmefluss zu unterdrücken, muss also dafür gesorgt werden, dass am Rand des Stabes keine Temperaturdifferenz existiert oder dass die partiellen Ableitungen von $u(t,x)$ nach $x$ bei $x = 0$ und $x = l$ verschwinden. Somit folgen -\[ +\begin{equation} \frac{\partial}{\partial x} u(t, 0) = \frac{\partial}{\partial x} u(t, l) = 0 -\] +\end{equation} als Randbedingungen. %%%%%%%%%%% Lösung der Differenzialgleichung %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% @@ -72,41 +71,40 @@ als Randbedingungen. Da die Lösungsfunktion von zwei Variablen abhängig ist, wird als Lösungsansatz die Separationsmethode verwendet. Dazu wird -\[ +\begin{equation} u(t,x) = T(t)X(x) -\] +\end{equation} in die ursprüngliche Differenzialgleichung eingesetzt. Daraus ergibt sich -\[ +\begin{equation} T^{\prime}(t)X(x) = \kappa T(t)X^{\prime \prime}(x) -\] +\end{equation} als neue Form. Nun können alle von $t$ abhängigen Ausdrücke auf die linke Seite, sowie alle von $x$ abhängigen Ausdrücke auf die rechte Seite gebracht werden und mittels der neuen Variablen $\mu$ gekoppelt werden: -\[ +\begin{equation} \frac{T^{\prime}(t)}{\kappa T(t)} = \frac{X^{\prime \prime}(x)}{X(x)} = \mu -\] +\end{equation} Durch die Einführung von $\mu$ kann das Problem nun in zwei separate Differenzialgleichungen aufgeteilt werden: -\[ +\begin{equation} T^{\prime}(t) - \kappa \mu T(t) - = + &= 0 -\] -\[ + \\ X^{\prime \prime}(x) - \mu X(x) - = + &= 0 -\] +\end{equation} Es ist an dieser Stelle zu bemerken, dass die Gleichung in $x$ in Sturm-Liouville-Form ist. Erfüllen die Randbedingungen des Stab-Problems auch @@ -116,108 +114,104 @@ werden. Widmen wir uns zunächst der ersten Gleichung. Diese Lösen wir über das charakteristische Polynom -\[ +\begin{equation} \lambda - \kappa \mu = 0. -\] +\end{equation} Es ist direkt ersichtlich, dass $\lambda = \kappa \mu$ gelten muss, was zur Lösung -\[ +\begin{equation} T(t) = e^{\kappa \mu t} -\] +\end{equation} führt. Etwas aufwändiger wird es, die zweite Gleichung zu lösen. Aufgrund der Struktur der Gleichung -\[ +\begin{equation} X^{\prime \prime}(x) - \mu X(x) = 0 -\] +\end{equation} wird ein trigonometrischer Ansatz gewählt. Die Lösungen für $X(x)$ sind also von der Form -\[ +\begin{equation} X(x) = A \sin \left( \alpha x\right) + B \cos \left( \beta x\right). -\] +\end{equation} Dieser Ansatz wird nun solange differenziert, bis alle in Gleichung (TODO: ref) enthaltenen Ableitungen vorhanden sind. Man erhält also -\[ +\begin{equation} X^{\prime}(x) = A \alpha \cos \left( \alpha x \right) - B \beta \sin \left( \beta x \right) -\] +\end{equation} und -\[ +\begin{equation} X^{\prime \prime}(x) = -A \alpha^{2} \sin \left( \alpha x \right) - B \beta^{2} \cos \left( \beta x \right). -\] +\end{equation} Eingesetzt in Gleichung (TDOD: ref) ergibt dies -\[ +\begin{equation} -A\alpha^{2}\sin(\alpha x) - B\beta^{2}\cos(\beta x) - \mu\left(A\sin(\alpha x) + B\cos(\beta x)\right) = 0 -\] +\end{equation} und durch umformen somit -\[ +\begin{equation} -A\alpha^{2}\sin(\alpha x) - B\beta^{2}\cos(\beta x) = \mu A\sin(\alpha x) + \mu B\cos(\beta x). -\] +\end{equation} Durch Koeffizientenvergleich von -\[ +\begin{equation} -A\alpha^{2}\sin(\alpha x) - = + &= \mu A\sin(\alpha x) -\] -\[ + \\ -B\beta^{2}\cos(\beta x) - = + &= \mu B\cos(\beta x) -\] +\end{equation} ist schnell ersichtlich, dass $ \mu = -\alpha^{2} = -\beta^{2} $ gelten muss für $ A \neq 0 $ und $ B \neq 0 $. Zur Berechnung von $ \mu $ bleiben also noch $ \alpha $ und $ \beta $ zu bestimmen. % TODO: Rechenweg TODO: Rechenweg... Enden auf konstanter Temperatur: -\[ +\begin{equation} u(t,x) - = + &= \sum_{n=1}^{\infty}a_{n}e^{-\frac{n^{2}\pi^{2}\kappa}{l^{2}}t} \sin\left(\frac{n\pi}{l}x\right) -\] -\[ + \\ a_{n} - = + &= \frac{2}{l}\int_{0}^{l}u(0,x)sin\left(\frac{n\pi}{l}x\right) dx -\] +\end{equation} TODO: Rechenweg... Enden isoliert: -\[ +\begin{equation} u(t,x) - = + &= a_{0} + \sum_{n=1}^{\infty}a_{n}e^{-\frac{n^{2}\pi^{2}\kappa}{l^{2}}t} \cos\left(\frac{n\pi}{l}x\right) -\] -\[ + \\ a_{0} - = + &= \frac{1}{l}\int_{0}^{l}u(0,x) dx -\] -\[ + \\ a_{n} - = + &= \frac{2}{l}\int_{0}^{l}u(0,x)sin\left(\frac{n\pi}{l}x\right) dx -\] +\end{equation} -- cgit v1.2.1 From 95ce389d41871e3e1a7dba350bf3dcdc1d67f80c Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: =?UTF-8?q?Erik=20L=C3=B6ffler?= Date: Mon, 8 Aug 2022 13:12:23 +0200 Subject: Fixed alignment issue in fourier example. --- buch/papers/sturmliouville/waermeleitung_beispiel.tex | 8 ++++++++ 1 file changed, 8 insertions(+) (limited to 'buch/papers/sturmliouville') diff --git a/buch/papers/sturmliouville/waermeleitung_beispiel.tex b/buch/papers/sturmliouville/waermeleitung_beispiel.tex index 0c9dd8e..27a7574 100644 --- a/buch/papers/sturmliouville/waermeleitung_beispiel.tex +++ b/buch/papers/sturmliouville/waermeleitung_beispiel.tex @@ -97,6 +97,7 @@ der neuen Variablen $\mu$ gekoppelt werden: Durch die Einführung von $\mu$ kann das Problem nun in zwei separate Differenzialgleichungen aufgeteilt werden: \begin{equation} +\begin{aligned} T^{\prime}(t) - \kappa \mu T(t) &= 0 @@ -104,6 +105,7 @@ Differenzialgleichungen aufgeteilt werden: X^{\prime \prime}(x) - \mu X(x) &= 0 +\end{aligned} \end{equation} Es ist an dieser Stelle zu bemerken, dass die Gleichung in $x$ in @@ -175,6 +177,7 @@ und durch umformen somit Durch Koeffizientenvergleich von \begin{equation} +\begin{aligned} -A\alpha^{2}\sin(\alpha x) &= \mu A\sin(\alpha x) @@ -182,6 +185,7 @@ Durch Koeffizientenvergleich von -B\beta^{2}\cos(\beta x) &= \mu B\cos(\beta x) +\end{aligned} \end{equation} ist schnell ersichtlich, dass $ \mu = -\alpha^{2} = -\beta^{2} $ gelten muss für $ A \neq 0 $ und $ B \neq 0 $. Zur Berechnung von $ \mu $ bleiben also noch @@ -190,6 +194,7 @@ $ \alpha $ und $ \beta $ zu bestimmen. % TODO: Rechenweg TODO: Rechenweg... Enden auf konstanter Temperatur: \begin{equation} +\begin{aligned} u(t,x) &= \sum_{n=1}^{\infty}a_{n}e^{-\frac{n^{2}\pi^{2}\kappa}{l^{2}}t} @@ -198,10 +203,12 @@ TODO: Rechenweg... Enden auf konstanter Temperatur: a_{n} &= \frac{2}{l}\int_{0}^{l}u(0,x)sin\left(\frac{n\pi}{l}x\right) dx +\end{aligned} \end{equation} TODO: Rechenweg... Enden isoliert: \begin{equation} +\begin{aligned} u(t,x) &= a_{0} + \sum_{n=1}^{\infty}a_{n}e^{-\frac{n^{2}\pi^{2}\kappa}{l^{2}}t} @@ -214,4 +221,5 @@ TODO: Rechenweg... Enden isoliert: a_{n} &= \frac{2}{l}\int_{0}^{l}u(0,x)sin\left(\frac{n\pi}{l}x\right) dx +\end{aligned} \end{equation} -- cgit v1.2.1 From 2cb7c0466bdaaa3eff6757382a913b3c955a0751 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: =?UTF-8?q?Erik=20L=C3=B6ffler?= Date: Mon, 8 Aug 2022 16:57:13 +0200 Subject: Reordered fourier example. --- .../sturmliouville/waermeleitung_beispiel.tex | 160 ++++++++++++--------- 1 file changed, 90 insertions(+), 70 deletions(-) (limited to 'buch/papers/sturmliouville') diff --git a/buch/papers/sturmliouville/waermeleitung_beispiel.tex b/buch/papers/sturmliouville/waermeleitung_beispiel.tex index 27a7574..da25b36 100644 --- a/buch/papers/sturmliouville/waermeleitung_beispiel.tex +++ b/buch/papers/sturmliouville/waermeleitung_beispiel.tex @@ -11,9 +11,11 @@ homogenen Stab und wie das Sturm-Liouville-Problem bei der Beschreibung dieses physikalischen Phänomenes auftritt. Zunächst wird ein eindimensionaler homogener Stab der Länge $l$ und -Wärmeleitkoeffizient $\kappa$. Somit ergibt sich für das Wärmeleitungsproblem +Wärmeleitkoeffizient $\kappa$. +Somit ergibt sich für das Wärmeleitungsproblem die partielle Differentialgleichung \begin{equation} + \label{eq:slp-example-fourier-heat-equation} \frac{\partial u}{\partial t} = \kappa \frac{\partial^{2}u}{{\partial x}^{2}} \end{equation} @@ -30,7 +32,8 @@ Tempreatur gehalten werden. Die Enden des Stabes auf konstanter Temperatur zu halten bedeutet, dass die Lösungsfunktion $u(t,x)$ bei $x = 0$ und $x = l$ nur die vorgegebene -Temperatur zurückgeben darf. Es folgen nun +Temperatur zurückgeben darf. +Es folgen nun \begin{equation} u(t,0) = @@ -52,7 +55,8 @@ Aus der Physik ist bekannt, dass Wärme immer von der höheren zur tieferen Temperatur fliesst. Um Wärmefluss zu unterdrücken, muss also dafür gesorgt werden, dass am Rand des Stabes keine Temperaturdifferenz existiert oder dass die partiellen Ableitungen von $u(t,x)$ nach $x$ bei $x = 0$ und $x = l$ -verschwinden. Somit folgen +verschwinden. +Somit folgen \begin{equation} \frac{\partial}{\partial x} u(t, 0) = @@ -70,18 +74,20 @@ als Randbedingungen. % TODO: Formeln sauber in Text einbinden. Da die Lösungsfunktion von zwei Variablen abhängig ist, wird als Lösungsansatz -die Separationsmethode verwendet. Dazu wird -\begin{equation} +die Separationsmethode verwendet. +Dazu wird +\[ u(t,x) = T(t)X(x) -\end{equation} -in die ursprüngliche Differenzialgleichung eingesetzt. Daraus ergibt sich -\begin{equation} +\] +in die ursprüngliche Differenzialgleichung eingesetzt. +Daraus ergibt sich +\[ T^{\prime}(t)X(x) = \kappa T(t)X^{\prime \prime}(x) -\end{equation} +\] als neue Form. Nun können alle von $t$ abhängigen Ausdrücke auf die linke Seite, sowie alle @@ -97,103 +103,117 @@ der neuen Variablen $\mu$ gekoppelt werden: Durch die Einführung von $\mu$ kann das Problem nun in zwei separate Differenzialgleichungen aufgeteilt werden: \begin{equation} -\begin{aligned} - T^{\prime}(t) - \kappa \mu T(t) - &= - 0 - \\ + \label{eq:slp-example-fourier-separated-x} X^{\prime \prime}(x) - \mu X(x) - &= - 0 -\end{aligned} -\end{equation} - -Es ist an dieser Stelle zu bemerken, dass die Gleichung in $x$ in -Sturm-Liouville-Form ist. Erfüllen die Randbedingungen des Stab-Problems auch -die Randbedingungen des Sturm-Liouville-Problems, kann bereits die Aussage -getroffen werden, dass alle Lösungen für die Gleichung in $x$ orthogonal sein -werden. - -Widmen wir uns zunächst der ersten Gleichung. Diese Lösen wir über das -charakteristische Polynom -\begin{equation} - \lambda - \kappa \mu = - 0. + 0 \end{equation} -Es ist direkt ersichtlich, dass $\lambda = \kappa \mu$ gelten muss, was zur -Lösung \begin{equation} - T(t) + \label{eq:slp-example-fourier-separated-t} + T^{\prime}(t) - \kappa \mu T(t) = - e^{\kappa \mu t} + 0 \end{equation} -führt. -Etwas aufwändiger wird es, die zweite Gleichung zu lösen. Aufgrund der Struktur -der Gleichung -\begin{equation} +Es ist an dieser Stelle zu bemerken, dass die Gleichung in $x$ in +Sturm-Liouville-Form ist. +Erfüllen die Randbedingungen des Stab-Problems auch die Randbedingungen des +Sturm-Liouville-Problems, kann bereits die Aussage getroffen werden, dass alle +Lösungen für die Gleichung in $x$ orthogonal sein werden. + +Widmen wir uns zunächst der ersten Gleichung. +Aufgrund der Struktur der Gleichung +\[ X^{\prime \prime}(x) - \mu X(x) = 0 -\end{equation} -wird ein trigonometrischer Ansatz gewählt. Die Lösungen für $X(x)$ sind also -von der Form -\begin{equation} +\] +wird ein trigonometrischer Ansatz gewählt. +Die Lösungen für $X(x)$ sind also von der Form +\[ X(x) = A \sin \left( \alpha x\right) + B \cos \left( \beta x\right). -\end{equation} +\] -Dieser Ansatz wird nun solange differenziert, bis alle in Gleichung (TODO: ref) -enthaltenen Ableitungen vorhanden sind. Man erhält also -\begin{equation} +Dieser Ansatz wird nun solange differenziert, bis alle in Gleichung +\eqref{eq:slp-example-fourier-separated-x} enthaltenen Ableitungen vorhanden +sind. +Man erhält also +\[ X^{\prime}(x) = - A \alpha \cos \left( \alpha x \right) - - B \beta \sin \left( \beta x \right) -\end{equation} + \alpha A \cos \left( \alpha x \right) - + \beta B \sin \left( \beta x \right) +\] und -\begin{equation} +\[ X^{\prime \prime}(x) = - -A \alpha^{2} \sin \left( \alpha x \right) - - B \beta^{2} \cos \left( \beta x \right). -\end{equation} + -\alpha^{2} A \sin \left( \alpha x \right) - + \beta^{2} B \cos \left( \beta x \right). +\] -Eingesetzt in Gleichung (TDOD: ref) ergibt dies -\begin{equation} - -A\alpha^{2}\sin(\alpha x) - B\beta^{2}\cos(\beta x) - +Eingesetzt in Gleichung \eqref{eq:slp-example-fourier-separated-x} ergibt dies +\[ + -\alpha^{2}A\sin(\alpha x) - \beta^{2}B\cos(\beta x) - \mu\left(A\sin(\alpha x) + B\cos(\beta x)\right) = 0 -\end{equation} +\] und durch umformen somit -\begin{equation} - -A\alpha^{2}\sin(\alpha x) - B\beta^{2}\cos(\beta x) +\[ + -\alpha^{2}A\sin(\alpha x) - \beta^{2}B\cos(\beta x) = \mu A\sin(\alpha x) + \mu B\cos(\beta x). -\end{equation} +\] Durch Koeffizientenvergleich von -\begin{equation} +\[ \begin{aligned} - -A\alpha^{2}\sin(\alpha x) + -\alpha^{2}A\sin(\alpha x) &= \mu A\sin(\alpha x) \\ - -B\beta^{2}\cos(\beta x) + -\beta^{2}B\cos(\beta x) &= \mu B\cos(\beta x) \end{aligned} -\end{equation} +\] ist schnell ersichtlich, dass $ \mu = -\alpha^{2} = -\beta^{2} $ gelten muss für -$ A \neq 0 $ und $ B \neq 0 $. Zur Berechnung von $ \mu $ bleiben also noch -$ \alpha $ und $ \beta $ zu bestimmen. +$ A \neq 0 $ und $ B \neq 0 $. +Zur Berechnung von $ \mu $ bleiben also noch $ \alpha $ und $ \beta $ zu +bestimmen. + +TODO: randbedingungen!!---- + +Betrachten wir nun die zweite Gleichung +\eqref{eq:slp-example-fourier-separated-t}. +Diese Lösen wir über das charakteristische Polynom +\[ + \lambda - \kappa \mu + = + 0. +\] +Es ist direkt ersichtlich, dass $\lambda = \kappa \mu$ gelten muss, was zur +Lösung +\[ + T(t) + = + e^{-\kappa \mu t} +\] +führt. +Und mit mit dem Resultat von zuvor die Lösung +\[ + T(t) + = + e^{-\frac{n^{2}\pi^{2}\kappa}{l^{2}}t} +\] +ergibt. % TODO: Rechenweg TODO: Rechenweg... Enden auf konstanter Temperatur: -\begin{equation} +\[ \begin{aligned} u(t,x) &= @@ -204,10 +224,10 @@ TODO: Rechenweg... Enden auf konstanter Temperatur: &= \frac{2}{l}\int_{0}^{l}u(0,x)sin\left(\frac{n\pi}{l}x\right) dx \end{aligned} -\end{equation} +\] TODO: Rechenweg... Enden isoliert: -\begin{equation} +\[ \begin{aligned} u(t,x) &= @@ -222,4 +242,4 @@ TODO: Rechenweg... Enden isoliert: &= \frac{2}{l}\int_{0}^{l}u(0,x)sin\left(\frac{n\pi}{l}x\right) dx \end{aligned} -\end{equation} +\] -- cgit v1.2.1 From 4fadfb233a3b7fdc3de486dd85d64fa62408b2a4 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: =?UTF-8?q?Erik=20L=C3=B6ffler?= Date: Tue, 9 Aug 2022 18:34:54 +0200 Subject: Added some text, corrected a few errors and added two file extensions to gitignore. --- buch/papers/sturmliouville/.gitignore | 2 ++ .../papers/sturmliouville/waermeleitung_beispiel.tex | 20 +++++++++++++++++--- 2 files changed, 19 insertions(+), 3 deletions(-) (limited to 'buch/papers/sturmliouville') diff --git a/buch/papers/sturmliouville/.gitignore b/buch/papers/sturmliouville/.gitignore index a136337..47f7228 100644 --- a/buch/papers/sturmliouville/.gitignore +++ b/buch/papers/sturmliouville/.gitignore @@ -1 +1,3 @@ *.pdf +*.fls +*.fdb_latexmk \ No newline at end of file diff --git a/buch/papers/sturmliouville/waermeleitung_beispiel.tex b/buch/papers/sturmliouville/waermeleitung_beispiel.tex index da25b36..4885694 100644 --- a/buch/papers/sturmliouville/waermeleitung_beispiel.tex +++ b/buch/papers/sturmliouville/waermeleitung_beispiel.tex @@ -35,6 +35,7 @@ Lösungsfunktion $u(t,x)$ bei $x = 0$ und $x = l$ nur die vorgegebene Temperatur zurückgeben darf. Es folgen nun \begin{equation} + \label{eq:slp-example-fourier-boundary-condition-ends-constant} u(t,0) = u(t,l) @@ -58,6 +59,7 @@ dass die partiellen Ableitungen von $u(t,x)$ nach $x$ bei $x = 0$ und $x = l$ verschwinden. Somit folgen \begin{equation} + \label{eq:slp-example-fourier-boundary-condition-ends-isolated} \frac{\partial}{\partial x} u(t, 0) = \frac{\partial}{\partial x} u(t, l) @@ -120,6 +122,7 @@ Sturm-Liouville-Form ist. Erfüllen die Randbedingungen des Stab-Problems auch die Randbedingungen des Sturm-Liouville-Problems, kann bereits die Aussage getroffen werden, dass alle Lösungen für die Gleichung in $x$ orthogonal sein werden. +Mehr dazu später. Widmen wir uns zunächst der ersten Gleichung. Aufgrund der Struktur der Gleichung @@ -181,11 +184,22 @@ Durch Koeffizientenvergleich von \end{aligned} \] ist schnell ersichtlich, dass $ \mu = -\alpha^{2} = -\beta^{2} $ gelten muss für -$ A \neq 0 $ und $ B \neq 0 $. +$ A \neq 0 $ oder $ B \neq 0 $. Zur Berechnung von $ \mu $ bleiben also noch $ \alpha $ und $ \beta $ zu bestimmen. +Dazu werden die Randbedingungen +\eqref{eq:slp-example-fourier-boundary-condition-ends-constant} und +\eqref{eq:slp-example-fourier-boundary-condition-ends-isolated} benötigt. +Zu bemerken ist, dass die Randbedingungen nur Anforderungen in $x$ stellen und +somit direkt für $X(x)$ übernomen werden können. -TODO: randbedingungen!!---- +Daraus ergibt sich für einen Stab mit Enden auf konstanter Temperatur + +\begin{equation} + \mu + = + -\frac{n^{2}\pi^{2}}{l^{2}} +\end{equation} Betrachten wir nun die zweite Gleichung \eqref{eq:slp-example-fourier-separated-t}. @@ -203,7 +217,7 @@ Lösung e^{-\kappa \mu t} \] führt. -Und mit mit dem Resultat von zuvor die Lösung +Und mit dem Resultat (TODO) die Lösung \[ T(t) = -- cgit v1.2.1 From 2e6fd0152fc9c135ced14ea186ac7e2fc1b15f7e Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: =?UTF-8?q?Erik=20L=C3=B6ffler?= Date: Tue, 9 Aug 2022 18:38:54 +0200 Subject: Removed file extensions from gitignore. --- buch/papers/sturmliouville/.gitignore | 4 +--- 1 file changed, 1 insertion(+), 3 deletions(-) (limited to 'buch/papers/sturmliouville') diff --git a/buch/papers/sturmliouville/.gitignore b/buch/papers/sturmliouville/.gitignore index 47f7228..f08278d 100644 --- a/buch/papers/sturmliouville/.gitignore +++ b/buch/papers/sturmliouville/.gitignore @@ -1,3 +1 @@ -*.pdf -*.fls -*.fdb_latexmk \ No newline at end of file +*.pdf \ No newline at end of file -- cgit v1.2.1 From 67dc3b04c3926f0c7beb5cd6781cc58a4c38e667 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: =?UTF-8?q?Erik=20L=C3=B6ffler?= Date: Tue, 9 Aug 2022 21:12:25 +0200 Subject: Added section to show orthogonality with boundary conditions to fourier example. --- .../sturmliouville/waermeleitung_beispiel.tex | 54 ++++++++++++++++++++-- 1 file changed, 50 insertions(+), 4 deletions(-) (limited to 'buch/papers/sturmliouville') diff --git a/buch/papers/sturmliouville/waermeleitung_beispiel.tex b/buch/papers/sturmliouville/waermeleitung_beispiel.tex index 4885694..92ecc49 100644 --- a/buch/papers/sturmliouville/waermeleitung_beispiel.tex +++ b/buch/papers/sturmliouville/waermeleitung_beispiel.tex @@ -122,7 +122,52 @@ Sturm-Liouville-Form ist. Erfüllen die Randbedingungen des Stab-Problems auch die Randbedingungen des Sturm-Liouville-Problems, kann bereits die Aussage getroffen werden, dass alle Lösungen für die Gleichung in $x$ orthogonal sein werden. -Mehr dazu später. + +Damit die Lösungen von $X$ orthogonal sind, müssen also die Gleichungen +\begin{equation} +\begin{aligned} + \label{eq:slp-example-fourier-randbedingungen} + k_a y(a) + h_a p(a) y'(a) &= 0 \\ + k_b y(b) + h_b p(b) y'(b) &= 0 +\end{aligned} +\end{equation} +erfüllt sein und es muss ausserdem +\begin{equation} +\begin{aligned} + \label{eq:slp-example-fourier-coefficient-constraints} + |k_a|^2 + |h_a|^2 &\neq 0\\ + |k_b|^2 + |h_b|^2 &\neq 0\\ +\end{aligned} +\end{equation} +gelten. + +Um zu verifizieren, ob die Randbedingungen erfüllt sind, benötigen wir zunächst +$p(x)$. +Dazu wird die Gleichung \eqref{eq:slp-example-fourier-separated-x} mit der +Sturm-Liouville-Form \eqref{eq:sturm-liouville-equation} verglichen, was zu +$p(x) = 1$ führt. + +Werden nun $p(x)$ und die Randbedingungen +\eqref{eq:slp-example-fourier-boundary-condition-ends-constant} in +\eqref{eq:slp-example-fourier-randbedingungen} eigesetzt, erhält man +\[ +\begin{aligned} + k_a y(0) + h_a y'(0) &= h_a y'(0) = 0 \\ + k_b y(l) + h_b y'(l) &= h_b y'(l) = 0. +\end{aligned} +\] +Damit die Gleichungen erfüllt sind, müssen $h_a = 0$ und $h_b = 0$ sein. +Zusätzlich müssen aber die Bedingungen +\eqref{eq:slp-example-fourier-coefficient-constraints} erfüllt sein und +da $y(0) = 0$ und $y(l) = 0$ sind, können belibige $k_a \neq 0$ und $k_b \neq 0$ +gewählt werden. + +Somit ist gezeigt, dass die Randbedingungen des Stab-Problems für Enden auf +konstanter Temperatur auch die Sturm-Liouville-Randbedingungen erfüllen und +alle daraus reultierenden Lösungen orthogonal sind. +Analog dazu kann gezeit werden, dass die Randbedingungen für einen Stab mit +isolierten Enden ebenfalls die Sturm-Liouville-Randbedingungen erfüllen und +somit auch zu orthogonalen Lösungen führen. Widmen wir uns zunächst der ersten Gleichung. Aufgrund der Struktur der Gleichung @@ -187,7 +232,7 @@ ist schnell ersichtlich, dass $ \mu = -\alpha^{2} = -\beta^{2} $ gelten muss fü $ A \neq 0 $ oder $ B \neq 0 $. Zur Berechnung von $ \mu $ bleiben also noch $ \alpha $ und $ \beta $ zu bestimmen. -Dazu werden die Randbedingungen +Dazu werden nochmals die Randbedingungen \eqref{eq:slp-example-fourier-boundary-condition-ends-constant} und \eqref{eq:slp-example-fourier-boundary-condition-ends-isolated} benötigt. Zu bemerken ist, dass die Randbedingungen nur Anforderungen in $x$ stellen und @@ -196,12 +241,13 @@ somit direkt für $X(x)$ übernomen werden können. Daraus ergibt sich für einen Stab mit Enden auf konstanter Temperatur \begin{equation} + \label{eq:slp-example-fourier-mu-solution} \mu = -\frac{n^{2}\pi^{2}}{l^{2}} \end{equation} -Betrachten wir nun die zweite Gleichung +Betrachten wir nun die zweite Gleichung der Separation \eqref{eq:slp-example-fourier-separated-t}. Diese Lösen wir über das charakteristische Polynom \[ @@ -217,7 +263,7 @@ Lösung e^{-\kappa \mu t} \] führt. -Und mit dem Resultat (TODO) die Lösung +Und mit dem Resultat \eqref{eq:slp-example-fourier-mu-solution} die Lösung \[ T(t) = -- cgit v1.2.1 From 330038bafaaf6ed6462a3efdcf9869b6ecf645ce Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: =?UTF-8?q?Erik=20L=C3=B6ffler?= Date: Thu, 11 Aug 2022 14:34:39 +0200 Subject: Added mu calculation to both fourier examples. --- buch/papers/sturmliouville/standalone.tex | 31 ------- .../sturmliouville/waermeleitung_beispiel.tex | 99 ++++++++++++++++++++-- 2 files changed, 94 insertions(+), 36 deletions(-) delete mode 100644 buch/papers/sturmliouville/standalone.tex (limited to 'buch/papers/sturmliouville') diff --git a/buch/papers/sturmliouville/standalone.tex b/buch/papers/sturmliouville/standalone.tex deleted file mode 100644 index cd0e8dc..0000000 --- a/buch/papers/sturmliouville/standalone.tex +++ /dev/null @@ -1,31 +0,0 @@ -\documentclass{book} - -\def\IncludeBookCover{0} -\input{common/packages.tex} - -% additional packages used by the individual papers, add a line for -% each paper -\input{papers/common/addpackages.tex} - -% workaround for biblatex bug -\makeatletter -\def\blx@maxline{77} -\makeatother -\addbibresource{chapters/references.bib} - -% Bibresources for each article -\input{papers/common/addbibresources.tex} - -% make sure the last index starts on an odd page -\AtEndDocument{\clearpage\ifodd\value{page}\else\null\clearpage\fi} -\makeindex - -%\pgfplotsset{compat=1.12} -\setlength{\headheight}{15pt} % fix headheight warning -\DeclareGraphicsRule{*}{mps}{*}{} - -\begin{document} - \input{common/macros.tex} - \def\chapterauthor#1{{\large #1}\bigskip\bigskip} - \input{papers/sturmliouville/main.tex} -\end{document} diff --git a/buch/papers/sturmliouville/waermeleitung_beispiel.tex b/buch/papers/sturmliouville/waermeleitung_beispiel.tex index 92ecc49..89d158c 100644 --- a/buch/papers/sturmliouville/waermeleitung_beispiel.tex +++ b/buch/papers/sturmliouville/waermeleitung_beispiel.tex @@ -216,7 +216,7 @@ und durch umformen somit \mu A\sin(\alpha x) + \mu B\cos(\beta x). \] -Durch Koeffizientenvergleich von +Mittels Koeffizientenvergleich von \[ \begin{aligned} -\alpha^{2}A\sin(\alpha x) @@ -238,16 +238,105 @@ Dazu werden nochmals die Randbedingungen Zu bemerken ist, dass die Randbedingungen nur Anforderungen in $x$ stellen und somit direkt für $X(x)$ übernomen werden können. -Daraus ergibt sich für einen Stab mit Enden auf konstanter Temperatur +Da die Koeffizienten $A$ und $B$, sowie die Parameter $\alpha$ uns $\beta$ im +allgemeninen ungleich $0$ sind, müssen die Randbedingungen durch die +trigonometrischen Funktionen erfüllt werden. +Es werden nun die Randbedingungen +\eqref{eq:slp-example-fourier-boundary-condition-ends-constant} für einen Stab +mit Enden auf konstanter Temperatur in die Gleichung +\eqref{eq:slp-example-fourier-separated-x} eingesetzt. +Betrachten wir zunächst die Bedingung für $x = 0$. +Dies fürht zu +\[ + X(0) + = + A \sin(0 \alpha) + B \cos(0 \beta) + = + 0. +\] +Da $\cos(0) \neq 0$ ist, muss in diesem Fall $B = 0$ gelten. +Für den ersten Summanden ist wegen $\sin(0) = 0$ die Randbedingung erfüllt. + +Wird nun die zweite Randbedingung für $x = l$ mit $B = 0$ eingesetzt, ergibt +sich +\[ + X(l) + = + A \sin(\alpha l) + 0 \cos(\beta l) + = + A \sin(\alpha l) + = 0. +\] + +$\alpha$ muss also so gewählt werden, dass $\sin(\alpha l) = 0$ gilt. +Es gilt nun nach $\alpha$ aufzulösen: +\[ +\begin{aligned} + \sin(\alpha l) &= 0 \\ + \alpha l &= n \pi \qquad n \in \mathbb{N} \\ + \alpha &= \frac{n \pi}{l} \qquad n \in \mathbb{N} +\end{aligned} +\] + +Es folgt nun wegen $\mu = -\alpha^{2}$, dass +\begin{equation} + \mu_1 = -\alpha^{2} = -\frac{n^{2}\pi^{2}}{l^{2}} +\end{equation} +sein muss. +Ausserdem ist zu bemerken, dass dies auch gleich $-\beta^{2}$ ist. +Da aber $B = 0$ gilt und der Summand mit $\beta$ verschwindet, ist dies keine +Verletzung der Randbedingungen. + +Durch alanoges Vorgehen kann nun auch das Problem mit isolierten Enden gelöst +werden. +Setzen wir nun die Randbedingungen +\eqref{eq:slp-example-fourier-boundary-condition-ends-isolated} in $X^{\prime}$ +ein, beginnend für $x = 0$. Es ergibt sich +\[ + X^{\prime}(0) + = + \alpha A \cos(\alpha 0) - \beta B \sin(\beta 0) + = 0. +\] +In diesem Fall muss $A = 0$ gelten. +Zusammen mit der Bedignung für $x = l$ +folgt nun +\[ + X^{\prime}(l) + = + \alpha A \cos(\alpha l) - \beta B \sin(\beta l) + = + -\beta B \sin(\beta l) + = 0. +\] + +Wiedrum muss über die $\sin$-Funktion sicher gestellt werden, dass der Ausdruck +den Randbedingungen entspricht. Es folgt nun +\[ +\begin{aligned} + \sin(\beta l) &= 0 \\ + \beta l &= n \pi \qquad n \in \mathbb{N} \\ + \beta &= \frac{n \pi}{l} \qquad n \in \mathbb{N} +\end{aligned} +\] +und somit +\[ + \mu_2 = -\alpha^{2} = -\frac{n^{2}\pi^{2}}{l^{2}}. +\] + +Es ergibt sich also sowohl für einen Stab mit Enden auf konstanter Temperatur +wie auch mit isolierten Enden \begin{equation} \label{eq:slp-example-fourier-mu-solution} \mu = - -\frac{n^{2}\pi^{2}}{l^{2}} + -\frac{n^{2}\pi^{2}}{l^{2}}. \end{equation} -Betrachten wir nun die zweite Gleichung der Separation + + +Betrachten wir zuletzt die zweite Gleichung der Separation \eqref{eq:slp-example-fourier-separated-t}. Diese Lösen wir über das charakteristische Polynom \[ @@ -263,7 +352,7 @@ Lösung e^{-\kappa \mu t} \] führt. -Und mit dem Resultat \eqref{eq:slp-example-fourier-mu-solution} die Lösung +Und mit dem Resultat \eqref{eq:slp-example-fourier-mu-solution} \[ T(t) = -- cgit v1.2.1 From cc1f753efdfe46d546b1769e2f61d9765380373d Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: =?UTF-8?q?Erik=20L=C3=B6ffler?= Date: Thu, 11 Aug 2022 14:47:19 +0200 Subject: Corrected some grammar. --- buch/papers/sturmliouville/waermeleitung_beispiel.tex | 14 ++++++++------ 1 file changed, 8 insertions(+), 6 deletions(-) (limited to 'buch/papers/sturmliouville') diff --git a/buch/papers/sturmliouville/waermeleitung_beispiel.tex b/buch/papers/sturmliouville/waermeleitung_beispiel.tex index 89d158c..1b267cb 100644 --- a/buch/papers/sturmliouville/waermeleitung_beispiel.tex +++ b/buch/papers/sturmliouville/waermeleitung_beispiel.tex @@ -270,7 +270,7 @@ sich \] $\alpha$ muss also so gewählt werden, dass $\sin(\alpha l) = 0$ gilt. -Es gilt nun nach $\alpha$ aufzulösen: +Es bleibt noch nach $\alpha$ aufzulösen: \[ \begin{aligned} \sin(\alpha l) &= 0 \\ @@ -296,7 +296,7 @@ ein, beginnend für $x = 0$. Es ergibt sich \[ X^{\prime}(0) = - \alpha A \cos(\alpha 0) - \beta B \sin(\beta 0) + \alpha A \cos(0 \alpha) - \beta B \sin(0 \beta) = 0. \] In diesem Fall muss $A = 0$ gelten. @@ -305,14 +305,15 @@ folgt nun \[ X^{\prime}(l) = - \alpha A \cos(\alpha l) - \beta B \sin(\beta l) + 0 \alpha \cos(\alpha l) - \beta B \sin(\beta l) = -\beta B \sin(\beta l) = 0. \] -Wiedrum muss über die $\sin$-Funktion sicher gestellt werden, dass der Ausdruck -den Randbedingungen entspricht. Es folgt nun +Wiedrum muss über die $ \sin $-Funktion sicher gestellt werden, dass der +Ausdruck den Randbedingungen entspricht. +Es folgt nun \[ \begin{aligned} \sin(\beta l) &= 0 \\ @@ -322,7 +323,7 @@ den Randbedingungen entspricht. Es folgt nun \] und somit \[ - \mu_2 = -\alpha^{2} = -\frac{n^{2}\pi^{2}}{l^{2}}. + \mu_2 = -\beta^{2} = -\frac{n^{2}\pi^{2}}{l^{2}}. \] Es ergibt sich also sowohl für einen Stab mit Enden auf konstanter Temperatur @@ -334,6 +335,7 @@ wie auch mit isolierten Enden -\frac{n^{2}\pi^{2}}{l^{2}}. \end{equation} +%%%% Koeffizienten a_n und b_n mittels skalarprodukt. %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Betrachten wir zuletzt die zweite Gleichung der Separation -- cgit v1.2.1 From d8b0e6f27ac13c684bf829f4f73c11f4408945a5 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: =?UTF-8?q?Erik=20L=C3=B6ffler?= Date: Thu, 11 Aug 2022 15:29:32 +0200 Subject: Added Tschebyscheff file. --- buch/papers/sturmliouville/beispiele.tex | 5 ++++- buch/papers/sturmliouville/tschebyscheff_beispiel.tex | 7 +++++++ buch/papers/sturmliouville/waermeleitung_beispiel.tex | 15 +++++++++++++++ 3 files changed, 26 insertions(+), 1 deletion(-) create mode 100644 buch/papers/sturmliouville/tschebyscheff_beispiel.tex (limited to 'buch/papers/sturmliouville') diff --git a/buch/papers/sturmliouville/beispiele.tex b/buch/papers/sturmliouville/beispiele.tex index b23593e..94082cf 100644 --- a/buch/papers/sturmliouville/beispiele.tex +++ b/buch/papers/sturmliouville/beispiele.tex @@ -8,4 +8,7 @@ \rhead{Beispiele} % Fourier: Erik work -\input{papers/sturmliouville/waermeleitung_beispiel.tex} \ No newline at end of file +\input{papers/sturmliouville/waermeleitung_beispiel.tex} + +% Tschebyscheff +\input{papers/sturmliouville/tschebyscheff_beispiel.tex} \ No newline at end of file diff --git a/buch/papers/sturmliouville/tschebyscheff_beispiel.tex b/buch/papers/sturmliouville/tschebyscheff_beispiel.tex new file mode 100644 index 0000000..54f13d4 --- /dev/null +++ b/buch/papers/sturmliouville/tschebyscheff_beispiel.tex @@ -0,0 +1,7 @@ +% +% tschebyscheff_beispiel.tex +% +% (c) 2020 Prof Dr Andreas Müller, Hochschule Rapperswil +% + +\subsection{Tschebyscheff} \ No newline at end of file diff --git a/buch/papers/sturmliouville/waermeleitung_beispiel.tex b/buch/papers/sturmliouville/waermeleitung_beispiel.tex index 1b267cb..14fca40 100644 --- a/buch/papers/sturmliouville/waermeleitung_beispiel.tex +++ b/buch/papers/sturmliouville/waermeleitung_beispiel.tex @@ -337,6 +337,21 @@ wie auch mit isolierten Enden %%%% Koeffizienten a_n und b_n mittels skalarprodukt. %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% +Bisher wurde über die Koeffizienten $A$ und $B$ noch nicht viel ausgesagt. +Zunächst ist wegen vorhergehender Rechnung ersichtlich, dass es sich bei +$A$ und $B$ nicht um einzelne Koeffizienten handelt. +Stattdessen können die Koeffizienten für jedes $n \in \mathbb{N}$ +unterschiedlich sein. +Schreiben wir also die Lösung $X(x)$ um zu +\[ + X(x) + = + a_n\sin\left(\frac{n\pi}{l}x\right) + + + b_n\cos\left(\frac{n\pi}{l}x\right) +\] +was für jedes $n$ wiederum eine Linearkombination aus orthogonalen Funktionen +ist. Betrachten wir zuletzt die zweite Gleichung der Separation \eqref{eq:slp-example-fourier-separated-t}. -- cgit v1.2.1 From e27b521c00cdde53f0cbc0f0051881b5242adadc Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: haddoucher Date: Thu, 11 Aug 2022 18:47:14 +0200 Subject: Beispiel & einleitung beispiel angefangen und einleitung korrigiert --- buch/papers/sturmliouville/einleitung.tex | 6 ++- .../sturmliouville/tschebyscheff_beispiel.tex | 51 +++++++++++++++++++++- 2 files changed, 54 insertions(+), 3 deletions(-) (limited to 'buch/papers/sturmliouville') diff --git a/buch/papers/sturmliouville/einleitung.tex b/buch/papers/sturmliouville/einleitung.tex index 44c3192..78c1800 100644 --- a/buch/papers/sturmliouville/einleitung.tex +++ b/buch/papers/sturmliouville/einleitung.tex @@ -10,7 +10,7 @@ Gemeinsam haben sie in der mathematischen Physik die Sturm-Liouville-Theorie ent Normalerweise betrachtet man für das Strum-Liouville-Problem eine gewöhnliche Differentialgleichung 2. Ordnung, und wenn es sich um eine partielle Differentialgleichung handelt, kann man sie mit Hilfe einiger Methoden in mehrere gewöhnliche Differentialgleichungen umwandeln, wie z. B. den Separationsansatz, die partielle Differentialgleichung mit mehreren Variablen. \begin{definition} - \index{Sturm-Liouville-Gleichung} + \index{Sturm-Liouville-Gleichung}% Angenommen man hat die lineare homogene Differentialgleichung \begin{equation} \frac{d^2y}{dx^2} + a(x)\frac{dy}{dx} + b(x)y = 0 @@ -20,7 +20,7 @@ und schreibt die Gleichung um in: \label{eq:sturm-liouville-equation} \frac{d}{dx}\lbrack p(x) \frac{dy}{dx} \rbrack + \lbrack q(x) + \lambda w(x) \rbrack y = 0 \end{equation} -, diese Gleichung wird dann Sturm-liouville-Gleichung bezeichnet. +, diese Gleichung wird dann Sturm-Liouville-Gleichung bezeichnet. \end{definition} Alle homogene 2.Ordnung lineare gewöhnliche Differentialgleichungen können in die Form der Gleichung \ref{eq:sturm-liouville-equation} umgeformt werden. @@ -71,6 +71,7 @@ Die Funktionen für das reguläre und das singuläre Sturm-Liouville-Problem sin \subsection{Das reguläre Sturm-Liouville-Problem\label{sub:reguläre_sturm_liouville_problem}} Damit es sich um ein reguläres Sturm-Liouville-Problem handelt, müssen einige Bedingungen beachtet werden. \begin{definition} + \label{def:reguläres_sturm-liouville-problem} \index{regläres Sturm-Liouville-Problem} Die Bedingungen für ein reguläres Sturm-Liouville-Problem sind: \begin{itemize} @@ -91,6 +92,7 @@ Bei einem regulären Sturm-Liouville-Problem geht es darum, ohne genaue Kenntnis \subsection{Das singuläre Sturm-Liouville-Problem\label{sub:singuläre_sturm_liouville_problem}} Von einem singulären Sturm-Liouville-Problem spricht man, wenn die Bedingungen des regulärem Problem nicht erfüllt sind. \begin{definition} + \label{def:singulär_sturm-liouville-problem} \index{singuläres Sturm-Liouville-Problem} Es handelt sich um ein singuläres Sturm-Liouville-Problem, wenn: \begin{itemize} diff --git a/buch/papers/sturmliouville/tschebyscheff_beispiel.tex b/buch/papers/sturmliouville/tschebyscheff_beispiel.tex index 54f13d4..391841a 100644 --- a/buch/papers/sturmliouville/tschebyscheff_beispiel.tex +++ b/buch/papers/sturmliouville/tschebyscheff_beispiel.tex @@ -4,4 +4,53 @@ % (c) 2020 Prof Dr Andreas Müller, Hochschule Rapperswil % -\subsection{Tschebyscheff} \ No newline at end of file +\subsection{Tschebyscheff-Polynome\label{sub:tschebyscheff-polynome}} +Im Kapitel \ref{sub:beispiele_sturm_liouville_problem} sind die Koeffizientenfunktionen die man braucht schon aufgeliste, und zwar mit +\begin{align*} + w(x) &= \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} \\ + p(x) &= \sqrt{1-x^2} \\ + q(x) &= 0 +\end{align*}. +Da die Sturm-Liouville-Gleichung +\begin{equation} + \label{eq:sturm-liouville-equation} + \frac{d}{dx}\lbrack \sqrt{1-x^2} \frac{dy}{dx} \rbrack + \lbrack 0 + \lambda \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} \rbrack y = 0 +\end{equation} +nun mit den Koeffizientenfunktionen aufgestellt werden kann, bleibt die Frage, ob es sich um ein reguläres oder singuläres Sturm-Liouville-Problem handelt. +Für das reguläre Problem laut der Definition \ref{def:reguläres_sturm-liouville-problem} muss die funktion $p(x) = \sqrt{1-x^2}$, $p'(x) = -2x$, $q(x) = 0$ und $w(x) = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$ stetig und reell sein - und sie sind es auch. +Auf dem Intervall $(-1,1)$ sind die Tschebyscheff-Polynome erster Art mit Hilfe von Hyperbelfunktionen +\begin{equation} + T_n(x) = \cos n (\arccos x) +\end{equation}. +Für $x>1$ und $x<-1$ sehen die Polynome wie folgt aus: +\begin{equation} + T_n(x) = \left\{\begin{array}{ll} \cosh (n \arccos x), & x > 1\\ + (-1)^n \cosh (n \arccos (-x)), & x<-1 \end{array}\right. +\end{equation}, +jedoch ist die Orthogonalität nur auf dem Intervall $\[ -1, 1\]$ sichergestellt. +Die nächste Bedingung beinhaltet, dass die Funktion $p(x)^-1$ und $w(x)>0$ sein müssen. +Die Funktion +\begin{equation*} + p(x)^-1 = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} +\end{equation*} +ist die gleiche wie $w(x)$. + +Für die Verifizierung der Randbedingungen benötigt man erneut $p(x)$. +Da sich die Polynome nur auf dem Intervall $\[ -1,1 \]$ orthogonal verhalten, sind $a = -1$ und $b = 1$ gesetzt. +Beim einsetzen in die Randbedingung \ref{eq:randbedingungen}, erhält man +\begin{equation} +\begin{aligned} + k_a y(-1) + h_a y'(-1) &= h_a +\end{aligned} +\end{equation} + + + + + + + + + + + -- cgit v1.2.1 From c2d2d48156ab7cfb0d69541e58f54c3a55b2daf9 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: =?UTF-8?q?Erik=20L=C3=B6ffler?= Date: Thu, 11 Aug 2022 19:23:32 +0200 Subject: Added start to coefficient calculation. --- .../sturmliouville/waermeleitung_beispiel.tex | 75 ++++++++++++++++++++-- 1 file changed, 71 insertions(+), 4 deletions(-) (limited to 'buch/papers/sturmliouville') diff --git a/buch/papers/sturmliouville/waermeleitung_beispiel.tex b/buch/papers/sturmliouville/waermeleitung_beispiel.tex index 14fca40..58569e9 100644 --- a/buch/papers/sturmliouville/waermeleitung_beispiel.tex +++ b/buch/papers/sturmliouville/waermeleitung_beispiel.tex @@ -346,12 +346,79 @@ Schreiben wir also die Lösung $X(x)$ um zu \[ X(x) = - a_n\sin\left(\frac{n\pi}{l}x\right) + a_0 + - b_n\cos\left(\frac{n\pi}{l}x\right) + \sum_{n = 1}^{\infty} a_n\sin\left(\frac{n\pi}{l}x\right) + + + \sum_{n = 1}^{\infty} b_n\cos\left(\frac{n\pi}{l}x\right). +\] + +Um eine eindeutige Lösung für $ X(x) $ zu erhalten werden noch weitere +Bedingungen benötigt. +Diese sind die Startbedingungen oder $u(0, x) = X(x)$ für $t = 0$. +Es gilt also nun die Gleichung +\begin{equation} + \label{eq:slp-example-fourier-initial-conditions} + u(0, x) + = + a_0 + + + \sum_{n = 1}^{\infty} a_n\sin\left(\frac{n\pi}{l}x\right) + + + \sum_{n = 1}^{\infty} b_n\cos\left(\frac{n\pi}{l}x\right) +\end{equation} +nach allen $a_n$ und $b_n$ aufzulösen. +Da aber $a_n$ und $b_n$ jeweils als Faktor zu einer trigonometrischen Funktion +gehört, von der wir wissen, dass sie orthogonal zu allen anderen +trigonometrischen Funktionen der Lösung ist, kann direkt das Skalarprodukt +verwendet werden um die Koeffizienten $a_n$ und $b_n$ zu bestimmen. +Es wird also die Tatsache ausgenutzt, dass die Gleichheit in +\eqref{eq:slp-example-fourier-initial-conditions} nach Anwendung des +Skalarproduktes immernoch gelten muss und dass das Skalaprodukt mit einer +Basisfunktion sämtliche Summanden auf der rechten Seite auslöscht. + +Zur Berechnung von $a_m$ mit $ m \in \mathbb{N} $ wird beidseitig das +Skalarprodukt mit der Basisfunktion $ sin\left(\frac{m \pi}{l}x\right)$ +gebildet: +\[ + \langle u(0, x), sin\left(\frac{m \pi}{l}x\right) \rangle + = + \langle a_0 + + + \sum_{n = 1}^{\infty} a_n\sin\left(\frac{n\pi}{l}x\right) + + + \sum_{n = 1}^{\infty} b_n\cos\left(\frac{n\pi}{l}x\right), + sin\left(\frac{m \pi}{l}x\right)\rangle +\] + +Bevor diese Form in die Integralform umgeschrieben werden kann, muss überlegt +sein, welche Integralgrenzen zu verwenden sind. +In diesem Fall haben die $ \sin $ und $ \cos $ Terme beispielsweise keine ganze +Periode im Intervall $ x \in [0, l] $ für ungerade $ n $ und $ m $. +Um die + +\[ +\begin{aligned} + \int_{-l}^{l}\hat{u}(0, x)sin\left(\frac{m \pi}{l}x\right)dx + =& + \int_{-l}^{l} \left[a_0 + + + \sum_{n = 1}^{\infty} a_n\sin\left(\frac{n\pi}{l}x\right) + + + \sum_{n = 1}^{\infty} b_n\cos\left(\frac{n\pi}{l}x\right)\right] + sin\left(\frac{m \pi}{l}x\right) dx + \\ + =& + a_0 \int_{-l}^{l}sin\left(\frac{m \pi}{l}x\right) dx + + + \sum_{n = 1}^{\infty}\left[a_n\int_{-l}^{l}\sin\left(\frac{n\pi}{l}x\right) + sin\left(\frac{m \pi}{l}x\right)dx\right] + \\ + &+ + \sum_{n = 1}^{\infty}\left[b_n\int_{-l}^{l} \cos\left(\frac{n\pi}{l}x\right) + sin\left(\frac{m \pi}{l}x\right)dx\right] +\end{aligned} \] -was für jedes $n$ wiederum eine Linearkombination aus orthogonalen Funktionen -ist. Betrachten wir zuletzt die zweite Gleichung der Separation \eqref{eq:slp-example-fourier-separated-t}. -- cgit v1.2.1 From fc17a8247db60871ce49b23f1bbbb9b5523d8473 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: =?UTF-8?q?Erik=20L=C3=B6ffler?= Date: Thu, 11 Aug 2022 20:05:16 +0200 Subject: Corrected Coefficient names. --- .../sturmliouville/waermeleitung_beispiel.tex | 104 ++++++++++----------- 1 file changed, 52 insertions(+), 52 deletions(-) (limited to 'buch/papers/sturmliouville') diff --git a/buch/papers/sturmliouville/waermeleitung_beispiel.tex b/buch/papers/sturmliouville/waermeleitung_beispiel.tex index 58569e9..fb5f331 100644 --- a/buch/papers/sturmliouville/waermeleitung_beispiel.tex +++ b/buch/papers/sturmliouville/waermeleitung_beispiel.tex @@ -181,7 +181,7 @@ Die Lösungen für $X(x)$ sind also von der Form \[ X(x) = - A \sin \left( \alpha x\right) + B \cos \left( \beta x\right). + A \cos \left( \alpha x\right) + B \sin \left( \beta x\right). \] Dieser Ansatz wird nun solange differenziert, bis alle in Gleichung @@ -191,41 +191,41 @@ Man erhält also \[ X^{\prime}(x) = - \alpha A \cos \left( \alpha x \right) - - \beta B \sin \left( \beta x \right) + - \alpha A \sin \left( \alpha x \right) + + \beta B \cos \left( \beta x \right) \] und \[ X^{\prime \prime}(x) = - -\alpha^{2} A \sin \left( \alpha x \right) - - \beta^{2} B \cos \left( \beta x \right). + -\alpha^{2} A \cos \left( \alpha x \right) - + \beta^{2} B \sin \left( \beta x \right). \] Eingesetzt in Gleichung \eqref{eq:slp-example-fourier-separated-x} ergibt dies \[ - -\alpha^{2}A\sin(\alpha x) - \beta^{2}B\cos(\beta x) - - \mu\left(A\sin(\alpha x) + B\cos(\beta x)\right) + -\alpha^{2}A\cos(\alpha x) - \beta^{2}B\sin(\beta x) - + \mu\left(A\cos(\alpha x) + B\sin(\beta x)\right) = 0 \] und durch umformen somit \[ - -\alpha^{2}A\sin(\alpha x) - \beta^{2}B\cos(\beta x) + -\alpha^{2}A\cos(\alpha x) - \beta^{2}B\sin(\beta x) = - \mu A\sin(\alpha x) + \mu B\cos(\beta x). + \mu A\cos(\alpha x) + \mu B\sin(\beta x). \] Mittels Koeffizientenvergleich von \[ \begin{aligned} - -\alpha^{2}A\sin(\alpha x) + -\alpha^{2}A\cos(\alpha x) &= - \mu A\sin(\alpha x) + \mu A\cos(\alpha x) \\ - -\beta^{2}B\cos(\beta x) + -\beta^{2}B\sin(\beta x) &= - \mu B\cos(\beta x) + \mu B\sin(\beta x) \end{aligned} \] ist schnell ersichtlich, dass $ \mu = -\alpha^{2} = -\beta^{2} $ gelten muss für @@ -251,41 +251,41 @@ Dies fürht zu \[ X(0) = - A \sin(0 \alpha) + B \cos(0 \beta) + A \cos(0 \alpha) + B \sin(0 \beta) = 0. \] -Da $\cos(0) \neq 0$ ist, muss in diesem Fall $B = 0$ gelten. -Für den ersten Summanden ist wegen $\sin(0) = 0$ die Randbedingung erfüllt. +Da $\cos(0) \neq 0$ ist, muss in diesem Fall $A = 0$ gelten. +Für den zweiten Summanden ist wegen $\sin(0) = 0$ die Randbedingung erfüllt. -Wird nun die zweite Randbedingung für $x = l$ mit $B = 0$ eingesetzt, ergibt +Wird nun die zweite Randbedingung für $x = l$ mit $A = 0$ eingesetzt, ergibt sich \[ X(l) = - A \sin(\alpha l) + 0 \cos(\beta l) + 0 \cos(\alpha l) + B \sin(\beta l) = - A \sin(\alpha l) + B \sin(\beta l) = 0. \] -$\alpha$ muss also so gewählt werden, dass $\sin(\alpha l) = 0$ gilt. -Es bleibt noch nach $\alpha$ aufzulösen: +$\beta$ muss also so gewählt werden, dass $\sin(\beta l) = 0$ gilt. +Es bleibt noch nach $\beta$ aufzulösen: \[ \begin{aligned} - \sin(\alpha l) &= 0 \\ - \alpha l &= n \pi \qquad n \in \mathbb{N} \\ - \alpha &= \frac{n \pi}{l} \qquad n \in \mathbb{N} + \sin(\beta l) &= 0 \\ + \beta l &= n \pi \qquad n \in \mathbb{N} \\ + \beta &= \frac{n \pi}{l} \qquad n \in \mathbb{N} \end{aligned} \] -Es folgt nun wegen $\mu = -\alpha^{2}$, dass +Es folgt nun wegen $\mu = -\beta^{2}$, dass \begin{equation} - \mu_1 = -\alpha^{2} = -\frac{n^{2}\pi^{2}}{l^{2}} + \mu_1 = -\beta^{2} = -\frac{n^{2}\pi^{2}}{l^{2}} \end{equation} sein muss. -Ausserdem ist zu bemerken, dass dies auch gleich $-\beta^{2}$ ist. -Da aber $B = 0$ gilt und der Summand mit $\beta$ verschwindet, ist dies keine +Ausserdem ist zu bemerken, dass dies auch gleich $-\alpha^{2}$ ist. +Da aber $A = 0$ gilt und der Summand mit $\alpha$ verschwindet, ist dies keine Verletzung der Randbedingungen. Durch alanoges Vorgehen kann nun auch das Problem mit isolierten Enden gelöst @@ -296,18 +296,18 @@ ein, beginnend für $x = 0$. Es ergibt sich \[ X^{\prime}(0) = - \alpha A \cos(0 \alpha) - \beta B \sin(0 \beta) + -\alpha A \sin(0 \alpha) + \beta B \cos(0 \beta) = 0. \] -In diesem Fall muss $A = 0$ gelten. +In diesem Fall muss $B = 0$ gelten. Zusammen mit der Bedignung für $x = l$ folgt nun \[ X^{\prime}(l) = - 0 \alpha \cos(\alpha l) - \beta B \sin(\beta l) + - \alpha A \sin(\alpha l) + 0 \beta \cos(\beta l) = - -\beta B \sin(\beta l) + - \alpha A \sin(\alpha l) = 0. \] @@ -316,14 +316,14 @@ Ausdruck den Randbedingungen entspricht. Es folgt nun \[ \begin{aligned} - \sin(\beta l) &= 0 \\ - \beta l &= n \pi \qquad n \in \mathbb{N} \\ - \beta &= \frac{n \pi}{l} \qquad n \in \mathbb{N} + \sin(\alpha l) &= 0 \\ + \alpha l &= n \pi \qquad n \in \mathbb{N} \\ + \alpha &= \frac{n \pi}{l} \qquad n \in \mathbb{N} \end{aligned} \] und somit \[ - \mu_2 = -\beta^{2} = -\frac{n^{2}\pi^{2}}{l^{2}}. + \mu_2 = -\alpha^{2} = -\frac{n^{2}\pi^{2}}{l^{2}}. \] Es ergibt sich also sowohl für einen Stab mit Enden auf konstanter Temperatur @@ -348,9 +348,9 @@ Schreiben wir also die Lösung $X(x)$ um zu = a_0 + - \sum_{n = 1}^{\infty} a_n\sin\left(\frac{n\pi}{l}x\right) + \sum_{n = 1}^{\infty} a_n\cos\left(\frac{n\pi}{l}x\right) + - \sum_{n = 1}^{\infty} b_n\cos\left(\frac{n\pi}{l}x\right). + \sum_{n = 1}^{\infty} b_n\sin\left(\frac{n\pi}{l}x\right). \] Um eine eindeutige Lösung für $ X(x) $ zu erhalten werden noch weitere @@ -363,9 +363,9 @@ Es gilt also nun die Gleichung = a_0 + - \sum_{n = 1}^{\infty} a_n\sin\left(\frac{n\pi}{l}x\right) + \sum_{n = 1}^{\infty} a_n\cos\left(\frac{n\pi}{l}x\right) + - \sum_{n = 1}^{\infty} b_n\cos\left(\frac{n\pi}{l}x\right) + \sum_{n = 1}^{\infty} b_n\sin\left(\frac{n\pi}{l}x\right) \end{equation} nach allen $a_n$ und $b_n$ aufzulösen. Da aber $a_n$ und $b_n$ jeweils als Faktor zu einer trigonometrischen Funktion @@ -378,17 +378,17 @@ Skalarproduktes immernoch gelten muss und dass das Skalaprodukt mit einer Basisfunktion sämtliche Summanden auf der rechten Seite auslöscht. Zur Berechnung von $a_m$ mit $ m \in \mathbb{N} $ wird beidseitig das -Skalarprodukt mit der Basisfunktion $ sin\left(\frac{m \pi}{l}x\right)$ +Skalarprodukt mit der Basisfunktion $ \cos\left(\frac{m \pi}{l}x\right)$ gebildet: \[ - \langle u(0, x), sin\left(\frac{m \pi}{l}x\right) \rangle + \langle u(0, x), \cos\left(\frac{m \pi}{l}x\right) \rangle = \langle a_0 + \sum_{n = 1}^{\infty} a_n\sin\left(\frac{n\pi}{l}x\right) + \sum_{n = 1}^{\infty} b_n\cos\left(\frac{n\pi}{l}x\right), - sin\left(\frac{m \pi}{l}x\right)\rangle + \cos\left(\frac{m \pi}{l}x\right)\rangle \] Bevor diese Form in die Integralform umgeschrieben werden kann, muss überlegt @@ -399,24 +399,24 @@ Um die \[ \begin{aligned} - \int_{-l}^{l}\hat{u}(0, x)sin\left(\frac{m \pi}{l}x\right)dx + \int_{-l}^{l}\hat{u}(0, x)\cos\left(\frac{m \pi}{l}x\right)dx =& \int_{-l}^{l} \left[a_0 + - \sum_{n = 1}^{\infty} a_n\sin\left(\frac{n\pi}{l}x\right) + \sum_{n = 1}^{\infty} a_n\cos\left(\frac{n\pi}{l}x\right) + - \sum_{n = 1}^{\infty} b_n\cos\left(\frac{n\pi}{l}x\right)\right] - sin\left(\frac{m \pi}{l}x\right) dx + \sum_{n = 1}^{\infty} b_n\sin\left(\frac{n\pi}{l}x\right)\right] + \cos\left(\frac{m \pi}{l}x\right) dx \\ =& - a_0 \int_{-l}^{l}sin\left(\frac{m \pi}{l}x\right) dx + a_0 \int_{-l}^{l}cos\left(\frac{m \pi}{l}x\right) dx + - \sum_{n = 1}^{\infty}\left[a_n\int_{-l}^{l}\sin\left(\frac{n\pi}{l}x\right) - sin\left(\frac{m \pi}{l}x\right)dx\right] + \sum_{n = 1}^{\infty}\left[a_n\int_{-l}^{l}\cos\left(\frac{n\pi}{l}x\right) + \cos\left(\frac{m \pi}{l}x\right)dx\right] \\ &+ - \sum_{n = 1}^{\infty}\left[b_n\int_{-l}^{l} \cos\left(\frac{n\pi}{l}x\right) - sin\left(\frac{m \pi}{l}x\right)dx\right] + \sum_{n = 1}^{\infty}\left[b_n\int_{-l}^{l} \sin\left(\frac{n\pi}{l}x\right) + \cos\left(\frac{m \pi}{l}x\right)dx\right] \end{aligned} \] -- cgit v1.2.1 From 37861bde4183d5134147df65dc06236d6878b36b Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: =?UTF-8?q?Erik=20L=C3=B6ffler?= Date: Thu, 11 Aug 2022 21:19:44 +0200 Subject: Added periodically continued function u-hat. --- .../sturmliouville/waermeleitung_beispiel.tex | 23 +++++++++++++++++----- 1 file changed, 18 insertions(+), 5 deletions(-) (limited to 'buch/papers/sturmliouville') diff --git a/buch/papers/sturmliouville/waermeleitung_beispiel.tex b/buch/papers/sturmliouville/waermeleitung_beispiel.tex index fb5f331..fa96eff 100644 --- a/buch/papers/sturmliouville/waermeleitung_beispiel.tex +++ b/buch/papers/sturmliouville/waermeleitung_beispiel.tex @@ -385,9 +385,9 @@ gebildet: = \langle a_0 + - \sum_{n = 1}^{\infty} a_n\sin\left(\frac{n\pi}{l}x\right) + \sum_{n = 1}^{\infty} a_n\cos\left(\frac{n\pi}{l}x\right) + - \sum_{n = 1}^{\infty} b_n\cos\left(\frac{n\pi}{l}x\right), + \sum_{n = 1}^{\infty} b_n\sin\left(\frac{n\pi}{l}x\right), \cos\left(\frac{m \pi}{l}x\right)\rangle \] @@ -395,8 +395,21 @@ Bevor diese Form in die Integralform umgeschrieben werden kann, muss überlegt sein, welche Integralgrenzen zu verwenden sind. In diesem Fall haben die $ \sin $ und $ \cos $ Terme beispielsweise keine ganze Periode im Intervall $ x \in [0, l] $ für ungerade $ n $ und $ m $. -Um die - +Um die skalarprodukte aber korrekt zu berechnen, muss über die ganze Periode +integriert werden. +Dazu werden die Integralgrenzen $-l$ und $l$ verwendet und es wird ausserdem +eine neue Funktion +\[ + \hat{u}(0, x) + = + \begin{cases} + u(0, x + l) & -l \leq x < 0 + \\ + u(0, x) & 0 \leq x \leq l + \end{cases} +\] +angenomen, welche $u(0, x)$ auf dem Intervall $[-l, l]$ periodisch fortsetzt. +Es kann nun das Skalarodukt geschrieben werden als \[ \begin{aligned} \int_{-l}^{l}\hat{u}(0, x)\cos\left(\frac{m \pi}{l}x\right)dx @@ -416,7 +429,7 @@ Um die \\ &+ \sum_{n = 1}^{\infty}\left[b_n\int_{-l}^{l} \sin\left(\frac{n\pi}{l}x\right) - \cos\left(\frac{m \pi}{l}x\right)dx\right] + \cos\left(\frac{m \pi}{l}x\right)dx\right]. \end{aligned} \] -- cgit v1.2.1 From 6887191ba574292b6a9009867c0e16e66831ca17 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: =?UTF-8?q?Erik=20L=C3=B6ffler?= Date: Thu, 11 Aug 2022 22:01:25 +0200 Subject: Added titles to specific solutions. --- buch/papers/sturmliouville/waermeleitung_beispiel.tex | 13 ++++++------- 1 file changed, 6 insertions(+), 7 deletions(-) (limited to 'buch/papers/sturmliouville') diff --git a/buch/papers/sturmliouville/waermeleitung_beispiel.tex b/buch/papers/sturmliouville/waermeleitung_beispiel.tex index fa96eff..1bfdaef 100644 --- a/buch/papers/sturmliouville/waermeleitung_beispiel.tex +++ b/buch/papers/sturmliouville/waermeleitung_beispiel.tex @@ -409,7 +409,7 @@ eine neue Funktion \end{cases} \] angenomen, welche $u(0, x)$ auf dem Intervall $[-l, l]$ periodisch fortsetzt. -Es kann nun das Skalarodukt geschrieben werden als +Das Skalarodukt kann nun geschrieben werden als \[ \begin{aligned} \int_{-l}^{l}\hat{u}(0, x)\cos\left(\frac{m \pi}{l}x\right)dx @@ -428,7 +428,7 @@ Es kann nun das Skalarodukt geschrieben werden als \cos\left(\frac{m \pi}{l}x\right)dx\right] \\ &+ - \sum_{n = 1}^{\infty}\left[b_n\int_{-l}^{l} \sin\left(\frac{n\pi}{l}x\right) + \sum_{n = 1}^{\infty}\left[b_n\int_{-l}^{l}\sin\left(\frac{n\pi}{l}x\right) \cos\left(\frac{m \pi}{l}x\right)dx\right]. \end{aligned} \] @@ -457,22 +457,21 @@ Und mit dem Resultat \eqref{eq:slp-example-fourier-mu-solution} \] ergibt. -% TODO: Rechenweg -TODO: Rechenweg... Enden auf konstanter Temperatur: +\subsubsection{Lösung für einen Stab mit Enden auf konstanter Temperatur} \[ \begin{aligned} u(t,x) &= - \sum_{n=1}^{\infty}a_{n}e^{-\frac{n^{2}\pi^{2}\kappa}{l^{2}}t} + \sum_{n=1}^{\infty}b_{n}e^{-\frac{n^{2}\pi^{2}\kappa}{l^{2}}t} \sin\left(\frac{n\pi}{l}x\right) \\ - a_{n} + b_{n} &= \frac{2}{l}\int_{0}^{l}u(0,x)sin\left(\frac{n\pi}{l}x\right) dx \end{aligned} \] -TODO: Rechenweg... Enden isoliert: +\subsubsection{Lösung für einen Stab mit isolierten Enden} \[ \begin{aligned} u(t,x) -- cgit v1.2.1 From 964db187eaf5512601a04c6326094d6a1975d941 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: =?UTF-8?q?Erik=20L=C3=B6ffler?= Date: Thu, 11 Aug 2022 22:11:59 +0200 Subject: Rewrote everything in passive form. --- .../sturmliouville/waermeleitung_beispiel.tex | 25 ++++++++++++---------- 1 file changed, 14 insertions(+), 11 deletions(-) (limited to 'buch/papers/sturmliouville') diff --git a/buch/papers/sturmliouville/waermeleitung_beispiel.tex b/buch/papers/sturmliouville/waermeleitung_beispiel.tex index 1bfdaef..868f241 100644 --- a/buch/papers/sturmliouville/waermeleitung_beispiel.tex +++ b/buch/papers/sturmliouville/waermeleitung_beispiel.tex @@ -6,8 +6,8 @@ \subsection{Wärmeleitung in einem Homogenen Stab} -In diesem Abschnitt betrachten wir das Problem der Wärmeleitung in einem -homogenen Stab und wie das Sturm-Liouville-Problem bei der Beschreibung dieses +In diesem Abschnitt wird das Problem der Wärmeleitung in einem homogenen Stab +betrachtet und wie das Sturm-Liouville-Problem bei der Beschreibung dieses physikalischen Phänomenes auftritt. Zunächst wird ein eindimensionaler homogener Stab der Länge $l$ und @@ -141,8 +141,9 @@ erfüllt sein und es muss ausserdem \end{equation} gelten. -Um zu verifizieren, ob die Randbedingungen erfüllt sind, benötigen wir zunächst -$p(x)$. +Um zu verifizieren, ob die Randbedingungen erfüllt sind, wird zunächst +$p(x)$ +benötigt. Dazu wird die Gleichung \eqref{eq:slp-example-fourier-separated-x} mit der Sturm-Liouville-Form \eqref{eq:sturm-liouville-equation} verglichen, was zu $p(x) = 1$ führt. @@ -169,7 +170,7 @@ Analog dazu kann gezeit werden, dass die Randbedingungen für einen Stab mit isolierten Enden ebenfalls die Sturm-Liouville-Randbedingungen erfüllen und somit auch zu orthogonalen Lösungen führen. -Widmen wir uns zunächst der ersten Gleichung. +Als erstes wird auf die erste erste Gleichung eingegangen. Aufgrund der Struktur der Gleichung \[ X^{\prime \prime}(x) - \mu X(x) @@ -290,7 +291,7 @@ Verletzung der Randbedingungen. Durch alanoges Vorgehen kann nun auch das Problem mit isolierten Enden gelöst werden. -Setzen wir nun die Randbedingungen +Setzt man nun die Randbedingungen \eqref{eq:slp-example-fourier-boundary-condition-ends-isolated} in $X^{\prime}$ ein, beginnend für $x = 0$. Es ergibt sich \[ @@ -342,7 +343,7 @@ Zunächst ist wegen vorhergehender Rechnung ersichtlich, dass es sich bei $A$ und $B$ nicht um einzelne Koeffizienten handelt. Stattdessen können die Koeffizienten für jedes $n \in \mathbb{N}$ unterschiedlich sein. -Schreiben wir also die Lösung $X(x)$ um zu +Die Lösung $X(x)$ wird nun umgeschrieben zu \[ X(x) = @@ -433,14 +434,16 @@ Das Skalarodukt kann nun geschrieben werden als \end{aligned} \] -Betrachten wir zuletzt die zweite Gleichung der Separation -\eqref{eq:slp-example-fourier-separated-t}. -Diese Lösen wir über das charakteristische Polynom +Zuletzt wird die zweite Gleichung der Separation +\eqref{eq:slp-example-fourier-separated-t} betrachtet. +Diese wird über das charakteristische Polynom \[ \lambda - \kappa \mu = - 0. + 0 \] +gelöst. + Es ist direkt ersichtlich, dass $\lambda = \kappa \mu$ gelten muss, was zur Lösung \[ -- cgit v1.2.1 From ff04ad95214c0ecdf8343fa8cd0aaa74dda45715 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: =?UTF-8?q?Erik=20L=C3=B6ffler?= Date: Fri, 12 Aug 2022 14:22:03 +0200 Subject: Corrected error with continuation of u hat. --- .../sturmliouville/waermeleitung_beispiel.tex | 52 +++++++++++++++++----- 1 file changed, 40 insertions(+), 12 deletions(-) (limited to 'buch/papers/sturmliouville') diff --git a/buch/papers/sturmliouville/waermeleitung_beispiel.tex b/buch/papers/sturmliouville/waermeleitung_beispiel.tex index 868f241..cfa7386 100644 --- a/buch/papers/sturmliouville/waermeleitung_beispiel.tex +++ b/buch/papers/sturmliouville/waermeleitung_beispiel.tex @@ -381,7 +381,8 @@ Basisfunktion sämtliche Summanden auf der rechten Seite auslöscht. Zur Berechnung von $a_m$ mit $ m \in \mathbb{N} $ wird beidseitig das Skalarprodukt mit der Basisfunktion $ \cos\left(\frac{m \pi}{l}x\right)$ gebildet: -\[ +\begin{equation} + \label{eq:slp-dot-product-cosine} \langle u(0, x), \cos\left(\frac{m \pi}{l}x\right) \rangle = \langle a_0 @@ -390,30 +391,56 @@ gebildet: + \sum_{n = 1}^{\infty} b_n\sin\left(\frac{n\pi}{l}x\right), \cos\left(\frac{m \pi}{l}x\right)\rangle -\] +\end{equation} Bevor diese Form in die Integralform umgeschrieben werden kann, muss überlegt sein, welche Integralgrenzen zu verwenden sind. In diesem Fall haben die $ \sin $ und $ \cos $ Terme beispielsweise keine ganze Periode im Intervall $ x \in [0, l] $ für ungerade $ n $ und $ m $. -Um die skalarprodukte aber korrekt zu berechnen, muss über die ganze Periode -integriert werden. -Dazu werden die Integralgrenzen $-l$ und $l$ verwendet und es wird ausserdem -eine neue Funktion +Um die Skalarprodukte aber korrekt zu berechnen, muss über ein ganzzahliges +Vielfaches der Periode der triginimetrischen Funktionen integriert werden. +Dazu werden die Integralgrenzen $-l$ und $l$ verwendet und es werden ausserdem +neue Funktionen $ \hat{u}_c(0, x) $ für die Berechnung mit Cosinus und +$ \hat{u}_s(0, x) $ für die Berechnung mit Sinus angenomen, welche $ u(0, t) $ +gerade, respektive ungerade auf $[-l, l]$ fortsetzen: \[ - \hat{u}(0, x) - = +\begin{aligned} + \hat{u}_c(0, x) + &= \begin{cases} - u(0, x + l) & -l \leq x < 0 + u(0, -x) & -l \leq x < 0 \\ u(0, x) & 0 \leq x \leq l \end{cases} + \\ + \hat{u}_s(0, x) + &= + \begin{cases} + -u(0, -x) & -l \leq x < 0 + \\ + u(0, x) & 0 \leq x \leq l + \end{cases}. +\end{aligned} \] -angenomen, welche $u(0, x)$ auf dem Intervall $[-l, l]$ periodisch fortsetzt. -Das Skalarodukt kann nun geschrieben werden als + +Die Konsequenz davon ist, dass nun das Resultat der Integrale um den Faktor zwei +skalliert wurde, also gilt nun +\[ +\begin{aligned} + \int_{-l}^{l}\hat{u}_c(0, x)\cos\left(\frac{m \pi}{l}x\right)dx + &= + 2\int_{0}^{l}u(0, x)\cos\left(\frac{m \pi}{l}x\right)dx + \\ + \int_{-l}^{l}\hat{u}_s(0, x)\sin\left(\frac{m \pi}{l}x\right)dx + &= + 2\int_{0}^{l}u(0, x)\sin\left(\frac{m \pi}{l}x\right)dx. +\end{aligned} +\] + +Zunächst wird nun das Skalaprodukt \eqref{eq:slp-dot-product-cosine} berechnet: \[ \begin{aligned} - \int_{-l}^{l}\hat{u}(0, x)\cos\left(\frac{m \pi}{l}x\right)dx + \int_{-l}^{l}\hat{u}_c(0, x)\cos\left(\frac{m \pi}{l}x\right)dx =& \int_{-l}^{l} \left[a_0 + @@ -422,6 +449,7 @@ Das Skalarodukt kann nun geschrieben werden als \sum_{n = 1}^{\infty} b_n\sin\left(\frac{n\pi}{l}x\right)\right] \cos\left(\frac{m \pi}{l}x\right) dx \\ + 2\int_{0}^{l}u(0, x)\cos\left(\frac{m \pi}{l}x\right)dx =& a_0 \int_{-l}^{l}cos\left(\frac{m \pi}{l}x\right) dx + -- cgit v1.2.1 From d9c6ead18aae68a14ce72b893d9c671156a1d6b3 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: =?UTF-8?q?Erik=20L=C3=B6ffler?= Date: Fri, 12 Aug 2022 18:03:55 +0200 Subject: Full calculation for a_m explained. --- .../sturmliouville/waermeleitung_beispiel.tex | 58 ++++++++++++++++++++++ 1 file changed, 58 insertions(+) (limited to 'buch/papers/sturmliouville') diff --git a/buch/papers/sturmliouville/waermeleitung_beispiel.tex b/buch/papers/sturmliouville/waermeleitung_beispiel.tex index cfa7386..5c246f2 100644 --- a/buch/papers/sturmliouville/waermeleitung_beispiel.tex +++ b/buch/papers/sturmliouville/waermeleitung_beispiel.tex @@ -462,6 +462,64 @@ Zunächst wird nun das Skalaprodukt \eqref{eq:slp-dot-product-cosine} berechnet: \end{aligned} \] +Betrachtet man nun die Summanden auf der rechten Seite stellt man fest, dass +nahezu alle Terme verschinden, denn +\[ + \int_{-l}^{l}cos\left(\frac{m \pi}{l}x\right) dx + = + 0 +\] +da hier über ein ganzzahliges Vielfaches der Periode integriert wird, +\[ + \int_{-l}^{l}\cos\left(\frac{n\pi}{l}x\right) + \cos\left(\frac{m \pi}{l}x\right)dx + = + 0 +\] +für $m\neq n$, da Cosinus-Funktionen mit verschiedenen Kreisfrequenzen +orthogonal zueinander stehen und +\[ + \int_{-l}^{l}\sin\left(\frac{n\pi}{l}x\right) + \cos\left(\frac{m \pi}{l}x\right)dx + = + 0 +\] +da Sinus- und Cosinus-Funktionen ebenfalls orthogonal zueinander sin. + +Es bleibt also lediglich der Summand für $a_m$ stehen, was die Gleichung zu +\[ + 2\int_{0}^{l}u(0, x)\cos\left(\frac{m \pi}{l}x\right)dx + = + a_m\int_{-l}^{l}\cos^2\left(\frac{m\pi}{l}x\right)dx +\] +vereinfacht. Im nächsten Schritt wird nun das Integral auf der rechten Seite +berechnet und dann nach $a_m$ aufgelöst. Am einnfachsten geht dies, wenn zuerst +mit $u = \frac{m \pi}{l}x$ substituiert wird: +\[ + \begin{aligned} + 2\int_{0}^{l}u(0, x)\cos\left(\frac{m \pi}{l}x\right)dx + &= + a_m\frac{l}{m\pi}\int_{-m\pi}^{m\pi}\cos^2\left(u\right)du + \\ + &= + a_m\frac{l}{m\pi}\left[\frac{u}{2} + + \frac{\sin\left(2u\right)}{4}\right]_{u=-m\pi}^{m\pi} + \\ + &= + a_m\frac{l}{m\pi}\left(\frac{m\pi}{2} + + \underbrace{\frac{\sin\left(2m\pi\right)}{4}}_{\displaystyle = 0} - + \frac{-m\pi}{2} - + \underbrace{\frac{\sin\left(-2m\pi\right)}{4}}_{\displaystyle = 0}\right) + \\ + &= + a_m l + \\ + a_m + &= + \frac{2}{l} \int_{0}^{l}u(0, x)\cos\left(\frac{m \pi}{l}x\right)dx + \end{aligned} +\] + Zuletzt wird die zweite Gleichung der Separation \eqref{eq:slp-example-fourier-separated-t} betrachtet. Diese wird über das charakteristische Polynom -- cgit v1.2.1 From b1f2ce6c7f7b277558e7fd18cedae9a0a06aefde Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: =?UTF-8?q?Erik=20L=C3=B6ffler?= Date: Sat, 13 Aug 2022 12:33:04 +0200 Subject: Finished first draft of fourier example. --- .../sturmliouville/waermeleitung_beispiel.tex | 74 +++++++++++++++++++++- 1 file changed, 73 insertions(+), 1 deletion(-) (limited to 'buch/papers/sturmliouville') diff --git a/buch/papers/sturmliouville/waermeleitung_beispiel.tex b/buch/papers/sturmliouville/waermeleitung_beispiel.tex index 5c246f2..5bd5ce2 100644 --- a/buch/papers/sturmliouville/waermeleitung_beispiel.tex +++ b/buch/papers/sturmliouville/waermeleitung_beispiel.tex @@ -170,6 +170,7 @@ Analog dazu kann gezeit werden, dass die Randbedingungen für einen Stab mit isolierten Enden ebenfalls die Sturm-Liouville-Randbedingungen erfüllen und somit auch zu orthogonalen Lösungen führen. +\subsubsection{Lösund der Differentialgleichung in x} Als erstes wird auf die erste erste Gleichung eingegangen. Aufgrund der Struktur der Gleichung \[ @@ -463,7 +464,7 @@ Zunächst wird nun das Skalaprodukt \eqref{eq:slp-dot-product-cosine} berechnet: \] Betrachtet man nun die Summanden auf der rechten Seite stellt man fest, dass -nahezu alle Terme verschinden, denn +nahezu alle Terme verschwinden, denn \[ \int_{-l}^{l}cos\left(\frac{m \pi}{l}x\right) dx = @@ -520,6 +521,74 @@ mit $u = \frac{m \pi}{l}x$ substituiert wird: \end{aligned} \] +Analog dazu kann durch das Bilden des Skalarproduktes mit +$ \sin\left(\frac{m \pi}{l}x\right) $ gezeigt werden, dass +\[ + b_m + = + \frac{2}{l} \int_{0}^{l}u(0, x)\sin\left(\frac{m \pi}{l}x\right)dx +\] +gilt. + +Etwas anders ist es allerdings bei $a_0$. +Wie der Name bereits suggeriert, handelt es sich hierbei um den Koeffizienten +zur Basisfunktion $ \cos\left(\frac{0 \pi}{l}x\right) $ beziehungsweise der +konstanten Funktion $1$. +Um einen Ausdruck für $ a_0 $ zu erhalten, wird wiederum auf beiden Seiten +der Gleichung \eqref{eq:slp-example-fourier-initial-conditions} das +Skalarprodukt mit der konstanten Basisfunktion $ 1 $ gebildet: +\[ +\begin{aligned} + \int_{-l}^{l}\hat{u}_c(0, x)dx + &= + \int_{-l}^{l} a_0 + + + \sum_{n = 1}^{\infty} a_n\cos\left(\frac{n\pi}{l}x\right) + + + \sum_{n = 1}^{\infty} b_n\sin\left(\frac{n\pi}{l}x\right)dx + \\ + 2\int_{0}^{l}u(0, x)dx + &= + a_0 \int_{-l}^{l}dx + + + \sum_{n = 1}^{\infty}\left[a_n\int_{-l}^{l}\cos\left(\frac{n\pi}{l}x\right) + dx\right] + + \sum_{n = 1}^{\infty}\left[b_n\int_{-l}^{l}\sin\left(\frac{n\pi}{l}x\right) + dx\right]. +\end{aligned} +\] + +Hier fallen nun alle Terme, die $\sin$ oder $\cos$ beinhalten weg, da jeweils +über ein Vielfaches der Periode integriert wird. +Es bleibt also noch +\[ + 2\int_{0}^{l}u(0, x)dx + = + a_0 \int_{-l}^{l}dx +\] +, was sich wie folgt nach $a_0$ auflösen lässt: +\[ +\begin{aligned} + 2\int_{0}^{l}u(0, x)dx + &= + a_0 \int_{-l}^{l}dx + \\ + &= + a_0 \left[x\right]_{x=-l}^{l} + \\ + &= + a_0(l - (-l)) + \\ + &= + a_0 \cdot 2l + \\ + a_0 + &= + \frac{1}{l} \int_{0}^{l}u(0, x)dx +\end{aligned} +\] + +\subsubsection{Lösund der Differentialgleichung in t} Zuletzt wird die zweite Gleichung der Separation \eqref{eq:slp-example-fourier-separated-t} betrachtet. Diese wird über das charakteristische Polynom @@ -546,6 +615,9 @@ Und mit dem Resultat \eqref{eq:slp-example-fourier-mu-solution} \] ergibt. +Dieses Resultat kann nun mit allen vorhergehenden Resultaten zudammengesetzt +werden um die vollständige Lösung für das Stab-Problem zu erhalten. + \subsubsection{Lösung für einen Stab mit Enden auf konstanter Temperatur} \[ \begin{aligned} -- cgit v1.2.1 From 1b634d9be2a8536dbc55b3ac3b60efda6a5a16c8 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: =?UTF-8?q?Erik=20L=C3=B6ffler?= Date: Mon, 15 Aug 2022 09:46:33 +0200 Subject: Corrected some errors. --- .../sturmliouville/waermeleitung_beispiel.tex | 45 +++++++++++----------- 1 file changed, 23 insertions(+), 22 deletions(-) (limited to 'buch/papers/sturmliouville') diff --git a/buch/papers/sturmliouville/waermeleitung_beispiel.tex b/buch/papers/sturmliouville/waermeleitung_beispiel.tex index 5bd5ce2..5d178c2 100644 --- a/buch/papers/sturmliouville/waermeleitung_beispiel.tex +++ b/buch/papers/sturmliouville/waermeleitung_beispiel.tex @@ -11,8 +11,8 @@ betrachtet und wie das Sturm-Liouville-Problem bei der Beschreibung dieses physikalischen Phänomenes auftritt. Zunächst wird ein eindimensionaler homogener Stab der Länge $l$ und -Wärmeleitkoeffizient $\kappa$. -Somit ergibt sich für das Wärmeleitungsproblem +Wärmeleitkoeffizient $\kappa$ betrachtet. +Es ergibt sich für das Wärmeleitungsproblem die partielle Differentialgleichung \begin{equation} \label{eq:slp-example-fourier-heat-equation} @@ -26,13 +26,14 @@ Stab beschreibt, werden zusätzliche Bedingungen benötigt, um beispielsweise die Lösung für einen Stab zu finden, bei dem die Enden auf konstanter Tempreatur gehalten werden. -%%%%%%%%%%%%% Randbedingungen für Stab mit konstanten Endtemperaturen %%%%%%%%% - -\subsubsection{Stab mit Enden auf konstanter Temperatur} +% +% Randbedingungen für Stab mit konstanten Endtemperaturen +% +\subsubsection{Randbedingungen für Stab mit Enden auf konstanter Temperatur} Die Enden des Stabes auf konstanter Temperatur zu halten bedeutet, dass die Lösungsfunktion $u(t,x)$ bei $x = 0$ und $x = l$ nur die vorgegebene -Temperatur zurückgeben darf. +Temperatur zurückgeben darf. Diese wird einfachheitshalber als $0$ angenomen. Es folgen nun \begin{equation} \label{eq:slp-example-fourier-boundary-condition-ends-constant} @@ -44,12 +45,14 @@ Es folgen nun \end{equation} als Randbedingungen. -%%%%%%%%%%%%% Randbedingungen für Stab mit isolierten Enden %%%%%%%%%%%%%%%%%%% +% +% Randbedingungen für Stab mit isolierten Enden +% -\subsubsection{Stab mit isolierten Enden} +\subsubsection{Randbedingungen für Stab mit isolierten Enden} Bei isolierten Enden des Stabes können belibige Temperaturen für $x = 0$ und -$x = l$ auftreten. In diesem Fall nicht erlaubt ist es, dass Wärme vom Stab +$x = l$ auftreten. In diesem Fall ist es nicht erlaubt, dass Wärme vom Stab an die Umgebung oder von der Umgebung an den Stab abgegeben wird. Aus der Physik ist bekannt, dass Wärme immer von der höheren zur tieferen @@ -72,9 +75,6 @@ als Randbedingungen. \subsubsection{Lösung der Differenzialgleichung} -% TODO: Referenz Separationsmethode -% TODO: Formeln sauber in Text einbinden. - Da die Lösungsfunktion von zwei Variablen abhängig ist, wird als Lösungsansatz die Separationsmethode verwendet. Dazu wird @@ -83,7 +83,8 @@ Dazu wird = T(t)X(x) \] -in die ursprüngliche Differenzialgleichung eingesetzt. +in die partielle Differenzialgleichung +\eqref{eq:slp-example-fourier-heat-equation} eingesetzt. Daraus ergibt sich \[ T^{\prime}(t)X(x) @@ -95,13 +96,13 @@ als neue Form. Nun können alle von $t$ abhängigen Ausdrücke auf die linke Seite, sowie alle von $x$ abhängigen Ausdrücke auf die rechte Seite gebracht werden und mittels der neuen Variablen $\mu$ gekoppelt werden: -\begin{equation} +\[ \frac{T^{\prime}(t)}{\kappa T(t)} = \frac{X^{\prime \prime}(x)}{X(x)} = \mu -\end{equation} +\] Durch die Einführung von $\mu$ kann das Problem nun in zwei separate Differenzialgleichungen aufgeteilt werden: \begin{equation} @@ -123,12 +124,14 @@ Erfüllen die Randbedingungen des Stab-Problems auch die Randbedingungen des Sturm-Liouville-Problems, kann bereits die Aussage getroffen werden, dass alle Lösungen für die Gleichung in $x$ orthogonal sein werden. +Da die Bedingungen des Stab-Problem nur Anforderungen an $x$ stellen, können +diese direkt für $X(x)$ übernomen werden. Es gilt also $X(0) = X(l) = 0$. Damit die Lösungen von $X$ orthogonal sind, müssen also die Gleichungen \begin{equation} \begin{aligned} \label{eq:slp-example-fourier-randbedingungen} - k_a y(a) + h_a p(a) y'(a) &= 0 \\ - k_b y(b) + h_b p(b) y'(b) &= 0 + k_a X(a) + h_a p(a) X'(a) &= 0 \\ + k_b X(b) + h_b p(b) X'(b) &= 0 \end{aligned} \end{equation} erfüllt sein und es muss ausserdem @@ -237,8 +240,6 @@ bestimmen. Dazu werden nochmals die Randbedingungen \eqref{eq:slp-example-fourier-boundary-condition-ends-constant} und \eqref{eq:slp-example-fourier-boundary-condition-ends-isolated} benötigt. -Zu bemerken ist, dass die Randbedingungen nur Anforderungen in $x$ stellen und -somit direkt für $X(x)$ übernomen werden können. Da die Koeffizienten $A$ und $B$, sowie die Parameter $\alpha$ uns $\beta$ im allgemeninen ungleich $0$ sind, müssen die Randbedingungen durch die @@ -282,9 +283,9 @@ Es bleibt noch nach $\beta$ aufzulösen: \] Es folgt nun wegen $\mu = -\beta^{2}$, dass -\begin{equation} +\[ \mu_1 = -\beta^{2} = -\frac{n^{2}\pi^{2}}{l^{2}} -\end{equation} +\] sein muss. Ausserdem ist zu bemerken, dass dies auch gleich $-\alpha^{2}$ ist. Da aber $A = 0$ gilt und der Summand mit $\alpha$ verschwindet, ist dies keine @@ -485,7 +486,7 @@ orthogonal zueinander stehen und = 0 \] -da Sinus- und Cosinus-Funktionen ebenfalls orthogonal zueinander sin. +da Sinus- und Cosinus-Funktionen ebenfalls orthogonal zueinander sind. Es bleibt also lediglich der Summand für $a_m$ stehen, was die Gleichung zu \[ -- cgit v1.2.1 From d80f928a8c5248d4fb92d04ed81cdaeec61bc10a Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: =?UTF-8?q?Erik=20L=C3=B6ffler?= Date: Mon, 15 Aug 2022 09:51:21 +0200 Subject: Added comments to source. --- .../papers/sturmliouville/waermeleitung_beispiel.tex | 20 ++++++++++++++++++-- 1 file changed, 18 insertions(+), 2 deletions(-) (limited to 'buch/papers/sturmliouville') diff --git a/buch/papers/sturmliouville/waermeleitung_beispiel.tex b/buch/papers/sturmliouville/waermeleitung_beispiel.tex index 5d178c2..14c0d9a 100644 --- a/buch/papers/sturmliouville/waermeleitung_beispiel.tex +++ b/buch/papers/sturmliouville/waermeleitung_beispiel.tex @@ -71,7 +71,9 @@ Somit folgen \end{equation} als Randbedingungen. -%%%%%%%%%%% Lösung der Differenzialgleichung %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% +% +% Lösung der Differenzialgleichung mittels Separation +% \subsubsection{Lösung der Differenzialgleichung} @@ -118,6 +120,10 @@ Differenzialgleichungen aufgeteilt werden: 0 \end{equation} +% +% Überprüfung Orthogonalität der Lösungen +% + Es ist an dieser Stelle zu bemerken, dass die Gleichung in $x$ in Sturm-Liouville-Form ist. Erfüllen die Randbedingungen des Stab-Problems auch die Randbedingungen des @@ -173,6 +179,10 @@ Analog dazu kann gezeit werden, dass die Randbedingungen für einen Stab mit isolierten Enden ebenfalls die Sturm-Liouville-Randbedingungen erfüllen und somit auch zu orthogonalen Lösungen führen. +% +% Lösung von X(x), Teil mu +% + \subsubsection{Lösund der Differentialgleichung in x} Als erstes wird auf die erste erste Gleichung eingegangen. Aufgrund der Struktur der Gleichung @@ -338,7 +348,9 @@ wie auch mit isolierten Enden -\frac{n^{2}\pi^{2}}{l^{2}}. \end{equation} -%%%% Koeffizienten a_n und b_n mittels skalarprodukt. %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% +% +% Lösung von X(x), Teil: Koeffizienten a_n und b_n mittels skalarprodukt. +% Bisher wurde über die Koeffizienten $A$ und $B$ noch nicht viel ausgesagt. Zunächst ist wegen vorhergehender Rechnung ersichtlich, dass es sich bei @@ -589,6 +601,10 @@ Es bleibt also noch \end{aligned} \] +% +% Lösung von T(t) +% + \subsubsection{Lösund der Differentialgleichung in t} Zuletzt wird die zweite Gleichung der Separation \eqref{eq:slp-example-fourier-separated-t} betrachtet. -- cgit v1.2.1 From b06a9e5b30562e550540ea4b13b4e449970e9b2d Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: =?UTF-8?q?Erik=20L=C3=B6ffler?= Date: Mon, 15 Aug 2022 10:03:42 +0200 Subject: Updated upstrem. --- buch/papers/sturmliouville/waermeleitung_beispiel.tex | 2 +- 1 file changed, 1 insertion(+), 1 deletion(-) (limited to 'buch/papers/sturmliouville') diff --git a/buch/papers/sturmliouville/waermeleitung_beispiel.tex b/buch/papers/sturmliouville/waermeleitung_beispiel.tex index 14c0d9a..b466d15 100644 --- a/buch/papers/sturmliouville/waermeleitung_beispiel.tex +++ b/buch/papers/sturmliouville/waermeleitung_beispiel.tex @@ -602,7 +602,7 @@ Es bleibt also noch \] % -% Lösung von T(t) +% Lösung von T(t) % \subsubsection{Lösund der Differentialgleichung in t} -- cgit v1.2.1 From 97e85459986381371236d1b9529d67064ac226c8 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: =?UTF-8?q?Erik=20L=C3=B6ffler?= Date: Mon, 15 Aug 2022 11:58:27 +0200 Subject: Started properties of solutions. --- buch/papers/sturmliouville/eigenschaften.tex | 16 ++++++++++++++-- 1 file changed, 14 insertions(+), 2 deletions(-) (limited to 'buch/papers/sturmliouville') diff --git a/buch/papers/sturmliouville/eigenschaften.tex b/buch/papers/sturmliouville/eigenschaften.tex index 9f20070..6e6a26f 100644 --- a/buch/papers/sturmliouville/eigenschaften.tex +++ b/buch/papers/sturmliouville/eigenschaften.tex @@ -1,9 +1,21 @@ % -% teil1.tex -- Beispiel-File für das Paper +% eigenschaften.tex -- Eigenschaften der Lösungen % % (c) 2020 Prof Dr Andreas Müller, Hochschule Rapperswil % \section{Eigenschaften von Lösungen \label{sturmliouville:section:solution-properties}} \rhead{Eigenschaften von Lösungen} -% Erik work + +Im weiteren werden nun die Eigenschaften der Lösungen eines +Sturm-Liouville-Problems diskutiert und aufgezeigt, wie diese Eigenschaften +zustande kommen. + +Dazu wird der Operator $L_0$ welcher bereits in Kapitel +\ref{buch:integrale:subsection:sturm-liouville-problem} betrachtet wurde, +noch etwas genauer angeschaut. Es wird also +\[ + L_0 + = + -\frac{d}{dx}p(x) +\] \ No newline at end of file -- cgit v1.2.1 From 23d12ac04f38d75c3a904fd99cf6586efc7ea267 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: =?UTF-8?q?Erik=20L=C3=B6ffler?= Date: Mon, 15 Aug 2022 13:13:59 +0200 Subject: Finished first version of solution properties. --- buch/papers/sturmliouville/eigenschaften.tex | 60 ++++++++++++++++++++++++++-- 1 file changed, 57 insertions(+), 3 deletions(-) (limited to 'buch/papers/sturmliouville') diff --git a/buch/papers/sturmliouville/eigenschaften.tex b/buch/papers/sturmliouville/eigenschaften.tex index 6e6a26f..1552f7f 100644 --- a/buch/papers/sturmliouville/eigenschaften.tex +++ b/buch/papers/sturmliouville/eigenschaften.tex @@ -13,9 +13,63 @@ zustande kommen. Dazu wird der Operator $L_0$ welcher bereits in Kapitel \ref{buch:integrale:subsection:sturm-liouville-problem} betrachtet wurde, -noch etwas genauer angeschaut. Es wird also +noch etwas genauer angeschaut. Es wird also im Folgenden \[ L_0 = - -\frac{d}{dx}p(x) -\] \ No newline at end of file + -\frac{d}{dx}p(x)\frac{d}{dx} +\] +zusammen mit den Randbedingungen +\[ + \begin{aligned} + k_a y(a) + h_a p(a) y'(a) &= 0 \\ + k_b y(b) + h_b p(b) y'(b) &= 0 + \end{aligned} +\] +verwendet. Wie im Kapitel +\ref{buch:integrale:subsection:sturm-liouville-problem} bereits gezeigt, +resultieren die Randbedingungen aus der Anforderung den Operator $L_0$ +selbsadjungiert zu machen. +Es wurde allerdings noch nicht darauf eingegangen, welche Eigenschaften dies +für die Lösungen des Sturm-Liouville-Problems zur Folge hat. + +\subsubsection{Exkurs zum Spektralsatz} + +Um zu verstehen was für Eigenschaften der selbstadjungierte Operator $L_0$ in +den Lösungen hervorbringt, wird der Spektralsatz benötigt. + +Dieser wird in der linearen Algebra oft verwendet um zu zeigen, dass eine Matrix +diagonalisierbar ist, beziehungsweise dass eine Orthonormalbasis existiert. +Dazu wird zunächst gezeigt, dass eine gegebene $n\times n$-Matrix $A$ aus einem +endlichdimensionalem $\mathbb{K}$-Vektorraum selbstadungiert ist, also dass +\[ + \langle Av, w \rangle + = + \langle v, Aw \rangle +\] +für $ v, w \in \mathbb{K}^n$ gilt. +Ist dies der Fall, folgt direkt, dass $A$ auch normal ist. +Dann wird die Aussage des Spektralsatzes verwended, welche besagt, dass für +Endomorphismen genau dann eine Orthonormalbasis aus Eigenvektoren existiert, +wenn sie normal sind und nur Eigenwerte aus $\mathbb{K}$ besitzten. + +Dies ist allerdings nicht die Einzige Version des Spektralsatzes. +Unter anderen gibt es den Spektralsatz für kompakte Operatoren. +Dieser besagt, dass wenn ein linearer kompakter Operator in +$\mathbb{R}$ selbstadjungiert ist, ein (eventuell endliches) +Orthonormalsystem existiert. + +\subsubsection{Anwendung des Spektralsatzes auf $L_0$} + +Der Spektralsatz besagt also, dass, weil $ L_0 $ selbstadjungiert ist, eine +Orthonormalbasis aus Eigenvektoren existiert. +Genauer bedeutet dies, dass alle Eigenvektoren beziehungsweise alle Lösungen +des Sturm-Liouville-Problems orthogonal zueinander sind bezüglich dem +Skalarprodukt, in dem $ L_0 $ selbstadjungiert ist. + +Erfüllt also eine Differenzialgleichung die in Abschnitt +\ref{sturmliouville:section:teil0} präsentierten Eigenschaften und erfüllen +die Randbedingungen der Differentialgleichung die Randbedingungen +des Sturm-Liouville-Problems, kann bereits geschlossen werden, dass die +Lösungsfunktion des Problems eine Linearkombination aus orthogonalen +Basisfunktionen ist. \ No newline at end of file -- cgit v1.2.1 From 8c6898303fc394c4f132664ef0b15fe484e9c5d9 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: =?UTF-8?q?Erik=20L=C3=B6ffler?= Date: Mon, 15 Aug 2022 13:42:16 +0200 Subject: Added reference for "Spektralsatz". --- buch/papers/sturmliouville/eigenschaften.tex | 6 ++++-- buch/papers/sturmliouville/references.bib | 13 +++++++++++++ 2 files changed, 17 insertions(+), 2 deletions(-) (limited to 'buch/papers/sturmliouville') diff --git a/buch/papers/sturmliouville/eigenschaften.tex b/buch/papers/sturmliouville/eigenschaften.tex index 1552f7f..f972cd5 100644 --- a/buch/papers/sturmliouville/eigenschaften.tex +++ b/buch/papers/sturmliouville/eigenschaften.tex @@ -49,12 +49,14 @@ endlichdimensionalem $\mathbb{K}$-Vektorraum selbstadungiert ist, also dass \] für $ v, w \in \mathbb{K}^n$ gilt. Ist dies der Fall, folgt direkt, dass $A$ auch normal ist. -Dann wird die Aussage des Spektralsatzes verwended, welche besagt, dass für +Dann wird die Aussage des Spektralsatzes +\cite{sturmliouville:spektralsatz-wiki} verwended, welche besagt, dass für Endomorphismen genau dann eine Orthonormalbasis aus Eigenvektoren existiert, wenn sie normal sind und nur Eigenwerte aus $\mathbb{K}$ besitzten. Dies ist allerdings nicht die Einzige Version des Spektralsatzes. -Unter anderen gibt es den Spektralsatz für kompakte Operatoren. +Unter anderen gibt es den Spektralsatz für kompakte Operatoren +\cite{sturmliouville:spektralsatz-wiki}. Dieser besagt, dass wenn ein linearer kompakter Operator in $\mathbb{R}$ selbstadjungiert ist, ein (eventuell endliches) Orthonormalsystem existiert. diff --git a/buch/papers/sturmliouville/references.bib b/buch/papers/sturmliouville/references.bib index f66a74d..0c4724b 100644 --- a/buch/papers/sturmliouville/references.bib +++ b/buch/papers/sturmliouville/references.bib @@ -4,6 +4,19 @@ % (c) 2020 Autor, Hochschule Rapperswil % +@online{sturmliouville:spektralsatz-wiki, + title = {Spektralsatz}, + url = {https://de.wikipedia.org/wiki/Spektralsatz}, + date = {2020-08-15}, + year = {2020}, + month = {8}, + day = {15} +} + +% +% examples (not referenced in book) +% + @online{sturmliouville:bibtex, title = {BibTeX}, url = {https://de.wikipedia.org/wiki/BibTeX}, -- cgit v1.2.1 From 8b01c81f362cf20246e3d8319edfda15c18ff83f Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: =?UTF-8?q?Erik=20L=C3=B6ffler?= Date: Mon, 15 Aug 2022 13:45:34 +0200 Subject: Improved code formatting. --- buch/papers/sturmliouville/eigenschaften.tex | 6 ++++-- 1 file changed, 4 insertions(+), 2 deletions(-) (limited to 'buch/papers/sturmliouville') diff --git a/buch/papers/sturmliouville/eigenschaften.tex b/buch/papers/sturmliouville/eigenschaften.tex index f972cd5..4c14630 100644 --- a/buch/papers/sturmliouville/eigenschaften.tex +++ b/buch/papers/sturmliouville/eigenschaften.tex @@ -13,7 +13,8 @@ zustande kommen. Dazu wird der Operator $L_0$ welcher bereits in Kapitel \ref{buch:integrale:subsection:sturm-liouville-problem} betrachtet wurde, -noch etwas genauer angeschaut. Es wird also im Folgenden +noch etwas genauer angeschaut. +Es wird also im Folgenden \[ L_0 = @@ -26,7 +27,8 @@ zusammen mit den Randbedingungen k_b y(b) + h_b p(b) y'(b) &= 0 \end{aligned} \] -verwendet. Wie im Kapitel +verwendet. +Wie im Kapitel \ref{buch:integrale:subsection:sturm-liouville-problem} bereits gezeigt, resultieren die Randbedingungen aus der Anforderung den Operator $L_0$ selbsadjungiert zu machen. -- cgit v1.2.1 From 987a5b51eaf65c4074c50ba12a3b21c2d2957260 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: =?UTF-8?q?Erik=20L=C3=B6ffler?= Date: Mon, 15 Aug 2022 15:06:11 +0200 Subject: Corrected small mistake in psolution roperties. --- buch/papers/sturmliouville/eigenschaften.tex | 4 ++-- 1 file changed, 2 insertions(+), 2 deletions(-) (limited to 'buch/papers/sturmliouville') diff --git a/buch/papers/sturmliouville/eigenschaften.tex b/buch/papers/sturmliouville/eigenschaften.tex index 4c14630..8553238 100644 --- a/buch/papers/sturmliouville/eigenschaften.tex +++ b/buch/papers/sturmliouville/eigenschaften.tex @@ -37,7 +37,7 @@ für die Lösungen des Sturm-Liouville-Problems zur Folge hat. \subsubsection{Exkurs zum Spektralsatz} -Um zu verstehen was für Eigenschaften der selbstadjungierte Operator $L_0$ in +Um zu verstehen was für Eigenschaften der selbstadjungierte Operator $ L_0 $ in den Lösungen hervorbringt, wird der Spektralsatz benötigt. Dieser wird in der linearen Algebra oft verwendet um zu zeigen, dass eine Matrix @@ -67,7 +67,7 @@ Orthonormalsystem existiert. Der Spektralsatz besagt also, dass, weil $ L_0 $ selbstadjungiert ist, eine Orthonormalbasis aus Eigenvektoren existiert. -Genauer bedeutet dies, dass alle Eigenvektoren beziehungsweise alle Lösungen +Genauer bedeutet dies, dass alle Eigenvektoren, beziehungsweise alle Lösungen des Sturm-Liouville-Problems orthogonal zueinander sind bezüglich dem Skalarprodukt, in dem $ L_0 $ selbstadjungiert ist. -- cgit v1.2.1 From 53cc7f1baf28448cb6196ba6ddf305e1b1403e7d Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: =?UTF-8?q?Erik=20L=C3=B6ffler?= Date: Mon, 15 Aug 2022 15:45:11 +0200 Subject: Changed reference to conform with convetion. --- buch/papers/sturmliouville/eigenschaften.tex | 23 +++-- .../sturmliouville/waermeleitung_beispiel.tex | 107 +++++++++++---------- 2 files changed, 67 insertions(+), 63 deletions(-) (limited to 'buch/papers/sturmliouville') diff --git a/buch/papers/sturmliouville/eigenschaften.tex b/buch/papers/sturmliouville/eigenschaften.tex index 8553238..fda8be6 100644 --- a/buch/papers/sturmliouville/eigenschaften.tex +++ b/buch/papers/sturmliouville/eigenschaften.tex @@ -11,9 +11,9 @@ Im weiteren werden nun die Eigenschaften der Lösungen eines Sturm-Liouville-Problems diskutiert und aufgezeigt, wie diese Eigenschaften zustande kommen. -Dazu wird der Operator $L_0$ welcher bereits in Kapitel -\ref{buch:integrale:subsection:sturm-liouville-problem} betrachtet wurde, -noch etwas genauer angeschaut. +Dazu wird der Operator $L_0$ welcher bereits in +Kapitel~\ref{buch:integrale:subsection:sturm-liouville-problem} betrachtet +wurde, noch etwas genauer angeschaut. Es wird also im Folgenden \[ L_0 @@ -28,16 +28,15 @@ zusammen mit den Randbedingungen \end{aligned} \] verwendet. -Wie im Kapitel -\ref{buch:integrale:subsection:sturm-liouville-problem} bereits gezeigt, -resultieren die Randbedingungen aus der Anforderung den Operator $L_0$ +Wie im Kapitel~\ref{buch:integrale:subsection:sturm-liouville-problem} bereits +gezeigt, resultieren die Randbedingungen aus der Anforderung den Operator $L_0$ selbsadjungiert zu machen. Es wurde allerdings noch nicht darauf eingegangen, welche Eigenschaften dies für die Lösungen des Sturm-Liouville-Problems zur Folge hat. \subsubsection{Exkurs zum Spektralsatz} -Um zu verstehen was für Eigenschaften der selbstadjungierte Operator $ L_0 $ in +Um zu verstehen was für Eigenschaften der selbstadjungierte Operator $L_0$ in den Lösungen hervorbringt, wird der Spektralsatz benötigt. Dieser wird in der linearen Algebra oft verwendet um zu zeigen, dass eine Matrix @@ -65,15 +64,15 @@ Orthonormalsystem existiert. \subsubsection{Anwendung des Spektralsatzes auf $L_0$} -Der Spektralsatz besagt also, dass, weil $ L_0 $ selbstadjungiert ist, eine +Der Spektralsatz besagt also, dass, weil $L_0$ selbstadjungiert ist, eine Orthonormalbasis aus Eigenvektoren existiert. Genauer bedeutet dies, dass alle Eigenvektoren, beziehungsweise alle Lösungen des Sturm-Liouville-Problems orthogonal zueinander sind bezüglich dem -Skalarprodukt, in dem $ L_0 $ selbstadjungiert ist. +Skalarprodukt, in dem $L_0$ selbstadjungiert ist. -Erfüllt also eine Differenzialgleichung die in Abschnitt -\ref{sturmliouville:section:teil0} präsentierten Eigenschaften und erfüllen -die Randbedingungen der Differentialgleichung die Randbedingungen +Erfüllt also eine Differenzialgleichung die in +Abschnitt~\ref{sturmliouville:section:teil0} präsentierten Eigenschaften und +erfüllen die Randbedingungen der Differentialgleichung die Randbedingungen des Sturm-Liouville-Problems, kann bereits geschlossen werden, dass die Lösungsfunktion des Problems eine Linearkombination aus orthogonalen Basisfunktionen ist. \ No newline at end of file diff --git a/buch/papers/sturmliouville/waermeleitung_beispiel.tex b/buch/papers/sturmliouville/waermeleitung_beispiel.tex index b466d15..b22d5f5 100644 --- a/buch/papers/sturmliouville/waermeleitung_beispiel.tex +++ b/buch/papers/sturmliouville/waermeleitung_beispiel.tex @@ -15,7 +15,7 @@ Wärmeleitkoeffizient $\kappa$ betrachtet. Es ergibt sich für das Wärmeleitungsproblem die partielle Differentialgleichung \begin{equation} - \label{eq:slp-example-fourier-heat-equation} + \label{sturmliouville:eq:example-fourier-heat-equation} \frac{\partial u}{\partial t} = \kappa \frac{\partial^{2}u}{{\partial x}^{2}} \end{equation} @@ -36,7 +36,7 @@ Lösungsfunktion $u(t,x)$ bei $x = 0$ und $x = l$ nur die vorgegebene Temperatur zurückgeben darf. Diese wird einfachheitshalber als $0$ angenomen. Es folgen nun \begin{equation} - \label{eq:slp-example-fourier-boundary-condition-ends-constant} + \label{sturmliouville:eq:example-fourier-boundary-condition-ends-constant} u(t,0) = u(t,l) @@ -62,7 +62,7 @@ dass die partiellen Ableitungen von $u(t,x)$ nach $x$ bei $x = 0$ und $x = l$ verschwinden. Somit folgen \begin{equation} - \label{eq:slp-example-fourier-boundary-condition-ends-isolated} + \label{sturmliouville:eq:example-fourier-boundary-condition-ends-isolated} \frac{\partial}{\partial x} u(t, 0) = \frac{\partial}{\partial x} u(t, l) @@ -85,8 +85,9 @@ Dazu wird = T(t)X(x) \] -in die partielle Differenzialgleichung -\eqref{eq:slp-example-fourier-heat-equation} eingesetzt. +in die partielle +Differenzialgleichung~\eqref{sturmliouville:eq:example-fourier-heat-equation} +eingesetzt. Daraus ergibt sich \[ T^{\prime}(t)X(x) @@ -108,13 +109,13 @@ der neuen Variablen $\mu$ gekoppelt werden: Durch die Einführung von $\mu$ kann das Problem nun in zwei separate Differenzialgleichungen aufgeteilt werden: \begin{equation} - \label{eq:slp-example-fourier-separated-x} + \label{sturmliouville:eq:example-fourier-separated-x} X^{\prime \prime}(x) - \mu X(x) = 0 \end{equation} \begin{equation} - \label{eq:slp-example-fourier-separated-t} + \label{sturmliouville:eq:example-fourier-separated-t} T^{\prime}(t) - \kappa \mu T(t) = 0 @@ -135,7 +136,7 @@ diese direkt für $X(x)$ übernomen werden. Es gilt also $X(0) = X(l) = 0$. Damit die Lösungen von $X$ orthogonal sind, müssen also die Gleichungen \begin{equation} \begin{aligned} - \label{eq:slp-example-fourier-randbedingungen} + \label{sturmliouville:eq:example-fourier-randbedingungen} k_a X(a) + h_a p(a) X'(a) &= 0 \\ k_b X(b) + h_b p(b) X'(b) &= 0 \end{aligned} @@ -143,7 +144,7 @@ Damit die Lösungen von $X$ orthogonal sind, müssen also die Gleichungen erfüllt sein und es muss ausserdem \begin{equation} \begin{aligned} - \label{eq:slp-example-fourier-coefficient-constraints} + \label{sturmliouville:eq:example-fourier-coefficient-constraints} |k_a|^2 + |h_a|^2 &\neq 0\\ |k_b|^2 + |h_b|^2 &\neq 0\\ \end{aligned} @@ -153,13 +154,15 @@ gelten. Um zu verifizieren, ob die Randbedingungen erfüllt sind, wird zunächst $p(x)$ benötigt. -Dazu wird die Gleichung \eqref{eq:slp-example-fourier-separated-x} mit der -Sturm-Liouville-Form \eqref{eq:sturm-liouville-equation} verglichen, was zu +Dazu wird die Gleichung~\eqref{sturmliouville:eq:example-fourier-separated-x} +mit der +Sturm-Liouville-Form~\eqref{eq:sturm-liouville-equation} verglichen, was zu $p(x) = 1$ führt. -Werden nun $p(x)$ und die Randbedingungen -\eqref{eq:slp-example-fourier-boundary-condition-ends-constant} in -\eqref{eq:slp-example-fourier-randbedingungen} eigesetzt, erhält man +Werden nun $p(x)$ und die +Randbedingungen~\eqref{sturmliouville:eq:example-fourier-boundary-condition-ends-constant} +in \eqref{sturmliouville:eq:example-fourier-randbedingungen} eigesetzt, erhält +man \[ \begin{aligned} k_a y(0) + h_a y'(0) &= h_a y'(0) = 0 \\ @@ -167,10 +170,10 @@ Werden nun $p(x)$ und die Randbedingungen \end{aligned} \] Damit die Gleichungen erfüllt sind, müssen $h_a = 0$ und $h_b = 0$ sein. -Zusätzlich müssen aber die Bedingungen -\eqref{eq:slp-example-fourier-coefficient-constraints} erfüllt sein und -da $y(0) = 0$ und $y(l) = 0$ sind, können belibige $k_a \neq 0$ und $k_b \neq 0$ -gewählt werden. +Zusätzlich müssen aber die +Bedingungen~\eqref{sturmliouville:eq:example-fourier-coefficient-constraints} +erfüllt sein und da $y(0) = 0$ und $y(l) = 0$ sind, können belibige $k_a \neq 0$ +und $k_b \neq 0$ gewählt werden. Somit ist gezeigt, dass die Randbedingungen des Stab-Problems für Enden auf konstanter Temperatur auch die Sturm-Liouville-Randbedingungen erfüllen und @@ -199,9 +202,9 @@ Die Lösungen für $X(x)$ sind also von der Form A \cos \left( \alpha x\right) + B \sin \left( \beta x\right). \] -Dieser Ansatz wird nun solange differenziert, bis alle in Gleichung -\eqref{eq:slp-example-fourier-separated-x} enthaltenen Ableitungen vorhanden -sind. +Dieser Ansatz wird nun solange differenziert, bis alle in +Gleichung~\eqref{sturmliouville:eq:example-fourier-separated-x} enthaltenen +Ableitungen vorhanden sind. Man erhält also \[ X^{\prime}(x) @@ -217,7 +220,8 @@ und \beta^{2} B \sin \left( \beta x \right). \] -Eingesetzt in Gleichung \eqref{eq:slp-example-fourier-separated-x} ergibt dies +Eingesetzt in Gleichung~\eqref{sturmliouville:eq:example-fourier-separated-x} +ergibt dies \[ -\alpha^{2}A\cos(\alpha x) - \beta^{2}B\sin(\beta x) - \mu\left(A\cos(\alpha x) + B\sin(\beta x)\right) @@ -247,18 +251,19 @@ ist schnell ersichtlich, dass $ \mu = -\alpha^{2} = -\beta^{2} $ gelten muss fü $ A \neq 0 $ oder $ B \neq 0 $. Zur Berechnung von $ \mu $ bleiben also noch $ \alpha $ und $ \beta $ zu bestimmen. -Dazu werden nochmals die Randbedingungen -\eqref{eq:slp-example-fourier-boundary-condition-ends-constant} und -\eqref{eq:slp-example-fourier-boundary-condition-ends-isolated} benötigt. +Dazu werden nochmals die +Randbedingungen~\eqref{sturmliouville:eq:example-fourier-boundary-condition-ends-constant} +und \eqref{sturmliouville:eq:example-fourier-boundary-condition-ends-isolated} +benötigt. Da die Koeffizienten $A$ und $B$, sowie die Parameter $\alpha$ uns $\beta$ im allgemeninen ungleich $0$ sind, müssen die Randbedingungen durch die trigonometrischen Funktionen erfüllt werden. -Es werden nun die Randbedingungen -\eqref{eq:slp-example-fourier-boundary-condition-ends-constant} für einen Stab -mit Enden auf konstanter Temperatur in die Gleichung -\eqref{eq:slp-example-fourier-separated-x} eingesetzt. +Es werden nun die +Randbedingungen~\eqref{sturmliouville:eq:example-fourier-boundary-condition-ends-constant} +für einen Stab mit Enden auf konstanter Temperatur in die +Gleichung~\eqref{sturmliouville:eq:example-fourier-separated-x} eingesetzt. Betrachten wir zunächst die Bedingung für $x = 0$. Dies fürht zu \[ @@ -303,9 +308,9 @@ Verletzung der Randbedingungen. Durch alanoges Vorgehen kann nun auch das Problem mit isolierten Enden gelöst werden. -Setzt man nun die Randbedingungen -\eqref{eq:slp-example-fourier-boundary-condition-ends-isolated} in $X^{\prime}$ -ein, beginnend für $x = 0$. Es ergibt sich +Setzt man nun die +Randbedingungen~\eqref{sturmliouville:eq:example-fourier-boundary-condition-ends-isolated} +in $X^{\prime}$ ein, beginnend für $x = 0$. Es ergibt sich \[ X^{\prime}(0) = @@ -324,7 +329,7 @@ folgt nun = 0. \] -Wiedrum muss über die $ \sin $-Funktion sicher gestellt werden, dass der +Wiedrum muss über die $\sin$-Funktion sicher gestellt werden, dass der Ausdruck den Randbedingungen entspricht. Es folgt nun \[ @@ -342,7 +347,7 @@ und somit Es ergibt sich also sowohl für einen Stab mit Enden auf konstanter Temperatur wie auch mit isolierten Enden \begin{equation} - \label{eq:slp-example-fourier-mu-solution} + \label{sturmliouville:eq:example-fourier-mu-solution} \mu = -\frac{n^{2}\pi^{2}}{l^{2}}. @@ -368,12 +373,12 @@ Die Lösung $X(x)$ wird nun umgeschrieben zu \sum_{n = 1}^{\infty} b_n\sin\left(\frac{n\pi}{l}x\right). \] -Um eine eindeutige Lösung für $ X(x) $ zu erhalten werden noch weitere +Um eine eindeutige Lösung für $X(x)$ zu erhalten werden noch weitere Bedingungen benötigt. Diese sind die Startbedingungen oder $u(0, x) = X(x)$ für $t = 0$. Es gilt also nun die Gleichung \begin{equation} - \label{eq:slp-example-fourier-initial-conditions} + \label{sturmliouville:eq:example-fourier-initial-conditions} u(0, x) = a_0 @@ -388,7 +393,7 @@ gehört, von der wir wissen, dass sie orthogonal zu allen anderen trigonometrischen Funktionen der Lösung ist, kann direkt das Skalarprodukt verwendet werden um die Koeffizienten $a_n$ und $b_n$ zu bestimmen. Es wird also die Tatsache ausgenutzt, dass die Gleichheit in -\eqref{eq:slp-example-fourier-initial-conditions} nach Anwendung des +\eqref{sturmliouville:eq:example-fourier-initial-conditions} nach Anwendung des Skalarproduktes immernoch gelten muss und dass das Skalaprodukt mit einer Basisfunktion sämtliche Summanden auf der rechten Seite auslöscht. @@ -396,7 +401,7 @@ Zur Berechnung von $a_m$ mit $ m \in \mathbb{N} $ wird beidseitig das Skalarprodukt mit der Basisfunktion $ \cos\left(\frac{m \pi}{l}x\right)$ gebildet: \begin{equation} - \label{eq:slp-dot-product-cosine} + \label{sturmliouville:eq:dot-product-cosine} \langle u(0, x), \cos\left(\frac{m \pi}{l}x\right) \rangle = \langle a_0 @@ -409,13 +414,13 @@ gebildet: Bevor diese Form in die Integralform umgeschrieben werden kann, muss überlegt sein, welche Integralgrenzen zu verwenden sind. -In diesem Fall haben die $ \sin $ und $ \cos $ Terme beispielsweise keine ganze -Periode im Intervall $ x \in [0, l] $ für ungerade $ n $ und $ m $. +In diesem Fall haben die $\sin$ und $\cos$ Terme beispielsweise keine ganze +Periode im Intervall $x \in [0, l]$ für ungerade $n$ und $m$. Um die Skalarprodukte aber korrekt zu berechnen, muss über ein ganzzahliges Vielfaches der Periode der triginimetrischen Funktionen integriert werden. Dazu werden die Integralgrenzen $-l$ und $l$ verwendet und es werden ausserdem -neue Funktionen $ \hat{u}_c(0, x) $ für die Berechnung mit Cosinus und -$ \hat{u}_s(0, x) $ für die Berechnung mit Sinus angenomen, welche $ u(0, t) $ +neue Funktionen $\hat{u}_c(0, x)$ für die Berechnung mit Cosinus und +$\hat{u}_s(0, x)$ für die Berechnung mit Sinus angenomen, welche $u(0, t)$ gerade, respektive ungerade auf $[-l, l]$ fortsetzen: \[ \begin{aligned} @@ -451,7 +456,8 @@ skalliert wurde, also gilt nun \end{aligned} \] -Zunächst wird nun das Skalaprodukt \eqref{eq:slp-dot-product-cosine} berechnet: +Zunächst wird nun das Skalaprodukt~\eqref{sturmliouville:eq:dot-product-cosine} +berechnet: \[ \begin{aligned} \int_{-l}^{l}\hat{u}_c(0, x)\cos\left(\frac{m \pi}{l}x\right)dx @@ -545,11 +551,11 @@ gilt. Etwas anders ist es allerdings bei $a_0$. Wie der Name bereits suggeriert, handelt es sich hierbei um den Koeffizienten -zur Basisfunktion $ \cos\left(\frac{0 \pi}{l}x\right) $ beziehungsweise der +zur Basisfunktion $\cos\left(\frac{0 \pi}{l}x\right)$ beziehungsweise der konstanten Funktion $1$. -Um einen Ausdruck für $ a_0 $ zu erhalten, wird wiederum auf beiden Seiten -der Gleichung \eqref{eq:slp-example-fourier-initial-conditions} das -Skalarprodukt mit der konstanten Basisfunktion $ 1 $ gebildet: +Um einen Ausdruck für $a_0$ zu erhalten, wird wiederum auf beiden Seiten +der Gleichung~\eqref{sturmliouville:eq:example-fourier-initial-conditions} das +Skalarprodukt mit der konstanten Basisfunktion $1$ gebildet: \[ \begin{aligned} \int_{-l}^{l}\hat{u}_c(0, x)dx @@ -606,8 +612,8 @@ Es bleibt also noch % \subsubsection{Lösund der Differentialgleichung in t} -Zuletzt wird die zweite Gleichung der Separation -\eqref{eq:slp-example-fourier-separated-t} betrachtet. +Zuletzt wird die zweite Gleichung der +Separation~\eqref{sturmliouville:eq:example-fourier-separated-t} betrachtet. Diese wird über das charakteristische Polynom \[ \lambda - \kappa \mu @@ -623,8 +629,7 @@ Lösung = e^{-\kappa \mu t} \] -führt. -Und mit dem Resultat \eqref{eq:slp-example-fourier-mu-solution} +führt und mit dem Resultat~\eqref{sturmliouville:eq:example-fourier-mu-solution} \[ T(t) = -- cgit v1.2.1 From 2f1c9ad7d59e33f2c1e95a321947f608b5b06587 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: =?UTF-8?q?Erik=20L=C3=B6ffler?= Date: Mon, 15 Aug 2022 15:58:10 +0200 Subject: Added renamed files to Makefile.inc and removed old ones. --- buch/papers/sturmliouville/Makefile.inc | 14 +++++++------- 1 file changed, 7 insertions(+), 7 deletions(-) (limited to 'buch/papers/sturmliouville') diff --git a/buch/papers/sturmliouville/Makefile.inc b/buch/papers/sturmliouville/Makefile.inc index e2039ce..7ffdad2 100644 --- a/buch/papers/sturmliouville/Makefile.inc +++ b/buch/papers/sturmliouville/Makefile.inc @@ -3,12 +3,12 @@ # # (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule # -dependencies-sturmliouville = \ +dependencies-sturmliouville = \ papers/sturmliouville/packages.tex \ - papers/sturmliouville/main.tex \ + papers/sturmliouville/main.tex \ papers/sturmliouville/references.bib \ - papers/sturmliouville/teil0.tex \ - papers/sturmliouville/teil1.tex \ - papers/sturmliouville/teil2.tex \ - papers/sturmliouville/teil3.tex - + papers/sturmliouville/einleitung.tex \ + papers/sturmliouville/eigenschaften.tex \ + papers/sturmliouville/beispiele.tex \ + papers/sturmliouville/waermeleitung_beispiel.tex \ + papers/sturmliouville/tschebyscheff_beispiel.tex -- cgit v1.2.1 From 2f2665e1ee770f7813fe5406ba27a480cff2f541 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: =?UTF-8?q?Erik=20L=C3=B6ffler?= Date: Mon, 15 Aug 2022 16:21:39 +0200 Subject: Corrected some error to make tschebyscheff example compile. --- buch/papers/sturmliouville/tschebyscheff_beispiel.tex | 6 +++--- 1 file changed, 3 insertions(+), 3 deletions(-) (limited to 'buch/papers/sturmliouville') diff --git a/buch/papers/sturmliouville/tschebyscheff_beispiel.tex b/buch/papers/sturmliouville/tschebyscheff_beispiel.tex index 391841a..8561479 100644 --- a/buch/papers/sturmliouville/tschebyscheff_beispiel.tex +++ b/buch/papers/sturmliouville/tschebyscheff_beispiel.tex @@ -13,7 +13,7 @@ Im Kapitel \ref{sub:beispiele_sturm_liouville_problem} sind die Koeffizientenfun \end{align*}. Da die Sturm-Liouville-Gleichung \begin{equation} - \label{eq:sturm-liouville-equation} + \label{eq:sturm-liouville-equation-tscheby} \frac{d}{dx}\lbrack \sqrt{1-x^2} \frac{dy}{dx} \rbrack + \lbrack 0 + \lambda \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} \rbrack y = 0 \end{equation} nun mit den Koeffizientenfunktionen aufgestellt werden kann, bleibt die Frage, ob es sich um ein reguläres oder singuläres Sturm-Liouville-Problem handelt. @@ -27,7 +27,7 @@ Für $x>1$ und $x<-1$ sehen die Polynome wie folgt aus: T_n(x) = \left\{\begin{array}{ll} \cosh (n \arccos x), & x > 1\\ (-1)^n \cosh (n \arccos (-x)), & x<-1 \end{array}\right. \end{equation}, -jedoch ist die Orthogonalität nur auf dem Intervall $\[ -1, 1\]$ sichergestellt. +jedoch ist die Orthogonalität nur auf dem Intervall $[ -1, 1]$ sichergestellt. Die nächste Bedingung beinhaltet, dass die Funktion $p(x)^-1$ und $w(x)>0$ sein müssen. Die Funktion \begin{equation*} @@ -36,7 +36,7 @@ Die Funktion ist die gleiche wie $w(x)$. Für die Verifizierung der Randbedingungen benötigt man erneut $p(x)$. -Da sich die Polynome nur auf dem Intervall $\[ -1,1 \]$ orthogonal verhalten, sind $a = -1$ und $b = 1$ gesetzt. +Da sich die Polynome nur auf dem Intervall $[ -1,1 ]$ orthogonal verhalten, sind $a = -1$ und $b = 1$ gesetzt. Beim einsetzen in die Randbedingung \ref{eq:randbedingungen}, erhält man \begin{equation} \begin{aligned} -- cgit v1.2.1 From f7c0dfbd20c97ae0e617aec796f2adc6d81369dc Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: =?UTF-8?q?Erik=20L=C3=B6ffler?= Date: Tue, 16 Aug 2022 14:20:30 +0200 Subject: Merged tschebyscheff section. --- .../sturmliouville/tschebyscheff_beispiel.tex | 23 ++++++++++++++++++---- 1 file changed, 19 insertions(+), 4 deletions(-) (limited to 'buch/papers/sturmliouville') diff --git a/buch/papers/sturmliouville/tschebyscheff_beispiel.tex b/buch/papers/sturmliouville/tschebyscheff_beispiel.tex index 8561479..a18684f 100644 --- a/buch/papers/sturmliouville/tschebyscheff_beispiel.tex +++ b/buch/papers/sturmliouville/tschebyscheff_beispiel.tex @@ -28,10 +28,10 @@ Für $x>1$ und $x<-1$ sehen die Polynome wie folgt aus: (-1)^n \cosh (n \arccos (-x)), & x<-1 \end{array}\right. \end{equation}, jedoch ist die Orthogonalität nur auf dem Intervall $[ -1, 1]$ sichergestellt. -Die nächste Bedingung beinhaltet, dass die Funktion $p(x)^-1$ und $w(x)>0$ sein müssen. +Die nächste Bedingung beinhaltet, dass die Funktion $p(x)^{-1}$ und $w(x)>0$ sein müssen. Die Funktion \begin{equation*} - p(x)^-1 = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} + p(x)^{-1} = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} \end{equation*} ist die gleiche wie $w(x)$. @@ -40,10 +40,25 @@ Da sich die Polynome nur auf dem Intervall $[ -1,1 ]$ orthogonal verhalten, sind Beim einsetzen in die Randbedingung \ref{eq:randbedingungen}, erhält man \begin{equation} \begin{aligned} - k_a y(-1) + h_a y'(-1) &= h_a + k_a y(-1) + h_a y'(-1) &= 0 + k_b y(-1) + h_b y'(-1) &= 0 \end{aligned} -\end{equation} +\end{equation}. +Die Funktion $y(x)$ und $y'(x)$ sind in diesem Fall die Tschebyscheff Polynome (siehe \label{sub:definiton_der_tschebyscheff-Polynome}). +Es gibt zwei Arten von Tschebyscheff Polynome: die erste Art $T_n(x)$ und die zweite Art $U_n(x)$. +Jedoch beachtet man in diesem Kapitel nur die Tschebyscheff Polynome erster Art (\ref{eq:tschebyscheff-polynome}). +Die Funktion $y(x)$ wird nun mit der Funktion $T_n(x)$ ersetzt und für die Verifizierung der Randbedingung wählt man $n=2$. +Somit erhält man +\begin{equation} + \begin{aligned} + k_a T_2(-1) + h_a T_{2}'(-1) &= k_a = 0\\ + k_b T_2(1) + h_b T_{2}'(1) &= k_b = 0 +\end{aligned} +\end{equation}. +Ähnlich wie beim Beispiel der Wärmeleitung in einem homogenen Stab kann man, damit die Bedingung $|k_i|^2 + |h_i|^2\ne 0$ erfüllt ist, können beliebige $h_a \ne 0$ und $h_b \ne 0$ gewählt werden. +Somit ist erneut gezeigt, dass die Randbedingungen der Tschebyscheff-Polynome auf die Sturm-Liouville-Randbedingungen erfüllt und alle daraus resultierenden Lösungen orthogonal sind. + -- cgit v1.2.1 From 9e6c6ea3f67b7bf5c0e90dec1c6dc23303b41167 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: =?UTF-8?q?Erik=20L=C3=B6ffler?= Date: Tue, 16 Aug 2022 15:32:01 +0200 Subject: Removed unnecessary equation indices. --- buch/papers/sturmliouville/einleitung.tex | 53 ++++++++++++++----------------- 1 file changed, 24 insertions(+), 29 deletions(-) (limited to 'buch/papers/sturmliouville') diff --git a/buch/papers/sturmliouville/einleitung.tex b/buch/papers/sturmliouville/einleitung.tex index 78c1800..31256eb 100644 --- a/buch/papers/sturmliouville/einleitung.tex +++ b/buch/papers/sturmliouville/einleitung.tex @@ -6,15 +6,15 @@ \section{Was ist das Sturm-Liouville-Problem\label{sturmliouville:section:teil0}} \rhead{Einleitung} Das Sturm-Liouville-Problem wurde benannt nach dem schweizerisch-französischer Mathematiker und Physiker Jacques Charles Fran\c{c}ois Sturm und dem französischer Mathematiker Joseph Liouville. -Gemeinsam haben sie in der mathematischen Physik die Sturm-Liouville-Theorie entwickelt und gilt für die Lösung von gewohnlichen Differentialgleichungen, jedoch verwendet man die Theorie öfters bei der Lösung von partiellen Differentialgleichungen. -Normalerweise betrachtet man für das Strum-Liouville-Problem eine gewöhnliche Differentialgleichung 2. Ordnung, und wenn es sich um eine partielle Differentialgleichung handelt, kann man sie mit Hilfe einiger Methoden in mehrere gewöhnliche Differentialgleichungen umwandeln, wie z. B. den Separationsansatz, die partielle Differentialgleichung mit mehreren Variablen. +Gemeinsam haben sie in der mathematischen Physik die Sturm-Liouville-Theorie entwickelt, welche für die Lösung von gewohnlichen Differentialgleichungen gilt, jedoch verwendet man die Theorie öfters bei der Lösung von partiellen Differentialgleichungen. +Normalerweise betrachtet man für das Strum-Liouville-Problem eine gewöhnliche Differentialgleichung 2. Ordnung, und wenn es sich um eine partielle Differentialgleichung handelt, kann man sie mit Hilfe einiger Methoden in mehrere gewöhnliche Differentialgleichungen umwandeln, wie zum Beispiel mit dem Separationsansatz. \begin{definition} \index{Sturm-Liouville-Gleichung}% Angenommen man hat die lineare homogene Differentialgleichung -\begin{equation} +\[ \frac{d^2y}{dx^2} + a(x)\frac{dy}{dx} + b(x)y = 0 -\end{equation} +\] und schreibt die Gleichung um in: \begin{equation} \label{eq:sturm-liouville-equation} @@ -23,7 +23,7 @@ und schreibt die Gleichung um in: , diese Gleichung wird dann Sturm-Liouville-Gleichung bezeichnet. \end{definition} -Alle homogene 2.Ordnung lineare gewöhnliche Differentialgleichungen können in die Form der Gleichung \ref{eq:sturm-liouville-equation} umgeformt werden. +Alle homogenen, linearen, gewöhnlichen, Differentialgleichungen 2.Ordnung können in die Form der Gleichung~\eqref{eq:sturm-liouville-equation} gebracht werden. Die Sturm-Liouville-Theorie besagt, dass, wenn man die Sturm-Liouville-Gleichung mit den homogenen Randbedingungen des dritten Typs\footnote{Die Randbedingung des dritten Typs, oder Robin-Randbedingungen (benannt nach dem französischen mathematischen Analytiker und angewandten Mathematiker Victor Gustave Robin), wird genannt, wenn sie einer gewöhnlichen oder partiellen Differentialgleichung auferlegt wird, so sind die Spezifikationen einer Linearkombination der Werte einer Funktion sowie die Werte ihrer Ableitung am Rande des Bereichs} \begin{equation} \begin{aligned} @@ -34,30 +34,30 @@ Die Sturm-Liouville-Theorie besagt, dass, wenn man die Sturm-Liouville-Gleichung \end{equation} kombiniert, wie schon im Kapitel \ref{sub:differentailgleichung} erwähnt, auf dem Intervall (a,b), dann bekommt man das klassische Sturm-Liouville-Problem. Wenn von der Funktion $y(x)$ die Werte $x$ des jeweiligen Randes des Definitionsbereiches anzunehmen sind, also -\begin{equation} +\[ y(a) = y(b) = 0 -\end{equation} +\] , so spricht man von einer Dirichlet-Randbedingung, und von einer Neumann-Randbedingung spricht man, wenn -\begin{equation} +\[ y'(a) = y'(b) = 0 -\end{equation} -ergibt - die Existenz und Eindeutigkeit der Lösung kann mit den zwei Randbedingungen sichergestellt werden. +\] +ist. Die Existenz und Eindeutigkeit der Lösung kann mit den zwei Randbedingungen sichergestellt werden. Lösungen die nicht Null sind, werden nicht betrachtet und diese zwei Gleichungen (\ref{eq:sturm-liouville-equation} und \ref{eq:randbedingungen}) kombiniert, nennt man Eigenfunktionen. Wenn bei der Sturm-Liouville-Gleichung \ref{eq:sturm-liouville-equation} alles konstant bleibt, aber der Wert von $\lambda$ sich ändert, erhält man eine andere Eigenfunktion, weil man eine andere gewöhnliche Differentialgleichung löst; der Parameter $\lambda$ wird als Eigenwert bezeichnet. Es ist genau das gleiche Prinzip wie bei den Matrizen, andere Eigenwerte ergeben andere Eigenvektoren. Es besteht eine Korrespondenz zwischen den Eigenwerten und den Eigenvektoren. Das gleiche gilt auch beim Sturm-Liouville-Problem, und zwar -\begin{equation} - \lambda \overset{Korrespondenz}\leftrightarrow y -\end{equation}. +\[ + \lambda \overset{Korrespondenz}\leftrightarrow y. +\] Die Theorie besagt, wenn $y_m$, $y_n$ Eigenfuktionen des Sturm-Liouville-Problems sind, die verschiedene Eigenwerte $\lambda_m$, $\lambda_n$ ($\lambda_m \neq \lambda_n$) entsprechen, so sind $y_m$, $y_n$ orthogonal zu y - dies gilt für das Intervall (a,b). Somit ergibt die Gleichung -\begin{equation} - \int_{a}^{b} w(x)y_m y_n = 0 -\end{equation}. +\[ + \int_{a}^{b} w(x)y_m y_n = 0. +\] Die Funktionen $p(x)$, $q(x)$ und $w(x)$ werden als Koeffizientenfunktionen mit ihren freien Variablen $x$ bezeichnet. Die Funktion $w(x)$ (manchmal auch $r(x)$ genannt) wird als Gewichtsfunktion oder Dichtefunktion bezeichnet. @@ -90,29 +90,29 @@ Bei einem regulären Sturm-Liouville-Problem geht es darum, ohne genaue Kenntnis \subsection{Das singuläre Sturm-Liouville-Problem\label{sub:singuläre_sturm_liouville_problem}} -Von einem singulären Sturm-Liouville-Problem spricht man, wenn die Bedingungen des regulärem Problem nicht erfüllt sind. +Von einem singulären Sturm-Liouville-Problem spricht man, wenn die Bedingungen des regulären Problems nicht erfüllt sind. \begin{definition} \label{def:singulär_sturm-liouville-problem} \index{singuläres Sturm-Liouville-Problem} -Es handelt sich um ein singuläres Sturm-Liouville-Problem, wenn: +Es handelt sich um ein singuläres Sturm-Liouville-Problem, \begin{itemize} \item wenn sein Definitionsbereich auf dem Intervall $[ \ a,b] \ $ unbeschränkt ist oder \item wenn die Koeffizienten an den Randpunkten Singularitäten haben. \end{itemize} \end{definition} -Allerdings kann nur eine der Bedingungen nicht erfüllt sein, so dass es sich bereits um ein singuläres Sturm-Liouville-Problem handelt. +Allerdings kann auch nur eine der Bedingungen nicht erfüllt sein, so dass es sich bereits um ein singuläres Sturm-Liouville-Problem handelt. \begin{beispiel} Das Randwertproblem - \begin{equation} + \[ \begin{aligned} x^2y'' + xy' + (\lambda^2x^2 - m^2)y &= 0, 0 Date: Tue, 16 Aug 2022 15:47:34 +0200 Subject: Corrected some minor mistakes in solution properties. --- buch/papers/sturmliouville/eigenschaften.tex | 6 +++--- 1 file changed, 3 insertions(+), 3 deletions(-) (limited to 'buch/papers/sturmliouville') diff --git a/buch/papers/sturmliouville/eigenschaften.tex b/buch/papers/sturmliouville/eigenschaften.tex index fda8be6..87ba864 100644 --- a/buch/papers/sturmliouville/eigenschaften.tex +++ b/buch/papers/sturmliouville/eigenschaften.tex @@ -42,7 +42,7 @@ den Lösungen hervorbringt, wird der Spektralsatz benötigt. Dieser wird in der linearen Algebra oft verwendet um zu zeigen, dass eine Matrix diagonalisierbar ist, beziehungsweise dass eine Orthonormalbasis existiert. Dazu wird zunächst gezeigt, dass eine gegebene $n\times n$-Matrix $A$ aus einem -endlichdimensionalem $\mathbb{K}$-Vektorraum selbstadungiert ist, also dass +endlichdimensionalem $\mathbb{K}$-Vektorraum selbstadjungiert ist, also dass \[ \langle Av, w \rangle = @@ -67,8 +67,8 @@ Orthonormalsystem existiert. Der Spektralsatz besagt also, dass, weil $L_0$ selbstadjungiert ist, eine Orthonormalbasis aus Eigenvektoren existiert. Genauer bedeutet dies, dass alle Eigenvektoren, beziehungsweise alle Lösungen -des Sturm-Liouville-Problems orthogonal zueinander sind bezüglich dem -Skalarprodukt, in dem $L_0$ selbstadjungiert ist. +des Sturm-Liouville-Problems orthogonal zueinander sind bezüglich des +Skalarprodukts, in dem $L_0$ selbstadjungiert ist. Erfüllt also eine Differenzialgleichung die in Abschnitt~\ref{sturmliouville:section:teil0} präsentierten Eigenschaften und -- cgit v1.2.1 From 0904096277bc7944a6c0baf50f4032c2f4d9909a Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: =?UTF-8?q?Erik=20L=C3=B6ffler?= Date: Tue, 16 Aug 2022 16:11:37 +0200 Subject: Corrected some smaller mistakes in fourier example and added authors to files. --- buch/papers/sturmliouville/eigenschaften.tex | 1 + buch/papers/sturmliouville/einleitung.tex | 1 + buch/papers/sturmliouville/tschebyscheff_beispiel.tex | 1 + buch/papers/sturmliouville/waermeleitung_beispiel.tex | 18 ++++++++++-------- 4 files changed, 13 insertions(+), 8 deletions(-) (limited to 'buch/papers/sturmliouville') diff --git a/buch/papers/sturmliouville/eigenschaften.tex b/buch/papers/sturmliouville/eigenschaften.tex index 87ba864..85f0bf3 100644 --- a/buch/papers/sturmliouville/eigenschaften.tex +++ b/buch/papers/sturmliouville/eigenschaften.tex @@ -1,5 +1,6 @@ % % eigenschaften.tex -- Eigenschaften der Lösungen +% Author: Erik Löffler % % (c) 2020 Prof Dr Andreas Müller, Hochschule Rapperswil % diff --git a/buch/papers/sturmliouville/einleitung.tex b/buch/papers/sturmliouville/einleitung.tex index 31256eb..babc06d 100644 --- a/buch/papers/sturmliouville/einleitung.tex +++ b/buch/papers/sturmliouville/einleitung.tex @@ -1,5 +1,6 @@ % % einleitung.tex -- Beispiel-File für die Einleitung +% Author: Réda Haddouche % % (c) 2020 Prof Dr Andreas Müller, Hochschule Rapperswil % diff --git a/buch/papers/sturmliouville/tschebyscheff_beispiel.tex b/buch/papers/sturmliouville/tschebyscheff_beispiel.tex index a18684f..8a99ae9 100644 --- a/buch/papers/sturmliouville/tschebyscheff_beispiel.tex +++ b/buch/papers/sturmliouville/tschebyscheff_beispiel.tex @@ -1,5 +1,6 @@ % % tschebyscheff_beispiel.tex +% Author: Réda Haddouche % % (c) 2020 Prof Dr Andreas Müller, Hochschule Rapperswil % diff --git a/buch/papers/sturmliouville/waermeleitung_beispiel.tex b/buch/papers/sturmliouville/waermeleitung_beispiel.tex index b22d5f5..7a37b2b 100644 --- a/buch/papers/sturmliouville/waermeleitung_beispiel.tex +++ b/buch/papers/sturmliouville/waermeleitung_beispiel.tex @@ -1,5 +1,6 @@ % -% waermeleitung_beispiel.tex -- Beispiel Wärmeleitung in homogenem Stab. +% waermeleitung_beispiel.tex -- Beispiel Wärmeleitung in homogenem Stab. +% Author: Erik Löffler % % (c) 2020 Prof Dr Andreas Müller, Hochschule Rapperswil % @@ -17,7 +18,7 @@ die partielle Differentialgleichung \begin{equation} \label{sturmliouville:eq:example-fourier-heat-equation} \frac{\partial u}{\partial t} = - \kappa \frac{\partial^{2}u}{{\partial x}^{2}} + \kappa \frac{\partial^{2}u}{{\partial x}^{2}}, \end{equation} wobei der Stab in diesem Fall auf der X-Achse im Intervall $[0,l]$ liegt. @@ -187,7 +188,8 @@ somit auch zu orthogonalen Lösungen führen. % \subsubsection{Lösund der Differentialgleichung in x} -Als erstes wird auf die erste erste Gleichung eingegangen. +Als erstes wird auf die +Gleichung~\eqref{sturmliouville:eq:example-fourier-separated-x} eingegangen. Aufgrund der Struktur der Gleichung \[ X^{\prime \prime}(x) - \mu X(x) @@ -417,7 +419,7 @@ sein, welche Integralgrenzen zu verwenden sind. In diesem Fall haben die $\sin$ und $\cos$ Terme beispielsweise keine ganze Periode im Intervall $x \in [0, l]$ für ungerade $n$ und $m$. Um die Skalarprodukte aber korrekt zu berechnen, muss über ein ganzzahliges -Vielfaches der Periode der triginimetrischen Funktionen integriert werden. +Vielfaches der Periode der trigonometrischen Funktionen integriert werden. Dazu werden die Integralgrenzen $-l$ und $l$ verwendet und es werden ausserdem neue Funktionen $\hat{u}_c(0, x)$ für die Berechnung mit Cosinus und $\hat{u}_s(0, x)$ für die Berechnung mit Sinus angenomen, welche $u(0, t)$ @@ -487,7 +489,7 @@ nahezu alle Terme verschwinden, denn \[ \int_{-l}^{l}cos\left(\frac{m \pi}{l}x\right) dx = - 0 + 0, \] da hier über ein ganzzahliges Vielfaches der Periode integriert wird, \[ @@ -611,7 +613,7 @@ Es bleibt also noch % Lösung von T(t) % -\subsubsection{Lösund der Differentialgleichung in t} +\subsubsection{Lösung der Differentialgleichung in $t$} Zuletzt wird die zweite Gleichung der Separation~\eqref{sturmliouville:eq:example-fourier-separated-t} betrachtet. Diese wird über das charakteristische Polynom @@ -627,7 +629,7 @@ Lösung \[ T(t) = - e^{-\kappa \mu t} + e^{\kappa \mu t} \] führt und mit dem Resultat~\eqref{sturmliouville:eq:example-fourier-mu-solution} \[ @@ -637,7 +639,7 @@ führt und mit dem Resultat~\eqref{sturmliouville:eq:example-fourier-mu-solution \] ergibt. -Dieses Resultat kann nun mit allen vorhergehenden Resultaten zudammengesetzt +Dieses Resultat kann nun mit allen vorhergehenden Resultaten zusammengesetzt werden um die vollständige Lösung für das Stab-Problem zu erhalten. \subsubsection{Lösung für einen Stab mit Enden auf konstanter Temperatur} -- cgit v1.2.1 From 3bdc9c20b9a83cf1cb7f4570d99d2495576ca30d Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: =?UTF-8?q?Erik=20L=C3=B6ffler?= Date: Tue, 16 Aug 2022 16:21:59 +0200 Subject: Removed unnecessary equation indexing in Tschebyscheff example and corrected some errors. --- .../sturmliouville/tschebyscheff_beispiel.tex | 50 ++++++++-------------- 1 file changed, 19 insertions(+), 31 deletions(-) (limited to 'buch/papers/sturmliouville') diff --git a/buch/papers/sturmliouville/tschebyscheff_beispiel.tex b/buch/papers/sturmliouville/tschebyscheff_beispiel.tex index 8a99ae9..e86e742 100644 --- a/buch/papers/sturmliouville/tschebyscheff_beispiel.tex +++ b/buch/papers/sturmliouville/tschebyscheff_beispiel.tex @@ -6,12 +6,12 @@ % \subsection{Tschebyscheff-Polynome\label{sub:tschebyscheff-polynome}} -Im Kapitel \ref{sub:beispiele_sturm_liouville_problem} sind die Koeffizientenfunktionen die man braucht schon aufgeliste, und zwar mit +Im Kapitel \ref{sub:beispiele_sturm_liouville_problem} sind die Koeffizientenfunktionen die man braucht schon aufgelistet, und zwar mit \begin{align*} w(x) &= \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} \\ p(x) &= \sqrt{1-x^2} \\ - q(x) &= 0 -\end{align*}. + q(x) &= 0. +\end{align*} Da die Sturm-Liouville-Gleichung \begin{equation} \label{eq:sturm-liouville-equation-tscheby} @@ -20,14 +20,14 @@ Da die Sturm-Liouville-Gleichung nun mit den Koeffizientenfunktionen aufgestellt werden kann, bleibt die Frage, ob es sich um ein reguläres oder singuläres Sturm-Liouville-Problem handelt. Für das reguläre Problem laut der Definition \ref{def:reguläres_sturm-liouville-problem} muss die funktion $p(x) = \sqrt{1-x^2}$, $p'(x) = -2x$, $q(x) = 0$ und $w(x) = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$ stetig und reell sein - und sie sind es auch. Auf dem Intervall $(-1,1)$ sind die Tschebyscheff-Polynome erster Art mit Hilfe von Hyperbelfunktionen -\begin{equation} - T_n(x) = \cos n (\arccos x) -\end{equation}. +\[ + T_n(x) = \cos n (\arccos x). +\] Für $x>1$ und $x<-1$ sehen die Polynome wie folgt aus: -\begin{equation} +\[ T_n(x) = \left\{\begin{array}{ll} \cosh (n \arccos x), & x > 1\\ - (-1)^n \cosh (n \arccos (-x)), & x<-1 \end{array}\right. -\end{equation}, + (-1)^n \cosh (n \arccos (-x)), & x<-1 \end{array}\right., +\] jedoch ist die Orthogonalität nur auf dem Intervall $[ -1, 1]$ sichergestellt. Die nächste Bedingung beinhaltet, dass die Funktion $p(x)^{-1}$ und $w(x)>0$ sein müssen. Die Funktion @@ -39,34 +39,22 @@ ist die gleiche wie $w(x)$. Für die Verifizierung der Randbedingungen benötigt man erneut $p(x)$. Da sich die Polynome nur auf dem Intervall $[ -1,1 ]$ orthogonal verhalten, sind $a = -1$ und $b = 1$ gesetzt. Beim einsetzen in die Randbedingung \ref{eq:randbedingungen}, erhält man -\begin{equation} +\[ \begin{aligned} - k_a y(-1) + h_a y'(-1) &= 0 - k_b y(-1) + h_b y'(-1) &= 0 + k_a y(-1) + h_a y'(-1) &= 0 \\ + k_b y(-1) + h_b y'(-1) &= 0. \end{aligned} -\end{equation}. -Die Funktion $y(x)$ und $y'(x)$ sind in diesem Fall die Tschebyscheff Polynome (siehe \label{sub:definiton_der_tschebyscheff-Polynome}). +\] +Die Funktion $y(x)$ und $y'(x)$ sind in diesem Fall die Tschebyscheff Polynome (siehe \ref{sub:definiton_der_tschebyscheff-Polynome}). Es gibt zwei Arten von Tschebyscheff Polynome: die erste Art $T_n(x)$ und die zweite Art $U_n(x)$. Jedoch beachtet man in diesem Kapitel nur die Tschebyscheff Polynome erster Art (\ref{eq:tschebyscheff-polynome}). Die Funktion $y(x)$ wird nun mit der Funktion $T_n(x)$ ersetzt und für die Verifizierung der Randbedingung wählt man $n=2$. Somit erhält man -\begin{equation} +\[ \begin{aligned} k_a T_2(-1) + h_a T_{2}'(-1) &= k_a = 0\\ - k_b T_2(1) + h_b T_{2}'(1) &= k_b = 0 + k_b T_2(1) + h_b T_{2}'(1) &= k_b = 0. \end{aligned} -\end{equation}. -Ähnlich wie beim Beispiel der Wärmeleitung in einem homogenen Stab kann man, damit die Bedingung $|k_i|^2 + |h_i|^2\ne 0$ erfüllt ist, können beliebige $h_a \ne 0$ und $h_b \ne 0$ gewählt werden. -Somit ist erneut gezeigt, dass die Randbedingungen der Tschebyscheff-Polynome auf die Sturm-Liouville-Randbedingungen erfüllt und alle daraus resultierenden Lösungen orthogonal sind. - - - - - - - - - - - - +\] +Ähnlich wie beim Beispiel der Wärmeleitung in einem homogenen Stab können, damit die Bedingung $|k_i|^2 + |h_i|^2\ne 0$ erfüllt ist, beliebige $h_a \ne 0$ und $h_b \ne 0$ gewählt werden. +Somit ist erneut gezeigt, dass die Randbedingungen der Tschebyscheff-Polynome auch die Sturm-Liouville-Randbedingungen erfüllt und alle daraus resultierenden Lösungen orthogonal sind. -- cgit v1.2.1