From 96ac18247b4b63c31f36971b7b4afeb189fafe85 Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: runterer <r.unterer@gmx.ch>
Date: Sat, 6 Aug 2022 16:02:56 +0200
Subject: simple corrections

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 buch/papers/zeta/analytic_continuation.tex | 69 +++++++++++++++++++-----------
 1 file changed, 43 insertions(+), 26 deletions(-)

(limited to 'buch/papers/zeta/analytic_continuation.tex')

diff --git a/buch/papers/zeta/analytic_continuation.tex b/buch/papers/zeta/analytic_continuation.tex
index 0ccc116..8484b28 100644
--- a/buch/papers/zeta/analytic_continuation.tex
+++ b/buch/papers/zeta/analytic_continuation.tex
@@ -3,12 +3,12 @@
 
 Die analytische Fortsetzung der Riemannschen Zetafunktion ist äusserst interessant.
 Sie ermöglicht die Berechnung von $\zeta(-1)$ und weiterer spannender Werte.
-So liegen zum Beispiel unendlich viele Nullstellen der Zetafunktion bei $\Re(s) = 0.5$.
+So liegen zum Beispiel unendlich viele Nullstellen der Zetafunktion bei $\Re(s) = \frac{1}{2}$.
 Diese sind relevant für die Primzahlverteilung und sind Gegenstand der Riemannschen Vermutung.
 
 Es werden zwei verschiedene Fortsetzungen benötigt.
 Die erste erweitert die Zetafunktion auf $\Re(s) > 0$.
-Die zweite verwendet eine Spiegelung an der $\Re(s) = 0.5$ Linie und erschliesst damit die ganze komplexe Ebene.
+Die zweite verwendet eine Spiegelung an der $\Re(s) = \frac{1}{2}$ Geraden und erschliesst damit die ganze komplexe Ebene.
 Eine grafische Darstellung dieses Plans ist in Abbildung \ref{zeta:fig:continuation_overview} zu sehen.
 \begin{figure}
     \centering
@@ -23,7 +23,7 @@ Eine grafische Darstellung dieses Plans ist in Abbildung \ref{zeta:fig:continuat
 \end{figure}
 
 \subsection{Fortsetzung auf $\Re(s) > 0$} \label{zeta:subsection:auf_bereich_ge_0}
-Zuerst definieren die Dirichletsche Etafunktion als
+Zuerst definieren wir die Dirichletsche Etafunktion als
 \begin{equation}\label{zeta:equation:eta}
     \eta(s)
     =
@@ -36,26 +36,40 @@ Diese Etafunktion konvergiert gemäss dem Leibnitz-Kriterium im Bereich $\Re(s)
 Wenn wir es nun schaffen, die sehr ähnliche Zetafunktion durch die Etafunktion auszudrücken, dann haben die gesuchte Fortsetzung.
 Zuerst wiederholen wir zweimal die Definition der Zetafunktion \eqref{zeta:equation1}, wobei wir sie einmal durch $2^{s-1}$ teilen
 \begin{align}
-    \zeta(s)
+    \color{red}
+        \zeta(s)
     &=
     \sum_{n=1}^{\infty}
-    \frac{1}{n^s} \label{zeta:align1}
+    \color{red}
+        \frac{1}{n^s} \label{zeta:align1}
     \\
-    \frac{1}{2^{s-1}}
-    \zeta(s)
+    \color{blue}
+        \frac{1}{2^{s-1}}
+        \zeta(s)
     &=
     \sum_{n=1}^{\infty}
-    \frac{2}{(2n)^s}. \label{zeta:align2}
+    \color{blue}
+        \frac{2}{(2n)^s}. \label{zeta:align2}
 \end{align}
 Durch Subtraktion der beiden Gleichungen \eqref{zeta:align1} minus \eqref{zeta:align2}, ergibt sich
 \begin{align}
-    \left(1 - \frac{1}{2^{s-1}} \right)
+    \left({\color{red}1} - {\color{blue}\frac{1}{2^{s-1}}} \right)
     \zeta(s)
     &=
-    \frac{1}{1^s}
-    \underbrace{-\frac{2}{2^s} + \frac{1}{2^s}}_{-\frac{1}{2^s}}
-    + \frac{1}{3^s}
-    \underbrace{-\frac{2}{4^s} + \frac{1}{4^s}}_{-\frac{1}{4^s}}
+    {\color{red}\frac{1}{1^s}}
+    \underbrace{
+    -
+    {\color{blue}\frac{2}{2^s}}
+    +
+    {\color{red}\frac{1}{2^s}}
+    }_{-\frac{1}{2^s}}
+    +
+    {\color{red}\frac{1}{3^s}}
+    \underbrace{-
+    {\color{blue}\frac{2}{4^s}}
+    +
+    {\color{red}\frac{1}{4^s}}
+    }_{-\frac{1}{4^s}}
     \ldots
     \\
     &= \eta(s).
@@ -87,14 +101,15 @@ Nun substituieren wir $t$ mit $t = \pi n^2 x$ und $dt=\pi n^2 dx$ und erhalten
 \end{equation}
 Analog zum Abschnitt \ref{zeta:section:zusammenhang_mit_gammafunktion} teilen wir durch $(\pi n^2)^{\frac{s}{2}}$
 \begin{equation}
-    \frac{\Gamma \left( \frac{s}{2} \right)}{\pi^{\frac{s}{2}} n^s}
+    \frac{\Gamma \left( \frac{s}{2} \right)}{\pi^{\frac{s}{2}}}
+    \frac{1}{n^s}
      =
     \int_0^{\infty}
     x^{\frac{s}{2}-1}
     e^{-\pi n^2 x}
     \,dx,
 \end{equation}
-und finden Zeta durch die Summenbildung $\sum_{n=1}^{\infty}$
+und finden $\zeta(s)$ durch die Summenbildung $\sum_{n=1}^{\infty}$
 \begin{equation}
     \frac{\Gamma \left( \frac{s}{2} \right)}{\pi^{\frac{s}{2}}}
     \zeta(s)
@@ -137,13 +152,13 @@ wobei wir die Summen so verändern müssen, dass sie bei $n=1$ beginnen und wir
     1
     &=
     \frac{1}{\sqrt{x}}
-    \left(
+    \Biggl(
     2
     \sum_{n=1}^{\infty}
     e^{\frac{-n^2 \pi}{x}}
     +
     1
-    \right)
+    \Biggr)
     \\
     2
     \psi(x)
@@ -189,7 +204,7 @@ Zunächst teilen wir nun das Integral aus \eqref{zeta:equation:integral1} auf al
     =
     I_1 + I_2,
 \end{equation}
-wobei wir uns nun auf den ersten Teil $I_1$ konzentrieren werden.
+wobei wir uns zunächst auf den ersten Teil $I_1$ konzentrieren werden.
 Dabei setzen wir die Definition von $\psi(x)$ aus \eqref{zeta:equation:psi} ein und erhalten
 \begin{align}
     I_1
@@ -201,11 +216,11 @@ Dabei setzen wir die Definition von $\psi(x)$ aus \eqref{zeta:equation:psi} ein
     &=
     \int_0^{1}
     x^{\frac{s}{2}-1}
-    \left(
+    \Biggl(
     - \frac{1}{2}
     + \frac{\psi\left(\frac{1}{x} \right)}{\sqrt{x}}
     + \frac{1}{2 \sqrt{x}}
-    \right)
+    \Biggr)
     \,dx
     \\
     &=
@@ -237,7 +252,7 @@ Dabei setzen wir die Definition von $\psi(x)$ aus \eqref{zeta:equation:psi} ein
     \,dx
     }_{I_4}. \label{zeta:equation:integral3}
 \end{align}
-Dabei kann das zweite Integral $I_4$ gelöst werden als
+Darin kann das zweite Integral $I_4$ gelöst werden als
 \begin{equation}
     I_4
     =
@@ -278,8 +293,8 @@ Dies ergibt
     \,dx,
 \end{align}
 wobei wir durch Multiplikation mit $(-1)$ die Integralgrenzen tauschen dürfen.
-Es ist zu beachten das diese Grenzen nun identisch mit den Grenzen des zweiten Integrals von \eqref{zeta:equation:integral2} sind.
-Wir setzen beide Lösungen ein in Gleichung \eqref{zeta:equation:integral3} und erhalten
+Es ist zu beachten das diese Grenzen nun identisch mit den Grenzen des zweiten Integrals $I_2$ von \eqref{zeta:equation:integral2} sind.
+Wir setzen beide Lösungen in Gleichung \eqref{zeta:equation:integral3} ein und erhalten
 \begin{equation}
     I_1
     =
@@ -356,17 +371,19 @@ Somit haben wir die analytische Fortsetzung gefunden als
     \zeta(s)
     =
     \frac{\Gamma \left( \frac{1-s}{2} \right)}{\pi^{\frac{1-s}{2}}}
-    \zeta(1-s).
+    \zeta(1-s),
 \end{equation}
+was einer Spiegelung an der $\Re(s) = \frac{1}{2}$ Geraden entspricht.
+Eine ganz ähnliche Spiegelungseigenschaft wurde bereits in Kapitel \ref{buch:funktionentheorie:subsection:gammareflektion} für die Gammafunktion gefunden.
 %TODO Definitionen und Gleichungen klarer unterscheiden
 
 \subsection{Poissonsche Summenformel} \label{zeta:subsec:poisson_summation}
 
-Der Beweis für Gleichung \ref{zeta:equation:psi} folgt direkt durch die poissonsche Summenformel.
+Der Beweis für Gleichung \eqref{zeta:equation:psi} folgt direkt durch die poissonsche Summenformel.
 Um diese zu beweisen, berechnen wir zunächst die Fourierreihe der Dirac Delta Funktion.
 
 \begin{lemma}
-    Die Fourierreihe der periodischen Dirac Delta Funktion $\sum \delta(x - 2\pi k)$ ist
+    Die Fourierreihe der periodischen Dirac $\delta$ Funktion $\sum \delta(x - 2\pi k)$ ist
     \begin{equation} \label{zeta:equation:fourier_dirac}
         \sum_{k=-\infty}^{\infty}
         \delta(x - 2\pi k)
-- 
cgit v1.2.1


From 79c0198f5082851ce28945e8278ab01b82496901 Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: runterer <r.unterer@gmx.ch>
Date: Sat, 6 Aug 2022 19:21:47 +0200
Subject: restructured 19.4.2

---
 buch/papers/zeta/analytic_continuation.tex | 364 ++++++++++++++++-------------
 1 file changed, 203 insertions(+), 161 deletions(-)

(limited to 'buch/papers/zeta/analytic_continuation.tex')

diff --git a/buch/papers/zeta/analytic_continuation.tex b/buch/papers/zeta/analytic_continuation.tex
index 8484b28..a45791e 100644
--- a/buch/papers/zeta/analytic_continuation.tex
+++ b/buch/papers/zeta/analytic_continuation.tex
@@ -110,78 +110,24 @@ Analog zum Abschnitt \ref{zeta:section:zusammenhang_mit_gammafunktion} teilen wi
     \,dx,
 \end{equation}
 und finden $\zeta(s)$ durch die Summenbildung $\sum_{n=1}^{\infty}$
-\begin{equation}
+\begin{align}
     \frac{\Gamma \left( \frac{s}{2} \right)}{\pi^{\frac{s}{2}}}
     \zeta(s)
-    =
+    &=
     \int_0^{\infty}
     x^{\frac{s}{2}-1}
     \sum_{n=1}^{\infty}
     e^{-\pi n^2 x}
-    \,dx. \label{zeta:equation:integral1}
-\end{equation}
-Die Summe kürzen wir ab als $\psi(x) = \sum_{n=1}^{\infty} e^{-\pi n^2 x}$.
-Im Abschnitt \ref{zeta:subsec:poisson_summation} wird die poissonsche Summenformel $\sum f(n) = \sum F(n)$ bewiesen.
-In unserem Problem ist $f(n) =  e^{-\pi n^2 x}$ und die zugehörige Fouriertransformation $F(n)$ ist
-\begin{equation}
-    F(n)
-    =
-    \mathcal{F}
-    (
-    e^{-\pi n^2 x}
-    )
-    =
-    \frac{1}{\sqrt{x}}
-    e^{\frac{-n^2 \pi}{x}}.
-\end{equation}
-Dadurch ergibt sich
-\begin{equation}\label{zeta:equation:psi}
-    \sum_{n=-\infty}^{\infty}
-    e^{-\pi n^2 x}
-    =
-    \frac{1}{\sqrt{x}}
-    \sum_{n=-\infty}^{\infty}
-    e^{\frac{-n^2 \pi}{x}},
-\end{equation}
-wobei wir die Summen so verändern müssen, dass sie bei $n=1$ beginnen und wir $\psi(x)$ erhalten als
-\begin{align}
-    2
-    \sum_{n=1}^{\infty}
-    e^{-\pi n^2 x}
-    +
-    1
-    &=
-    \frac{1}{\sqrt{x}}
-    \Biggl(
-    2
-    \sum_{n=1}^{\infty}
-    e^{\frac{-n^2 \pi}{x}}
-    +
-    1
-    \Biggr)
+    \,dx\label{zeta:equation:integral1}
     \\
-    2
-    \psi(x)
-    +
-    1
     &=
-    \frac{1}{\sqrt{x}}
-    \left(
-    2
-    \psi\left(\frac{1}{x}\right)
-    +
-    1
-    \right)
-    \\
+    \int_0^{\infty}
+    x^{\frac{s}{2}-1}
     \psi(x)
-    &=
-    - \frac{1}{2}
-    + \frac{\psi\left(\frac{1}{x} \right)}{\sqrt{x}}
-    + \frac{1}{2 \sqrt{x}}.\label{zeta:equation:psi}
+    \,dx,
 \end{align}
-Diese Gleichung wird später wichtig werden.
-
-Zunächst teilen wir nun das Integral aus \eqref{zeta:equation:integral1} auf als
+wobei die Summe $\sum_{n=1}^{\infty} e^{-\pi n^2 x}$ als $\psi(x)$ abgekürzt wird.
+Zunächst teilen wir nun das Integral auf in zwei Teile
 \begin{equation}\label{zeta:equation:integral2}
     \int_0^{\infty}
     x^{\frac{s}{2}-1}
@@ -202,100 +148,11 @@ Zunächst teilen wir nun das Integral aus \eqref{zeta:equation:integral1} auf al
     \,dx
     }_{I_2}
     =
-    I_1 + I_2,
-\end{equation}
-wobei wir uns zunächst auf den ersten Teil $I_1$ konzentrieren werden.
-Dabei setzen wir die Definition von $\psi(x)$ aus \eqref{zeta:equation:psi} ein und erhalten
-\begin{align}
-    I_1
-    =
-    \int_0^{1}
-    x^{\frac{s}{2}-1}
-    \psi(x)
-    \,dx
-    &=
-    \int_0^{1}
-    x^{\frac{s}{2}-1}
-    \Biggl(
-    - \frac{1}{2}
-    + \frac{\psi\left(\frac{1}{x} \right)}{\sqrt{x}}
-    + \frac{1}{2 \sqrt{x}}
-    \Biggr)
-    \,dx
-    \\
-    &=
-    \int_0^{1}
-    x^{\frac{s}{2}-\frac{3}{2}}
-    \psi \left( \frac{1}{x} \right)
-    + \frac{1}{2}
-    \biggl(
-    x^{\frac{s}{2}-\frac{3}{2}}
-    -
-    x^{\frac{s}{2}-1}
-    \biggl)
-    \,dx
-    \\
-    &=
-    \underbrace{
-    \int_0^{1}
-    x^{\frac{s}{2}-\frac{3}{2}}
-    \psi \left( \frac{1}{x} \right)
-    \,dx
-    }_{I_3}
-    +
-    \underbrace{
-    \frac{1}{2}
-    \int_0^1
-    x^{\frac{s}{2}-\frac{3}{2}}
-    -
-    x^{\frac{s}{2}-1}
-    \,dx
-    }_{I_4}. \label{zeta:equation:integral3}
-\end{align}
-Darin kann das zweite Integral $I_4$ gelöst werden als
-\begin{equation}
-    I_4
-    =
-    \frac{1}{2}
-    \int_0^1
-    x^{\frac{s}{2}-\frac{3}{2}}
-    -
-    x^{\frac{s}{2}-1}
-    \,dx
-    =
-    \frac{1}{s(s-1)}.
+    I_1 + I_2.
 \end{equation}
-Das erste Integral $I_3$ aus \eqref{zeta:equation:integral3} mit $\psi \left(\frac{1}{x} \right)$ ist nicht lösbar in dieser Form.
-Deshalb substituieren wir $x = \frac{1}{u}$ und $dx = -\frac{1}{u^2}du$.
-Die untere Integralgrenze wechselt ebenfalls zu $x_0 = 0 \rightarrow u_0 = \infty$.
-Dies ergibt
-\begin{align}
-    I_3
-    =
-    \int_{\infty}^{1}
-    \left(
-    \frac{1}{u}
-    \right)^{\frac{s}{2}-\frac{3}{2}}
-    \psi(u)
-    \frac{-du}{u^2}
-    &=
-    \int_{1}^{\infty}
-    \left(
-    \frac{1}{u}
-    \right)^{\frac{s}{2}-\frac{3}{2}}
-    \psi(u)
-    \frac{du}{u^2}
-    \\
-    &=
-    \int_{1}^{\infty}
-    x^{(-1) \left(\frac{s}{2}+\frac{1}{2}\right)}
-    \psi(x)
-    \,dx,
-\end{align}
-wobei wir durch Multiplikation mit $(-1)$ die Integralgrenzen tauschen dürfen.
-Es ist zu beachten das diese Grenzen nun identisch mit den Grenzen des zweiten Integrals $I_2$ von \eqref{zeta:equation:integral2} sind.
-Wir setzen beide Lösungen in Gleichung \eqref{zeta:equation:integral3} ein und erhalten
-\begin{equation}
+Abschnitt \ref{zeta:subsubsec:intcal} beschreibt wie das Integral $I_1$ umgestellt werden kann um ebenfalls die Integrationsgrenzen $1$ und $\infty$ zu bekommen.
+Die Lösung, beschrieben in Gleichung \eqref{zeta:equation:intcal_res}, lautet
+\begin{equation*}
     I_1
     =
     \int_0^{1}
@@ -309,8 +166,8 @@ Wir setzen beide Lösungen in Gleichung \eqref{zeta:equation:integral3} ein und
     \,dx
     +
     \frac{1}{s(s-1)}.
-\end{equation}
-Dieses Resultat setzen wir wiederum ein in \eqref{zeta:equation:integral2}, um schlussendlich
+\end{equation*}
+Dieses Resultat setzen wir nun ein in \eqref{zeta:equation:integral2}, um schlussendlich
 \begin{align}
     \frac{\Gamma \left( \frac{s}{2} \right)}{\pi^{\frac{s}{2}}}
     \zeta(s)
@@ -375,12 +232,14 @@ Somit haben wir die analytische Fortsetzung gefunden als
 \end{equation}
 was einer Spiegelung an der $\Re(s) = \frac{1}{2}$ Geraden entspricht.
 Eine ganz ähnliche Spiegelungseigenschaft wurde bereits in Kapitel \ref{buch:funktionentheorie:subsection:gammareflektion} für die Gammafunktion gefunden.
-%TODO Definitionen und Gleichungen klarer unterscheiden
 
-\subsection{Poissonsche Summenformel} \label{zeta:subsec:poisson_summation}
+\subsection{Berechnung des Integrals $I_1 = \int_0^{1} x^{\frac{s}{2}-1} \psi(x) \,dx$} \label{zeta:subsubsec:intcal}
 
-Der Beweis für Gleichung \eqref{zeta:equation:psi} folgt direkt durch die poissonsche Summenformel.
-Um diese zu beweisen, berechnen wir zunächst die Fourierreihe der Dirac Delta Funktion.
+Ziel dieses Abschnittes ist es, zu zeigen wie das Integral $I_1$ aus Gleichung \eqref{zeta:equation:integral2} durch ein neues Integral mit den Integrationsgrenzen $1$ und $\infty$ ersetzt werden kann.
+Da dieser Schritt ziemlich aufwendig ist, wird er hier in einem eigenen Abschnitt behandelt.
+Zunächst wird die poissonsche Summenformel hergeleitet, da diese verwendet werden kann um $\psi(x)$ zu berechnen.
+
+Um die poissonsche Summenformel zu beweisen, berechnen wir zunächst die Fourierreihe der Dirac Delta Funktion.
 
 \begin{lemma}
     Die Fourierreihe der periodischen Dirac $\delta$ Funktion $\sum \delta(x - 2\pi k)$ ist
@@ -492,3 +351,186 @@ Um diese zu beweisen, berechnen wir zunächst die Fourierreihe der Dirac Delta F
         f(k).
     \end{equation}
 \end{proof}
+
+Erinnern wir uns nochmals an unser Integral aus Gleichung \eqref{zeta:equation:integral2}
+\begin{align*}
+    I_1
+    &=
+    \int_0^{1}
+    x^{\frac{s}{2}-1}
+    \sum_{n=1}^{\infty}
+    e^{-\pi n^2 x}
+    \,dx
+    \\
+    &=
+    \int_0^{1}
+    x^{\frac{s}{2}-1}
+    \psi(x)
+    \,dx
+    .
+\end{align*}
+
+Wir wenden nun diese poissonsche Summenformel $\sum f(n) = \sum F(n)$ an auf $\psi(x)$.
+In unserem Problem ist also $f(n) =  e^{-\pi n^2 x}$ und die zugehörige Fouriertransformation $F(n)$ ist
+\begin{equation}
+    F(n)
+    =
+    \mathcal{F}
+    (
+    e^{-\pi n^2 x}
+    )
+    =
+    \frac{1}{\sqrt{x}}
+    e^{\frac{-n^2 \pi}{x}}.
+\end{equation}
+Dadurch ergibt sich
+\begin{equation}\label{zeta:equation:psi}
+    \sum_{n=-\infty}^{\infty}
+    e^{-\pi n^2 x}
+    =
+    \frac{1}{\sqrt{x}}
+    \sum_{n=-\infty}^{\infty}
+    e^{\frac{-n^2 \pi}{x}},
+\end{equation}
+wobei wir die Summen so verändern müssen, dass sie bei $n=1$ beginnen und wir $\psi(x)$ erhalten als
+\begin{align}
+    2
+    \sum_{n=1}^{\infty}
+    e^{-\pi n^2 x}
+    +
+    1
+    &=
+    \frac{1}{\sqrt{x}}
+    \Biggl(
+    2
+    \sum_{n=1}^{\infty}
+    e^{\frac{-n^2 \pi}{x}}
+    +
+    1
+    \Biggr)
+    \\
+    2
+    \psi(x)
+    +
+    1
+    &=
+    \frac{1}{\sqrt{x}}
+    \left(
+    2
+    \psi\left(\frac{1}{x}\right)
+    +
+    1
+    \right)
+    \\
+    \psi(x)
+    &=
+    - \frac{1}{2}
+    + \frac{\psi\left(\frac{1}{x} \right)}{\sqrt{x}}
+    + \frac{1}{2 \sqrt{x}}.\label{zeta:equation:psi}
+\end{align}
+Diese Form von $\psi(x)$ eingesetzt in $I_1$ ergibt
+\begin{align}
+    I_1
+    =
+    \int_0^{1}
+    x^{\frac{s}{2}-1}
+    \psi(x)
+    \,dx
+    &=
+    \int_0^{1}
+    x^{\frac{s}{2}-1}
+    \Biggl(
+    - \frac{1}{2}
+    + \frac{\psi\left(\frac{1}{x} \right)}{\sqrt{x}}
+    + \frac{1}{2 \sqrt{x}}
+    \Biggr)
+    \,dx
+    \\
+    &=
+    \int_0^{1}
+    x^{\frac{s}{2}-\frac{3}{2}}
+    \psi \left( \frac{1}{x} \right)
+    + \frac{1}{2}
+    \biggl(
+    x^{\frac{s}{2}-\frac{3}{2}}
+    -
+    x^{\frac{s}{2}-1}
+    \biggl)
+    \,dx
+    \\
+    &=
+    \underbrace{
+    \int_0^{1}
+    x^{\frac{s}{2}-\frac{3}{2}}
+    \psi \left( \frac{1}{x} \right)
+    \,dx
+    }_{I_3}
+    +
+    \underbrace{
+    \frac{1}{2}
+    \int_0^1
+    x^{\frac{s}{2}-\frac{3}{2}}
+    -
+    x^{\frac{s}{2}-1}
+    \,dx
+    }_{I_4}. \label{zeta:equation:integral3}
+\end{align}
+Darin kann für das zweite Integral $I_4$ eine Lösung gefunden werden als
+\begin{equation}
+    I_4
+    =
+    \frac{1}{2}
+    \int_0^1
+    x^{\frac{s}{2}-\frac{3}{2}}
+    -
+    x^{\frac{s}{2}-1}
+    \,dx
+    =
+    \frac{1}{s(s-1)}.
+\end{equation}
+Das erste Integral $I_3$ aus \eqref{zeta:equation:integral3} mit $\psi \left(\frac{1}{x} \right)$ ist hingegen nicht lösbar in dieser Form.
+Deshalb substituieren wir $x = \frac{1}{u}$ und $dx = -\frac{1}{u^2}du$.
+Die untere Integralgrenze wechselt ebenfalls zu $x_0 = 0 \rightarrow u_0 = \infty$.
+Dies ergibt
+\begin{align}
+    I_3
+    =
+    \int_{\infty}^{1}
+    \left(
+    \frac{1}{u}
+    \right)^{\frac{s}{2}-\frac{3}{2}}
+    \psi(u)
+    \frac{-du}{u^2}
+    &=
+    \int_{1}^{\infty}
+    \left(
+    \frac{1}{u}
+    \right)^{\frac{s}{2}-\frac{3}{2}}
+    \psi(u)
+    \frac{du}{u^2}
+    \\
+    &=
+    \int_{1}^{\infty}
+    x^{(-1) \left(\frac{s}{2}+\frac{1}{2}\right)}
+    \psi(x)
+    \,dx,
+\end{align}
+wobei wir durch Multiplikation mit $(-1)$ die Integralgrenzen tauschen dürfen.
+Es ist zu beachten das diese Grenzen nun identisch mit den Grenzen des zweiten Integrals $I_2$ von \eqref{zeta:equation:integral2} sind.
+Wir setzen beide Lösungen in Gleichung \eqref{zeta:equation:integral3} ein und erhalten
+\begin{equation}
+    I_1
+    =
+    \int_0^{1}
+    x^{\frac{s}{2}-1}
+    \psi(x)
+    \,dx
+    =
+    \int_{1}^{\infty}
+    x^{(-1) \left(\frac{s}{2}+\frac{1}{2}\right)}
+    \psi(x)
+    \,dx
+    +
+    \frac{1}{s(s-1)}. \label{zeta:equation:intcal_res}
+\end{equation}
+Diese Form des Integrals $I_1$ hat die gewünschten Integrationsgrenzen und ein essentieller Bestandteil des Beweises der Funktionalgleichung in Abschnitt \ref{zeta:subsection:auf_ganz}.
-- 
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From 77dfbc3727334b88dcf19c673d9ef9812df1806a Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: runterer <r.unterer@gmx.ch>
Date: Sun, 7 Aug 2022 17:30:30 +0200
Subject: wip conlcusion not finished

---
 buch/papers/zeta/analytic_continuation.tex | 11 ++++++-----
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(limited to 'buch/papers/zeta/analytic_continuation.tex')

diff --git a/buch/papers/zeta/analytic_continuation.tex b/buch/papers/zeta/analytic_continuation.tex
index a45791e..4046bb7 100644
--- a/buch/papers/zeta/analytic_continuation.tex
+++ b/buch/papers/zeta/analytic_continuation.tex
@@ -4,7 +4,7 @@
 Die analytische Fortsetzung der Riemannschen Zetafunktion ist äusserst interessant.
 Sie ermöglicht die Berechnung von $\zeta(-1)$ und weiterer spannender Werte.
 So liegen zum Beispiel unendlich viele Nullstellen der Zetafunktion bei $\Re(s) = \frac{1}{2}$.
-Diese sind relevant für die Primzahlverteilung und sind Gegenstand der Riemannschen Vermutung.
+Wie bereits erwähnt sind diese Gegenstand der Riemannschen Vermutung.
 
 Es werden zwei verschiedene Fortsetzungen benötigt.
 Die erste erweitert die Zetafunktion auf $\Re(s) > 0$.
@@ -12,7 +12,7 @@ Die zweite verwendet eine Spiegelung an der $\Re(s) = \frac{1}{2}$ Geraden und e
 Eine grafische Darstellung dieses Plans ist in Abbildung \ref{zeta:fig:continuation_overview} zu sehen.
 \begin{figure}
     \centering
-    \input{papers/zeta/continuation_overview.tikz.tex}
+    \input{papers/zeta/images/continuation_overview.tikz.tex}
     \caption{
         Die verschiedenen Abschnitte der Riemannschen Zetafunktion.
         Die originale Definition von \eqref{zeta:equation1} ist im grünen Bereich gültig.
@@ -237,7 +237,7 @@ Eine ganz ähnliche Spiegelungseigenschaft wurde bereits in Kapitel \ref{buch:fu
 
 Ziel dieses Abschnittes ist es, zu zeigen wie das Integral $I_1$ aus Gleichung \eqref{zeta:equation:integral2} durch ein neues Integral mit den Integrationsgrenzen $1$ und $\infty$ ersetzt werden kann.
 Da dieser Schritt ziemlich aufwendig ist, wird er hier in einem eigenen Abschnitt behandelt.
-Zunächst wird die poissonsche Summenformel hergeleitet, da diese verwendet werden kann um $\psi(x)$ zu berechnen.
+Zunächst wird die poissonsche Summenformel hergeleitet \cite{zeta:online:poisson}, da diese verwendet werden kann um $\psi(x)$ zu berechnen.
 
 Um die poissonsche Summenformel zu beweisen, berechnen wir zunächst die Fourierreihe der Dirac Delta Funktion.
 
@@ -330,7 +330,7 @@ Um die poissonsche Summenformel zu beweisen, berechnen wir zunächst die Fourier
         \sum_{k=-\infty}^{\infty}
         \delta(x + k).
     \end{align}
-    Wenn wir dies einsetzen und erhalten wir den gesuchten Beweis für die poissonsche Summenformel
+    Wenn wir dies einsetzen und erhalten wir
     \begin{equation}
         \sum_{k=-\infty}^{\infty}
         F(k)
@@ -348,8 +348,9 @@ Um die poissonsche Summenformel zu beweisen, berechnen wir zunächst die Fourier
         \, dx
         =
         \sum_{k=-\infty}^{\infty}
-        f(k).
+        f(k),
     \end{equation}
+    was der gesuchte Beweis für die poissonsche Summenformel ist.
 \end{proof}
 
 Erinnern wir uns nochmals an unser Integral aus Gleichung \eqref{zeta:equation:integral2}
-- 
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From 970e6a8a2b2371834e8a4ff42123da59e3990fe4 Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: runterer <r.unterer@gmx.ch>
Date: Tue, 9 Aug 2022 21:59:31 +0200
Subject: Finished

---
 buch/papers/zeta/analytic_continuation.tex | 26 +++++++++++++-------------
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diff --git a/buch/papers/zeta/analytic_continuation.tex b/buch/papers/zeta/analytic_continuation.tex
index 4046bb7..ed07e04 100644
--- a/buch/papers/zeta/analytic_continuation.tex
+++ b/buch/papers/zeta/analytic_continuation.tex
@@ -62,14 +62,14 @@ Durch Subtraktion der beiden Gleichungen \eqref{zeta:align1} minus \eqref{zeta:a
     {\color{blue}\frac{2}{2^s}}
     +
     {\color{red}\frac{1}{2^s}}
-    }_{-\frac{1}{2^s}}
+    }_{\displaystyle{-\frac{1}{2^s}}}
     +
     {\color{red}\frac{1}{3^s}}
     \underbrace{-
     {\color{blue}\frac{2}{4^s}}
     +
     {\color{red}\frac{1}{4^s}}
-    }_{-\frac{1}{4^s}}
+    }_{\displaystyle{-\frac{1}{4^s}}}
     \ldots
     \\
     &= \eta(s).
@@ -89,7 +89,7 @@ Wir beginnen damit, die Gammafunktion für den halben Funktionswert zu berechnen
     =
     \int_0^{\infty} t^{\frac{s}{2}-1} e^{-t} dt.
 \end{equation}
-Nun substituieren wir $t$ mit $t = \pi n^2 x$ und $dt=\pi n^2 dx$ und erhalten
+Nun substituieren wir $t = \pi n^2 x$ und $dt=\pi n^2 dx$ und erhalten
 \begin{equation}
     \Gamma \left( \frac{s}{2} \right)
     =
@@ -109,7 +109,7 @@ Analog zum Abschnitt \ref{zeta:section:zusammenhang_mit_gammafunktion} teilen wi
     e^{-\pi n^2 x}
     \,dx,
 \end{equation}
-und finden $\zeta(s)$ durch die Summenbildung $\sum_{n=1}^{\infty}$
+und finden $\zeta(s)$ durch die Summenbildung über alle $n$
 \begin{align}
     \frac{\Gamma \left( \frac{s}{2} \right)}{\pi^{\frac{s}{2}}}
     \zeta(s)
@@ -139,14 +139,14 @@ Zunächst teilen wir nun das Integral auf in zwei Teile
     x^{\frac{s}{2}-1}
     \psi(x)
     \,dx
-    }_{I_1}
+    }_{\displaystyle{I_1}}
     +
     \underbrace{
     \int_1^{\infty}
     x^{\frac{s}{2}-1}
     \psi(x)
     \,dx
-    }_{I_2}
+    }_{\displaystyle{I_2}}
     =
     I_1 + I_2.
 \end{equation}
@@ -231,11 +231,11 @@ Somit haben wir die analytische Fortsetzung gefunden als
     \zeta(1-s),
 \end{equation}
 was einer Spiegelung an der $\Re(s) = \frac{1}{2}$ Geraden entspricht.
-Eine ganz ähnliche Spiegelungseigenschaft wurde bereits in Kapitel \ref{buch:funktionentheorie:subsection:gammareflektion} für die Gammafunktion gefunden.
+Eine ganz ähnliche Spiegelungseigenschaft wurde bereits in Abschnitt \ref{buch:funktionentheorie:subsection:gammareflektion} für die Gammafunktion gefunden.
 
 \subsection{Berechnung des Integrals $I_1 = \int_0^{1} x^{\frac{s}{2}-1} \psi(x) \,dx$} \label{zeta:subsubsec:intcal}
 
-Ziel dieses Abschnittes ist es, zu zeigen wie das Integral $I_1$ aus Gleichung \eqref{zeta:equation:integral2} durch ein neues Integral mit den Integrationsgrenzen $1$ und $\infty$ ersetzt werden kann.
+Ziel dieses Abschnittes ist, zu zeigen wie das Integral $I_1$ aus Gleichung \eqref{zeta:equation:integral2} durch ein neues Integral mit den Integrationsgrenzen $1$ und $\infty$ ersetzt werden kann.
 Da dieser Schritt ziemlich aufwendig ist, wird er hier in einem eigenen Abschnitt behandelt.
 Zunächst wird die poissonsche Summenformel hergeleitet \cite{zeta:online:poisson}, da diese verwendet werden kann um $\psi(x)$ zu berechnen.
 
@@ -313,8 +313,8 @@ Um die poissonsche Summenformel zu beweisen, berechnen wir zunächst die Fourier
         \underbrace{
         \sum_{k=-\infty}^{\infty}
         e^{-i 2\pi x k}
-        }_{\text{\eqref{zeta:equation:fourier_dirac}}}
-        \, dx,
+        }_{\displaystyle{\text{\eqref{zeta:equation:fourier_dirac}}}}
+        \, dx, \label{zeta:equation:1934}
     \end{align}
     und verwenden die Fouriertransformation der Dirac Funktion aus \eqref{zeta:equation:fourier_dirac}
     \begin{align}
@@ -330,7 +330,7 @@ Um die poissonsche Summenformel zu beweisen, berechnen wir zunächst die Fourier
         \sum_{k=-\infty}^{\infty}
         \delta(x + k).
     \end{align}
-    Wenn wir dies einsetzen und erhalten wir
+    Wenn wir dies einsetzen in \eqref{zeta:equation:1934} erhalten wir
     \begin{equation}
         \sum_{k=-\infty}^{\infty}
         F(k)
@@ -465,7 +465,7 @@ Diese Form von $\psi(x)$ eingesetzt in $I_1$ ergibt
     x^{\frac{s}{2}-\frac{3}{2}}
     \psi \left( \frac{1}{x} \right)
     \,dx
-    }_{I_3}
+    }_{\displaystyle{I_3}}
     +
     \underbrace{
     \frac{1}{2}
@@ -474,7 +474,7 @@ Diese Form von $\psi(x)$ eingesetzt in $I_1$ ergibt
     -
     x^{\frac{s}{2}-1}
     \,dx
-    }_{I_4}. \label{zeta:equation:integral3}
+    }_{\displaystyle{I_4}}. \label{zeta:equation:integral3}
 \end{align}
 Darin kann für das zweite Integral $I_4$ eine Lösung gefunden werden als
 \begin{equation}
-- 
cgit v1.2.1


From 7d2e4ff7b1b50b382af659fcfbbc38adb6dd7ace Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: runterer <r.unterer@gmx.ch>
Date: Tue, 9 Aug 2022 22:05:19 +0200
Subject: minor changes

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index ed07e04..d45a6ae 100644
--- a/buch/papers/zeta/analytic_continuation.tex
+++ b/buch/papers/zeta/analytic_continuation.tex
@@ -330,7 +330,7 @@ Um die poissonsche Summenformel zu beweisen, berechnen wir zunächst die Fourier
         \sum_{k=-\infty}^{\infty}
         \delta(x + k).
     \end{align}
-    Wenn wir dies einsetzen in \eqref{zeta:equation:1934} erhalten wir
+    Wenn wir dies einsetzen in Gleichung \eqref{zeta:equation:1934} erhalten wir
     \begin{equation}
         \sum_{k=-\infty}^{\infty}
         F(k)
-- 
cgit v1.2.1

