From c771727f3d404d7d79f36b3871e540a8539edfcf Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: runterer Date: Sat, 30 Apr 2022 22:03:05 +0200 Subject: wip copying my handwritten stuff to LaTex --- buch/papers/zeta/analytic_continuation.tex | 165 +++++++++++++++++++++++++++++ 1 file changed, 165 insertions(+) create mode 100644 buch/papers/zeta/analytic_continuation.tex (limited to 'buch/papers/zeta/analytic_continuation.tex') diff --git a/buch/papers/zeta/analytic_continuation.tex b/buch/papers/zeta/analytic_continuation.tex new file mode 100644 index 0000000..943647a --- /dev/null +++ b/buch/papers/zeta/analytic_continuation.tex @@ -0,0 +1,165 @@ +\section{Analytische Fortsetzung} \label{zeta:section:analytische_fortsetzung} +\rhead{Analytische Fortsetzung} + +%TODO missing Text + +\subsection{Fortsetzung auf $\Re(s) > 0$} \label{zeta:subsection:auf_bereich_ge_0} +Zuerst definieren die Dirichletsche Etafunktion als +\begin{equation}\label{zeta:equation:eta} + \eta(s) + = + \sum_{n=1}^{\infty} + \frac{(-1)^{n-1}}{n^s}, +\end{equation} +wobei die Reihe bis auf die alternierenden Vorzeichen die selbe wie in der Zetafunktion ist. +Diese Etafunktion konvergiert gemäss dem Leibnitz-Kriterium im Bereich $\Re(s) > 0$, da dann die einzelnen Glieder monoton fallend sind. + +Wenn wir es nun schaffen, die sehr ähnliche Zetafunktion mit der Etafunktion auszudrücken, dann haben die gesuchte Fortsetzung. +Die folgenden Schritte zeigen, wie man dazu kommt: +\begin{align} + \zeta(s) + &= + \sum_{n=1}^{\infty} + \frac{1}{n^s} \label{zeta:align1} + \\ + \frac{1}{2^{s-1}} + \zeta(s) + &= + \sum_{n=1}^{\infty} + \frac{2}{(2n)^s} \label{zeta:align2} + \\ + \left(1 - \frac{1}{2^{s-1}} \right) + \zeta(s) + &= + \frac{1}{1^s} + \underbrace{-\frac{2}{2^s} + \frac{1}{2^s}}_{-\frac{1}{2^s}} + + \frac{1}{3^s} + \underbrace{-\frac{2}{4^s} + \frac{1}{4^s}}_{-\frac{1}{4^s}} + \ldots + && \text{\eqref{zeta:align1}} - \text{\eqref{zeta:align2}} + \\ + &= \eta(s) + \\ + \zeta(s) + &= + \left(1 - \frac{1}{2^{s-1}} \right)^{-1} \eta(s). +\end{align} + +\subsection{Fortsetzung auf ganz $\mathbb{C}$} \label{zeta:subsection:auf_ganz} +Für die Fortsetzung auf den Rest von $\mathbb{C}$, verwenden wir den Zusammenhang von Gamma- und Zetafunktion aus \ref{zeta:section:zusammenhang_mit_gammafunktion}. +Wir beginnen damit, die Gammafunktion für den halben Funktionswert zu berechnen als +\begin{equation} + \Gamma \left( \frac{s}{2} \right) + = + \int_0^{\infty} t^{\frac{s}{2}-1} e^{-t} dt. +\end{equation} +Nun substituieren wir $t$ mit $t = \pi n^2 x$ und $dt=\pi n^2 dx$ und erhalten +\begin{align} + \Gamma \left( \frac{s}{2} \right) + &= + \int_0^{\infty} + (\pi n^2)^{\frac{s}{2}} + x^{\frac{s}{2}-1} + e^{-\pi n^2 x} + dx + && \text{Division durch } (\pi n^2)^{\frac{s}{2}} + \\ + \frac{\Gamma \left( \frac{s}{2} \right)}{\pi^{\frac{s}{2}} n^s} + &= + \int_0^{\infty} + x^{\frac{s}{2}-1} + e^{-\pi n^2 x} + dx + && \text{Zeta durch Summenbildung } \sum_{n=1}^{\infty} + \\ + \frac{\Gamma \left( \frac{s}{2} \right)}{\pi^{\frac{s}{2}}} + \zeta(s) + &= + \int_0^{\infty} + x^{\frac{s}{2}-1} + \sum_{n=1}^{\infty} + e^{-\pi n^2 x} + dx. \label{zeta:equation:integral1} +\end{align} +Die Summe kürzen wir ab als $\psi(x) = \sum_{n=1}^{\infty} e^{-\pi n^2 x}$. +%TODO Wieso folgendes -> aus Fourier Signal +Es gilt +\begin{equation}\label{zeta:equation:psi} + \psi(x) + = + - \frac{1}{2} + + \frac{\psi\left(\frac{1}{x} \right)}{\sqrt{x}} + + \frac{1}{2 \sqrt{x}}. +\end{equation} + +Zunächst teilen wir nun das Integral aus \eqref{zeta:equation:integral1} auf als +\begin{equation}\label{zeta:equation:integral2} + \int_0^{\infty} + x^{\frac{s}{2}-1} + \psi(x) + dx + = + \int_0^{1} + x^{\frac{s}{2}-1} + \psi(x) + dx + + + \int_1^{\infty} + x^{\frac{s}{2}-1} + \psi(x) + dx, +\end{equation} +wobei wir uns nun auf den ersten Teil konzentrieren werden. +Dabei setzen wir das Wissen aus \eqref{zeta:equation:integral2} ein und erhalten +\begin{align} + \int_0^{1} + x^{\frac{s}{2}-1} + \psi(x) + dx + &= + \int_0^{1} + x^{\frac{s}{2}-1} + \left( + - \frac{1}{2} + + \frac{\psi\left(\frac{1}{x} \right)}{\sqrt{x}} + + \frac{1}{2 \sqrt{x}}. + \right) + dx + \\ + &= + \int_0^{1} + x^{\frac{s}{2}-\frac{3}{2}} + \psi \left( \frac{1}{x} \right) + + \frac{1}{2} + \left( + x^{\frac{s}{2}-\frac{3}{2}} + - + x^{\frac{s}{2}-1} + \right) + dx + \\ + &= + \int_0^{1} + x^{\frac{s}{2}-\frac{3}{2}} + \psi \left( \frac{1}{x} \right) + dx + + \frac{1}{2} + \int_0^1 + x^{\frac{s}{2}-\frac{3}{2}} + - + x^{\frac{s}{2}-1} + dx. +\end{align} +Dabei kann das zweite integral gelöst werden als +\begin{equation} + \frac{1}{2} + \int_0^1 + x^{\frac{s}{2}-\frac{3}{2}} + - + x^{\frac{s}{2}-1} + dx + = + \frac{1}{s(s-1)}. +\end{equation} + + -- cgit v1.2.1 From e26f12668c78fab5f0d8c5c9625396fd34970c82 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: runterer Date: Sat, 30 Apr 2022 22:39:22 +0200 Subject: Erster Entwurf der analytischen Fortsetzung geschrieben --- buch/papers/zeta/analytic_continuation.tex | 107 +++++++++++++++++++++++++++-- 1 file changed, 103 insertions(+), 4 deletions(-) (limited to 'buch/papers/zeta/analytic_continuation.tex') diff --git a/buch/papers/zeta/analytic_continuation.tex b/buch/papers/zeta/analytic_continuation.tex index 943647a..f5de6e7 100644 --- a/buch/papers/zeta/analytic_continuation.tex +++ b/buch/papers/zeta/analytic_continuation.tex @@ -110,7 +110,7 @@ Zunächst teilen wir nun das Integral aus \eqref{zeta:equation:integral1} auf al dx, \end{equation} wobei wir uns nun auf den ersten Teil konzentrieren werden. -Dabei setzen wir das Wissen aus \eqref{zeta:equation:integral2} ein und erhalten +Dabei setzen wir das Wissen aus \eqref{zeta:equation:psi} ein und erhalten \begin{align} \int_0^{1} x^{\frac{s}{2}-1} @@ -148,9 +148,9 @@ Dabei setzen wir das Wissen aus \eqref{zeta:equation:integral2} ein und erhalten x^{\frac{s}{2}-\frac{3}{2}} - x^{\frac{s}{2}-1} - dx. + dx. \label{zeta:equation:integral3} \end{align} -Dabei kann das zweite integral gelöst werden als +Dabei kann das zweite Integral gelöst werden als \begin{equation} \frac{1}{2} \int_0^1 @@ -161,5 +161,104 @@ Dabei kann das zweite integral gelöst werden als = \frac{1}{s(s-1)}. \end{equation} - +Das erste Integral aus \eqref{zeta:equation:integral3} mit $\psi \left(\frac{1}{x} \right)$ ist nicht lösbar in dieser Form. +Deshalb substituieren wir $x = \frac{1}{u}$ und $dx = -\frac{1}{u^2}du$. +Die untere Integralgrenze wechselt ebenfalls zu $x_0 = 0 \rightarrow u_0 = \infty$. +Dies ergibt +\begin{align} + \int_{\infty}^{1} + {\frac{1}{u}}^{\frac{s}{2}-\frac{3}{2}} + \psi(u) + \frac{-du}{u^2} + &= + \int_{1}^{\infty} + {\frac{1}{u}}^{\frac{s}{2}-\frac{3}{2}} + \psi(u) + \frac{du}{u^2} + \\ + &= + \int_{1}^{\infty} + x^{(-1) \left(\frac{s}{2}+\frac{1}{2}\right)} + \psi(x) + dx, +\end{align} +wobei wir durch Multiplikation mit $(-1)$ die Integralgrenzen tauschen dürfen. +Es ist zu beachten das diese Grenzen nun identisch mit den Grenzen des zweiten Integrals von \eqref{zeta:equation:integral2} sind. +Wir setzen beide Lösungen ein in Gleichung \eqref{zeta:equation:integral3} und erhalten +\begin{equation} + \int_0^{1} + x^{\frac{s}{2}-1} + \psi(x) + dx + = + \int_{1}^{\infty} + x^{(-1) \left(\frac{s}{2}+\frac{1}{2}\right)} + \psi(x) + dx, + + + \frac{1}{s(s-1)}. +\end{equation} +Dieses Resultat setzen wir wiederum ein in \eqref{zeta:equation:integral2}, um schlussendlich +\begin{align} + \frac{\Gamma \left( \frac{s}{2} \right)}{\pi^{\frac{s}{2}}} + \zeta(s) + &= + \int_0^{1} + x^{\frac{s}{2}-1} + \psi(x) + dx + + + \int_1^{\infty} + x^{\frac{s}{2}-1} + \psi(x) + dx + \nonumber + \\ + &= + \frac{1}{s(s-1)} + + + \int_{1}^{\infty} + x^{(-1) \left(\frac{s}{2}+\frac{1}{2}\right)} + \psi(x) + dx, + + + \int_1^{\infty} + x^{\frac{s}{2}-1} + \psi(x) + dx + \\ + &= + \frac{1}{s(s-1)} + + + \int_{1}^{\infty} + \left( + x^{-\frac{s}{2}-\frac{1}{2}} + + + x^{\frac{s}{2}-1} + \right) + \psi(x) + dx + \\ + &= + \frac{-1}{s(1-s)} + + + \int_{1}^{\infty} + \left( + x^{\frac{1-s}{2}} + + + x^{\frac{s}{2}} + \right) + \frac{\psi(x)}{x} + dx, +\end{align} +zu erhalten. +Wenn wir dieses Resultat genau anschauen, erkennen wir dass sich nichts verändert wenn $s$ mit $1-s$ ersetzt wird. +Somit haben wir die analytische Fortsetzung gefunden als +\begin{equation}\label{zeta:equation:functional} + \frac{\Gamma \left( \frac{s}{2} \right)}{\pi^{\frac{s}{2}}} + \zeta(s) + = + \frac{\Gamma \left( \frac{1-s}{2} \right)}{\pi^{\frac{1-s}{2}}} + \zeta(1-s). +\end{equation} -- cgit v1.2.1 From 2041283fe8afc6c80451208e239913f52f767d93 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: runterer Date: Sat, 30 Apr 2022 22:46:13 +0200 Subject: minor fix --- buch/papers/zeta/analytic_continuation.tex | 4 ++-- 1 file changed, 2 insertions(+), 2 deletions(-) (limited to 'buch/papers/zeta/analytic_continuation.tex') diff --git a/buch/papers/zeta/analytic_continuation.tex b/buch/papers/zeta/analytic_continuation.tex index f5de6e7..bb95b92 100644 --- a/buch/papers/zeta/analytic_continuation.tex +++ b/buch/papers/zeta/analytic_continuation.tex @@ -194,7 +194,7 @@ Wir setzen beide Lösungen ein in Gleichung \eqref{zeta:equation:integral3} und \int_{1}^{\infty} x^{(-1) \left(\frac{s}{2}+\frac{1}{2}\right)} \psi(x) - dx, + dx + \frac{1}{s(s-1)}. \end{equation} @@ -220,7 +220,7 @@ Dieses Resultat setzen wir wiederum ein in \eqref{zeta:equation:integral2}, um s \int_{1}^{\infty} x^{(-1) \left(\frac{s}{2}+\frac{1}{2}\right)} \psi(x) - dx, + dx + \int_1^{\infty} x^{\frac{s}{2}-1} -- cgit v1.2.1 From 8f643765aa134d48da27f161890f07038d2223f3 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: runterer Date: Sat, 14 May 2022 22:17:18 +0200 Subject: Alle einfachen Korrekturen umgesetzt --- buch/papers/zeta/analytic_continuation.tex | 108 ++++++++++++++++++----------- 1 file changed, 67 insertions(+), 41 deletions(-) (limited to 'buch/papers/zeta/analytic_continuation.tex') diff --git a/buch/papers/zeta/analytic_continuation.tex b/buch/papers/zeta/analytic_continuation.tex index bb95b92..5e09e42 100644 --- a/buch/papers/zeta/analytic_continuation.tex +++ b/buch/papers/zeta/analytic_continuation.tex @@ -14,8 +14,8 @@ Zuerst definieren die Dirichletsche Etafunktion als wobei die Reihe bis auf die alternierenden Vorzeichen die selbe wie in der Zetafunktion ist. Diese Etafunktion konvergiert gemäss dem Leibnitz-Kriterium im Bereich $\Re(s) > 0$, da dann die einzelnen Glieder monoton fallend sind. -Wenn wir es nun schaffen, die sehr ähnliche Zetafunktion mit der Etafunktion auszudrücken, dann haben die gesuchte Fortsetzung. -Die folgenden Schritte zeigen, wie man dazu kommt: +Wenn wir es nun schaffen, die sehr ähnliche Zetafunktion durch die Etafunktion auszudrücken, dann haben die gesuchte Fortsetzung. +Zuerst wiederholen wir zweimal die Definition der Zetafunktion \eqref{zeta:equation1}, wobei wir sie einmal durch $2^{s-1}$ teilen \begin{align} \zeta(s) &= @@ -26,8 +26,10 @@ Die folgenden Schritte zeigen, wie man dazu kommt: \zeta(s) &= \sum_{n=1}^{\infty} - \frac{2}{(2n)^s} \label{zeta:align2} - \\ + \frac{2}{(2n)^s}. \label{zeta:align2} +\end{align} +Durch Subtraktion der beiden Gleichungen \eqref{zeta:align1} minus \eqref{zeta:align2}, ergibt sich +\begin{align} \left(1 - \frac{1}{2^{s-1}} \right) \zeta(s) &= @@ -36,14 +38,15 @@ Die folgenden Schritte zeigen, wie man dazu kommt: + \frac{1}{3^s} \underbrace{-\frac{2}{4^s} + \frac{1}{4^s}}_{-\frac{1}{4^s}} \ldots - && \text{\eqref{zeta:align1}} - \text{\eqref{zeta:align2}} - \\ - &= \eta(s) \\ + &= \eta(s). +\end{align} +Dies ist die Fortsetzung auf den noch unbekannten Bereich $0 < \Re(s) < 1$ +\begin{equation} \zeta(s) - &= + := \left(1 - \frac{1}{2^{s-1}} \right)^{-1} \eta(s). -\end{align} +\end{equation} \subsection{Fortsetzung auf ganz $\mathbb{C}$} \label{zeta:subsection:auf_ganz} Für die Fortsetzung auf den Rest von $\mathbb{C}$, verwenden wir den Zusammenhang von Gamma- und Zetafunktion aus \ref{zeta:section:zusammenhang_mit_gammafunktion}. @@ -61,7 +64,7 @@ Nun substituieren wir $t$ mit $t = \pi n^2 x$ und $dt=\pi n^2 dx$ und erhalten (\pi n^2)^{\frac{s}{2}} x^{\frac{s}{2}-1} e^{-\pi n^2 x} - dx + \,dx && \text{Division durch } (\pi n^2)^{\frac{s}{2}} \\ \frac{\Gamma \left( \frac{s}{2} \right)}{\pi^{\frac{s}{2}} n^s} @@ -69,7 +72,7 @@ Nun substituieren wir $t$ mit $t = \pi n^2 x$ und $dt=\pi n^2 dx$ und erhalten \int_0^{\infty} x^{\frac{s}{2}-1} e^{-\pi n^2 x} - dx + \,dx && \text{Zeta durch Summenbildung } \sum_{n=1}^{\infty} \\ \frac{\Gamma \left( \frac{s}{2} \right)}{\pi^{\frac{s}{2}}} @@ -79,7 +82,7 @@ Nun substituieren wir $t$ mit $t = \pi n^2 x$ und $dt=\pi n^2 dx$ und erhalten x^{\frac{s}{2}-1} \sum_{n=1}^{\infty} e^{-\pi n^2 x} - dx. \label{zeta:equation:integral1} + \,dx. \label{zeta:equation:integral1} \end{align} Die Summe kürzen wir ab als $\psi(x) = \sum_{n=1}^{\infty} e^{-\pi n^2 x}$. %TODO Wieso folgendes -> aus Fourier Signal @@ -97,82 +100,103 @@ Zunächst teilen wir nun das Integral aus \eqref{zeta:equation:integral1} auf al \int_0^{\infty} x^{\frac{s}{2}-1} \psi(x) - dx + \,dx = + \underbrace{ \int_0^{1} x^{\frac{s}{2}-1} \psi(x) - dx + \,dx + }_{I_1} + + \underbrace{ \int_1^{\infty} x^{\frac{s}{2}-1} \psi(x) - dx, + \,dx + }_{I_2} + = + I_1 + I_2, \end{equation} -wobei wir uns nun auf den ersten Teil konzentrieren werden. -Dabei setzen wir das Wissen aus \eqref{zeta:equation:psi} ein und erhalten +wobei wir uns nun auf den ersten Teil $I_1$ konzentrieren werden. +Dabei setzen wir die Definition von $\psi(x)$ aus \eqref{zeta:equation:psi} ein und erhalten \begin{align} + I_1 + = \int_0^{1} x^{\frac{s}{2}-1} \psi(x) - dx + \,dx &= \int_0^{1} x^{\frac{s}{2}-1} \left( - \frac{1}{2} + \frac{\psi\left(\frac{1}{x} \right)}{\sqrt{x}} - + \frac{1}{2 \sqrt{x}}. + + \frac{1}{2 \sqrt{x}} \right) - dx + \,dx \\ &= \int_0^{1} x^{\frac{s}{2}-\frac{3}{2}} \psi \left( \frac{1}{x} \right) + \frac{1}{2} - \left( + \biggl( x^{\frac{s}{2}-\frac{3}{2}} - x^{\frac{s}{2}-1} - \right) - dx + \biggl) + \,dx \\ &= + \underbrace{ \int_0^{1} x^{\frac{s}{2}-\frac{3}{2}} \psi \left( \frac{1}{x} \right) - dx - + \frac{1}{2} + \,dx + }_{I_3} + + + \underbrace{ + \frac{1}{2} \int_0^1 x^{\frac{s}{2}-\frac{3}{2}} - x^{\frac{s}{2}-1} - dx. \label{zeta:equation:integral3} + \,dx + }_{I_4}. \label{zeta:equation:integral3} \end{align} -Dabei kann das zweite Integral gelöst werden als +Dabei kann das zweite Integral $I_4$ gelöst werden als \begin{equation} + I_4 + = \frac{1}{2} \int_0^1 x^{\frac{s}{2}-\frac{3}{2}} - x^{\frac{s}{2}-1} - dx + \,dx = \frac{1}{s(s-1)}. \end{equation} -Das erste Integral aus \eqref{zeta:equation:integral3} mit $\psi \left(\frac{1}{x} \right)$ ist nicht lösbar in dieser Form. +Das erste Integral $I_3$ aus \eqref{zeta:equation:integral3} mit $\psi \left(\frac{1}{x} \right)$ ist nicht lösbar in dieser Form. Deshalb substituieren wir $x = \frac{1}{u}$ und $dx = -\frac{1}{u^2}du$. Die untere Integralgrenze wechselt ebenfalls zu $x_0 = 0 \rightarrow u_0 = \infty$. Dies ergibt \begin{align} + I_3 + = \int_{\infty}^{1} - {\frac{1}{u}}^{\frac{s}{2}-\frac{3}{2}} + \left( + \frac{1}{u} + \right)^{\frac{s}{2}-\frac{3}{2}} \psi(u) \frac{-du}{u^2} &= \int_{1}^{\infty} - {\frac{1}{u}}^{\frac{s}{2}-\frac{3}{2}} + \left( + \frac{1}{u} + \right)^{\frac{s}{2}-\frac{3}{2}} \psi(u) \frac{du}{u^2} \\ @@ -180,21 +204,23 @@ Dies ergibt \int_{1}^{\infty} x^{(-1) \left(\frac{s}{2}+\frac{1}{2}\right)} \psi(x) - dx, + \,dx, \end{align} wobei wir durch Multiplikation mit $(-1)$ die Integralgrenzen tauschen dürfen. Es ist zu beachten das diese Grenzen nun identisch mit den Grenzen des zweiten Integrals von \eqref{zeta:equation:integral2} sind. Wir setzen beide Lösungen ein in Gleichung \eqref{zeta:equation:integral3} und erhalten \begin{equation} + I_1 + = \int_0^{1} x^{\frac{s}{2}-1} \psi(x) - dx + \,dx = \int_{1}^{\infty} x^{(-1) \left(\frac{s}{2}+\frac{1}{2}\right)} \psi(x) - dx + \,dx + \frac{1}{s(s-1)}. \end{equation} @@ -206,12 +232,12 @@ Dieses Resultat setzen wir wiederum ein in \eqref{zeta:equation:integral2}, um s \int_0^{1} x^{\frac{s}{2}-1} \psi(x) - dx + \,dx + \int_1^{\infty} x^{\frac{s}{2}-1} \psi(x) - dx + \,dx \nonumber \\ &= @@ -220,12 +246,12 @@ Dieses Resultat setzen wir wiederum ein in \eqref{zeta:equation:integral2}, um s \int_{1}^{\infty} x^{(-1) \left(\frac{s}{2}+\frac{1}{2}\right)} \psi(x) - dx + \,dx + \int_1^{\infty} x^{\frac{s}{2}-1} \psi(x) - dx + \,dx \\ &= \frac{1}{s(s-1)} @@ -237,7 +263,7 @@ Dieses Resultat setzen wir wiederum ein in \eqref{zeta:equation:integral2}, um s x^{\frac{s}{2}-1} \right) \psi(x) - dx + \,dx \\ &= \frac{-1}{s(1-s)} @@ -249,7 +275,7 @@ Dieses Resultat setzen wir wiederum ein in \eqref{zeta:equation:integral2}, um s x^{\frac{s}{2}} \right) \frac{\psi(x)}{x} - dx, + \,dx, \end{align} zu erhalten. Wenn wir dieses Resultat genau anschauen, erkennen wir dass sich nichts verändert wenn $s$ mit $1-s$ ersetzt wird. @@ -261,4 +287,4 @@ Somit haben wir die analytische Fortsetzung gefunden als \frac{\Gamma \left( \frac{1-s}{2} \right)}{\pi^{\frac{1-s}{2}}} \zeta(1-s). \end{equation} - +%TODO Definitionen und Gleichungen klarer unterscheiden -- cgit v1.2.1 From 14b48dfeb636fe25b0745a2ab617cc5d307c06e6 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: runterer Date: Thu, 26 May 2022 20:38:30 +0200 Subject: =?UTF-8?q?tikz=20und=20eulerprodukt=20hinzugef=C3=BCgt?= MIME-Version: 1.0 Content-Type: text/plain; charset=UTF-8 Content-Transfer-Encoding: 8bit --- buch/papers/zeta/analytic_continuation.tex | 23 +++++++++++++++++++++-- 1 file changed, 21 insertions(+), 2 deletions(-) (limited to 'buch/papers/zeta/analytic_continuation.tex') diff --git a/buch/papers/zeta/analytic_continuation.tex b/buch/papers/zeta/analytic_continuation.tex index 5e09e42..408a1f7 100644 --- a/buch/papers/zeta/analytic_continuation.tex +++ b/buch/papers/zeta/analytic_continuation.tex @@ -1,7 +1,26 @@ \section{Analytische Fortsetzung} \label{zeta:section:analytische_fortsetzung} \rhead{Analytische Fortsetzung} -%TODO missing Text +Die analytische Fortsetzung der Riemannschen Zetafunktion ist äusserst interessant. +Sie ermöglicht die Berechnung von $\zeta(-1)$ und weiterer spannender Werte. +So liegen zum Beispiel unendlich viele Nullstellen der Zetafunktion bei $\Re(s) = 0.5$. +Diese sind relevant für die Primzahlverteilung und sind Gegenstand der Riemannschen Vermutung. + +Es werden zwei verschiedene Fortsetzungen benötigt. +Die erste erweitert die Zetafunktion auf $\Re(s) > 0$. +Die zweite verwendet eine Spiegelung an der $\Re(s) = 0.5$ Linie und erschliesst damit die ganze komplexe Ebene. +Eine grafische Darstellung dieses Plans ist in Abbildung \ref{zeta:fig:continuation_overview} zu sehen. +\begin{figure} + \centering + \input{papers/zeta/continuation_overview.tikz.tex} + \caption{ + Die verschiedenen Abschnitte der Riemannschen Zetafunktion. + Die originale Definition von \eqref{zeta:equation1} ist im grünen Bereich gültig. + Für den blauen Bereich gilt \eqref{zeta:equation:fortsetzung1}. + Um den roten Bereich zu bekommen verwendet die Funktionalgleichung \eqref{zeta:equation:functional} eine Spiegelung an $\Re(s) = 0.5$. + } + \label{zeta:fig:continuation_overview} +\end{figure} \subsection{Fortsetzung auf $\Re(s) > 0$} \label{zeta:subsection:auf_bereich_ge_0} Zuerst definieren die Dirichletsche Etafunktion als @@ -42,7 +61,7 @@ Durch Subtraktion der beiden Gleichungen \eqref{zeta:align1} minus \eqref{zeta:a &= \eta(s). \end{align} Dies ist die Fortsetzung auf den noch unbekannten Bereich $0 < \Re(s) < 1$ -\begin{equation} +\begin{equation} \label{zeta:equation:fortsetzung1} \zeta(s) := \left(1 - \frac{1}{2^{s-1}} \right)^{-1} \eta(s). -- cgit v1.2.1 From 7459c95431d89576126a6a0007238592a4f5f033 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: runterer Date: Fri, 27 May 2022 20:10:13 +0200 Subject: Minor improvements --- buch/papers/zeta/analytic_continuation.tex | 26 ++++++++++++++------------ 1 file changed, 14 insertions(+), 12 deletions(-) (limited to 'buch/papers/zeta/analytic_continuation.tex') diff --git a/buch/papers/zeta/analytic_continuation.tex b/buch/papers/zeta/analytic_continuation.tex index 408a1f7..40424e0 100644 --- a/buch/papers/zeta/analytic_continuation.tex +++ b/buch/papers/zeta/analytic_continuation.tex @@ -14,7 +14,7 @@ Eine grafische Darstellung dieses Plans ist in Abbildung \ref{zeta:fig:continuat \centering \input{papers/zeta/continuation_overview.tikz.tex} \caption{ - Die verschiedenen Abschnitte der Riemannschen Zetafunktion. + Die verschiedenen Abschnitte der Riemannschen Zetafunktion. Die originale Definition von \eqref{zeta:equation1} ist im grünen Bereich gültig. Für den blauen Bereich gilt \eqref{zeta:equation:fortsetzung1}. Um den roten Bereich zu bekommen verwendet die Funktionalgleichung \eqref{zeta:equation:functional} eine Spiegelung an $\Re(s) = 0.5$. @@ -76,33 +76,35 @@ Wir beginnen damit, die Gammafunktion für den halben Funktionswert zu berechnen \int_0^{\infty} t^{\frac{s}{2}-1} e^{-t} dt. \end{equation} Nun substituieren wir $t$ mit $t = \pi n^2 x$ und $dt=\pi n^2 dx$ und erhalten -\begin{align} +\begin{equation} \Gamma \left( \frac{s}{2} \right) - &= + = \int_0^{\infty} (\pi n^2)^{\frac{s}{2}} x^{\frac{s}{2}-1} e^{-\pi n^2 x} - \,dx - && \text{Division durch } (\pi n^2)^{\frac{s}{2}} - \\ + \,dx. +\end{equation} +Analog zum Abschnitt \ref{zeta:section:zusammenhang_mit_gammafunktion} teilen wir durch $(\pi n^2)^{\frac{s}{2}}$ +\begin{equation} \frac{\Gamma \left( \frac{s}{2} \right)}{\pi^{\frac{s}{2}} n^s} - &= + = \int_0^{\infty} x^{\frac{s}{2}-1} e^{-\pi n^2 x} - \,dx - && \text{Zeta durch Summenbildung } \sum_{n=1}^{\infty} - \\ + \,dx, +\end{equation} +und finden Zeta durch die Summenbildung $\sum_{n=1}^{\infty}$ +\begin{equation} \frac{\Gamma \left( \frac{s}{2} \right)}{\pi^{\frac{s}{2}}} \zeta(s) - &= + = \int_0^{\infty} x^{\frac{s}{2}-1} \sum_{n=1}^{\infty} e^{-\pi n^2 x} \,dx. \label{zeta:equation:integral1} -\end{align} +\end{equation} Die Summe kürzen wir ab als $\psi(x) = \sum_{n=1}^{\infty} e^{-\pi n^2 x}$. %TODO Wieso folgendes -> aus Fourier Signal Es gilt -- cgit v1.2.1 From 42a5955183a1bc0678158c61fd6189c39d305697 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: runterer Date: Fri, 27 May 2022 23:29:56 +0200 Subject: added poissonsche summenformel --- buch/papers/zeta/analytic_continuation.tex | 176 ++++++++++++++++++++++++++++- 1 file changed, 171 insertions(+), 5 deletions(-) (limited to 'buch/papers/zeta/analytic_continuation.tex') diff --git a/buch/papers/zeta/analytic_continuation.tex b/buch/papers/zeta/analytic_continuation.tex index 40424e0..0ccc116 100644 --- a/buch/papers/zeta/analytic_continuation.tex +++ b/buch/papers/zeta/analytic_continuation.tex @@ -106,15 +106,65 @@ und finden Zeta durch die Summenbildung $\sum_{n=1}^{\infty}$ \,dx. \label{zeta:equation:integral1} \end{equation} Die Summe kürzen wir ab als $\psi(x) = \sum_{n=1}^{\infty} e^{-\pi n^2 x}$. -%TODO Wieso folgendes -> aus Fourier Signal -Es gilt +Im Abschnitt \ref{zeta:subsec:poisson_summation} wird die poissonsche Summenformel $\sum f(n) = \sum F(n)$ bewiesen. +In unserem Problem ist $f(n) = e^{-\pi n^2 x}$ und die zugehörige Fouriertransformation $F(n)$ ist +\begin{equation} + F(n) + = + \mathcal{F} + ( + e^{-\pi n^2 x} + ) + = + \frac{1}{\sqrt{x}} + e^{\frac{-n^2 \pi}{x}}. +\end{equation} +Dadurch ergibt sich \begin{equation}\label{zeta:equation:psi} - \psi(x) + \sum_{n=-\infty}^{\infty} + e^{-\pi n^2 x} = + \frac{1}{\sqrt{x}} + \sum_{n=-\infty}^{\infty} + e^{\frac{-n^2 \pi}{x}}, +\end{equation} +wobei wir die Summen so verändern müssen, dass sie bei $n=1$ beginnen und wir $\psi(x)$ erhalten als +\begin{align} + 2 + \sum_{n=1}^{\infty} + e^{-\pi n^2 x} + + + 1 + &= + \frac{1}{\sqrt{x}} + \left( + 2 + \sum_{n=1}^{\infty} + e^{\frac{-n^2 \pi}{x}} + + + 1 + \right) + \\ + 2 + \psi(x) + + + 1 + &= + \frac{1}{\sqrt{x}} + \left( + 2 + \psi\left(\frac{1}{x}\right) + + + 1 + \right) + \\ + \psi(x) + &= - \frac{1}{2} + \frac{\psi\left(\frac{1}{x} \right)}{\sqrt{x}} - + \frac{1}{2 \sqrt{x}}. -\end{equation} + + \frac{1}{2 \sqrt{x}}.\label{zeta:equation:psi} +\end{align} +Diese Gleichung wird später wichtig werden. Zunächst teilen wir nun das Integral aus \eqref{zeta:equation:integral1} auf als \begin{equation}\label{zeta:equation:integral2} @@ -309,3 +359,119 @@ Somit haben wir die analytische Fortsetzung gefunden als \zeta(1-s). \end{equation} %TODO Definitionen und Gleichungen klarer unterscheiden + +\subsection{Poissonsche Summenformel} \label{zeta:subsec:poisson_summation} + +Der Beweis für Gleichung \ref{zeta:equation:psi} folgt direkt durch die poissonsche Summenformel. +Um diese zu beweisen, berechnen wir zunächst die Fourierreihe der Dirac Delta Funktion. + +\begin{lemma} + Die Fourierreihe der periodischen Dirac Delta Funktion $\sum \delta(x - 2\pi k)$ ist + \begin{equation} \label{zeta:equation:fourier_dirac} + \sum_{k=-\infty}^{\infty} + \delta(x - 2\pi k) + = + \frac{1}{2\pi} + \sum_{n=-\infty}^{\infty} + e^{i n x}. + \end{equation} +\end{lemma} + +\begin{proof}[Beweis] + Eine Fourierreihe einer beliebigen periodischen Funktion $f(x)$ berechnet sich als + \begin{align} + f(x) + &= + \sum_{n=-\infty}^{\infty} + c_n + e^{i n x} \\ + c_n + &= + \frac{1}{2\pi} + \int_{-\pi}^{\pi} + f(x) + e^{-i n x} + \, dx. + \end{align} + Wenn $f(x)=\delta(x)$ eingesetz wird ergeben sich konstante Koeffizienten + \begin{equation} + c_n + = + \frac{1}{2\pi} + \int_{-\pi}^{\pi} + \delta(x) + e^{-i n x} + \, dx + = + \frac{1}{2\pi}, + \end{equation} + womit die sehr einfache Fourierreihe der Dirac Delta Funktion berechnet wäre. +\end{proof} + +\begin{satz}[Poissonsche Summernformel] + Die Summe einer Funktion $f(n)$ über alle ganzen Zahlen $n$ ist äquivalent zur Summe ihrer Fouriertransformation $F(k)$ über alle ganzen Zahlen $k$ + \begin{equation} + \sum_{n=-\infty}^{\infty} + f(n) + = + \sum_{k=-\infty}^{\infty} + F(k). + \end{equation} +\end{satz} + +\begin{proof}[Beweis] + Wir schreiben die Summe über die Fouriertransformation aus + \begin{align} + \sum_{k=-\infty}^{\infty} + F(k) + &= + \sum_{k=-\infty}^{\infty} + \int_{-\infty}^{\infty} + f(x) + e^{-i 2\pi x k} + \, dx + \\ + &= + \int_{-\infty}^{\infty} + f(x) + \underbrace{ + \sum_{k=-\infty}^{\infty} + e^{-i 2\pi x k} + }_{\text{\eqref{zeta:equation:fourier_dirac}}} + \, dx, + \end{align} + und verwenden die Fouriertransformation der Dirac Funktion aus \eqref{zeta:equation:fourier_dirac} + \begin{align} + \sum_{k=-\infty}^{\infty} + e^{-i 2\pi x k} + &= + 2 \pi + \sum_{k=-\infty}^{\infty} + \delta(-2\pi x - 2\pi k) + \\ + &= + \frac{2 \pi}{2 \pi} + \sum_{k=-\infty}^{\infty} + \delta(x + k). + \end{align} + Wenn wir dies einsetzen und erhalten wir den gesuchten Beweis für die poissonsche Summenformel + \begin{equation} + \sum_{k=-\infty}^{\infty} + F(k) + = + \int_{-\infty}^{\infty} + f(x) + \sum_{k=-\infty}^{\infty} + \delta(x + k) + \, dx + = + \sum_{k=-\infty}^{\infty} + \int_{-\infty}^{\infty} + f(x) + \delta(x + k) + \, dx + = + \sum_{k=-\infty}^{\infty} + f(k). + \end{equation} +\end{proof} -- cgit v1.2.1