From 96ac18247b4b63c31f36971b7b4afeb189fafe85 Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: runterer <r.unterer@gmx.ch>
Date: Sat, 6 Aug 2022 16:02:56 +0200
Subject: simple corrections

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 buch/papers/zeta/analytic_continuation.tex | 69 +++++++++++++++++++-----------
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--- a/buch/papers/zeta/analytic_continuation.tex
+++ b/buch/papers/zeta/analytic_continuation.tex
@@ -3,12 +3,12 @@
 
 Die analytische Fortsetzung der Riemannschen Zetafunktion ist äusserst interessant.
 Sie ermöglicht die Berechnung von $\zeta(-1)$ und weiterer spannender Werte.
-So liegen zum Beispiel unendlich viele Nullstellen der Zetafunktion bei $\Re(s) = 0.5$.
+So liegen zum Beispiel unendlich viele Nullstellen der Zetafunktion bei $\Re(s) = \frac{1}{2}$.
 Diese sind relevant für die Primzahlverteilung und sind Gegenstand der Riemannschen Vermutung.
 
 Es werden zwei verschiedene Fortsetzungen benötigt.
 Die erste erweitert die Zetafunktion auf $\Re(s) > 0$.
-Die zweite verwendet eine Spiegelung an der $\Re(s) = 0.5$ Linie und erschliesst damit die ganze komplexe Ebene.
+Die zweite verwendet eine Spiegelung an der $\Re(s) = \frac{1}{2}$ Geraden und erschliesst damit die ganze komplexe Ebene.
 Eine grafische Darstellung dieses Plans ist in Abbildung \ref{zeta:fig:continuation_overview} zu sehen.
 \begin{figure}
     \centering
@@ -23,7 +23,7 @@ Eine grafische Darstellung dieses Plans ist in Abbildung \ref{zeta:fig:continuat
 \end{figure}
 
 \subsection{Fortsetzung auf $\Re(s) > 0$} \label{zeta:subsection:auf_bereich_ge_0}
-Zuerst definieren die Dirichletsche Etafunktion als
+Zuerst definieren wir die Dirichletsche Etafunktion als
 \begin{equation}\label{zeta:equation:eta}
     \eta(s)
     =
@@ -36,26 +36,40 @@ Diese Etafunktion konvergiert gemäss dem Leibnitz-Kriterium im Bereich $\Re(s)
 Wenn wir es nun schaffen, die sehr ähnliche Zetafunktion durch die Etafunktion auszudrücken, dann haben die gesuchte Fortsetzung.
 Zuerst wiederholen wir zweimal die Definition der Zetafunktion \eqref{zeta:equation1}, wobei wir sie einmal durch $2^{s-1}$ teilen
 \begin{align}
-    \zeta(s)
+    \color{red}
+        \zeta(s)
     &=
     \sum_{n=1}^{\infty}
-    \frac{1}{n^s} \label{zeta:align1}
+    \color{red}
+        \frac{1}{n^s} \label{zeta:align1}
     \\
-    \frac{1}{2^{s-1}}
-    \zeta(s)
+    \color{blue}
+        \frac{1}{2^{s-1}}
+        \zeta(s)
     &=
     \sum_{n=1}^{\infty}
-    \frac{2}{(2n)^s}. \label{zeta:align2}
+    \color{blue}
+        \frac{2}{(2n)^s}. \label{zeta:align2}
 \end{align}
 Durch Subtraktion der beiden Gleichungen \eqref{zeta:align1} minus \eqref{zeta:align2}, ergibt sich
 \begin{align}
-    \left(1 - \frac{1}{2^{s-1}} \right)
+    \left({\color{red}1} - {\color{blue}\frac{1}{2^{s-1}}} \right)
     \zeta(s)
     &=
-    \frac{1}{1^s}
-    \underbrace{-\frac{2}{2^s} + \frac{1}{2^s}}_{-\frac{1}{2^s}}
-    + \frac{1}{3^s}
-    \underbrace{-\frac{2}{4^s} + \frac{1}{4^s}}_{-\frac{1}{4^s}}
+    {\color{red}\frac{1}{1^s}}
+    \underbrace{
+    -
+    {\color{blue}\frac{2}{2^s}}
+    +
+    {\color{red}\frac{1}{2^s}}
+    }_{-\frac{1}{2^s}}
+    +
+    {\color{red}\frac{1}{3^s}}
+    \underbrace{-
+    {\color{blue}\frac{2}{4^s}}
+    +
+    {\color{red}\frac{1}{4^s}}
+    }_{-\frac{1}{4^s}}
     \ldots
     \\
     &= \eta(s).
@@ -87,14 +101,15 @@ Nun substituieren wir $t$ mit $t = \pi n^2 x$ und $dt=\pi n^2 dx$ und erhalten
 \end{equation}
 Analog zum Abschnitt \ref{zeta:section:zusammenhang_mit_gammafunktion} teilen wir durch $(\pi n^2)^{\frac{s}{2}}$
 \begin{equation}
-    \frac{\Gamma \left( \frac{s}{2} \right)}{\pi^{\frac{s}{2}} n^s}
+    \frac{\Gamma \left( \frac{s}{2} \right)}{\pi^{\frac{s}{2}}}
+    \frac{1}{n^s}
      =
     \int_0^{\infty}
     x^{\frac{s}{2}-1}
     e^{-\pi n^2 x}
     \,dx,
 \end{equation}
-und finden Zeta durch die Summenbildung $\sum_{n=1}^{\infty}$
+und finden $\zeta(s)$ durch die Summenbildung $\sum_{n=1}^{\infty}$
 \begin{equation}
     \frac{\Gamma \left( \frac{s}{2} \right)}{\pi^{\frac{s}{2}}}
     \zeta(s)
@@ -137,13 +152,13 @@ wobei wir die Summen so verändern müssen, dass sie bei $n=1$ beginnen und wir
     1
     &=
     \frac{1}{\sqrt{x}}
-    \left(
+    \Biggl(
     2
     \sum_{n=1}^{\infty}
     e^{\frac{-n^2 \pi}{x}}
     +
     1
-    \right)
+    \Biggr)
     \\
     2
     \psi(x)
@@ -189,7 +204,7 @@ Zunächst teilen wir nun das Integral aus \eqref{zeta:equation:integral1} auf al
     =
     I_1 + I_2,
 \end{equation}
-wobei wir uns nun auf den ersten Teil $I_1$ konzentrieren werden.
+wobei wir uns zunächst auf den ersten Teil $I_1$ konzentrieren werden.
 Dabei setzen wir die Definition von $\psi(x)$ aus \eqref{zeta:equation:psi} ein und erhalten
 \begin{align}
     I_1
@@ -201,11 +216,11 @@ Dabei setzen wir die Definition von $\psi(x)$ aus \eqref{zeta:equation:psi} ein
     &=
     \int_0^{1}
     x^{\frac{s}{2}-1}
-    \left(
+    \Biggl(
     - \frac{1}{2}
     + \frac{\psi\left(\frac{1}{x} \right)}{\sqrt{x}}
     + \frac{1}{2 \sqrt{x}}
-    \right)
+    \Biggr)
     \,dx
     \\
     &=
@@ -237,7 +252,7 @@ Dabei setzen wir die Definition von $\psi(x)$ aus \eqref{zeta:equation:psi} ein
     \,dx
     }_{I_4}. \label{zeta:equation:integral3}
 \end{align}
-Dabei kann das zweite Integral $I_4$ gelöst werden als
+Darin kann das zweite Integral $I_4$ gelöst werden als
 \begin{equation}
     I_4
     =
@@ -278,8 +293,8 @@ Dies ergibt
     \,dx,
 \end{align}
 wobei wir durch Multiplikation mit $(-1)$ die Integralgrenzen tauschen dürfen.
-Es ist zu beachten das diese Grenzen nun identisch mit den Grenzen des zweiten Integrals von \eqref{zeta:equation:integral2} sind.
-Wir setzen beide Lösungen ein in Gleichung \eqref{zeta:equation:integral3} und erhalten
+Es ist zu beachten das diese Grenzen nun identisch mit den Grenzen des zweiten Integrals $I_2$ von \eqref{zeta:equation:integral2} sind.
+Wir setzen beide Lösungen in Gleichung \eqref{zeta:equation:integral3} ein und erhalten
 \begin{equation}
     I_1
     =
@@ -356,17 +371,19 @@ Somit haben wir die analytische Fortsetzung gefunden als
     \zeta(s)
     =
     \frac{\Gamma \left( \frac{1-s}{2} \right)}{\pi^{\frac{1-s}{2}}}
-    \zeta(1-s).
+    \zeta(1-s),
 \end{equation}
+was einer Spiegelung an der $\Re(s) = \frac{1}{2}$ Geraden entspricht.
+Eine ganz ähnliche Spiegelungseigenschaft wurde bereits in Kapitel \ref{buch:funktionentheorie:subsection:gammareflektion} für die Gammafunktion gefunden.
 %TODO Definitionen und Gleichungen klarer unterscheiden
 
 \subsection{Poissonsche Summenformel} \label{zeta:subsec:poisson_summation}
 
-Der Beweis für Gleichung \ref{zeta:equation:psi} folgt direkt durch die poissonsche Summenformel.
+Der Beweis für Gleichung \eqref{zeta:equation:psi} folgt direkt durch die poissonsche Summenformel.
 Um diese zu beweisen, berechnen wir zunächst die Fourierreihe der Dirac Delta Funktion.
 
 \begin{lemma}
-    Die Fourierreihe der periodischen Dirac Delta Funktion $\sum \delta(x - 2\pi k)$ ist
+    Die Fourierreihe der periodischen Dirac $\delta$ Funktion $\sum \delta(x - 2\pi k)$ ist
     \begin{equation} \label{zeta:equation:fourier_dirac}
         \sum_{k=-\infty}^{\infty}
         \delta(x - 2\pi k)
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cgit v1.2.1

