From 96ac18247b4b63c31f36971b7b4afeb189fafe85 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: runterer Date: Sat, 6 Aug 2022 16:02:56 +0200 Subject: simple corrections --- buch/papers/zeta/euler_product.tex | 2 +- 1 file changed, 1 insertion(+), 1 deletion(-) (limited to 'buch/papers/zeta/euler_product.tex') diff --git a/buch/papers/zeta/euler_product.tex b/buch/papers/zeta/euler_product.tex index a6ed512..5f4f5ca 100644 --- a/buch/papers/zeta/euler_product.tex +++ b/buch/papers/zeta/euler_product.tex @@ -64,7 +64,7 @@ Die Verteilung der Primzahlen ist Gegenstand der Riemannschen Vermutung, welche \begin{equation} n = \prod_i p_i^{k_i} \quad \forall \quad n \in \mathbb{N}. \end{equation} - Jeder Summand der Summen in \eqref{zeta:equation:eulerprodukt2} ist somit eine Zahl $n$. + Jeder Summand der Summen in \eqref{zeta:equation:eulerprodukt2} ist somit der Kehrwert genau einer natürlichen Zahl $n \in \mathbb{N}$. Da die Summen alle möglichen Kombinationen von Exponenten und Primzahlen in \eqref{zeta:equation:eulerprodukt2} enthält haben wir \begin{equation} \sum_{k_1=0}^{\infty} -- cgit v1.2.1 From 77dfbc3727334b88dcf19c673d9ef9812df1806a Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: runterer Date: Sun, 7 Aug 2022 17:30:30 +0200 Subject: wip conlcusion not finished --- buch/papers/zeta/euler_product.tex | 11 ++++++----- 1 file changed, 6 insertions(+), 5 deletions(-) (limited to 'buch/papers/zeta/euler_product.tex') diff --git a/buch/papers/zeta/euler_product.tex b/buch/papers/zeta/euler_product.tex index 5f4f5ca..7915c84 100644 --- a/buch/papers/zeta/euler_product.tex +++ b/buch/papers/zeta/euler_product.tex @@ -1,9 +1,9 @@ \section{Eulerprodukt} \label{zeta:section:eulerprodukt} \rhead{Eulerprodukt} -Das Eulerprodukt stellt die Verbindung der Zetafunktion und der Primzahlen her. -Diese Verbindung ist sehr wichtig, da durch sie eine Aussage zur Primzahlverteilung gemacht werden kann. -Die Verteilung der Primzahlen ist Gegenstand der Riemannschen Vermutung, welche eines der grössten ungelösten Probleme der Mathematik ist. +Das Eulerprodukt stellt die gesuchte Verbindung der Zetafunktion und der Primzahlen her. +Wie der Name bereits sagt, wurde das Eulerprodukt bereits 1727 von Euler entdeckt. +Um daraus die Riemannsche Vermutung herzuleiten, wäre aber noch einiges mehr nötig. \begin{satz} Für alle Zahlen $s$ mit $\Re(s) > 1$ ist die Zetafunktion identisch mit dem unendlichen Eulerprodukt @@ -65,7 +65,7 @@ Die Verteilung der Primzahlen ist Gegenstand der Riemannschen Vermutung, welche n = \prod_i p_i^{k_i} \quad \forall \quad n \in \mathbb{N}. \end{equation} Jeder Summand der Summen in \eqref{zeta:equation:eulerprodukt2} ist somit der Kehrwert genau einer natürlichen Zahl $n \in \mathbb{N}$. - Da die Summen alle möglichen Kombinationen von Exponenten und Primzahlen in \eqref{zeta:equation:eulerprodukt2} enthält haben wir + Da die Summen alle möglichen Kombinationen von Exponenten und Primzahlen in \eqref{zeta:equation:eulerprodukt2} enthält, haben wir \begin{equation} \sum_{k_1=0}^{\infty} \sum_{k_2=0}^{\infty} @@ -79,7 +79,8 @@ Die Verteilung der Primzahlen ist Gegenstand der Riemannschen Vermutung, welche \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^s} = - \zeta(s) + \zeta(s), \end{equation} + wodurch das Eulerprudukt bewiesen ist. \end{proof} -- cgit v1.2.1 From 970e6a8a2b2371834e8a4ff42123da59e3990fe4 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: runterer Date: Tue, 9 Aug 2022 21:59:31 +0200 Subject: Finished --- buch/papers/zeta/euler_product.tex | 14 +++++++------- 1 file changed, 7 insertions(+), 7 deletions(-) (limited to 'buch/papers/zeta/euler_product.tex') diff --git a/buch/papers/zeta/euler_product.tex b/buch/papers/zeta/euler_product.tex index 7915c84..9c08dd2 100644 --- a/buch/papers/zeta/euler_product.tex +++ b/buch/papers/zeta/euler_product.tex @@ -28,9 +28,9 @@ Um daraus die Riemannsche Vermutung herzuleiten, wäre aber noch einiges mehr n = \prod_{p \in P} \sum_{k_i=0}^{\infty} - \left( + \biggl( \frac{1}{p_i^s} - \right)^{k_i} + \biggr)^{k_i} = \prod_{p \in P} \sum_{k_i=0}^{\infty} @@ -53,11 +53,11 @@ Um daraus die Riemannsche Vermutung herzuleiten, wäre aber noch einiges mehr n \sum_{k_1=0}^{\infty} \sum_{k_2=0}^{\infty} \ldots - \left( + \biggl( \frac{1}{p_1^{k_1}} \frac{1}{p_2^{k_2}} \ldots - \right)^s. + \biggr)^s. \label{zeta:equation:eulerprodukt2} \end{align} Der Fundamentalsatz der Arithmetik (Primfaktorzerlegung) besagt, dass jede beliebige Zahl $n \in \mathbb{N}$ durch eine eindeutige Primfaktorzerlegung beschrieben werden kann @@ -70,17 +70,17 @@ Um daraus die Riemannsche Vermutung herzuleiten, wäre aber noch einiges mehr n \sum_{k_1=0}^{\infty} \sum_{k_2=0}^{\infty} \ldots - \left( + \biggl( \frac{1}{p_1^{k_1}} \frac{1}{p_2^{k_2}} \ldots - \right)^s + \biggr)^s = \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^s} = \zeta(s), \end{equation} - wodurch das Eulerprudukt bewiesen ist. + wodurch das Eulerprodukt bewiesen ist. \end{proof} -- cgit v1.2.1