From 96ac18247b4b63c31f36971b7b4afeb189fafe85 Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: runterer <r.unterer@gmx.ch>
Date: Sat, 6 Aug 2022 16:02:56 +0200
Subject: simple corrections

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 buch/papers/zeta/euler_product.tex | 2 +-
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diff --git a/buch/papers/zeta/euler_product.tex b/buch/papers/zeta/euler_product.tex
index a6ed512..5f4f5ca 100644
--- a/buch/papers/zeta/euler_product.tex
+++ b/buch/papers/zeta/euler_product.tex
@@ -64,7 +64,7 @@ Die Verteilung der Primzahlen ist Gegenstand der Riemannschen Vermutung, welche
     \begin{equation}
         n = \prod_i p_i^{k_i} \quad \forall \quad n \in \mathbb{N}.
     \end{equation}
-    Jeder Summand der Summen in \eqref{zeta:equation:eulerprodukt2} ist somit eine Zahl $n$.
+    Jeder Summand der Summen in \eqref{zeta:equation:eulerprodukt2} ist somit der Kehrwert genau einer natürlichen Zahl $n \in \mathbb{N}$.
     Da die Summen alle möglichen Kombinationen von Exponenten und Primzahlen in \eqref{zeta:equation:eulerprodukt2} enthält haben wir
     \begin{equation}
         \sum_{k_1=0}^{\infty}
-- 
cgit v1.2.1


From 77dfbc3727334b88dcf19c673d9ef9812df1806a Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: runterer <r.unterer@gmx.ch>
Date: Sun, 7 Aug 2022 17:30:30 +0200
Subject: wip conlcusion not finished

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 buch/papers/zeta/euler_product.tex | 11 ++++++-----
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diff --git a/buch/papers/zeta/euler_product.tex b/buch/papers/zeta/euler_product.tex
index 5f4f5ca..7915c84 100644
--- a/buch/papers/zeta/euler_product.tex
+++ b/buch/papers/zeta/euler_product.tex
@@ -1,9 +1,9 @@
 \section{Eulerprodukt} \label{zeta:section:eulerprodukt}
 \rhead{Eulerprodukt}
 
-Das Eulerprodukt stellt die Verbindung der Zetafunktion und der Primzahlen her.
-Diese Verbindung ist sehr wichtig, da durch sie eine Aussage zur Primzahlverteilung gemacht werden kann.
-Die Verteilung der Primzahlen ist Gegenstand der Riemannschen Vermutung, welche eines der grössten ungelösten Probleme der Mathematik ist.
+Das Eulerprodukt stellt die gesuchte Verbindung der Zetafunktion und der Primzahlen her.
+Wie der Name bereits sagt, wurde das Eulerprodukt bereits 1727 von Euler entdeckt.
+Um daraus die Riemannsche Vermutung herzuleiten, wäre aber noch einiges mehr nötig.
 
 \begin{satz}
     Für alle Zahlen $s$ mit $\Re(s) > 1$ ist die Zetafunktion identisch mit dem unendlichen Eulerprodukt
@@ -65,7 +65,7 @@ Die Verteilung der Primzahlen ist Gegenstand der Riemannschen Vermutung, welche
         n = \prod_i p_i^{k_i} \quad \forall \quad n \in \mathbb{N}.
     \end{equation}
     Jeder Summand der Summen in \eqref{zeta:equation:eulerprodukt2} ist somit der Kehrwert genau einer natürlichen Zahl $n \in \mathbb{N}$.
-    Da die Summen alle möglichen Kombinationen von Exponenten und Primzahlen in \eqref{zeta:equation:eulerprodukt2} enthält haben wir
+    Da die Summen alle möglichen Kombinationen von Exponenten und Primzahlen in \eqref{zeta:equation:eulerprodukt2} enthält, haben wir
     \begin{equation}
         \sum_{k_1=0}^{\infty}
         \sum_{k_2=0}^{\infty}
@@ -79,7 +79,8 @@ Die Verteilung der Primzahlen ist Gegenstand der Riemannschen Vermutung, welche
         \sum_{n=1}^\infty
         \frac{1}{n^s}
         =
-        \zeta(s)
+        \zeta(s),
     \end{equation}
+    wodurch das Eulerprudukt bewiesen ist.
 \end{proof}
 
-- 
cgit v1.2.1


From 970e6a8a2b2371834e8a4ff42123da59e3990fe4 Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: runterer <r.unterer@gmx.ch>
Date: Tue, 9 Aug 2022 21:59:31 +0200
Subject: Finished

---
 buch/papers/zeta/euler_product.tex | 14 +++++++-------
 1 file changed, 7 insertions(+), 7 deletions(-)

(limited to 'buch/papers/zeta/euler_product.tex')

diff --git a/buch/papers/zeta/euler_product.tex b/buch/papers/zeta/euler_product.tex
index 7915c84..9c08dd2 100644
--- a/buch/papers/zeta/euler_product.tex
+++ b/buch/papers/zeta/euler_product.tex
@@ -28,9 +28,9 @@ Um daraus die Riemannsche Vermutung herzuleiten, wäre aber noch einiges mehr n
         =
         \prod_{p \in P}
         \sum_{k_i=0}^{\infty}
-        \left(
+        \biggl(
         \frac{1}{p_i^s}
-        \right)^{k_i}
+        \biggr)^{k_i}
         =
         \prod_{p \in P}
         \sum_{k_i=0}^{\infty}
@@ -53,11 +53,11 @@ Um daraus die Riemannsche Vermutung herzuleiten, wäre aber noch einiges mehr n
         \sum_{k_1=0}^{\infty}
         \sum_{k_2=0}^{\infty}
         \ldots
-        \left(
+        \biggl(
         \frac{1}{p_1^{k_1}}
         \frac{1}{p_2^{k_2}}
         \ldots
-        \right)^s.
+        \biggr)^s.
         \label{zeta:equation:eulerprodukt2}
     \end{align}
     Der Fundamentalsatz der Arithmetik (Primfaktorzerlegung) besagt, dass jede beliebige Zahl $n \in \mathbb{N}$ durch eine eindeutige Primfaktorzerlegung beschrieben werden kann
@@ -70,17 +70,17 @@ Um daraus die Riemannsche Vermutung herzuleiten, wäre aber noch einiges mehr n
         \sum_{k_1=0}^{\infty}
         \sum_{k_2=0}^{\infty}
         \ldots
-        \left(
+        \biggl(
         \frac{1}{p_1^{k_1}}
         \frac{1}{p_2^{k_2}}
         \ldots
-        \right)^s
+        \biggr)^s
         =
         \sum_{n=1}^\infty
         \frac{1}{n^s}
         =
         \zeta(s),
     \end{equation}
-    wodurch das Eulerprudukt bewiesen ist.
+    wodurch das Eulerprodukt bewiesen ist.
 \end{proof}
 
-- 
cgit v1.2.1

