From 77dfbc3727334b88dcf19c673d9ef9812df1806a Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: runterer <r.unterer@gmx.ch>
Date: Sun, 7 Aug 2022 17:30:30 +0200
Subject: wip conlcusion not finished

---
 buch/papers/zeta/fazit.tex | 28 ++++++++++++++++++++++++++++
 1 file changed, 28 insertions(+)
 create mode 100644 buch/papers/zeta/fazit.tex

(limited to 'buch/papers/zeta/fazit.tex')

diff --git a/buch/papers/zeta/fazit.tex b/buch/papers/zeta/fazit.tex
new file mode 100644
index 0000000..f696f83
--- /dev/null
+++ b/buch/papers/zeta/fazit.tex
@@ -0,0 +1,28 @@
+\section{Fazit} \label{zeta:section:fazit}
+\rhead{Fazit}
+
+Ganz zu Beginn dieses Papers wurde die Behauptung erwähnt, dass die Summe aller natürlichen Zahlen $-\frac{1}{12}$ sei.
+Diese Summe ist nichts anderes als die Zetafunktion am Wert $s=-1$.
+Da wir die analytische Fortsetzung mit der Funktionalgleichung \eqref{zeta:equation:functional} gefunden haben, können wir diese Behauptung prüfen.
+Zunächst berechnen wir $\zeta(1-s) = \zeta(2) = \frac{\pi^2}{6}$, welches im konvergenten Bereich der Reihe liegt und auch bekannt ist als das Basler Problem.
+Somit haben wir
+\begin{align*}
+    \zeta(s) = \zeta(-1)
+    &=
+    \frac{\Gamma \left( \frac{1-s}{2} \right)}{\pi^{\frac{1-s}{2}}}
+    \zeta(1-s)
+    \frac{\pi^{\frac{s}{2}}}{\Gamma \left( \frac{s}{2} \right)}
+    \\
+    &=
+    \frac{\Gamma(1)}{\pi}
+    \frac{\pi^2}{6}
+    \frac{\pi^{\frac{-1}{2}}}{\Gamma \left( \frac{-1}{2} \right)}
+    \\
+    &=
+    \frac{1}{\pi}
+    \frac{\pi^2}{6}
+    \frac{1}{\sqrt{\pi} (-2\sqrt{\pi})}
+    &=
+    -\frac{1}{12},
+\end{align*}
+wobei die Werte der Gammafunktion TODO berechnet werden.
-- 
cgit v1.2.1


From 676b8ffe21376e27f7f21c093bee2fd8692b7a4b Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: runterer <r.unterer@gmx.ch>
Date: Mon, 8 Aug 2022 00:01:33 +0200
Subject: finished fazit

---
 buch/papers/zeta/fazit.tex | 85 +++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++-----
 1 file changed, 76 insertions(+), 9 deletions(-)

(limited to 'buch/papers/zeta/fazit.tex')

diff --git a/buch/papers/zeta/fazit.tex b/buch/papers/zeta/fazit.tex
index f696f83..fe2d35d 100644
--- a/buch/papers/zeta/fazit.tex
+++ b/buch/papers/zeta/fazit.tex
@@ -3,26 +3,93 @@
 
 Ganz zu Beginn dieses Papers wurde die Behauptung erwähnt, dass die Summe aller natürlichen Zahlen $-\frac{1}{12}$ sei.
 Diese Summe ist nichts anderes als die Zetafunktion am Wert $s=-1$.
-Da wir die analytische Fortsetzung mit der Funktionalgleichung \eqref{zeta:equation:functional} gefunden haben, können wir diese Behauptung prüfen.
-Zunächst berechnen wir $\zeta(1-s) = \zeta(2) = \frac{\pi^2}{6}$, welches im konvergenten Bereich der Reihe liegt und auch bekannt ist als das Basler Problem.
-Somit haben wir
+Da wir die analytische Fortsetzung mit der Funktionalgleichung \eqref{zeta:equation:functional} gefunden haben, können wir den Wert $s=-1$ einsetzen und erhalten
 \begin{align*}
-    \zeta(s) = \zeta(-1)
+    \zeta(s)
     &=
     \frac{\Gamma \left( \frac{1-s}{2} \right)}{\pi^{\frac{1-s}{2}}}
     \zeta(1-s)
     \frac{\pi^{\frac{s}{2}}}{\Gamma \left( \frac{s}{2} \right)}
     \\
+    \zeta(-1)
     &=
     \frac{\Gamma(1)}{\pi}
-    \frac{\pi^2}{6}
-    \frac{\pi^{\frac{-1}{2}}}{\Gamma \left( \frac{-1}{2} \right)}
+    \zeta(2)
+    \frac{\pi^{-\frac{1}{2}}}{\Gamma \left( -\frac{1}{2} \right)}.
+\end{align*}
+Also fehlen uns drei Werte, $\zeta(2)$, $\Gamma(1)$ und $\Gamma\left(-\frac{1}{2}\right)$.
+
+Zunächst konzentrieren wir uns auf $\zeta(2)$, welches im konvergenten Bereich der Reihe liegt und auch bekannt ist als das Basler Problem.
+Wir lösen das Basler Problem \cite{zeta:online:basel} mithilfe der parsevalschen Gleichung \cite{zeta:online:pars}
+\begin{align}
+    \int_{-\pi}^{\pi} |f(x)|^2 dx
+    &=
+    2\pi \sum_{n=-\infty}^{\infty} |c_n|^2 \\
+    c_n
+    &=
+    \frac{1}{2\pi}
+    \int_{-\pi}^{\pi}f(x)e^{-inx} dx,
+\end{align}
+welche besagt dass die Summe der quadrierten Fourierkoeffizienten einer Funktion identisch ist mit dem Integral der quadrierten Funktion.
+Wenn wir dies für $f(x) = x$ auswerten erhalten wir
+\begin{align}
+    c_n
+    &=
+    \begin{cases}
+        \frac{(-1)^n}{n} i, & \text{for } n\neq0, \\
+        0, & \text{for } n=0
+    \end{cases}
+    \\
+    \int_{-\pi}^{\pi} x^2 dx
+    &=
+    2\pi \sum_{n=-\infty}^{\infty} |c_n|^2
+    =
+    4\pi \underbrace{\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2}}_{\zeta(2)}.
+\end{align}
+Durch einfaches Umstellen erhalten wir somit die Lösung des Basler Problems als
+\begin{equation}
+    \zeta(2) = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2} = \frac{1}{4\pi}
+    \int_{-\pi}^{\pi} x^2 dx
+    = \frac{\pi^2}{6}.
+\end{equation}
+
+Als nächstes berechnen wir $\Gamma(1)$ und $\Gamma\left(-\frac{1}{2}\right)$ mithilfe der Integraldefinition der Gammafunktion \ref{buch:rekursion:def:gamma}.
+Da das Integral für $\Gamma\left(-\frac{1}{2}\right)$ nicht konvergiert, wird die Reflektionsformel aus \ref{buch:funktionentheorie:subsection:gammareflektion} verwendet, welche das konvergierende Integral von  $\Gamma\left(\frac{3}{2}\right)$ verwendet.
+Es ergeben sich die Werte
+\begin{align*}
+    \Gamma(1)
+    &= 1\\
+    \Gamma\left(-\frac{1}{2}\right)
+    &= \frac{\pi}{\sin\left(-\frac{\pi}{2}\right)
+    \Gamma\left(\frac{3}{2}\right)}
+    = -\frac{\sqrt{\pi}}{2}.
+\end{align*}
+
+Wenn wir diese Werte in die Funktionalgleichung einsetzen, erhalten wir das gewünschte Ergebnis
+\begin{align*}
+    \zeta(-1)
+    &=
+    \frac{\Gamma(1)}{\pi}
+    \zeta(2)
+    \frac{\pi^{-\frac{1}{2}}}{\Gamma \left( -\frac{1}{2} \right)}
     \\
     &=
     \frac{1}{\pi}
     \frac{\pi^2}{6}
-    \frac{1}{\sqrt{\pi} (-2\sqrt{\pi})}
+    \frac{\pi^{-\frac{1}{2}}}{
+    -\frac{\sqrt{\pi}}{2}}
+    \\
     &=
-    -\frac{1}{12},
+    -\frac{1}{12}.
 \end{align*}
-wobei die Werte der Gammafunktion TODO berechnet werden.
+
+Weiter wurde zu Beginn dieses Papers auf die Riemannsche Vermutung hingewiesen, wonach alle nichttrivialen Nullstellen der Zetafunktion auf der $\Re(s)=\frac{1}{2}$ Geraden liegen.
+Abbildung \ref{zeta:fig:einzweitel} zeigt die Funktionswerte dieser Geraden.
+%TODO colorplot does not work.. Ausserdem zeigt Abbildung \ref{zeta:fig:colorplot} die farbcodierte Zetafunktion für Werte der analytischen Fortsetzung und des originalen Definitionsbereichs.
+\begin{figure}
+    \centering
+    \input{papers/zeta/images/zeta_re_0.5_paper.pgf}
+    \caption{Die komplexen Werte der Zetafunktion für die kritische Gerade $\Re(s)=\frac{1}{2}$ im Bereich $\Im(s) = 0\dots40$.
+    Klar sichtbar sind die immer wiederkehrenden Nullstellen, wie sie Gegenstand der Riemannschen Vermutung sind.}
+    \label{zeta:fig:einzweitel}
+\end{figure}
-- 
cgit v1.2.1


From 970e6a8a2b2371834e8a4ff42123da59e3990fe4 Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: runterer <r.unterer@gmx.ch>
Date: Tue, 9 Aug 2022 21:59:31 +0200
Subject: Finished

---
 buch/papers/zeta/fazit.tex | 17 ++++++++---------
 1 file changed, 8 insertions(+), 9 deletions(-)

(limited to 'buch/papers/zeta/fazit.tex')

diff --git a/buch/papers/zeta/fazit.tex b/buch/papers/zeta/fazit.tex
index fe2d35d..e33083a 100644
--- a/buch/papers/zeta/fazit.tex
+++ b/buch/papers/zeta/fazit.tex
@@ -1,5 +1,5 @@
-\section{Fazit} \label{zeta:section:fazit}
-\rhead{Fazit}
+\section{Der Wert $\zeta(-1)$} \label{zeta:section:fazit}
+\rhead{Der Wert $\zeta(-1)$}
 
 Ganz zu Beginn dieses Papers wurde die Behauptung erwähnt, dass die Summe aller natürlichen Zahlen $-\frac{1}{12}$ sei.
 Diese Summe ist nichts anderes als die Zetafunktion am Wert $s=-1$.
@@ -17,7 +17,7 @@ Da wir die analytische Fortsetzung mit der Funktionalgleichung \eqref{zeta:equat
     \zeta(2)
     \frac{\pi^{-\frac{1}{2}}}{\Gamma \left( -\frac{1}{2} \right)}.
 \end{align*}
-Also fehlen uns drei Werte, $\zeta(2)$, $\Gamma(1)$ und $\Gamma\left(-\frac{1}{2}\right)$.
+Also fehlen uns drei Werte, $\zeta(2)$, $\Gamma(1)$ und $\Gamma(-\frac{1}{2})$.
 
 Zunächst konzentrieren wir uns auf $\zeta(2)$, welches im konvergenten Bereich der Reihe liegt und auch bekannt ist als das Basler Problem.
 Wir lösen das Basler Problem \cite{zeta:online:basel} mithilfe der parsevalschen Gleichung \cite{zeta:online:pars}
@@ -44,7 +44,7 @@ Wenn wir dies für $f(x) = x$ auswerten erhalten wir
     &=
     2\pi \sum_{n=-\infty}^{\infty} |c_n|^2
     =
-    4\pi \underbrace{\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2}}_{\zeta(2)}.
+    4\pi \underbrace{\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2}}_{\displaystyle{\zeta(2)}}.
 \end{align}
 Durch einfaches Umstellen erhalten wir somit die Lösung des Basler Problems als
 \begin{equation}
@@ -53,13 +53,13 @@ Durch einfaches Umstellen erhalten wir somit die Lösung des Basler Problems als
     = \frac{\pi^2}{6}.
 \end{equation}
 
-Als nächstes berechnen wir $\Gamma(1)$ und $\Gamma\left(-\frac{1}{2}\right)$ mithilfe der Integraldefinition der Gammafunktion \ref{buch:rekursion:def:gamma}.
-Da das Integral für $\Gamma\left(-\frac{1}{2}\right)$ nicht konvergiert, wird die Reflektionsformel aus \ref{buch:funktionentheorie:subsection:gammareflektion} verwendet, welche das konvergierende Integral von  $\Gamma\left(\frac{3}{2}\right)$ verwendet.
+Als nächstes berechnen wir $\Gamma(1)$ und $\Gamma(-\frac{1}{2})$ mithilfe der Integraldefinition der Gammafunktion (Definition \ref{buch:rekursion:def:gamma}).
+Da das Integral für $\Gamma(-\frac{1}{2})$ nicht konvergiert, wird die Reflektionsformel aus \ref{buch:funktionentheorie:subsection:gammareflektion} verwendet, welche das konvergierende Integral von  $\Gamma\left(\frac{3}{2}\right)$ verwendet.
 Es ergeben sich die Werte
 \begin{align*}
     \Gamma(1)
     &= 1\\
-    \Gamma\left(-\frac{1}{2}\right)
+    \Gamma\biggl(-\frac{1}{2}\biggr)
     &= \frac{\pi}{\sin\left(-\frac{\pi}{2}\right)
     \Gamma\left(\frac{3}{2}\right)}
     = -\frac{\sqrt{\pi}}{2}.
@@ -85,10 +85,9 @@ Wenn wir diese Werte in die Funktionalgleichung einsetzen, erhalten wir das gew
 
 Weiter wurde zu Beginn dieses Papers auf die Riemannsche Vermutung hingewiesen, wonach alle nichttrivialen Nullstellen der Zetafunktion auf der $\Re(s)=\frac{1}{2}$ Geraden liegen.
 Abbildung \ref{zeta:fig:einzweitel} zeigt die Funktionswerte dieser Geraden.
-%TODO colorplot does not work.. Ausserdem zeigt Abbildung \ref{zeta:fig:colorplot} die farbcodierte Zetafunktion für Werte der analytischen Fortsetzung und des originalen Definitionsbereichs.
 \begin{figure}
     \centering
-    \input{papers/zeta/images/zeta_re_0.5_paper.pgf}
+    \input{papers/zeta/images/zetaplot.tex}
     \caption{Die komplexen Werte der Zetafunktion für die kritische Gerade $\Re(s)=\frac{1}{2}$ im Bereich $\Im(s) = 0\dots40$.
     Klar sichtbar sind die immer wiederkehrenden Nullstellen, wie sie Gegenstand der Riemannschen Vermutung sind.}
     \label{zeta:fig:einzweitel}
-- 
cgit v1.2.1


From 7d2e4ff7b1b50b382af659fcfbbc38adb6dd7ace Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: runterer <r.unterer@gmx.ch>
Date: Tue, 9 Aug 2022 22:05:19 +0200
Subject: minor changes

---
 buch/papers/zeta/fazit.tex | 2 +-
 1 file changed, 1 insertion(+), 1 deletion(-)

(limited to 'buch/papers/zeta/fazit.tex')

diff --git a/buch/papers/zeta/fazit.tex b/buch/papers/zeta/fazit.tex
index e33083a..027f324 100644
--- a/buch/papers/zeta/fazit.tex
+++ b/buch/papers/zeta/fazit.tex
@@ -54,7 +54,7 @@ Durch einfaches Umstellen erhalten wir somit die Lösung des Basler Problems als
 \end{equation}
 
 Als nächstes berechnen wir $\Gamma(1)$ und $\Gamma(-\frac{1}{2})$ mithilfe der Integraldefinition der Gammafunktion (Definition \ref{buch:rekursion:def:gamma}).
-Da das Integral für $\Gamma(-\frac{1}{2})$ nicht konvergiert, wird die Reflektionsformel aus \ref{buch:funktionentheorie:subsection:gammareflektion} verwendet, welche das konvergierende Integral von  $\Gamma\left(\frac{3}{2}\right)$ verwendet.
+Da das Integral für $\Gamma(-\frac{1}{2})$ nicht konvergiert, wird die Reflektionsformel aus \ref{buch:funktionentheorie:subsection:gammareflektion} verwendet, welche das konvergierende Integral von  $\Gamma(\frac{3}{2})$ verwendet.
 Es ergeben sich die Werte
 \begin{align*}
     \Gamma(1)
-- 
cgit v1.2.1

