From da8dbf2a727537fbf279268b4a42145677034994 Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: runterer <r.unterer@gmx.ch>
Date: Sat, 28 May 2022 18:13:13 +0200
Subject: started with presentation

---
 buch/papers/zeta/presentation/presentation.tex | 224 +++++++++++++++++++++++++
 1 file changed, 224 insertions(+)
 create mode 100644 buch/papers/zeta/presentation/presentation.tex

(limited to 'buch/papers/zeta/presentation/presentation.tex')

diff --git a/buch/papers/zeta/presentation/presentation.tex b/buch/papers/zeta/presentation/presentation.tex
new file mode 100644
index 0000000..0833f14
--- /dev/null
+++ b/buch/papers/zeta/presentation/presentation.tex
@@ -0,0 +1,224 @@
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+%Title Page
+\title{Riemannsche Zeta Funktion}
+\author{Raphael Unterer}
+\institute{Mathematisches Seminar 2022: Spezielle Funktionen}
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+\begin{document}
+
+	%Titelseite
+	\begin{frame}
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+	\end{frame}
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+	%Inhaltsverzeichnis
+	\begin{frame}
+		\frametitle{Inhalt}
+		\tableofcontents
+	\end{frame}
+
+	\section{Motivation}
+
+    \begin{frame}
+        \frametitle{Summe aller Natürlichen Zahlen}
+        \begin{equation*}
+            \sum_{n=1}^{\infty} n
+            =
+            1 + 2 + 3 + \ldots + \infty
+            =
+            - \frac{1}{12}
+        \end{equation*}
+    \end{frame}
+    \begin{frame}
+        \frametitle{Summe aller Natürlichen Zahlen}
+        \begin{center}
+            \includegraphics[width=0.7\textwidth]{youtube_screenshot.png}
+        \end{center}
+    \end{frame}
+    \begin{frame}
+        \frametitle{Riemannsche Zeta Funktion}
+        \begin{equation*}
+            \zeta(s)
+            =
+            \sum_{n=1}^{\infty}
+            \frac{1}{n^s}
+        \end{equation*}
+        \pause
+        \begin{equation*}
+            \zeta(-1)
+            =
+            \sum_{n=1}^{\infty}
+            \frac{1}{n^{-1}}
+            =
+            \sum_{n=1}^{\infty} n
+        \end{equation*}
+    \end{frame}
+    \begin{frame}
+        \frametitle{Originaler Definitionsbereich}
+        Wir kennen die divergierende harmonische Reihe
+        \begin{equation*}
+            \zeta(1)
+            =
+            \sum_{n=1}^{\infty}
+            \frac{1}{n}
+            \rightarrow
+            \infty,
+        \end{equation*}
+        und somit ist $\Re(s) > 1$.
+    \end{frame}
+
+    \section{Analytische Fortsetzung}
+    \begin{frame}
+        \frametitle{Plan für die Analytische Fortsetzung von $\zeta(s)$}
+        \begin{center}
+            \input{../continuation_overview.tikz.tex}
+        \end{center}
+    \end{frame}
+    \begin{frame}
+        \frametitle{Fortsetzung auf $\Re(s) > 0$}
+        Dirichletsche Etafunktion ist
+        \begin{equation*}\label{zeta:equation:eta}
+            \eta(s)
+            =
+            \sum_{n=1}^{\infty}
+            \frac{(-1)^{n-1}}{n^s},
+        \end{equation*}
+        und konvergiert im Bereich $\Re(s) > 0$.
+    \end{frame}
+
+% Zuerst wiederholen wir zweimal die Definition der Zetafunktion \eqref{zeta:equation1}, wobei wir sie einmal durch $2^{s-1}$ teilen
+% \begin{align}
+%     \zeta(s)
+%     &=
+%     \sum_{n=1}^{\infty}
+%     \frac{1}{n^s} \label{zeta:align1}
+%     \\
+%     \frac{1}{2^{s-1}}
+%     \zeta(s)
+%     &=
+%     \sum_{n=1}^{\infty}
+%     \frac{2}{(2n)^s}. \label{zeta:align2}
+% \end{align}
+% Durch Subtraktion der beiden Gleichungen \eqref{zeta:align1} minus \eqref{zeta:align2}, ergibt sich
+% \begin{align}
+%     \left(1 - \frac{1}{2^{s-1}} \right)
+%     \zeta(s)
+%     &=
+%     \frac{1}{1^s}
+%     \underbrace{-\frac{2}{2^s} + \frac{1}{2^s}}_{-\frac{1}{2^s}}
+%     + \frac{1}{3^s}
+%     \underbrace{-\frac{2}{4^s} + \frac{1}{4^s}}_{-\frac{1}{4^s}}
+%     \ldots
+%     \\
+%     &= \eta(s).
+% \end{align}
+% Dies ist die Fortsetzung auf den noch unbekannten Bereich $0 < \Re(s) < 1$
+% \begin{equation} \label{zeta:equation:fortsetzung1}
+%     \zeta(s)
+%     :=
+%     \left(1 - \frac{1}{2^{s-1}} \right)^{-1} \eta(s).
+% \end{equation}
+%     \section{Euler Produkt}
+% 
+%     \section{Weitere Eigenschaften}
+% 
+% 
+
+\end{document}
+
-- 
cgit v1.2.1


From bd59e9086178019b48f10db3ad2ca8356c96e2c0 Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: runterer <r.unterer@gmx.ch>
Date: Sat, 28 May 2022 19:49:04 +0200
Subject: wip working on presentation

---
 buch/papers/zeta/presentation/presentation.tex | 111 ++++++++++++++++---------
 1 file changed, 74 insertions(+), 37 deletions(-)

(limited to 'buch/papers/zeta/presentation/presentation.tex')

diff --git a/buch/papers/zeta/presentation/presentation.tex b/buch/papers/zeta/presentation/presentation.tex
index 0833f14..bb6d515 100644
--- a/buch/papers/zeta/presentation/presentation.tex
+++ b/buch/papers/zeta/presentation/presentation.tex
@@ -181,44 +181,81 @@
         \end{equation*}
         und konvergiert im Bereich $\Re(s) > 0$.
     \end{frame}
+    \begin{frame}
+        \frametitle{Fortsetzung auf $\Re(s) > 0$}
+        \begin{align}
+            \zeta(s)
+            &=
+            \sum_{n=1}^{\infty}
+            \frac{1}{n^s} \label{zeta:align1}
+            \\
+            \frac{1}{2^{s-1}}
+            \zeta(s)
+            &=
+            \sum_{n=1}^{\infty}
+            \frac{2}{(2n)^s} \label{zeta:align2}
+        \end{align}
+        \pause
+        \eqref{zeta:align1} - \eqref{zeta:align2}:
+        \begin{align*}
+            \left(1 - \frac{1}{2^{s-1}} \right)
+            \zeta(s)
+            &=
+            \frac{1}{1^s}
+            \underbrace{-\frac{2}{2^s} + \frac{1}{2^s}}_{-\frac{1}{2^s}}
+            + \frac{1}{3^s}
+            \underbrace{-\frac{2}{4^s} + \frac{1}{4^s}}_{-\frac{1}{4^s}}
+            \ldots
+            \\
+            &= \eta(s)
+        \end{align*}
+    \end{frame}
+    \begin{frame}
+        \frametitle{Fortsetzung auf $\Re(s) > 0$}
+        Somit haben wir die Fortsetzung gefunden als
+        \begin{equation} \label{zeta:equation:fortsetzung1}
+            \zeta(s)
+            :=
+            \left(1 - \frac{1}{2^{s-1}} \right)^{-1} \eta(s).
+        \end{equation}
+    \end{frame}
+    \begin{frame}
+        \frametitle{Spiegelungseigenschaft für $\Re(s) < 0$}
+        \begin{equation*}\label{zeta:equation:functional}
+            \frac{\Gamma \left( \frac{s}{2} \right)}{\pi^{\frac{s}{2}}}
+            \zeta(s)
+            =
+            \frac{\Gamma \left( \frac{1-s}{2} \right)}{\pi^{\frac{1-s}{2}}}
+            \zeta(1-s).
+        \end{equation*}
+    \end{frame}
+    %TODO maybe explain gamma-fct
+
+    \section{Euler Produkt und Primzahlen}
+    \begin{frame}
+        \frametitle{Wieso ist die Zeta Funktion so bekannt?}
+        \begin{itemize}
+            \item Interessante Funktionswerte z.B. $\zeta(2) = \frac{\pi^2}{6}$
+            \item Primzahlenverteilung (Riemannhypothese)
+            \item Forschungsgebiet der analytischen Zahlentheorie seit dem 18. Jahrhundert
+            \item ...
+        \end{itemize}
+    \end{frame}
+    \begin{frame}
+        \frametitle{Primzahlfunktion}
+        \begin{center}
+           \scalebox{0.5}{\input{../primzahlfunktion.pgf}}
+        \end{center}
+    \end{frame}
+    \begin{frame}
+        \frametitle{Zusammenhang Zeta und Primzahlen}
+        %TODO
+    \end{frame}
+
+
+    \section{Weitere Eigenschaften}
+
 
-% Zuerst wiederholen wir zweimal die Definition der Zetafunktion \eqref{zeta:equation1}, wobei wir sie einmal durch $2^{s-1}$ teilen
-% \begin{align}
-%     \zeta(s)
-%     &=
-%     \sum_{n=1}^{\infty}
-%     \frac{1}{n^s} \label{zeta:align1}
-%     \\
-%     \frac{1}{2^{s-1}}
-%     \zeta(s)
-%     &=
-%     \sum_{n=1}^{\infty}
-%     \frac{2}{(2n)^s}. \label{zeta:align2}
-% \end{align}
-% Durch Subtraktion der beiden Gleichungen \eqref{zeta:align1} minus \eqref{zeta:align2}, ergibt sich
-% \begin{align}
-%     \left(1 - \frac{1}{2^{s-1}} \right)
-%     \zeta(s)
-%     &=
-%     \frac{1}{1^s}
-%     \underbrace{-\frac{2}{2^s} + \frac{1}{2^s}}_{-\frac{1}{2^s}}
-%     + \frac{1}{3^s}
-%     \underbrace{-\frac{2}{4^s} + \frac{1}{4^s}}_{-\frac{1}{4^s}}
-%     \ldots
-%     \\
-%     &= \eta(s).
-% \end{align}
-% Dies ist die Fortsetzung auf den noch unbekannten Bereich $0 < \Re(s) < 1$
-% \begin{equation} \label{zeta:equation:fortsetzung1}
-%     \zeta(s)
-%     :=
-%     \left(1 - \frac{1}{2^{s-1}} \right)^{-1} \eta(s).
-% \end{equation}
-%     \section{Euler Produkt}
-% 
-%     \section{Weitere Eigenschaften}
-% 
-% 
 
 \end{document}
 
-- 
cgit v1.2.1


From 45e8902e2409339cfc363033e622980600cbcf41 Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: runterer <r.unterer@gmx.ch>
Date: Thu, 2 Jun 2022 00:28:08 +0200
Subject: presentation finished?

---
 buch/papers/zeta/presentation/presentation.tex | 112 +++++++++++++++++++++++--
 1 file changed, 107 insertions(+), 5 deletions(-)

(limited to 'buch/papers/zeta/presentation/presentation.tex')

diff --git a/buch/papers/zeta/presentation/presentation.tex b/buch/papers/zeta/presentation/presentation.tex
index bb6d515..be3e12c 100644
--- a/buch/papers/zeta/presentation/presentation.tex
+++ b/buch/papers/zeta/presentation/presentation.tex
@@ -80,6 +80,7 @@
 \newcommand*{\RD}{\textcolor{red}}
 \newcommand*{\BL}{\textcolor{blue}}
 \newcommand*{\GN}{\textcolor{dgreen}}
+\newcommand*{\YE}{\textcolor{violet}}
 
 
 
@@ -241,21 +242,122 @@
             \item ...
         \end{itemize}
     \end{frame}
+    \begin{frame}
+        \frametitle{Euler Produkt: Verbindung von Zeta und Primzahlen}
+        \begin{equation*}
+            \zeta(s)
+            =
+            \sum_{n=1}^\infty
+            \frac{1}{n^s}
+            =
+            \prod_{p \in P}
+            \frac{1}{1-p^{-s}}
+        \end{equation*}
+        \pause
+        Geometrische Reihe
+        \begin{equation*}
+            \prod_{p \in P}
+            \frac{1}{1-p^{-s}}
+            =
+            \prod_{p \in P}
+            \left(
+            1
+            +
+            \frac{1}{p^s}
+            +
+            \frac{1}{p^{2s}}
+            +
+            \frac{1}{p^{3s}}
+            +
+            \ldots
+            \right)
+        \end{equation*}
+        \pause
+        Erste Terme ausmultiplizieren
+        \begin{align*}
+            \left(
+            1
+            +
+            \RD{\frac{1}{2^s}}
+            +
+            \GN{\frac{1}{2^{2s}}}
+            +
+            \frac{1}{2^{3s}}
+            +
+            \ldots
+            \right)
+            \left(
+            1
+            +
+            \BL{\frac{1}{3^s}}
+            +
+            \frac{1}{3^{2s}}
+            +
+            \frac{1}{3^{3s}}
+            +
+            \ldots
+            \right)
+            \left(
+            1
+            +
+            \YE{\frac{1}{5^s}}
+            +
+            \frac{1}{5^{2s}}
+            +
+            \frac{1}{5^{3s}}
+            +
+            \ldots
+            \right)
+            \\
+            =
+            1
+            +
+            \RD{\frac{1}{2^s}}
+            +
+            \BL{\frac{1}{3^s}}
+            +
+            \GN{\frac{1}{4^s}}
+            +
+            \YE{\frac{1}{5^s}}
+            +
+            \ldots
+        \end{align*}
+    \end{frame}
     \begin{frame}
         \frametitle{Primzahlfunktion}
         \begin{center}
            \scalebox{0.5}{\input{../primzahlfunktion.pgf}}
         \end{center}
     \end{frame}
-    \begin{frame}
-        \frametitle{Zusammenhang Zeta und Primzahlen}
-        %TODO
-    \end{frame}
 
 
-    \section{Weitere Eigenschaften}
+    \section{Darstellungen}
 
+    \begin{frame}
+        \frametitle{Farbcodierung}
+        \begin{center}
+            \scalebox{0.6}{\input{zeta_color_plot.pgf}}
+        \end{center}
+    \end{frame}
 
+    \begin{frame}
+        \frametitle{Konstanter Realteil $\Re(s)=-1$ und $\Im(s)=0\ldots40$}
+        \begin{center}
+            \scalebox{0.6}{\input{../zeta_re_-1_plot.pgf}}
+        \end{center}
+    \end{frame}
+    \begin{frame}
+        \frametitle{Konstanter Realteil $\Re(s)=0$ und $\Im(s)=0\ldots40$}
+        \begin{center}
+            \scalebox{0.6}{\input{../zeta_re_0_plot.pgf}}
+        \end{center}
+    \end{frame}
+    \begin{frame}
+        \frametitle{Konstanter Realteil $\Re(s)=0.5$ und $\Im(s)=0\ldots40$}
+        \begin{center}
+            \scalebox{0.6}{\input{../zeta_re_0.5_plot.pgf}}
+        \end{center}
+    \end{frame}
 
 \end{document}
 
-- 
cgit v1.2.1


From b3b175c9b728bb9e4224167ad91e34e6b3bd07f6 Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: runterer <r.unterer@gmx.ch>
Date: Thu, 2 Jun 2022 21:18:57 +0200
Subject: minor presentation improvements

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 buch/papers/zeta/presentation/presentation.tex | 21 +++++++++++++--------
 1 file changed, 13 insertions(+), 8 deletions(-)

(limited to 'buch/papers/zeta/presentation/presentation.tex')

diff --git a/buch/papers/zeta/presentation/presentation.tex b/buch/papers/zeta/presentation/presentation.tex
index be3e12c..e106089 100644
--- a/buch/papers/zeta/presentation/presentation.tex
+++ b/buch/papers/zeta/presentation/presentation.tex
@@ -109,10 +109,10 @@
 	\end{frame}
 
 	%Inhaltsverzeichnis
-	\begin{frame}
-		\frametitle{Inhalt}
-		\tableofcontents
-	\end{frame}
+% 	\begin{frame}
+% 		\frametitle{Inhalt}
+% 		\tableofcontents
+% 	\end{frame}
 
 	\section{Motivation}
 
@@ -187,14 +187,18 @@
         \begin{align}
             \zeta(s)
             &=
+            \RD{
             \sum_{n=1}^{\infty}
             \frac{1}{n^s} \label{zeta:align1}
+            }
             \\
             \frac{1}{2^{s-1}}
             \zeta(s)
             &=
+            \BL{
             \sum_{n=1}^{\infty}
             \frac{2}{(2n)^s} \label{zeta:align2}
+            }
         \end{align}
         \pause
         \eqref{zeta:align1} - \eqref{zeta:align2}:
@@ -202,10 +206,10 @@
             \left(1 - \frac{1}{2^{s-1}} \right)
             \zeta(s)
             &=
-            \frac{1}{1^s}
-            \underbrace{-\frac{2}{2^s} + \frac{1}{2^s}}_{-\frac{1}{2^s}}
-            + \frac{1}{3^s}
-            \underbrace{-\frac{2}{4^s} + \frac{1}{4^s}}_{-\frac{1}{4^s}}
+            \RD{\frac{1}{1^s}}
+            \underbrace{-\BL{\frac{2}{2^s}} + \RD{\frac{1}{2^s}}}_{-\frac{1}{2^s}}
+            + \RD{\frac{1}{3^s}}
+            \underbrace{-\BL{\frac{2}{4^s}} + \RD{\frac{1}{4^s}}}_{-\frac{1}{4^s}}
             \ldots
             \\
             &= \eta(s)
@@ -308,6 +312,7 @@
             +
             \ldots
             \right)
+            \ldots
             \\
             =
             1
-- 
cgit v1.2.1


From 77dfbc3727334b88dcf19c673d9ef9812df1806a Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: runterer <r.unterer@gmx.ch>
Date: Sun, 7 Aug 2022 17:30:30 +0200
Subject: wip conlcusion not finished

---
 buch/papers/zeta/presentation/presentation.tex | 12 ++++++------
 1 file changed, 6 insertions(+), 6 deletions(-)

(limited to 'buch/papers/zeta/presentation/presentation.tex')

diff --git a/buch/papers/zeta/presentation/presentation.tex b/buch/papers/zeta/presentation/presentation.tex
index e106089..53fd305 100644
--- a/buch/papers/zeta/presentation/presentation.tex
+++ b/buch/papers/zeta/presentation/presentation.tex
@@ -129,7 +129,7 @@
     \begin{frame}
         \frametitle{Summe aller Natürlichen Zahlen}
         \begin{center}
-            \includegraphics[width=0.7\textwidth]{youtube_screenshot.png}
+            \includegraphics[width=0.7\textwidth]{../images/youtube_screenshot.png}
         \end{center}
     \end{frame}
     \begin{frame}
@@ -168,7 +168,7 @@
     \begin{frame}
         \frametitle{Plan für die Analytische Fortsetzung von $\zeta(s)$}
         \begin{center}
-            \input{../continuation_overview.tikz.tex}
+            \input{../images/continuation_overview.tikz.tex}
         \end{center}
     \end{frame}
     \begin{frame}
@@ -331,7 +331,7 @@
     \begin{frame}
         \frametitle{Primzahlfunktion}
         \begin{center}
-           \scalebox{0.5}{\input{../primzahlfunktion.pgf}}
+           \scalebox{0.5}{\input{../images/primzahlfunktion.pgf}}
         \end{center}
     \end{frame}
 
@@ -348,19 +348,19 @@
     \begin{frame}
         \frametitle{Konstanter Realteil $\Re(s)=-1$ und $\Im(s)=0\ldots40$}
         \begin{center}
-            \scalebox{0.6}{\input{../zeta_re_-1_plot.pgf}}
+            \scalebox{0.6}{\input{../images/zeta_re_-1_plot.pgf}}
         \end{center}
     \end{frame}
     \begin{frame}
         \frametitle{Konstanter Realteil $\Re(s)=0$ und $\Im(s)=0\ldots40$}
         \begin{center}
-            \scalebox{0.6}{\input{../zeta_re_0_plot.pgf}}
+            \scalebox{0.6}{\input{../images/zeta_re_0_plot.pgf}}
         \end{center}
     \end{frame}
     \begin{frame}
         \frametitle{Konstanter Realteil $\Re(s)=0.5$ und $\Im(s)=0\ldots40$}
         \begin{center}
-            \scalebox{0.6}{\input{../zeta_re_0.5_plot.pgf}}
+            \scalebox{0.6}{\input{../images/zeta_re_0.5_plot.pgf}}
         \end{center}
     \end{frame}
 
-- 
cgit v1.2.1

